PX P

-= —, on a nn'=z-^ X*x. La somme de toutes ces quantités depuis X = 0 jusqu'à X=a, ou la flèche MB, sera bien /= ^,

soit qu'on intègre, soit qu*on assimile, comme on a dit dans la note

ART. lll. FLEXION. 73

(Du n* 8«).

du n** 81, la somme des X*x au volume d*uDe pyramide ayant une base a} et une hauteur a.

S 2. Z>z courbe élastique est une parabole du troisième degré avec inflexion en M, — En effet , en faisant dans son équation

x=a — a:'cosa, y = y' + /— -z'sina,

ce qui est rapporter cette courbe à sa tangente en M prise pour axe oblique des x' et à MP pris pour axe des y\ elle se réduit à

La courbure est nulle au point M d^application de la force P.

S 3. Flèche et arc déterminés plus exactement. Expressions applicables quand lajlexion n'est pas très-petite. — On ramène, du reste, dans le cas général où la flexion est quelconque, la détermination de la courbe aux quadratures, ainsi que Font remarqué depuis longtemps Jacques BemouUi (*) et Euler (*) ; 'et Ton peut obtenir son équation , soit par les transcendantes elliptiques C), soit, comme on va le voir, en série ordinairement convergente.

Remarquons pour cela qu^en appelant s la longueur de Tare de

courbeAm, on ads*=<ii'+dy', - = ^ ' , d'où, pourpremlère intégrale de réqaation - =P(a— x),

du P / x*\

valeur qui , substituée dans

(^) Curvatura laminœ eloiticm. AcU eruditonim , Lipila, 4694 , joio, p. 161 , ou OeuTrei , p. 576. El, aussi , FérUahU hypoihète de la rétiitanee deê tolidei , aux Ménolres de l' Académie, 4705.

(*) Bieihoduê inveniendi Uneai curvas, etc. Additanenlun de Curviê êlatticis^

(*) NoU sur Um flexionê cotmdérabUt du vergtê éUutifun , au Joanial de M. LiOttTille, 4S44.

lu SECT. 1. RÉSISTANCE DES SOLIDES.

j , 3i j dx

dy = dx — - , ds =

donnera, si Ton intègre, les valeurs de y et s en j.

Or si nous remplaçons 11 — (^-^'j | ^ par son développement

^^aUsJ +2:5 Us; ^2.^.6 Us j ^

rintégration devient facile, et les termes des séries suivent une loi simple en faisant a— x^x', d'où -^ z= -■ {a*^x'*). On a ainsi

a "" 26 U 3'c?;'^ 2 V2t; U 3a» "^Sa* 7aV

■^■î.ûUs/ U 3a»"^5a« 7 a''"*' 9 a» il a^V"*" '••'

J — s j^ 1 /Pa«y/j^ 2 x^ if!!\ 4. a a'*'2V2«/\« 3 a' "^ 6 a»/ "^

D'où Ton tire , en faisant x* = a, y = 0, s =0, pour la flèche/ et pour la longueur totale s de Tare de la courbe

a""^"^3.6\ e / ■*" 5.7.9 V ^ / "^7.9.11.13 1, s / "*"••• Et comme la valeur de ^ pour a:=a ou x'=0 estsina, on a

Pa« sina=.

d'où

Pa« ^ i /Pa«\ » ^ 1.3 /Pa«\» . 1.3.5 /Pa«\'' ^

87. Quand le solide est posé horizontalement par deux appuis (Fig. 6), les équations précédentes conviennent à la courbe formée par chacune des moitiés. Nommant :

f la flèche AG de la courbe du solide ;

2P le poids suspendu au milieu du solide ;

2a la distance MM' des appuis;

25 la longueur MÂM' du solide enti*e les appuis;

a l'inclinaison de la courbe à l'extrémité M'; on a^ en supposant la courbure du solide très-petite, Pq»2P(2q)»

5 = a + ^, tanga = ^.

La flèche de courbure est proportionnelle au poids 2P et au cube de la distance des appuis (*)•

La courbe complète Infléchie en M a sa tangente parallèle à Taxe des X ou x" aux points x' = :t: a, et parallèle à Taxe des y aux points

4 I sT Pa*

j'==fca\/i-f5-ï quand -^ reste plus petit que 1. Elle présente alors une infinité de circonvolutions égales entre les deux droites que déterminent ces dernières valeurs de x\ et offi*ant une symétrie alterne par rapport à la direction de la force i*. C'est la quatrième des neuf espèces de courbes élastiques planes d'Euler.

(*)§!• Calcul d^une valeur plus approchée de la flèche d'une pièce posée,— Pour l'obtenir, Il faut, comme quelques auteurs anglais (mais avec plus d'exactitude), avoir égard à ce que la réaction des appuis M, -M' n'est pas verticale. Nous la regarderons comme normale à la pièce fléchie ; car 11 n'est pas nécessaire de faire entrer en considération le firottement qui agit tantôt dans un sens tantôt dans le sens opposé pour peu que la pièce et le poids suspendu 2P oscillent Cette

p Réaction normale estj pour chaque appnl , -^ — puisque sa composante verticale est P; et elle a une composante horixontale -— -siaa, en sorte que réquatioo complète des moments est

76 SECT. 1. RÉSISTAISGE DES SOUDES.

Du n* 87 ).

- = P(a— x) + Ptonga(/— y). Mftfs on p

n'a plus de terme en y au second membre et on rend Téquation intégrable par quadratures en prenant d'autres coordonnées 3fj y\ dont les axes sont la tangente et la normale au point M» ce qui donne pour équation, s' étant Tare à partir de ce point :

dsf cosa •

d'où

dy[ P x'« ds' ~" ecosa 2 '

Cette intégrale première donne une relation entre les inconnues / et a en faisant V = acosa +/sin a, qui est sa valeur au point

milieu A de la pièce posée , et ^ = sin a ; on a ainsi

/ cosa a ""

2sinacosa»-j (acosa + /sina)*;

cosa

d'où - — = ^ - - __- - —

a sin a Y P^ 8in a *

différence de deux quantités très-grandes,

On obtient une seconde relation entre/ et a en mettant pour ^

Px'«

dv'

sa valeur

2e cosa

dans la série obtenue à la note précédente

' et intégrant de manière que y' = 0 pour x' = 0 ; ce qui donne

, p x*» 1/ p yx^ 1.3/ p yg^^

^ ■~2ecosa 3 ■^2V2ec08a/ 7 "^2.4 \2eC08ay 11 "^ - •

puis, en remarquant que cette équation de la courbe élastique doit être satisfaite, pour le point A, par

x's acosa +/sina On tire ainsi

2e sin a cosa

y' = asina—/cos«.

/sinc

cosa

4/28 sin"â /Islna lsin»a 1.38in»a \ 'VP?*côii;AÎ"T""*"2"T''^2l["ïr'"*'--7*

( Du H» 69 ).

tH)ur avoir a, on n*a qu'à éliminer ~ , ou à égaler les deux valeurs

de ce rapport, ce qui fournit :

Pa* , lsin»a . 1 sin^a 1.3sin«a

2£sinïcoiï"" ^" "*■ î^âT"*" 2" "T"^ âTÂTï""*" 1.3 6 sin'g ■*■ 2.4.615" "*"••••»

ou, en élevant au carré :

= sin.- gsln'a-sin'«-jj^3g8in'«+ ... ;

d'où , par la formule générale de retour des suites

qu'on tire, par coefficients indéterminés, de Y=^AX + CX' + EX* + GX'+... ,

Pa« . 5 /Pa«\« . 1069/Pa«\« .

^«°« = -2r + cl-2rj -^^mK-^r) +-

et, par conséquent,

Substituons dans la seconde valeur de ^, nous trouvons, tout

calcul fait, cette expression pour la flèche/ de la pièce 3a posée sur deux appuis et chargée au milieu d'un poids 2P :

/ IPa» , 2 /Pa,*\* 34» fPa^*

1 Va* légèrement différente, dès le second terme, de celle de^ — +

JL /lîîl\ 4. 1^ f^y + ... , trouvée à la note précédente pour

le cas d'encastrement.

S 2, Expression de ta plus grande dUçttatim en fonction de la

78 SnCT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.

88. En considérant toujours > comme dans le n* 86^ un so« lide prismatique droit (Pig. 7)^ encastré horizontalement à une extrémité , on peut le supposer chargé» dans tous les points de sa longueur, de poids distribués d'une manière quelconque. Nommant :

Xy y les coordonnées horizontale et verticale d'un point quelconque m de la courbe du solide; x' Tabscisse d*un point quelconque m' situé entre m et l'extrémité M ; a la distance AB;

p' la valeur du poids suspendu en m\ rapporté à Tunité de longueur de l'abscisse^ en sorte que p'daf est le poids supporté par l'élément dont la projection est dx' (la quantité p' est censée donnée en fonction de x')^ f l'ordonnée BM de l'extrémité de la courbe ; on aura

dx^-^]x

dx^.p*{ocf — x),

dy [x Ça

-p = \ dx\ dx'.p'(x' — x),

Çx Çx Ça cy=\ dx\ dx\ dx\p'{x' — x),

flèche. — En appelant (comme on fera au n* 113) via distance, à la ligne des fibres invariables, de la fibre qui en est le plus éloignée, et t sa dilatation ou contraction pour la section x = a où la cour* bure est la plus grande, on a

Or, l'expression précédente de - donne, par retour des suites,

Pc^^3/2/3A»^

7 Va; i^bUlxKa) "*" •"

On a donc la plus grande dilatation des fibres :

▲&T. m. FLEXION. ^ 70

89. Si leâ poids pcurtés par chacun des éléments de la Iongueur du solide sont égaux^ ce qui comprend le cas où ces poids seraient ceux mêmes des éléments^ />' aura une valeur constante p, et Ton aura

-r-'-6-+iï)'

/•=?, tang. = g.

fa est le poids total reporté sur la longueur du solide. D'après le n® 86; si ce poids était appliqué en M, l'abaissement de ce point serait plus grande dans le rapport de 8 à 3 ('^).

(♦) S 1. Observation générale. — L*équation e^ =... posée

aux n** 88 et 89 n^est autre chose que celle — = M démontrée,

dans la note du n* 81, seulement pour des forces agissant aux extrémités d'une portion finie d'un prisme. On peut retendre approxi* mativement au cas, ici considéré, de forces agissant d*une manière continue sur sa longueur, par une raison semblable à celles qui ont été données au $6 de lanotedu n** 80 pour appliquerla même équation à un mode de distribution quelconque des forces dont le moment est M.

S 2. Manière plus simple de poser V équation du n* 89. — Elle consiste à remarquer que les forces agissant sur la partie vrM dont la longueur est a—o-, peuvent être remplacées par une force unique égale à leur somme p{a^x) appliquée au milieu de cette