partie, en sorte que son bras de levier est -^^ ' et, en égalant leur
moment à celui des forces intérieures, on a - ou e ^ «p ."T . S 3. Flèche f^^ déterminée d!une manière élémentaire, -^On
90. Lorsqu'un solide^ posé horizontaleinent sur deux appuis (Fig. 8)^ est chargé par des poids distribués uniformément sur sa longueur, chaque moitié est dans le même cas que si , étant encastrée horizontalement à une extrémité^ elle était fléchie à la fois par des poids distribués uniformément sur sa longueur^ et par une force égale à la somme de ces poids^ et agissant en sens contraire à l'autre extrémité. On a donc
r = P-, tang«=^.
D'après le n"" 87^ si le poids 2/>a était suspendu au milieu du so-
y arrive comme au $ i de la note du n* 86, en mettant pX ^ aulieo de PX, d'où l'élément nn' de la flèche « ^X*x dont la somme, de X— 0 à Xrra, est bien (SS 2 et 3 de la note du n*81) ^. .
S &. Expression analytique plus approchée de cette Jlkche f d de V angle a. — On les obtient, principalement pour le cas où la flexion n'est pas très-petite^ en posant, comme à la note du n* 86,
t — ^^ •=? o » ce qui, en faisanta— x=:x', ^ = ^ («*— x^}f «ubsUtuan. dans dy= ^[%^\ (|)V i;3 (|)V ....] . ^
intégrant, donne une expression def—y en série ; sa valeur pour x*z=:a ou x=: 0, y = 0, est, en divisant par a :
Et Ton a sina égal à la valeur de ^ pour x'=0, d'où
lide au lieu d'être répartie uniformément sur toute sa longueur, la flèche serait plus grande dans, le rapport de 8 à 5. Ces résultats sont confirmés par l'expérience (*).
(*) S !• L'équation de la courbe s* étend à ses deux moitiés dans ce caSj mais non lorsquHl y a un poids 2P suspendu au milieu, —
On voit en effet que Téquation, qui se réduit à e y =p l— ^ )
donne des valeurs de y égales lorsqu'on change x en— x. Mais il
(ax* x^\ "2 ïï ) ^^ °* ^^' ^^
deux moitiés, quand il y a un poids suspendu au milieu , sont deux courbes différentes , qui ne font que se raccorder ou qui ont iipe tangente commune et. le môme rayon de courbure à leur jonction.
S 2. Raccordements à tous les points où il y a des forces isolées^ ou discontinuité d'action. Petits angles résultant des glissements à ces points. — La môme chose s'observera constanunent par la suite. En tous les points des prismes fléchis où il y a des forces extérieures isolées, comme en tous ceux où les forces réparties changent d'intensité par unité de longueur, la courbe change aussi. Il n'est pas nécessaire, pour avoir la suite de ces changements, de recourir aux formules de discontinuité , employées par Poisson , principalement au n° 32/i de la deuxième édition (1833) de son Traité de mécanique ; on peut établir successivement les équations des diverses parties, en déterminant les constantes de manière qu'à leurs jonctions elles aient, avec le môme rayon de coiu*bure, une tangente commune , à moins qu'on ne tienne compte des glissements , car alors (voyez notes des n"' 152 à 155) les deux tangentes doivent faire entre elles un petit angle.
S 3. Approximation un peu plus grande de la flèche de cour^ hure î et de V angle a des inclinaisons extrêmes pour la pièce posée et chargée uniformément , avec un poids additionnel au milieu. — En raisonnant comme au $ 1 de la note du n*" 87, et en supposant que la pièce supporte, outre la charge 2P au milieu, le poids 2pa réparti uniformément sur sa longueur, on peut poser une équation d'équilibre (dont le dernier terme n'est qu'approché).
^2 IbLCX. 1. RÈâlSTÀNGE DE& SOLIDES.
81. Pour appUquerlesrésuliaUpràoédbttUàuneorpidoiiDëy il faudra substituer à la place de » Texpreasiûii du monml de flexion qui convient à la figure de la section transversale de ee corps, conformément aux n*' 80 et suivants. On attribuera à la constante E (n"* 77) la valeur qui amvient à la nature du corps et qui doit être déterminée par l'observation.
Les expériences les plus propres à déterminer cette valeiir consistent à placer horizontalement im solide priamatiquô aiff deux appuis, à le charger au milieu d'un poids et à observer la flèche de la courbure produite par ce poids. Si la section transversale du solide est un rectangle (Pig. 9) dont les oôlés soient
* et c, on a (n'8i), ^=E — , et (n*87) f=^ ^ : donc
éxf ces « '^ 2cÔ8«
et en tirer» de môme, deux équations entre les Uiooimues a et -•
Elles sont compliquées et ne peuvent se résoudre que par tàtonne-
ment en attribuant des valeurs numériques à — et ^-— , Mais
nous pouvons nous contenter, pour avoir une formule génènile donnant une approximation, de retrancher les valeurs
obtenues, ^ la un du S 4 de la note du n** 89, pour une pièoe encastrée et uniformément chargée, des valeurs des mêmes quaniilée obtenues à la fin du $ 1 de la note du n" 87, en mettant, dans çelles-cU P +pa au lieu de P, réaction verticale de chaque appui; ce qui donne
AIT. 111. PLBXION. 83
aiPJ2fl)» (la)»
^"^ E 4.6c»' A.fc»./
ia étant rintervalie des appuis et 2P le poids placé au milieu de la longueur du solide.
Si la section transversale est un cercle^ on a
2PJ2«r E-2P-M.
r désignant le rayon du cercle.
92. On doit quelquefois tenir compte de Faction du poids du solide. On y parviendra, d'après le n" 90, en ajoutant à 2P les 5/8 de ce poids. Ainsi^ en le désignant par 2ii , on a pour le cas d'une section rectangulaire
et pour le cas d'une section circulaire ' E 127:. r*' V ^8 / i2itr*./'\^
(*) $ 1. Généralisation et approxynaiion plus grande. — Quelle que soit la section dont nous appellerons 1 le moment d'inertie, et qu'o/i suppose sollicitée parallèlement à Vun de ses axes principaux (note du n"* 83} , on a
Plus approximativement, en se servant de la valeur développée de
L en ~ de la fin duS3 de la note du n? 90, et en se fondant sur ce a £1
•^ en — a El
qu'en général, par le retour des restes suivi d'une division :
êipres»ionY=:AX + CX»+ donne ^"^ Y l^"*" Â (â) "^ J
El on tirera la valeur de ^, d'où
su SECT. 1. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
95. On remarquera enfin qu'il n'est pas nécessaire de connaître les valeurs absolues du poids placé au milieu du solide et de la flèche de courbure correspondante^ mais seulement Taccroissement de la flèche de courbure correspondant à un accroissement donné de ce poids. En efiet, nommant P',P' deux valeurs successives de P, et f*, f les deux valeurs correspondantes de /*, l'une ou l'autre des équations précédentes donne pour une section rectangulaire
Nous allons maintenant exposer les résultats des expériences connues^ d'après lesquelles on peut déterminer les valeurs de la constante E qui conviennent à divers corps. Ces valeurs ne peuvent être données exactement qu'au moyen d'expériences
'-l'"*.^; «/[' + , (,p^5,p.j' WJ
J 2. Emploi de la flexion circulaire, — M. Ernest Lamarle a fait, àGand (*), des expériences sur lesquelles nous reviendrons, où des pièces horizontales étaient fléchies par deux poids égaux P suspendus & des distances égales k des extrémités soutenues ; en sorte que le
El
moment de flexion — , entre les deux points de suspension des
poids, était constant et égal à celui P^* de chacun des couples qui agissaient de part et d'autre. En appelant 2a la distance de ces points,/ la flèche au-dessous de leur niveau, on a a* +/*= 2p/,
a' 4- f* d'où l'expression E==PAr-2jy- qui est exacte et non pas simplement approximative. M. Lamarle observe que puisque toute la partie 2a de la pièce a une é^ale courbure , ce mode d'expérimentation est plus propre à donner la valeur moyenne du coefficient E pour toute la pièce, ainsi que celle de la limite des dilatations sans
(i) Premier mémoire ttir la flexion du bois. Rruxellei, 4844. EiiraU des yin-* noies des travaux publia de la Belgique,
ART. m. FLEXION. 85
dans lesquelles la flexion est fort petite. Quand l'extension ou la compression des fibres approchent du terme où la rupture doit avoir lieu, la résistance de ces fibres cesse ordinairement d'être exactement proportionnelle à l'extension ou à la compression, comme on l'a supposé n»* 76 et 77 ; ce que l'on exprime en disant que l'élasticité est altérée (*).
94 à iii (**).
partie permanente, que les expériences ordinaires où le poids 2P est au milieu et où la courbure est nulle aux extrémités.
(♦) S 1. Observation relative à rélasticité.-^fious avons dit au S 8 de la note du n* 21, que cette propriété subsistait entière après que la contexture a été modifiée, et que si Ton défalquait, après chaque mesure , les parties permanentes ou persistantes des extensions, compressions, flexions ou torsions,- le reste était encore trouvé proportionnel aux efforts, avec des coefficients de proportionnalité ou d'élasticité généralement peu ou point différents de ce quMls étaient primitivement
$ 2. Approximation plus grande pour E. — De la différence de
deux expressions*^, — comme celle de - de la fin du $ 3 de la
note du n* 90 on tirera, en opérant comme au S 1 de celle du n*92.
(2P^^~2P')(2a)» r 72(2P^^-f 2pa)»— (2P^+ 2pa)» //^-A»"] ^"^ ÛS.IC/'-/) L "^ 7 (2P"--2P')» \ 2a y J
Par exemple si le rapport •'-y-^ delà fièche additionnelle à la
longueur est 1/30, et si F = 0, la quantité entre crochets, par laquelle il faut^nultipller la formule du texte, est
1 + ou
M37slg=l/2, et 1,027 si ?p« 1/3.
(*♦) Par la môme raison qu'aux notes des n** û à 20 et des n" 22 à 75, relatives ^ la compression et à Textension, on renvoie après le
8(1 SECr. 1. RÉSISTAMCIi DES SOLIDES.
ARTIOiE IV.
DC Là RCSISTAKiCE d'DN SOLIDE PRISMATIQUE A LA BUPTUBE PRODUIT! , PAR nu EFFORT piRIGÉ PERPENDICULAIREMENT A LA LONGUEUR DE CI SOLIDE.
112. Les fibres des corps^ quand on les soumet à des ezteiH sions ou à des accourcissements très-petits, s'étendent ou s'accourcissent de la même quantité sous un même poids, comme on Fa dit n"« 76 et 77. Alors, si la section transversale est rectaogulaire, les fibres dont la longueur ne varie pas lors de la flexioB du corps sont au milieu de la hauteur de cette sectio^. Quand les variations de longueur des fibres sont plus considéraUeSy ces fibres peuvent, sous le même effort, s'étendre plus ou moins qu'elles ne s accourcissent. Alors les fibres invariables s'éloignent ou s'approchent de la face qui devient convexe lors de la flexion. La rupture a lieu quand les fibres étendues ne peuvent plus l'être davantage sans se séparer, ou quand les fibres oom* primées ne peuvent plus l'être davantage sans s'écraser.
La rupture s'opère d'une manière différente selon les corps. Dans les pierres, le verre, les métaux fondus. Il se fait une séparation .brusque et totale sur toute la hauteur de la section. Dans les bois, les fibres sont écrasées vers la face concave, et arrachées irrégulièrement vers la face convexe. Dans les métaux forgés , la rupture n'est pas toujours accompagnée d'une séparation totale ou partielle.'Les molécules, sans cesser d'être adhérentes, paraissent avoir pris près de la section de rupture de notivellea po-
n* 168 au complément des articles I à VI, ces n** d« 94 à 111, contenant des résultats d'expériences, auxquels enjoindra ceux fort nombreux qui ont été obtenus depuis 1833.
QuMl nous suffise de dire ici , pour donner une idée générale des valeurs du nombre E, et nous mettre à même de présenter quelques exemples de calcul numérique , qu'on a environ , pour le bois de e))ÔBep^ desapfn, Essl200 ooo ooo ; pour la far, £^SOOOPOOSOOO; pour 1» fonte, E =? 13 ooo oso 000.
ABT. IY% BDPriniS PAR PLEXIOS. » 87
sitionsd'àluilibreyM vertu desquelles la figuredu solide achangé. Les conditions de la rupture dépendent de l'équilibre qui s'établît entre les forces qui tendent à rompre les corps, et les résistances dues aux forces développées par l'effet des extensions et compressions des fibres dans la section transversale où la rupture va s'opérer. Pour évaluer exactement ces résistances^ il fisiudrait connaître»: i*" l'axe d'équilibre où sont placées les fibres invariables; 2* la valeur de la force produite dans une fibre par une extension ou une compression donnée. A défaut de ces connaissances, que Ton ne pourrait acquérir que par des expériences ^licates , on est obligé , pour obtenir au moins des évaluations approximatives, de recourir à des hypothèses.
113. L'hypothèse la plus simple, et généralement la moins éloignée de la vérité , consiste à admettre que les résistances des fibres , à l'instant où la rupture va s'opérer, sont encore proportionnelles aux extensions ou compressions de ces fibres, comme elles sont dilns le cas d'une flexion très-petite. Alors l'état de la section transversale du corps, à l'instant où la rupture va s'opérer, ne diffère point de l'état considéré dans les n®*77 et suivants. Seulement il faut concevoir que la fibre placée à la face convexe qui est la plus étendue , ou la fibre placée à la face concave qui est la plus accourcie, subissent le degré d'allongement ou d'accroissement qui est immédiatement suivi de la rupture.
La situation de Taxe d'équilibre, où sont placées les fibres invariables, se détcBminera toujours par la même condition géométrique énoncée n** 78. Supposons cet axe ainsi déterminé, et conservons les dénominations du n® 77, qui se rapportent k la Fig. 1 ; appeloils de plus
t/ la distance à l'axe d'équilibre aa' de la fibre extrême située à la face convexe ou à la face concave du solide, qui est prête i rompre;
R une constante exprimant la force nécessaire pour rompre un prisme dont la section transversale est l'unité superfi* rjelle, tiré dans le aeiig de latongueur.
En remarquant que la résistance des fibres situées à la distance v' de Taxe ad est dudv . R^ et que la résistance des fibres situées
Rw à la distance v du même axe est dudv— \ on aura pour l'expression de la somme des moments de ces résistances^ pris par rapport à Taxe aa'.
Nous nommerons cette expression moment de rupture du corps, et nous la désignerons par la lettre r (*).
(*) S 1. Deuorihne expression du moment de flexion. — Nous met tons ici r au lieu de p déjà employé par Navier (n** 77, 86) pour le rayon de courbure. La dénomination moment de rupture n'a pas été adoptée par ses successeurs. M. de Guiilebon, l'un deux, a fait observer que la formule ci-dessus, susceptible d'être écrite, avec les simplifications de la note du n° 80
n'est autre chose qu'une deuxième expression du moment de flexion
El
M qui a reçu à la même note une première expression M = — ; Rdé-
P signant, dans la deuxième, Teffort supporté par une fibre à la distance v' de la ligne des fibres invariables, pour l'unité superficielle de sa section; et cette distance peut être arbitraire au lieu d'être la plus grande.
S 2. -Cette deuxième expression ou équation M=R —, est tout aussi
El exacte que la première 'M^ — daris les mêmes limites. Son établissement direct et simple. — Elle est exacte comme l'autre, tant que les proportions des extensions et des compressions n'ont pas encore dépassé les limites de leur égalité sous des efibrts égaux et opposés et de leur proportionnalité à ces efforts , limites où l'on se tient ordinairement en définitive, comme on verra, lorsqu'on l'applique. On
peut l'établir d'une manière directe ainsi que celle i rd<D=0, don-
(Don* 118).
nant les fibres invariables, sans invoquer le n* 78 et sans môme par-
1er du coeflQcient d'élasticité E ni de la courbure -, en admettant
P seulement, comme on a fait au n" 77 et aux notes, que les fibres résistent à l'extension comme si elles étaient isolées et que les longueurs des petites portions comprises entre deux sections voisines, senties mêmes que si ces sections étaient restées des plans. En effet, sur ces deux plans très-voisins il y a une ligne, parallèle à leur intersection, à travers laquelle les portions de fibre n'ont pas varié de longueur, et les dilatations éprouvées par les autres sont proportionnelles à leurs distances r, t/ à cette ligne, en sorte que R -7 dw
exprime la résistance ou tension de celle qui est située à la distance v et dont la section est dco, si les résistances sont restées dans le même rapport que ces dilatations positives ou négatives; d'où il suit que l'équilibre de translation et l'équilibre de rotation de la partie du prisme comprise entre la section la et une extrémité, ont bien pour
expressions — /î?dci)r=o et-Jv^dtù = le moment M, autour de la même ligne, des forces extérieures agissant sur cette partie.
§ 3. Elle n^est pas applicable au delà de ces limiies, si ce n'est en faisant varier le coefficient R qui représente alors autre chose que ce que donnent les expériences de rupture par extension ou compression longitudinale, — C(w de sections ou semblables ou ramenables les unes aux autres par augmentation des ordonnées ou des abscisses, — Mais les dilatations cessent pour l'ordinaire, longtemps avant la rupture, d'être proportionnelles aux efforts qui les produisent {% 8 de la note du n' 21) , et les contractions d'être égales aux dilatations pour mêmes efforts ; aussi l'équation précédente
M =R-; qu'on peut écrire P =R — ; en appelant 2P la force transversale agissant^u milieu d'une pièce de longueur 2a appuyée aux deux bouts (n'* 90, 122), ne donne pas, même approximativement, la grandeur que doit avoir cette force 2P pour produire la rupture immédiate ou prochaine, en y mettant pour R la valeur qui résulte des expériences de rupture par traction et pour v' l'ordonnée des
90 SECT. 1. AÈSlâ^TÀNCI^ IH^ âOLIDKS.
