DU D* IIS

fibres les ploi tendues du côté devenu oonveiDe. On n't^ilteet pu

davantajg^ cette grandeur au moyen de Téquation toute pareille

M = R'i. ou P=B'^

dans laquelle v" est l'ordonnée des fibres qui sont les plus comprimées du côté devenu concave, et R' la force de compression produisant une contraction longitudinale qui entraîne des dilatations transversales reconnues capables de disjoindre latéralement les fibres (S 7, B de la note du n» 3), coefficient qui peut être fourni directement aussi (S 9 de id.) par des expériences d'écrasement» et qui^ très-supérieur à R pour les métaux, lui est généraleniciit iiM* rieur pour les bois.

On trouve bien, il est vrai, en faisant des expériences sur des pièces rectangulaires, que la force 2P rompant par flexion, est nonseulement en raison inverse de la longueur 2a (ce qui doit avoir lieu pour toutes les pièces prismatiques), mais encore, en raison directe de la largeur b et du carré c* de l'épaisseur ou hauteur des sections

conformément à l'équation qui, pour I = tô t ^'= s prend la forme

P= R TT- ; et l'on verra, à la note du n° 151, qu'on a la même chose oa

pour toutes les sectionssemblables, ou pour toutes cellesqui, comma le rectangle ou l'ellipse, peuvent se transformer les unes dans les autres en amplifiant ou réduisant dans une même proportion toutos les abscisses ou toutes les coordonnées. Mais ce qu'on en tire alors pour R, après des expériences de rupture par flexion, est plus grand que la valeur de ce coefficient déduite d'expériences de rupture par extension et en est souvent plus que double, par exemple pour les pièces de fonte à section rectangle (ce qu'on expliquera à la note du n« 151). Et, pour (Jes sections de diverses formes comparées non ramçnables ainsi les unes aux autres, les expériences de rupture par flexion ne sauraient même être représentées par une équation telle que P=R — -, avec un coefficient R quelconque, à moins

qu*on ne te fasse varier pour même matière avec la forme des sec* tieps , et néfie av^o leur situation par rapport à la direotlûQ des

▲ftT. IV. RUPTUfti( P4R fLEJLION. 91

(DU n« tIS).

forces extérieures ; car, pour les pièces de foute eu T, par exemple, il faudrait un nombre R plus grand en les retournant de manière k mettre en haut la plus petite nervure d^abord en bas (ci-iH[>rè8 note du n* 120).

C'est seulement au moyen d'une pareille adaptation de la valeur variable du coefficient R aux diverses formes et situations des

sections qu'on peut arriver à prévoir par la formule ? = R — 7 le

poids capable de rompre les pièces d'échafaudages , barraquements et autres constructions temporaires dans lesquelles on peut approcher bien près du maximum des charges moyennant une surveillance active et des précautioz^ journalières (voyez note du n^ 151)»

§ li' Elle donne cependant la résisfancê à rénervation cuà im rupture éloignée, — Coefficient R^ de cette résistance permanente. — Heureusement que les calculs les plus fréquents et les plus utiles sont ceux de résistance des constructions permanentes. Or l'observation prouve que pour celles-ci (ainsi qu'on a dit & la ftn de la note du n' 21 et que l'exprimera Navier à la fin du n* 151 \ si Ton veut prévenir une rupture plus ou moins éloignée, due à l'altération de la contexture ou à l'énervation de *a matière avec le temps et iei circonstances accidentelles, il faut que la plus grande dilatatioa ou contraction longitudinale excède très-peu ou point celles qui varient d'une manière exactement proportionnelle aux efforts qui les produisent, fin conséquence en appelant, comme à la fin dei notes des n" 31 et 3,

les efforts (bien moindres que ceux qui sont appelés R et RO, répondant par unité de section à cette dilatation ou contraction, limite de celles que les fibres peuvent supporter indéfiniment sans danger, les équations

M=OU<Rop, M = OU<Ro';7,

expriment aussi exactement qu'on peut le désirer la double condition de non-énervation ou de stabilité indéfinie de la cohésion de la matière* condition à remplir partout, pour les fibres les plus éten-

(DU D» ItS).

dues du côté devenu convexe et pour les fibres les plus contractées du côté devenu concave.

Ainsi la recherche adéquations capables de représenter des états de flexion plus voisins de la rupture, et les changements successifs de position de Vaxe neutre ou ligne des fibres invariables n'a qa*un intérêt secondaire (ci-après note du n" 151) ; et les expériences sur la manière dont les pièces rompent, ou plutôt dont les ruptures s'achèvent une fois commencées, ne peuvent nullement être invoquées contre la théorie qui nous a conduits à Téquation précédente dont l'emploi permet (et c'est là l'essentiel) de prévenir le cornmencement de la rupture ou plutôt de l'énervation , sans s'occuper de ce qui suit, dont la considération peut seulement aider à la détermination des coeflacients Rq, R'o des formules.

S 6. Restriction relative à la nécessité de prendre en considération les glissements quelque/ois. — Nous observerons toutefois que

l'équation M=Bo -.n'exprime complètement la condition de dtTa-

tations au plus égales à — ° que quand c'est bien dans le sens des

fibres qu'a lieu la dilatation la plus grande; or, cela exige qu'il n^ ait pas de glissements transversaux ou qu'ils soient négligeables « car ils produisent des écartements moléculaires se composant avec les écartements longitudinaux pour amener un écartement résultant, légèrement oblique aux fibres. Nous apprendrons plus loin, (note des n"* 152 à 155) à calculer cette influence des glissements, qui peut généralement être négligée lorsque le plus grand bras de levier des forces qui fléchissent excède sensiblement l'épaisseur de la pièce, ainsi que Coulomb l'aVait pressenti (mémoire cité de 1773).

S 6. Èquatùyn d'élasticité. Équation de cohésion ou de stabilité. Section dangereuse. Point dangereux^ Formes d'égale résistance.^ L*équation

et réquation

Maximum de M = an pins Ra -^ on R' —

dont les analogues sont P = £1 , P =Ro(i) ou R'oo pour le cas simple de Faction longitudinale (notes des n"* 21 et 3), seront quelquefois appelées, la première, équation d'élasticité^ et la seconde, équation de cohésion 'permanente ^ ou de stabilité^ ou de résistance à la rupture éloignée.

Celle-ci (en nous bornant, pour fixer les idées, à considérer ici le côté des fibres étendues) donne

-> = maximum de =-, • ce qui servira à régler les dimensions transversales d'une pièce prismatique d'après le nombre Ro relatif à sa matière,, et d'après la plus grande valeur du moment variable M des forces qui la sollicitent

La section pour laquelle ce moment est le plus grand a été appelée par M. Poncelet, section dangereuse; et le point où elle est traversée par la fibre la plus tendue et le plus en danger de rompre, point dangereux. Cette section se trouve au milieu de la pièce lorsqu'elle est posée sur deux appuis et sollicitée comme aux n"* 122, 125, 126, et se trouve à l'encastrement dans le cas des n"* 121, 1241. Le point dangereux est celui qui répond à la plus grande ordonnée f =i/ quand on ne tient pas compte des glissements.

En effaçant Maximum ou en posant -7=:^ on a une équation

dont on tire des dimensions transversales variables avec lemomentM, ou avec les distances du point d'application des forces et telles que toutes les sections seront également dangereuses ou ne fatigueront pas plus Tune que l'autre. On reviendra aux n"' i!i98 à 507, section quatrième , sur ces formes dites dégale résistance ou de moindre volume considérées par Galilée dès l'origine de la théorie de la résistance des solides.

S 7. Cas où il faut poser V équation délasticité, ou calculer les déplacements des points^ avant d établir V équation de cohésion, — Celle-ci peut être posée directement dans les problèmes particuliers , toutes les fois que le moment M des forces sollicitantes est connu à pi'iori^ ou déterminable directement aussi. Mais il faut se servir

9/4 S£CT. 1. RliSlSTANCL DES SOLIDES.

(Du n* ttS).

d^abord de U première, ou calculer prôalableneat )ea fl^sûcHiis oi ks déplaeements des pointi i

i* Lorsque oea^ déplaoeœeata BodifleQt seipiblemeal; lea briMide lavierqui entrent dana M, comme U arrive notamment pour las pièces sollicitées debout ou très -obliquement

a* Lorsque tout ou partie des forces qui entrent dans ce même moment sont des réactions de points fixes ou des aetiooa muliidlfls de pièces , ne pouvant être fournies en fonction des forces données par les seules équations d^équilibre de translation et de rotation générale de la statique élémentaire. Alors il faut (comme on verra surtout à la section quatrième), poser d^abord des expressions des déplacements en fonction des forces tant connues qn^inconnoes, afin de déduire celles-ci des conditions que les déplacements doivent remplir aux points particuliers où elles agissent, par exemple delà nullité de ces déplacements aux points fixes, de leur direetioa ebligée aux encastrements, de leur égalité pour deux pièces on des portions d'une même pièce à leur Jonction, etc., en ne ealcolanl, au reste, à chaque Jonction ou encaste^ment, que les résultantes et les moments résultants des réactions inconnues quand elles sont en nombre indéfini (ainsi qu*on Ta fait voir en 1837-1838 à des feuilles lithographiées de leçons de mécanique à TÉcole des ponts et chaussées, n"" /i6, Û7, hSy /i9, 82, et en 1843 aux Comptes rendi» de TAcademie, t XYil, p. 95& et p. 10S25 à 1028).

3° Enfin, lorsqu*il y a lieu de composer ensemble des efi'ets simultanés de divers genres , comme une flexion avec un glissement ou une torsion. (Voyez notes des n" 162 à 165, et de Tarticle V).

U est d*ailleurs toujours utile de revenir souvent à la considération des déplacements et des dilatations, quand ce ne serait que pour ne pas se laisser égarer, comme ont fait quelques auteurs anglais, par la considération exclusive des efforts intérieurs qui ne sont pas directement, comme les dilatations, ce qu'il est nécessaire de limiter, et qui n*ont pas toujours entre eux des rapports simples.

§ 8. Cas ^^ ^ou ^, augmente en tronquant la section, — Supposer ahrs la troncature qui donne à ce quotient sa plus grande valeur, —La rupture ou la dii^ûnction des fibres les plus tendues

iiî, IV. ftVPmiUI fAM PUIK».

(DQ n* ttS).

OU les plus compriméei n^entralne pas toujours celle des autres fibres, et souvent la soustraction d^un certain nombre d'entre

elles ne fait qu'augmenter la grandeur de ee quodeot -, oo -^ par

lequel nous estimons la résistance spécifique des diverses sections.

Soit, par exemple, un prisme à section carrée ABA'B' sollicité à

Iléohir dans le plan dei diagonales BB'» et dont oa suppose d*abord

que U mftUèf^ (oomne las métaux fondus), est bien plus scyette à

se désagréger ou à s'énerver par la tension que par une compression égale. Soit retranché de cette section, le triangle isocèle cBd traversé par les fibres les plus dilatées. On aperçoit de suite, si les côtés Bc=Bd de ce triangle sont très-petits, que

la fraction -7 augmentera» car» en

même temps que le numérateur ne sera diminué que d'une quantité très-petite du second ordre, le dénominateur le sera d'une quantité do premier ordre.

Pour voir jusqu'où va une pareille augmentation de ^ qui primitivement, si 6 est le côté du carré, avait une valeur donnée par

appelons t la proportion de la troncature des côtés supérieurs 4u carré, en sorte que Bc = Bd =y-^- On obtiendra, d'abord, la position du centre de gravité G de la section tronquée, ou sa distance eo à la diagonale Ak\ en divisant par l'aire nouvelle de la seetioo :

son moment statique par rapport à cette diagonale. Comme le moment de la section primitive ou entière est nul, le moment (aussi vutique) de la sectioB nouv^e est égal, au i^gne près, à edul du triangie retranehé eBd» ou à

yO SECT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.

(DanoftS}.

— (,"2 — s^-X-j-TT^^^ ^^'* on a donc pour la distance cherchée

6>/2 3t»-2tV

d'où, pour la distance nouvelle Gi = v\ de la ligne des fibres invariables 7iGn parallèle à AA\ à celle cd ou aux fibres les plus tendues

,,/-W2.- ,x . ^v/2 3r*-2T»6v/2 6-6T-fT* ^i--2"^^""^^"^"6"- 2— r'*""6'' 2-y' ' Pour avoir le moment d'inertie Ij nouveau ou autour de nGn^ prenons-le d'abord autour de la diagonale AA'. On aura, en partageant la figure en deux demi-carrés AB'A', Adp dont les côtés sont 6, (i — y) 6, et en un parallélogramme A'cdp dont la base est y^V^ ^t

lahauteur (l— y) ~, la valeur suivante de ce moment autour de AA':

d'où, en retranchant (paragraphes de la note du n* 81, p. AS), u,,xGÔ'=6«^::il\[^. fc^J* et en divisant part/,

I^^ 12 — 62t* -f ASt^— ISt^ -f T^ t?'i""6v^2' 12 — 12y+2y»

Le maximum de ce quotient a lieu pour r = 0,24iSiO et a pour valeur

en sorte que pour avoir théoriquement la résistance spécifique la plus grande possible, il faut retrancher, de la section , un triangle dont les côtés soient les 0,2M0 (ou presque le quart) de ceux du carré, et cette résistance est, ainsi, plus forte des^0,113A, ou de 1/9 à 1/8, que celle qui est offerte par le carré non tronqué.

On aurait le même résultat, mais en faisant la troncature à l'angle opposé, si la matière était sensiblement plus sujette h s'énerver par

(DU n« IIS).

contraction suivie de disjonction latérale (S 8 de la note du n" 3), que par dilatation des fibres, comme il arrive pour certains bois.

Mais si les fibres ont une égale disposition à se désagréger pour des dilatations et pour des contractions égales, il faut supposer la soustraction simultanée de deux petits triangles égaux Be/; B'ç/'. En appelant toujours 76 leurs côtés, on trouve pour le nouvel état

Le maximum de cette expression a lieu pour

résultat déjà signalé par Emerson (<), mais en rappliquant aune section triangulaire telle que ABA' et non à une section carrée, parce qu*il supposait la matière incompressible ^ ce qui revient à placer le neuiral axis ou la ligne des fibres invariables sur la base inférieure. De cette troncature du carré du i/9 des deux côtés il résulte

ou une augmentation des 0,0535 O'* de jr à — dans - .

Si Ton considère comme Emerson la section triangulaire isocèle, mais en faisant passer la ligne neutre ou des fibres invariables par le centre de gravité du trapèze qui résulte de la troncature au sommet , on trouve , par les dernières formules du § 3 de la note du n* 82 :

**"-72 rp? »tj--g-Cl Vfj;^^'

Le maximum de -f répondra à Y=0,i30^ et aura pour va-

(*) Emer$on*$ Mechania, sccU VHI , p. 414'. Ce passage est cité par M. Trcdgold ( Force du fer coulé, traduction de 18Î6, n© 85) , cl par M. nodgkinson ( Bêcherches expérimentaUt, etc. 4846, p. 76 de la iraducUon de M. Pirci, insérée cd 4855 aux Annula desponU et ehau$9ée$, 4*' scmcsire).

98 StCr. 1. RÉSISTANCE DES'sOLlDtS.

(Du H» tlS).

leur i'ois,0922 celle -. relative au triangle non manqué.

' Cette augmentation de -; par des troncatures a lieu même lorsque

la section , au lieu d'offrir des pointes, se termine par des parties arrondies B, B'; car, si l'on en retranche deux segments cM^ c'B'd' dont les cordes soient parallèles à Taxe Ou du moment, et dont les flèches

soient très-petites de Tordre 1, le dénominateur de — diminuera

d'une quantité du même ordre, mais le numérateur diminuera d*une quantité bien plus petite puisqu'elle sera de Tordre 3/2, d'où il suit bien que cette troncature aura augmenté le quotient

Par exemple soit une section circulaire pour laquelle on a, r étant le rayon, et le moment étant pris autour du diamètre Ou

- KT* , I ÎTT*

Soit v" 1& flèche très-petite des aegments

retranchés, supposés égaux ; leur corde est

2 )J^r (2r— T'*) ; l*aJre de chacun est à peu près

le moment d'inertie nouveau est environ Ii = ?- — r*.|r^v'2Tt et comme la nouvelle valeur de v' est v\=r (i — t)> 1*oa & » ^ <^^ près de quantités d'ordre supérieur, ^ = -y Tl-f y 3^ r) •

dont le maximum, répondant à y = ëtâ =0>0193, est

On obtient la solution exacte en appelant 2a l'angle au centre de chacun des deux segments retranchés, et en se servant de la quatrième formule du § 3 de fa note du n* 8/i, qui donne

(Du n« 113).

en sorte que le maximum de -j- , répondant à a = 0,1363 ^ , ou à Y = 0,0222, est

et donne ainsi une résistance surpassant des 0,00693 == tt^ environ celle qu'on avait avant la troncature, i'our une section rectangle, sollicitée parallèlement à deux côtéî^,

le quotient - n'augmente pas en diminuant ainsi la hauteur. Mais

5 il en peut être autrement d'une section composée

-îb' deplusieurs rectangles, telle que lacroixd'équerre

ayant latéralement deux parties de largeur^ 6' et

' de hauteur c\ et au milieu une partie de lar- ♦— b-f- b'— > geur b et de hauteur c> c', ce qui fait deux nervures de largeur b et de saillie ^ (c—C) sur un rectangle de largeur 6 + &' et de hauteur c'. On a pour cette section

Si Ton réduit à c^ la hauteur c du rectangle comprenant la nervure, et si Ton appelle -:f la nouvelle valeur de - qui en résulte, on a la différence

i, I , . b'c'^ — bcc^ (c + €,)

Cette différence sera positive pour toute valeur de c, plus pctiio 6'c'» i / 1\* que c si Ton * T^ "*" 4> l * + 2J ' ^'^

alors toute diminution de la hauteur des nervures augmentera le

100 SECT. I. I\ÊSlSTA^CE DES SOLIDES.

(Du D'il»),

quotient p par lequel nous mesurons la résistance à la rupture. Et si cette condition 6'c^> 2.^c', n'est pas remplie, ou si^ diminue

d'abord quand on réduit très-peu la hauteur c, on rendra toujours ce quotient plus grand qu'il n*était primitivement en prenant c^ suffisamment petit ; mais comme c^ ne saurait être au-dessous de <f il faudra qu*on ait pour cela

6'c'»> bc& (c + C) , ou 6'c'«> bc^(i+Ç\.

Toutes les fois que cette dernière condition sera satisfaite, ou que la résistance à la rupture offerte par la partie ô'xc*, excédera

M 4. 1 j fois (moins de deux fois) la résistance à la rupture offerte

par la partie bxc^on augmentera —, en supprimant les deux ner*

vures ou saillies b x — ^.

L'existence de fibres inutiles, qui rompent ou s'énervent d'abord sans le reste, ne saurait diminuer en rien la résistance d'un solide à la rupture. Il faudra donc, toutes les fois que cette circonstance

se présentera, c'est-à-dire lorsque le quotient - augmentera en

tronquant la section comme on vient de voir, prendre pour valeur définitive de ce quotient sa plus grande valeur, résultant d'une troncature convenable, faite soit du côté des fibres étendues, soit du côté des fibres comprimées, soit des deux côtés à la fois suivant la nature de la matière.

Ainsi, pour la section carrée sollicitée diagonalement, si la cohésion résiste sensiblement plus aux compressions qu'aux extensions

6' I ou réciproquement, on prendra i foi», 1134 la valeur ^-^ de -> relative à la section entière ou non tronquée, et l'on prendra ifou,0d35 seulement si la cohésion s^altère autant par des compressions que par des extensions égales^ dépassant une certaine limite, et après le même temps d'action.

Dans celte dernière supposition, quHl faudra toiijours/aire par

(Du no IIS).

prudence s'il y a incertitude (va qu'elle est la plus défavorable) , si la section est circulaire, on prendra -7 égal à 1 fo>s00603 la valeur — relative à une troncature nulle.

Et si la section est un rectangle avec nervure faisant saillie sur ses bases, on calculera -7 en supprimant les nervures lorsqu'on aura

(figure d'autre part) b'&*> bà^ (i -h^Y

Et ainsi des autres.

On sera même assuré d'une résistance un peu supérieure h celles

qui seront mesurées par les valeurs de -; ainsi augmentées; car les

fibres surtendues ou surpressées que nous regardons comme inutiles parce que leur soustraction ne fait qu'accroître ce quotient, ne laissent pas, tout en éprouvant un commencement de désagrégation, d'apporter une quote part à la résistance totale. Elles ne rompent pas d'une manière patente et complète si le reste ne rompt pas ; tout au plus subissent-elles ces petites disjonctions intérieures et Invisibles que nous avons dit constituer, probablement, l'énervation de la matière (fin du § 9 de la note du n" 21), et qui ne font que diminuer la section effectivement résistante de chacune des fibres sans l'annuler. (Voyez aussi § 16 ci après).

Aussi , dans une expérience comparative de rupture immédiate faite par M. Ilodgkinson, un prisme triangulaire a offert plus de résistance avant qu'après la troncature du sommet de la section (*)•

On peut donc avec sécurité adopter, pour les sections entières,

les valeurs les plus grandes de -, relatives aux sections tronquées ,

c'est-à-dire 1,0535 ^-^ POur le carré sollicité diagonalement,

Tzr^ 1,0069 -j- pour le cercle, etc.

On voit au reste que les coefficients numériques ajoutent peu aux

(*) Recherches^ etc., citées tout à l'heure. Les Qguret 53, 54 de la traduciioo intérùe aux Ann, des ponts et ch.^ en 1855, ne sont pat en rapport avec les pages 73 (eipériences 42 et 13) et 76 du texte, od l'on ne parle que de sections pleines et ayant d'autres proportions.

(Du a" IIS).

valeurs de -;7 calculées pour les sections entières. Aussi, tout en

appelant l'attention sur le^ considérations qui précèdent afin d'y avoir égard dans quelques occasions, nous calculerons presque toujours par la suite les résistances sans supposer de troncatures.

§ 9. Moyen commode déposer une équation de cohésion approchée dans certains cas. — On a remarqué, à la fin de la note du n* 80, que réquation d'équilibre de rotation peut être posée autour de toute ligne tracée sur une section t» à une dislance quelconque zhd de celle

des fibres invariables, et cette équation M =■ / -^j r(v^d} dca se réduit toujours'à M = -r , vu que /tdw = 0. Il est commode de

prendre, ainsi , Taxe des moments des forces successivement autour de deux lignes /'7/i', Tm" tracées vers le haut et vers le bas d'une sec-

cAté comprima eu" ,.... ^'^" lorsqu'elle se compose

dedeux parties w', co" sépaéres par un intervalle beaucoup plus grand que leurs hauteurs, et liées entre elles par une ou deux plaques minces évidées, dont on puisse négliger la résistance et le moment d'inertie. En effet, c étant la distance des milieux de cas parties, ou des lignes lm\ V'm" supposées parallèles à Vaxe neutre Im que traversent les fibres invariables , pour que la partie w' supporte par unité superficielle la limite R des tractions non dangereuses et celle w" la limite W des pressions aussi sans danger ou ne donnant pas lieu à des dilatations transversales dangereuses ( S 3 et S 13 ) , on aura deux équations de moments très-simples :

M"=RWc autour de /'m', M' = Rw'c autour de l"m'\

où nous avons mis, aux premiers membres, des moments diffôrents M", M' afin d'embrasser le cas où les forces extérieures ont une composante longitudinale totale comme celle Q du $ 8 de la note du

i ART. IV. BUPTl/aE PAR FLEXION. 103

n* 80. On peut vérifier au reste que les seconds membres sont Iden* tiques à

v", v' étant respectivement les distances de l'W\ l'm! à la lifpie Im ou au centre de gravité de la section , car on a

toV

r"=-7-r-^c, 1,'=:-— -^,c, l = (oV«+toV'«= ,-^-^..

to + to ' w -f- w w 4" w"

Ces deux équations de moments autour de l'm\ l"m'' montrent qu'on doit, lorsque M'=:M''=:M ou lorsqu'il n'y a pas de pression ou traction longitudinale totale, proportionner les parties a>', u'' de la section aux inverses des résistances R , R' à la rupture' par traction et à la rupture par pression , et elles donnent les superficies à leur attribuer pour qu'elles fatiguent également ou que Tune ne coure pas plus de risque de rompre que l'autre. C'est par cette méthode approximative que M. Edwin Clark et d'autres ingénieurs anglais calculent les dimensions des pièces de fer laminé des ponts tabulaires qu'ils projettent , et dont la base ta et le toit u/' sont composés de cellules rectangulaires (^). Nous verrons toutefois qu'elle peut donner des résultats fautifs] (voy. $S 16 à 18 de la note du n* 130), et que si on se dispense de tenir compte de la partie verticale et des hauteurs des parties horizontales des sections à double T, on risque de se trompée quelquefois du simple au double dans

v' l'évaluation du rapport -;; des distances du centre de gravité aux

deux bases.

S 10. Détermination directe des Coefficients R, et R', de résis^ tance jwrmanente, — La difficulté principale qui se rencontre dans l'application des équations de cohésion permanente telles que

celle M ou Pa = R.p ou kÀ du cas de flexion (SS 3 à 6), et celles

(note du n« 21, S 12, et du n* 3, S ^) P=R«w • P = R> des cas d'extension et de compression simple par des forces longitudinales,

(«) The Britannia and Conway tvbular Bridges^ 4850, ou Notice tur Us ponts iuluhires, par M. Yterl, 485!.

(Du n* 118).

réside dans la détermination, pour chaque espèce de matière, de la

constante

R. ou R'. .

ou (comme le coefficient d'élasticité E est toujours facile à obtenir) dans la détermination de la dilatation ou contraction

., R. Ro

limite de celles qui n'oiTrènt aucun danger, même à la longue, même avec intermittence et petites augmentations périodiques dues aux vibrations , et eu égard aussi aux autres circonstances accidentelles dont on a parlé $ 12 de la note du n* 21.

On détermine t' ou R. , R', , lorsqu'on le peut, comme on a déjà dit alors ainsi qu'à la note du n* 3, par Texamen de constructions existantes et déjà anciennes, soumises aux mêmes causes de fatigue et de destruction, et réputées hardies^ ou n'ayant, au jugement de constructeurs expérimentés qui en ont vu s'écrouler d'autres plus légères , que tout juste les dimensions nécessaires pour résister. Comme on n'a pas souvent à sa disposition ce moyen de détermination , l'on s'est quelquefois servi , conformément à un conseil de Young (sous-note du $ 10 de la note du n* 21} d'expériences d'extension ou plutôt de flexion, en observant la dilatation ou la flèche qui commence à avoir une partie persistante sensible (ce que les Anglais appellent set ou defect of elasticy) (*) fti se tenant en deçà (*)•

(t) M. HodgkiDiOD. Expérimental researehes on tke Sirength amd oiher pr^ pertles ofaut trou. Londoo, 4846, o® 99 (ou iraductioD de M. Pirel).

(«) G'ef l ainsi que M. Tredgold a adoplé , pour coof iruire la Uble n* de TtaUi»duclion de son Practical Etsay on the Sirength of cast iron (page 26, arUde 6 de la iraduclion, Etêai sur la force du fer coulé, faite en 4896 par M. DuTerne sor U 2* édition), une valeur de Ro résultant d'une expérience (art. 45, p. 87) od um barre de bonne fonte , do 34 pouces anglais de longueur entre les deux appuis, ei de 4 pouce d'équarrissage, a commencé i prendre une flèche permanente toai use charge de 440 livres (pounds) au milieu, ce qui , en réduisant la charge à 300 Urrei (arl. 40G, p.493do la même traduction), ou en faisant SP=300, 2a = 34, 6=.c=4

dans la formule M = Ro -, ou — - — =R,^, donne ll«== 45300 /Va par pouce

carré ou 40 753 000 kilogrammes par mètre carré; ce qui répond, d*aprét la

flèche obsenrée qui èuit 0Poiim,46 et d*après les expressions t'=-?, E= /^ -

(Du D* IIS).

Mais , comme nous Tavons observé ($$ 9 et 10 de la note du n* 21) , cette partie persistante, qui se manifeste quelquefois avec les dilata-* tions les plus faibles, n'est pas un signe de perte d'élasticité ni de cohésion; et il conviendrait, en donnant une très-longue durée aux expériences, d'observer plutôt le point où la matière cesse de fCécrouir et commence à s^énerver (notes des n** 1 et 21), sauf à se tenir fortement en deçà dans l'adoption de la charge dont on déduira par les formules (exactes ordinairement jusqu'à cette valeur réduite) la limite des dilatations, ou celle des tensions, afin de laisser une large part aux circonstances accidentelles qu'on vient de rap^ peler et que le calcul ne peut embrasser.

Il convient aussi , comme a fait la commission d'enquête anglaise instituée le 27 août 18i!i7(^), de soumettre les pièces à une longue série de chocs ou bien d'alternatives de fatigue et de relâchement, afin d'apprécier l'eiTet désorganisateur de ces mouvements répétés, dont chacun peut modifier la contexture un peu autrement que leîs précédents ($ 12 de la note du n** 21).

S 11. Usage d* expériences de rupture immédiate ^ par traction ou par compression , pour des comparaisons de valeurs des coejïcients R, ou U'o relatives aux diverses variétés jd^une même matière, — Mais les expériences dont nous venons de parler % 10 sont dispendieuses

OU simplemeDl d'aprën ceUe t=— -^ (Ad de -la note du d'' 87 ci-defiui), en fai*

sanl a= 47, /•=0.46, 1^= j = î, à i= ^ = jijj =0,00083046 que

M. Tredgold propose d'adopler comme limite de la dilataUoo non dangereuie do la Ton le de Ter.

Mail U. Hodgktoson ( Expérimental regearches^ elc., ou Iraduclion française de If. l'ingénieur Pirel, aux Annulée des ponU et cAa«M«>«, 4 855, 4'riemeslre, p. 58\ oppose d'autres expériences qui paraissent prouver que la charge de 300 Ibty s'èle* tant à plus du tiers de celle qui est capable de rompre la barre de M.Tredgold , donnait probablement déjà une flèche permanente, qui eût été manirestèe par une plus longue action ou par des moyens de mesurage plus délicats. 11 pense aussi que^ous cette même charge les dilataUons et les contractions des fibres doYaient 6lre inégales pour mômes efforts et non proportionnelles à ces efforts , en sorte que U ligne neutre ne devait pas passer par le centre de gravité eomme le suppose la formule dont Tredgold a Uré les valeurs de R» et de T, que II. Hodgkinson trouve en conséquence trop fortes (voyex Complément ci-après des art. I i VI).

(I) Report of the Commisnonerë appointed to inquire into the application of iron to Railway structures, London, 48V9,

(Du n- 118).

et difficiles ; celles qui sont relatives, notamment , au point de séparation de Técrouissage et de Ténervation sont délicates et ont be* soin d*ôtre extrêmement longues pour qu'on puisse en tirer des conclusions applicables. On ne peut espérer qu'elles seront entreprises pour toutes les matières et leurs diverses variétés et qualités. En attendant , les expériences promptes et infiniment plus faciles de rupture immédiate peuvent très-bien , comme Tobserve M. Poncelet (') (et comme nous avons déjà énoncé aux $$ 9 de la note du n* 3 et 12 de celle du n" 21), fournir au moins des rapports approchés entra les nombres R« ou R'. relatifs aux diverses variétés d'une môme espèce de matériaux, comme le bois, la pierre dure ou tendre, le fer, la fonte. Connaissant donc par les constructions anciennes , etc., n, ou R', pour une variété et sachant qu'il est, par exemple, le i/8 du

C'oefficient de cohésion instantanée R ou R' = - ou de la force P

Cl)

qui fait rompre immédiatement par traction longitudinale ou par écrasement, divisée par l'aire «» de la section, on adoptera, pour les autres variétés ou provenances, aussi le 1/8 de cette charge de prompte rupture.

On n'aura pas pour cola la dilatation limita t'= -=? ou -^ égale

au 1/8 de la dilatation finale positive ou négative, puisque la proportionnalité des eflbrts aux efi*ets cesse longtemps avant Mais on aura un certain rapport aussi à peu près constant entre ces deux dilatations.

S 12. Usage {pour les mêmes comparaisons) d expériences de rupture immédiate par flexion^ Cet usage n'implique nullement la supposition fausse d'un rapport constant entre les efforts et les dilatations ou contractions jusqu'à la fin, — On peut môme , pour les comparaisons dont on vient de parler, se servir également des expériences de rupture par flexion ^ ordinairement plus faciles que celles de rupture par extension et môme par écrasement, et qui, d'ailleurs, metteot les pièces dans des circonstances plus analogues à celles où on veut les employer. Rien donc n'empêche de prendre pour les coefficients R, ou R'. relatifs à chaque matière, une fraction

(*) Introduction à la Mécanique indmtrxelle^ n« 853.

ART. lY. RUFTURB PAR FLEXION. 107

(Du D» 113).

constante de ceux R ou R' tirés de Téquation îiP = R. — ; ou

R' . ' -r,^ dans laquelle 2P représente le poids rompant immédiatement par flexion des barres de chacune des variétés de cette matière. En effet, supposons d'abord que la rupture ne se fasse que du côté étendu ou devenu convexe. Il eât bien vrai que les R ainsi obtenus ne représentent nullement (ainsi qu'on Ta montré au $ 3) la tension de la fibre la plus dilatée à Tinstant de la rupture; mais si Ton a trouvé pour une variété, au sujet de laquelle on est fixé sur R», qu'il est le i/6 du R obtenu par flexion, on peut approximativement prendre aussi le i/6 pour les autres variétés. Cela n'implique nullement la supposition fausse de la proportionnalité constante des effbrts aux dilatations des fibres Jusqu'à rupture, comme le prétendent les adversaires de la théorie. Cela consiste simplement ft ad-

mettre que la charge transversale 2P, = R, — , , susceptible d'être

portée indéfiniment sans danger par une pièce d'une certaine

forme, soumise en outre aux chances accidentelles de destruction ,

est, pour les diverses variétés, une môme fraction de celle 2P= R — -,

qui la ferait rompre au bout de peu d'instants ; ce qui est tout aussi plausible, comme approximation, que la supposition analogue faite dans le cas de la traction longitudinale dont la formule simple n'est Tobjet d'aucune attaque. Seulement , pour la flexion , cette fraction numérique devrait être un peu diflférente, selon qu'on ferait les expériences de rupture avec des barres ayant des sections rectangles ou des sections d'une autre forme (ci-après, n* 151 et sa note).

Aussi, comme Font proposé en môme temps M. Couche, ingénieur en chef professeur à l'École des mines et M. Love, ingénieur civil, il conviendrait de faire toutes les expériences de rupture sur un môme échantillon , pour lequel le second de ces deux auteurs propose une barre carrée de 0*,50 de longueur sur 0'",025 de côté, afin d'établir déjà des comparaisons avec des expériences nombreuses faites en Angleterre sur les fontes.

Les mômes choses peuvent être dites pour le côté concave ou

(Du n« 118}.

pour les fibres comprimées , si ron est certain que la rupture commence par récrasement de ce côté ($ 8 de la note du n** 3} ou par la disjonction transversale suivie, dans les bois, de la flexion en détail des fibres désunies. Adopter, pour le coefficient R.» une frac-

lion constante de R' déterminé par la formule 2P = R' -— ^ appliquée

aux expériences de rupture, c'est simplement supposer que la charge permanente non dangereuse est proportionnelle à la charge de prompte rupture pour les pièces de môme forme et de diverses variétés d*une même matière, ce qui est très-plausible évidemment. Cette distinction du côté concave ou convexe, par lequel peut commencer la rupture ou son danger éloigné, est môme inutile pour les pièces rectangulaires et généralement pour toutes celles qui ont une section symétrique par rapport à une ligne perpendiculaire au plan de flexion; car, pour ces sections, on a v'«= t/\ et

on peut se servir d'une seule formule M = R» -7, dans laquelle le

coefficient R., une fois fixé pour une variété de matière, se déterminera pour toutes les autres au moyen d'expériences de rupture sans s'embarrasser de savoir s'il représente une tension-limite ou une pression-limite.

S 13. Suite. Détermination du rapport des deux coeJJUcienis R',, Ro de maximum des pressions et du mwcimum des tensions longi^ tudinales non dangereuses des fibres. — Mais , pour les pièces à section non symétrique par rapport à cette ligne passant par le centre de gravité des sections, il est nécessaire, afin d'assurer la stabilité de la cohésion , de satisfaire à deux conditions

M-. ou<R. -7, M=ou<R'. -;;,

et par conséquent de connaître les valeurs à donner aux deux coef-