R II

ficients R., R', ou aux deux limites -^t -^ Qu'il faut imposer & la dilatation et à la contraction longitudinale des fibres.

Si leur rapport ^ était connu, l'observation de constructions Ro

éprouvées, et, ensuite, des expériences de rupture par flexion (S 12)

(Du D» 118).

faites sur des pièces à section rectangle ou autre symétrique de diverses variétés de la même matière, donneraient la valeur du plus petit de ces deux coefficients, et Tautre s'en déduirait. Mais il s'agit d'obtenir ce rapport

Pour pouvoir y arriver, rappelons qne, d*après le principe général de résistance énoncé au S /i de la note du n* 3 et appliqué déjà, S 7, aux matières d'égale contexture en tous sens, c'est par les dilatations latérales qu'elles provoquent que les contractions longitudinales amènent un danger ou un commencement de désagrégation. Appelons donc El le coefficient d'élasticité de la matière d'un prisme, dans un

sens transversal ou perpendiculaire aux arêtes ; Ri f Kt f pour ce même sens, les valeurs des quantités qui sont appelées R, Ro pour le sens longitudinal, c'est-à-dire Rt la cohésion transversale instantanée ou la force qui séparerait immédiatement la matière dans le sens transversal, sur l'unité superficielle de section parallèle aux fibres, et R.< la cohésion transversale permanente ou la force de traction, limite de celles qui peuvent être supportées sans danger un temps indéfini ; ou appelons

Rçf El

la limite des dilatations non dangereuses dans le même sens transversal.

Si n représente, comme aux notes des n** 21 et 80, le rapport des dilatations transversales aux contractions longitudinales qui

les provoquent, la dilatation transversale limite -^ répondra à

une contraction longitudinale - -rr , ou à la contraction que pro^

îj ht

duit une force de compression longitudinale E.-—- par unité de

la section «o du prisme. Ce sera la valeur de la limite R o à imposer à ces compressions ; on a donc , en divisant par R, ,

110 SLCT. 1. lltSISTAiNCE DES SOLIDES.

(Du D« 118).

Dans le second membre de cette égalité, E est connu ; le coefficient El de rélasticité transversale peut être tiré d^observations, ainsi que le rapport y), qui peut d^ailleurs être regardé comme ne variant qu*entre 1/5 et i/2 (fin du $ 5 de la note du n* 21).

Quant à la limite R.i des tractions transversales non dangereuses, on ne voit pas par quel moyen elle pourrait se déterminer.

Mais nous pouvons, comme au S 11, prendre à peu près pour

valeur du rapport -^ de deux cohésions permanentes, celui -^ des

deux cohésions instantanées, dont la seconde est connue, et dont la première, R|, peut être trouvée par une expérience facile de rupture par traction d'un petit prisme taillé dans un sens perpendiculaire aux fibres. On peut donc poser approximativement

Ko 7) E( R

Cette expression sq réduit à - lorsqu'il y a égalité de contexturo

dans les deux sens, et par conséquent , comme nous avons déjà dit, si l'égalité a lieu dans tous» à

Ro ^

puisque l'analyse donne alors Ȕ = r.

Pour exemple d'un cas d'inégale contexturo prenons le bois de chêne. Gomme on a, d*après les expériences de MM. Wertheim et Ghevandier(Oi

Dans le sens da rayoD dt Tarbre E( = 188 700 OOQ , Rt = 582 000 ,

id, de la tangente aux concbrs 129 800 000 , IxO^ 000, £t , ponr le sens longitudinal

(moyenne de 2 espèces de chêne) 9/j9 800 000 i 6 075 000 .

on trouvera

— — = / ^'^^^ P°"^ *® ^^^ ^^ rayon , Ef R ( 0,iï89 pour le sens des couches^

(») Mémoire préscnlé le 5 octobre 4846 cl ioKré aux Jnnalet dt tkimit et it phyêiqM CD 18i8, quatrième partit.

(Du u« IIS).

Quant au rapport t) des dilatations transversales aux contractions longitudinales, aucune expérience ne Ta fait connaître pour les bois, et il n*est lié par aucune relation théorique avec le rapport des élasticités R, E|. Mais en le regardant comme = ijli pour les matières d'égale contexture en tous sens, et en considérant que M. Wertheini a trouvé ri = 1/3 pour le verre et pour le laiton , matières qui sont' à coup sûr d'une élasticité moins inégale que le bois, prenons, pour celui-ci, y] = 0,4 ou 0,45, nous aurons pour le chêne

Îé=((àô-DT6) "''•«'' = *•'*"" *•''«•

Pour les pièces de fonte de fer, comme les coefficients d'élasticité dans les deux sens doivent diiTérer assez peu , ainsi que les cohésions, bien qu'il y ait une certaine différence de contexture, si nous

réduisons -^ à - et si nous adoptons la valeur t) = 1/3 trouvée

Do ^l

pour d'autres matières fondues, nous aurons La recherche de y\ et de Et exige des expériences délicates* On

pourrait, afin de s'en dispenser, être porté à prendre pour ^p

le rapport ^ des forces qu^on trouve dans les expériences ordl*

naires de rupture immédiate par écrasement et par extension. 11 en résulterait moins de 1 pour le bois, 8 à 10 pour la pierre « et environ 6 pour la fonte ('). Mais l'adoption de ce dernier nombre serait évidemment contraire au conseil de prudence et même de simple logique qui doit, comme on a dit ($ 9 de la cote du n« 3)^ faire limiter les écartements moléculaires transversaux du côté des fibres comprimées, comme leurs écartements du côté des fibres dilatées. Sans nier donc tout à fait qu'on puisse

(^) RechercfteSf etc., de M. Hodgkinson , p. 16 de la traduction de M. Pirel, où l'on trouve une moyenne de 6,6. Les eipériences pluf récentes du Report oflhe commitsUmers, etc., OBt donnd moyennement moins de 6.

112 SECT. I. UtSISTANCE DES SOLIDES.

(Du DO 118).

K tirer quelques lumières des valeurs du rapport -^, il paraîtra clair

R' qu'on ne doit pas Tadopter pour -^ quand il a des valeurs aussi

Ko

différentes de celles que peut probablement avoir - g- ir- 0°

peut bien avec quelque probabilité substituer approximativement au rapport de deux tractions-limites celui des deux tractions produisant la rupture immédiate, mais il n'y a pas de raison de faire de même quand il s'agit du rapport d'une traction à une pression. L'évaluation expérimentale de la résistance R' à la rupture par compression est d'ailleurs toujours fort incertaine, car tantôt le prisme comprimé fléchit un peu , ce qui donne une résistance trop faible , tantôt on en obtient une beaucoup trop forte parce que le frottement sur ses bases s'oppose à sa dilatation latérale , comme on a dit au S 8 de la note du n* 3.

Un moyen plus rationnel , mais qui prête encore à erreur, consiste à soumettre à la rupture immédiate par flexion des pièces dont la section ofllre la forme d'un double T, ou est composée de deux parties ou semelles horizontales reliées par un corps vertical mince ($ 9, ou ci-après $ 16 de la note du n* 120), et de faire varier le rapport des aires des deux semelles sans changer l'aire totale, ni la hauteur ni l'épaisseur du corps vertical qui les unit» Jusqu'à ce qu'on arrive à la section qui exige la plus grande charge pour être rompue, et qui donne même des signes de rupture à la fois des deux côtés, savoir par arrachement du côté étendu, et par séparation du coin ($ 8 note du n* 3 page 10) du côté comprimé. C'est ce qu*a fait M. Hodgkinson pour la fonte de fer (*). La forme de plus grande résistance à laquelle il est arrivé ainsi , et qu'il regarde comme la meilleure, est figurée au S 18 dé la note du n* 120, où elle est l'objet d'un calcul. Le rapport des aires do la semelle dilatée à la semelle contractée est de 5,8 à 1; c'est, dit l'auteur, « à peu près le rapport des résistances moyennes de la

(1) Recherchée, clc., d^à cilèc$, ou Iraduciion de M. PirvI , pages 87 i 101.

(Dan* 118).

fonte à récrasement et à la rupture par extension. » Mais ce n'est

pas une raison de Tadopter pour -^ ; car le calcul exact, fait en

tenant compte du corps vertical» prouve quMl n*y a cependant qu'un rapport de 2,859 (ci-après le $ 18 cité) entre la plus grande compression et la plus grande extension des fibres. Si Ton

R' adopte pour •— ce dernier rapport, donné par celui des distances

n, du centre de gravité aux deux bases, on a, comme on voit, un nombre différant peu de 3, que nous avons été déterminé à adopter pour la fonte en faisant des suppositions plausibles sur les

éléments de la formule - ^ -r-S fondée sur la considération d*un

îl Kl R

état fort éloigné de la rupture.

11 a été fait en 1850 et 1851 sur des ferslaminés, par M. Ferdinand Zorès» alors entrepositaire de produits d'usines (<), des expériences qu'on peut regarder comme ayant quelque analogie avec celles de M. Hodgkinson sur la fonte. Mais leurs résultats sont loin d^oifrir la même concordance avec la théorie ; car l'expérimentateur ayant remarqué que la rupture par flexion des fers à double T symétriques ou à semelles égales s'opérait toujours par la semelle supérieure a refoulée sur elle-même, rejetée à droite ou à gauche^ sans que la semelle inférieure (ou dilatée) éprouve d'altération, » a adopté^ un profil dans lequel cette semelle supérieure ou comprimée a une aire doublé à peu près de l'autre, ce qui a produit une augmentation de plus d'un cinquième dans les résistances à la rupture, à poids égal et à hauteur égale des pièces.

En calculant la position du centre de gravité de quelques-unes des sections ainsi constituées, on trouve que le rapport des plus grandes contractions aux plus grandes dilatations des fibres dans la flexion, est 0,84 au minimum et 0,91 au maximum. Mais nous ne voyons pas de raison d'adopter de pareils nombres pour valeurs

de ^ relatives au fer forgé ou laminé; ils sont trop éloignés de

- 1^ ^» Qwi doit évidemment surpasser 2, car pour cette matière,

(') Recueil de fers spéciaux, publié en 4S53.

(Du n« 118).

— ^ doit différer peu de l'unité. Leur adoption ne ferait'trouver £i K

d'ailleurs qu'un avantage de i/13 à 1/27 à rendre les semelles inégales. L'avantage de 1/5, manifesté par les expériences de 1851 (que des expériences toutes récentes n'ont point confirmées) tenait probablement à des effets compliqués ; par exemple à ce que la semelle supérieure, fortement comprimée, fléchissait latéralement à la manière des pièces debout, surtout lorsqu'il y avait un peu de déversement (note ci-après du n" 120, SS 4 et 13) ; et c*6st ce que semble môme indiquer le compte rendu des expériences,où la semelle supérieure était a rejetée à droite ou à gauche. »

Il faut bien d'ailleurs se souvenir que l'état pour lequel on pose les équations de résistanc^permanente est bien éloigné de Tétat oà se trouvent les pièces dans les expériences de rupture. L'avantage d'une plus grande superficie de la semelle supérieure, s'il est réel pour les fortes charges produisant la rupture immédiatement, est plus que douteux lorsqu'il s'agit de charges permanentes incomparablement moindres, ne déterminant dans la semelle supérieure qu'une simple compression longitudinale accompagnée des dilatations transversales ordinaires, sans atteindre la grandeur capable de déterminer le commencement de sa flexion latérale (ci-après, n* 388) ; c'est-à-dire n'oflï*ant que le danger de la rupture éloignée, qui doit dépendre des seuls écartements moléculaires.

Nous ne croyons donc pas que pour le fer forgé ou laminé on

nr

doive jamais prendre -^ moindre que 1; nous pensons qu'on pour-

ralt adopter plutôt pour ce rapport la valeur 2.

Gela n'empêche pas, comme on verra surtout aux $$ 17 et 18 de la note du n* 120, les sections à semelles égales ou peu inégales d'être avantageuses à un autre point de vue, savoir celui de la r^ sisiance élastique à la flexion ou de la petitesse des flèches, et de pouvoir, par suite, résister mieux, môme à la rupture éloignée, sous des charges qui ne seraient pas immobiles ni d'une intensité constante ( S 12 de la note du n* 21).

S lA. Examen de la méthode consistant à adopter une même limite des dilatations pour les diverses qualités ou variétés d^une même ma^

âlir. IT. BiTTURE PAR FLEXIOlf. 1{5

(Du n* 113).

fière. — Plusieurs auteurs, après avoir déterminé la grandeur de la

limite i' = =r des dilatations pour une certaine matière, d'après de^

Cl «

constructions où elle est employée, etc. (S$ 10 à 13), semblent conseiller dadopter la même grandeur t^ (soit 0,0006, par exemple, pour le fer) pour toutes les autres variétés ou qualités de la même niatière, san^ avoir égard aux expériences comparatives de rupture jmmédiate.

Cette méthode revient à prendre les cohésions permanentes lu = Iw' proportionnelles aux coejfficients d'élasticité £ des diverses variétés, au lieu de les prendre proportionnelles aux cohésions instantanées R mesurées au moyen de la rupture par extension ou bien par flexion.

Bien qu*il soit évidemment plus naturel de proportionner R, à i; qu'à E , nous ne condamnons pas entièrement cette méthode, vu la difficulté du sujet. Mais nous pensons qu'il faut en réduire Tusageà obtenir une sécurité de plus.

Si donc il résulte, de Tadoption des cohésions permanentes \\„ proportionnelles aux cohésions instantanées R, quelque valeur de

i' =-~ trop au-dessus de celle qu'on aura été déterminé à adopter

pour la variété à laquelle on compare les autres, on la réduira de manière à ne pas excéder celle-ci du tiers ou de moitié par exemple : en sorte que si, pour une certaine qualité de fer forgé, on avait adopté i' = 0.0006, on ne prendra pas au delà de t' =0.0008 ou 0.0009 pour les autres qualités; car Ténervation ou la désagrégation doit bien dépendre des écartements moléculaires,

S 15. Cas ou la contexture varie dans rétendue des sections, — Supposons qu'on veuille tenir compte, comme aux $% 7 des notes du n** 21 et du n« 80, du défaut d'homogénéité de la matière, pour le

El ras où nous avons posé, au Heu de M = —, en appelant E, le coefficient d'élasticité de toute la partie centrale, e une constante r^ative à une couche mince d'une contexture différente sur les bords, et.; le moment d'inertie du périmètre (ou plutôt de la ligne moyenne

(Du n* 118).

de la couche dont le module d'élasticité excède celui du reste , de e divisé par son épaisseur)

P £t bornons-nous aux matières qui cèdent par Textension des fibres

da côté que la flexion rend convexe. Comme on a - = ^ pour la

dilatation d'une fibre quelconque dont la tension est appelée JV,

si l'on élimine SS précédents,

si l'on élimine f>, on obtient, au lieu de Téquatlon M=K - de?

M = ^(E.tfej}.

11 faut, dans cette équation, pour qu'elle soit celle de cohésion permanente , substituer à Jt la limite des tensions non compromettantes pour la qualité de matière de la fibre quelconque à la distance r, et écrire , R désignant cette limite^

M = on < minimum de =- (E,t-f ej),

n mm I

Dans cette équation, -- n'est pas constant comme était =- = - Et? t»v p

dans la précédente ; il varie d'une fibre à l'autre. Il faut mettre sa valeur relative à la fibre la plus exposée, ou pour laquelle ce quotient est le plus petit Si l'on a des raisons de penser que c*est la fibre la plus dilatée, comme quand la matière est homogène , ou

que la contexturo hétérogène est telle que le rapport - varie moins

que r, l'équation sera, en désignant comme à l'ordinaire par v' la grandeur de l'ordonnée de cette fibre, et par £', R' les valeurs correspondantes de E , R :

ou bien, Retr désignant deux constantes dépendant comme E« et c de la nature de la matière et de son mode de forgeage ou de fusion :

M=/li+r^,

ART. IV. RUPTURE PAR FLEXION. lit

(Du 0* tiS).

Si Ton veut représenter par une équation de cette forme les expériences de rupture immédiate des barres rectangulaires par exemple, on déterminera les constantes JR, r (dont nous ôtons alors les indices 0 , S /i)» de manière à rendre aussi petits que possible, en les compensant mutuellement, les écarts ou les difTérences entre le premier et le second membre. Gomme ce sont les écarts proportionnels plutôt que les écarts absolus qu'il s'agit d'atténuer, on écrica,

en divisant par ->,

ou, 6, c étant la largeur et la hauteur de la section, b\ d les mêmes dimensions diminuées de la demi-épaisseur présumée de la couche d'une contexture différente du reste

M «, = ii + «iï;+?£!.r.

Et Ton obtiendra les deux coefficients jR, r par les méthodes dont on se sert pour déterminer les deux paramètres des formules des eaux courantes (*) , afin de remplacer (S 7 de la note du n* 80) le

mieux possible, par une ligne droite, la suite des points ayant les*^ pour abscisses et les M y ponr ordonnées. Cette ligne doit passer

par le centre de gravité général des points, pour que la somme des écarts en moins soit égale à la somme des écarts en plus; mais il ne sera pas toujours facile de choisir visuellement sa meilleure direction. Alors on se servira soit de la méthode de Laplace qui atténue le plus possible la somme des valeurs absolues des écarts (*), soit de la méthode plus connue de la moindre somme de leurs carrés, soit de la méthode d'interpolation bien plus expéditive et très suffisante de M. Gauchy ('}, souvent employée par les astro-

(}) Voyez Recherches phystco-nuUhéfmUiques , de Prony, — ou bien Mémoire wr de* formule» et de» table» nouvelle» pour le» eaux courante»^ in-S*, 4859, n^ 3 ei 6; et toMl JnnaU» de» mine», V lèrie, t. XX, 4859, p. 487 à S09.

(•) Mécanique céle»U, 4r« partie, lir. 3, n* 40.

C) Journal Liouville, mai 4837.

(DU n» 118).

nomes (*), et qui revient dans notre cas particulier de deux coefficients seulement ^ à joindre ensemble les centres de gravité des deux groupes de points situés Vun à gauche Vautre à droite de V ordonnée de leur centre de gravité générai (*), procédé aussi Ur elle à retenir qu*& exécuter Q).

Si Ton n'applique cette équation que pour Tinstant où commence lo^danger d'énervation , en sorte qu'elle exprime la condition de cohésion permanente et non celle de cohésion instantanée, on récrira

Elle est alors exacte comme est celle M = R. -7 des SS précédents relative à une matière dont les propriétés ne varient pas vers le périmètre ; et on pourra prendre pour R, et r„ certaines fractions des valeurs 2?, r obtenues des expériences de rupture immédiate. Pour les pièces de bois on aurait, r^ étant comme au $ 7 de la note du n" 80, le rayon de l'arbre dont on les a extraites, r, la distance du centre de leur section rectangulaire 6 x c au centre des couches ligneuses» une formule

dont on déterminerait les coefficients R, r par plusieurs expériences, comme on vient de dire.

S 16. Possibilité de dépasser beaucoup la limite de dilatation adoptée pour les cas ordinaires^ lorsquHl y a simultanément et dans un autre sens^ de fortes contractions. — Nous avons déjà dit à

(>) Mémoire de M. YYon Villarceau sur les étoiles doubles , à la Connaisumce det temps, 4853.

(*) N* S du Mémoire cité sur les Eaux courantes.

(*} NousarooB aiusi trouré par les 64 expérienoes duoapitiiDeHenrjJaiiietsur les barres de fonte [Report ofthe CommissionerSt 4849, p. 350-253), en regai^ dant la couche comme irés-mince ou en supposant b'z=b, c'=zc, noe formole

représentant mieux les résuluts que celle M = R(4,48 — 0,04d) -- proposée par

M. LoYe (Mémoire sur la Résistance du fer et de la fonte, 4852 , p. 55), et oà D désigne la plus petite des deux dimensions transversales sans distinction de sa direction par rapport aux forces. Nous aurions eu sans doute une approxlonation plus grande en supposanl*&', c', moindres que 6, e d'un ou deux ■nHlimélrefl.

ART. I. RCJPTUBB PAR PLEXION. 119

( Du n« 118).

la fin du S 8, que des fibres surtendues^ ou dilatées Jusqu*à éprouver ces petites difijonctions intérieures et en quelque sorte cellulaires qui constituent rénervation probablement» pouvaient bien malgré cela, et môme sous un effort Indéfiniment continué, ne pas rompre d'une manière totale et patente « si les autres fibres du solide, moins dilatées, gardaient leur contexture et leur résistance.

Il y a plus encore. Divers faits établissent que lorsqu*un solide est très-fortement comprimé, en certains points et en certains sens, il peut éprouver, aux mêmes points et dans d'autres sens, des dilatations extrêmement considérables, sans, rompre ni se désagréger aucunement, comme si les compressions comblaient les vides des di^onclions produites par les dilatations.

Ainsi, dans une expérience de MM. Easton et AmoSt dont nous avons déjà parlé au $ 8 de la note du n° 3 et sur laquelle nous reviendrons (*) le diamètre intérieur d'un cylindre creux en fonte de fer, contenu extérieurement par un cylindre plus fort (où on l'avait introduit en chauffant celui-ci) a été porté de 89 à OA millimètres par une énorme compression exercée sur de Tétain dont on Pavait reropli,ce qui a fait éprouver à la circonférence de l'évideraent une

dilatation de près de j^ = 0,0556, ou de trente-trois fols la pro-

portion de rallongement de rupture inunédiate d'une barre de fonte.

Dans une autre expérience (') où la pression exercée sur du plomb avait constamment fendu, en conomençant par l'intérieur, les cylindres de fonte non contenus, un cylindre ùe fer forgé avait seul pu résister, en se dilatant aussi beaucoup intérieurement mais non extérieurement.

On sait d'ailleurs, pour ce dernier métal, par son étirage à froid CD fils, par son martelage aussi à froid» et, pour le cuivre, par Temboutissage presque instantané des rondelles dont on fait das capsules, etc. , que des extensions considérables peuvent être opé-

(1) The Britannia and Conivay tubular Bridges, hy SdvnnClarke, 4850, nolo de la page 34 4 . Celle expéVience est citée par M. Couche à U page 445 du Mémoire Idi éré au t. XX des Annales des mines,

P) Même oun-age de M. Clarke , p. 306, cité par H. Horio à U 9« édition (4g57| des Leçons sur la résistance des matériayx, p. 449.

(Da n* tiS).

rées sans disjonction ou énervation lorsque les molécules sont fortement retenues dans un sens perpendiculaire à celui de l^extension.

D'où Ton peut inférer que de fortes dilatations au centre des pièces solides ou dans les parties des bords qui sont serrées par d'autres solides ne doivent pas inquiéter, et qu'il n'y a lieu de les limiter que vers les surfaces libres ou en contact avec Tatmosphère; surfaces dont les points, au reste, sont ceux pour lesquels les extensions longitudinales, ou les dilatations transversales dues aux compressions^ sont ordinairement les plus fortes.

11 serait désirable que des expériences plus ou moins analogues à celles de MM. Easton et Amos pussent être faites sur d'autres matériaux, par exemple sur les pierres dures et les bois.

§ 17. Dimensions déterminées en vue de limiter lajlexion, eic*, des pièces, et non les profX)rtions des dilatations les plus grandes de leurs parties. — Remarquons que dans quelques circonstances ce n'est pas en vue de la crainte d'une rupture qu'il faut modérer les charges ou régler les dimensions des pièces, c'est en \iie de limiter des déformations qui deviendraient nuisibles.

Ainsi, une solive de plancher, un rail de chemin de fer qui, sans rompre, prendrait une flèche trop considérable, deviendrait par cela seul incapable de remplir sa destination ; il en serait de même d'un arbre tournant de machine qui se tordrait d'un angle trop considérable.

Alors les formules pratiques sont plus faciles à dresser. On les tire simplement de celles de V élasticités comme a fait M. Tredgold qui a donné il y a longtemps, pour calculer Téquarissage des pièces

chargées au milieu, une formule Trevenant à 2P = jj W~\t) ®^ ^^'^

table basée sur la limitation , à ^, du rapport^ de la flèche de courbure à la longueur (*).

(>) Table I ou D* 5 de l'Iolroduclion de rj^ifai pratique mr la résiêUmce du fer coulis traduit en 4896. Nous avons dit è la tous-note du $ 40 que U Table H , basée sur un autre principe , celui de la limitation de la tension ou de la dilatation des fibres , donnait des dimensions telles que la charge n'atteigne pas les trois quaru de celle qui commence à altérer, suiTant H. Tredgold, la force élastique.

ABT. lY. KUPTURE PAR FLEXION. 121

114. Si la section transversale peut être partagée en deux parties symétriques par une ligne perpendiculaire à la direction de la force qui agit sur le corps. Taxe d'équilibre est ]j>lacé dans cette ligne. Les deux intégrales sont égales^ et l'on a

pour Texpression du moment de rupture.

En comparant ces formules avec celles qui ont été trouvées Tk*" 80 pour représenter le moment de flexion^ on reconnaît que l'expression du moment de rupture peut être déduite de ceUe du moment de flexion en écrivant R à la place de E^ et en divisant par t/y c'est-à-dire par la distance à l'axe d'équilibre contenant les fibres invariables , de la fibre qui en est le plus éloignée. D'après cela, les expressions des n^ 81 et suivants donneront immédiatement les résultats ci-après.

115. La section est un rectangle ( Fig. 2) dont b eic sont la irgeur et l rupture est

largeur et l'épaisseur^ t;'= -, et l'expression du moment de

2R ôc» ^«

116. La figure de la section étant formée de deux triangles égaux (Fig. 3) dont les côtés sont pei q,le moment de la résistance à la rupture est

117. La figure de la section étant un rectangle dont les côtés sont 6, c, et l'axe contenant les fibres invariables formant l'angle «p avec le côté b, le moment de rupture est

__ yc^in*<p4-fe*cos*<p ^ 6{ôsin<p + ccosf) '

Quand la section est un carré cette formule se réduit à

6(sinç + cos«p)*

et si la pièce est fléchie dans le sens d'une des diagonales du carré, Ton a

Ainsi une pièce à base carrée fléchie dans le sens des diagonales de la base résiste moins à la rupture qu'elle ne le fait quand elle est fléchie dans le sens des c6tés de cette base^ dans

le rapport de 1 à — : (*).

(♦)§!. Erreur où peut faire tomber la première formule du n* 117. — La fin de ce numéro, relative au cas où la section e6t un carré, est exacte» parce que tout prisme dont la section est une figure ayant ses moments d'inertie égaux autour de toutes les droites tracées sur son plan par son centre de gravité (S 8 de la note du n* 83), fléchit toujours dans le plan même où il est sollicité pour fléchir ( $ i de la même note ) ou dans le plan du moment sollicitant M = P(a— x) ou =Pa des n- 77, 86, 121, etc-

Mais la formule rg=R ^^?^ 9 + oc cos y ^^ commencement,

6 (6 sin 9 4- c cos «p)

comme celle e = .., du n** 83 (p. 52) n'est propre qu'à induire dans une erreur où Ton tombera nécessairement avec quelques auteurs si Ton pose, comme il est indiqué au n* 121, r = M = Pa en y mettant pour r Texpression signalée.

Gela vient (comme on a déjà dit à la note du n** 83) de ce que la flexion ne s^effeetue pas dans le plan de sollicitation à fléchir^ lorsque ce plan n'est pas parallèle à Tun des deux axes principaux d'inertie des sections.

S 2. Établissement direct de V équation de cohésion pour une sollicitation oblique aux axes principaux des sections. — Si <p dé-

ART. lY. BUPTCRB PAB PLEXION.

(Dd n* 117).

signe, comme à la note du n* 83, et pour une section de forme quelconque, Tangle aigu POV que fait le plan de sollicitation P|OP avec Taxe d'inertie Ov prolongé, et ^ celui yOv que fait avec le même axe principal Ov, le plan de flexion effective FOv, ou Tangle égal uOu de la ligne des fibres invariables Ou , perpendiculaire h OF, avec Tautre axe dMnertie Ou de la section, on a (note du n» 83), pour dé-

terminer cet anglo ^ non connu à priori^ tang 4^ =p tang?, r, r étant les moments d'inertie de la section autour des axes principaux Ou t Ov.

Mais, plutôt que de mettre cet angle & la place de 9 dans la formule r=... du texte relative au rectangle ayant ses côtés 6, c parallèles à Ou, Ov, et de régaler & la composante M 008(^—9) du moment M ou Va autour de la ligne des fibres Invariables Ou » il est bien plus simple de poser, autour des deux axes principaux* deux équations d'équilibre de rotation entre les forces extérieures et les forces intérieures qu'on peut exprimer comme au n* 112 (sans parler de E ni du rayon p) par

—, vdb).

Il en résulte , en effet , en remplaçant (comme à la note du n* 88, p. bU) V par sa valeur v cos ^ + u sin ^ , où v et u sont les distances d'une fibre quelconque m aux deux axes principaux Ou, Ov, deux équations

Mcos9 = ->rcos4'

Msin9=:^rsin4»

qui , ajoutées ensemble après avoir multiplié la première par

p et la seconde par p donnent

m /"v^^^^^n^'^l^^ „ucos^ + vsin^>pi? . M \^v-p-+u-p-J -^ ^7 *^^»

d'où , en faisant t7= sa plus grande valeur v\ et R= R. limite des efforts non dangereux, cette éqaatkm de cohésion permanente :

(DU n*tiir).

M = muumam de -

Elle convient à des prismes ayant des sections de toutes les formes, sollicités obliquement à leurs axes principaux.

S 3. Application à la section rectangle dont les côtés sont b

et c.—- Gomme les plus grandes valeurs des coordonnés t et u sont

il hc^ b^c

^c et 56, et comme r= ^j . 1"=-ï2 » on a

MonPa= —