FLEXION

/cos«9 ,

tang?

l' et r étant les moments d'inertie principaux de la section, 9 étant Tangle du plan de sollicitation ou du moment M des forces extérieures arec Taxe de V\ et p étant le rayon de courbure. Et la résistance spécifique à la rupture par flexion au lieu d*ètre

représentée par -, , le sera (note du n* 117) par

«I 1' / u' et v* étant les coordonnées n , v, par rapport aux

^ ^^ * l axes des moments principanx 1', I", de la fibre la plus

-7 COS ^ +"7, Sin 9 j tendue , on rendant r^ cos 9 + rp, sin cp nn maximum ;

\ et R la traction qu'elle supporte par unité superficielle.

& Tangle 9 est indéterminé ou si la pièce peut être sollicitée sous diverses inclinaisons, comme Tarbre tournant d'une machine, Il faut prendre Vinclinaùon la plus dangereuse ^ ou la valeur de 9

qui rend un minimum cette expression de ^. Et si u', v' sont oon-

sttnts, comme quand le contour est composé de lignes à angle

r u' droit, ce minimum a lieu pour tang 9 = p -7, et est

R 4 /vjTïï^'

Mais si le contour est continu, u' et v' sont fonctions de 9 , et Ton a un autre minimum.

S 3. Section rectangle dont b et c sont les dimensions. — Si b est la largeur, c la hauteur ou épaisseur^ c*est-à-dire si la sollicitation a lieu dans un plan parallèle à c, on a :

bc^ c* i c Résistance spécifique à la fiejiion élastique I = -j^ = w —- = — ^ w*.

l bc* c i le î tiem àla rupture par flexion "="fi" = '*S = H\/5*'** •

(Du n* 190).

Ainsi, à égale superficie de la section cd, ou à égale quaiUiiédB matière d'un prisme de longueur donnée, la ré/istance à la flexion (ou le poids capable de donner une flèche déterminée à ce prisme appuyé aux deux bouts et sollicité au milieu) , est comme

le rapport ? de la hauteur à la largeur. j

Et la résistance à la rupture par flexion (ou le poids appliqué de même, qui fléchit de manière à donner une dilatation ou une contraction déterminée à la flbre la plus tendue ou la plus comprimée, et qui, par conséquent, peut mettre la matière en danger de

rompre ou de s'énerver) est comme la racine carrée W^ da même rapport.

S h* Même section rectangle si la sollicitaiton est ohliqvie», Cmue qui limite {en partie ) davantage cTemployer des pièces de champ à section haute et mince, — Si le plan de sollicitation ou du momçnt M, au lieu d'être parallèle au côté c, fait avec ce cOté un angle 9, on a (d'après ce qu'on vient de dire $ 2)

llésistalice à la 1 P » '

"Zoo r^ /co.v »iD«9 / — ? — «»«"? /— ?-

Éd. à la rupture j par flexion. ]

M 4 6»c» ''^^lï^.. — ^ le î^ 4

R 6 &coscp + c8in9~~6 c ~"6 V ô*C08«p ^ *

coiç + -sin9 ^-hTUBlfp

Si une pièce a une largeur h très-petite par rapport à sa hauteur e, il suffit qu'on prenne tang? = ~, ou que le plan de soUicitttiOD

ait seulement la petite inclinaison - de la diagonale sur le grand

côté c de la section, pour que le dénominateur 0039 + ^ sîii*? devienne 2COS9, c'est-à-dire à peu près = 2, et que, par conséquent, la résistance 5- ^ la rupture par flexion soit deux fois

ABT. IV. RUPTORE PAR FLEUON. ISl

(Du D» iSO).

moinére que quand la sollicitation est exactement parallèle au grand côté c.

En même temps f c'est-à-dire pour tang? s - ou pour la sollici-

)M (oc^ on a une résistance à la flexion p ^ = 1^ tang 9 =

Citc' b C

-J5- -, 014 r/ois moindre que si la sollicitation était parallèle à c.

Et, à égale superficie de la section , Ton a seulement la même résls-

tance tk^^^ flexion qu^avec une section carrée.

Aussi, comme il est difficile d'empêcher que Faction ne devienne un peu oblique, quand ce ne serait que par suite d'une légère torsion due à ce que la charge n'agit pas exactement au milieu de la largeur 6 de la pièce , les constructeurs évitent d^employer des pièces de champ trop minces ou de rendre trop grand le rapport

7 de la hauteur à la largeur, afin de prévenir le déversement dénoté

par la formule > et, aussi, une sorte de flexion do la pièce dans le sens de la hauteur de la section.

Si Tangle cp du plan de sollicitation n'est pas déterminé ou si la pièce peut être sollicitée transversalement sous toutes les inclinaisons, il faut prendre Vinclinaison la plus dangereuse. Ce sera,

quant à la rupture par flexion, celle qui a pour valeur tang<p = ? si

c> 6 , et on aura , pour cette sollicitation qui est perpendicu'* laire à une des diagonales.

Plus petite rwûtance à par fleikm, ou Minimum de - :=

à la rupture ... ^ / -

imum de - := - , ■ ' = s % / • . «*;

Il est évident , au reste j que la plus grande flexion est dohnée par 9 = 0 ou 9=^ selon quer< ou >r,ou, pour le l^ctanglc, selon que h> ou <c;

(Oa a* IM).

S 5. Section carrée. — Les expressions précédentes, en faisant 6 = c, donnent

SollictUtion dans nn 1 A4 f^ht ^^s

plan parallèle à / Réwst. à U flexion 1 = 775 = -nr = 7S = 0,08333 w' l'un dei côtés 1 " 12 12

«.àUmpt-parflex. I = ^= ~=| J = 0,i6667J

p =- =1 jrr = — = 0,08333(i>' (conuoe poor la soUicitaliei £ 12 12

parallèle, et, cela, quel ^ loit f )

8ullicitation oblique

Sollicitation diagonale (on tous l'inclinai* son la plas dangereuM)

R Gcosf + sinr 6(C087 4*sin9)

S 6. Section circulaire pleine, rayon r.

« = «y*, t/ = r KjÀ or* 1 a U a^

S 7. Section circulaire évtdée {section de tuyau); rayon exU' rieur r'; intérieur r"

7^* .. y-"* ;.t ^ yJft

2 V2 2r^/ ""4'^£/rr\

(Du B* RM).

r* 4- r" SI Ton fait le rayon moyen — ~ — = r, et Tépaisseur r'^r*'r=e.

on a

I cur 4r« i/— 4r* f

(Voyez les conséquences, note du n* 119).

S 8. Prise en considération des troncatures qui augmentent la

valeur de V expression ^oujrdela résistance spécifique à la rupture. — > Diaprés ce qu*on a dit au S 8 de la note du n* 113 (p. 100) comme Texistence de fibres inutiles ou susceptibles de rompre d*abord seules^ ne diminue en rien la résistance du reste, il convient, à regard des sections pour lesquelles le quotient -7 augmente en en retranchant une partie ou en les supposant tronquées, d*attribuer à ce quotient sa plus grande valeur, résultant de la troncature qui le rend un maximum.

En conséquence il faut, si Ton veut avoir des expressions plus

I M exactes de la résistance spécifique à la rupture -7 ou^ multiplier

celles qui sont données aux S précédents ou suivants par des nombres un peu au-dessus de 1, comme ceux du S 8 cité de la note du nM13.

Et ces expressions seront, encore , plutôt au-dessous qu^au-dessus de la résistance réelle d*après ce qu*on a dit page 101 et que Texpérience confirme, de la petite part que les fibres comptées comme inutiles ne laissent pas de prendre à cette résistance.

Il' '

Ainsi, au lieu de -7= 075 «*>«= 0,11785 «o« du S 5 pour le carré

1S4 SEGT. I. BÉSISTANCE DES SOLIDES.

(Dun-ttO).

sollicité dlagODâlôment on prendrait i = î^^ w^= 0,18151^,

si la matière résiste sensiblement plus aux compressions qu*aux extensions ou réciproquement ;

Et^ = -W-in-*»»*= 0,1242 w* si elle résiste autant aux unes

qu'aux autres ou s*il y a incertitude.

Au lieu de -= r-r ^* = 0,14i0/i7to' pour le cercle, on prendra

-> = -^T-T — w* = 0,14202/ic»)^ pour une troncature haut et bas.

Et ainsi des autres , même pour le cas de Jlexion oblique en y appliquant les principes du S 8 de la note du n* 118 lorsqu'on croira devoir pousser Tapproxlmation à un pareil degré» ce dont on peut ordinairement se dispenser.

S 9. Cas ou les troncatures auraient effectivement lieu, — Si Ton a retranché Xes fibres dites inutiles en fondant les pièces de métal ou en taillant les pièces de bois, II est évident que pour comparer les résistances des sections à superficie égale ^ il faut mettre à la

places de w la surface de la section tronquée ou débarrassée des parties répondant à ces fibres.

Alors 1*. S'il est question d^un carré sollicité diagonalement et » tronqué seulement à Vangle suipé^ rieur ou à Vangle inférieur^ comme au premier exempledu S Sdelanote du no 113, p. 95 et 96, on a

et par conséquent

I co^ ,g 12--/iV4- 4Br»— 18T*-f T*

3* S'il s'agit du même carré, tronqué & la fois et symétrique-

AIT. IV. BUPTURB PAB FLEXION. 135

(Daii*tM).

ment à ces deux angles, comme au deuxième exemple » p. 97, on aura

3* Enfin si ce même carré est tronqua également aux quatre angles, comme il conviendra si c*est la section â*un arbre tournant

de machine, il faudra retrancher ^ de Texpression de I| (page 97)

relative au cas de deux troncatures et on aura a)> = 6'— 27*6*9 et

OÙ il ne faut pas supposer y plus grand que r.

Si Ton se sert de ces expressions pour chercher quelle troncature il faut faire dans chacun de ces trois cas pour avoir la plus grande

résistance -; à superficie égale u) on trouve ceci :

C(u (i*), ou d*une seule troncature. Ce maximum de résistance pour ta constant est obtenu en faisant t = i c*est-à-dlre en tupprimont entièrement le demûcarré supérieur ou en réduisant la section à un triangle rectangle isocèle, la base tournée du côté dilaté si c'est par dilatation que la matière risque le plus de céde^. Inutile de dire que cette forme de section n^est pas la plus avantageuse entre toutes celles qu'on peut donner si Ton a le chblx d'autres formes.

Caj(2*),oudedeuxtroncaturesducarréso]licitédiagonalementOn

a le maximum de ^ pour ta constant en faisant, y = ^ et ce maximum

Cas (3*) de quatre troncatures, il faut, pour le maximum, faire V = I ce qui revient à remplacer le carré sollicité parallèlement à

!56 SKCT. I. RÊSISTAKCE DES SOLIDES.

( Du n* ttO)»

ses diagonales par un carré sollicité parallèlement à ses côtés (Test ce qu'on pouvait prévoir d'après ce qu'on a vu (S 5) de la sopériorité de résistance dans cette dernière situation. Mais si la pièce est tournante, comme la supériorité disparaîtrait lorsque la diagonale deviendrait verticale, il conviendra de tronquer en octogone régulier. Et si Ton admet de nouvelles troncatures produisant plos de huit côtés, on est conduit simplement à ce résultat, que la forme circulaire est la meilleure pour le contour de la sedion â*une pièce tournante fléchie successivement dans tous les plans passant par son axe de figure (Voyez ci-après S 19;.

S 10. Seciion^Hptique , h et c étant le pliu petit et le plut grand diamètre. — Le plan de sollicitation étant parallèle à c, on i