COS
jtong?
le* r
nous avons , en mettant ^ ^ pour - ,
j ( K rariant généralement de 2,14 à 3^1 >
Le 1*' facteur de cette expression, —„ représente la résistance
de la pièce non déversée ou sollicitée bien perpendiculairement et au milieu des semelles.
Le 2*t -r— f peut être remplacé par i, Tangle 9 étant tovjours supposé petit.
La 3* montre que si la sollicitation oblique s'opérait suivant la diagonale du rectangle circonscrit 6xc» ou si Ton avait ^ tangf =1,
la résistance spécifique -r- serait réduite aux ôs^tt:^'^^ valeur
p relative à une sollicitation normale, tandis qu'elle est le ^ pour
une section pleine (S A) • en sorte que celle^i résisterait plus au
déversement que la section en double t.
Mais il en est autrement si, comme on doit toujours le supposer,
Tobliquité de la sollicitation est faible. Si, par exemple, dans Tby-
b'-b' c-^c' 1 pothèse —g— = -^^ = Â ^'^ ^'0° * K=: 2,612, cette obliquité
est celle de la diagonale du rectangle plein 6^XC|, dont nous avons calculé tout à Theure les dimensions et qui oilHrait la même résistance, à surface égale, que le rectangle évidé 6 x c—b'xc\
ou si Ton prend tang9= -i = =-^5- -. Le 3» facteur sera alors
Cj u,DoU C
iftl
(DttB* t99).
Il est, comme on voit, supérieur à -t. Cette considération et celle
d'une plus grande stabilité qui laisse moins de champ à la torsion résultant du déversement , assure une supériorité réelle aux pièces à double T symétrique sur les pièces à section rectangulaire mince et de champ d'égale superficie.
On voit toutefois qu'il ne faut pas s'exagérer cette supériorité.
S iù. Cas de Vévidementpar plusieurs rectangles. — Si le rectangle 6xc est évldé par plusieurs autres
& c'fT
ne
comme dans la figure cotée ci-contre où les plaques de tôle horizontales et verticale sont assemblées par des cornières, on aura simplement
w = 6c — 6'c'— fV— \fe^ 6c» 6'c^ V'd'^ b^d^ , c
S 15. Section en T simple, et en U. — Navier considère ces deux espèces de rectangle évidé non symétrique à la Section IV* (ci-après n* 697). Il pose l'expression de leur moment de flexion ou d'inertie autour de la ligne encore inconnue des fibres invariables et il dit de mettre, pour la distance do cette ligne à l'une des bases, sa valeur tirée de l'équation d'équilibre de translation fvdti = 0 du n* 78 qui exprime qu'elle passe par le centre de gravité.
, Dans le cours de l'École de Metz M. Michon a simplifié ce calcul en prenant d'abord le moment d'inertie par rapport à la base et en retranchant l'aire multipliée par le carré de sa distance au centre de gravité, distance qui s'obtient simplement, elle-même, en divisant par Taire le moment statique de la section par rapport à la môme base. Soient
iU'2 SEGT. 1. RÉSiSIiJNCË DES SOUDES.
(DU n<ilM).
-AHf>'
c la hauteur totale de la section.
b la largeur du corps vertical du T renversé, ou la somme des largeurs des deux branches de 1*U.
(/' la largeur de Tévidement qui est en deux parties pour le T.
&' la hauteur de la table ou semdle» ou c — {/' la hauteur de Tévidemeot.
N=b+6' b. = fe-fir
On aura:
Moment statique par rapport à la base inférieure à ^ + s ^^"^^ D'où, divisant par Taire w = 6c -f 6 V ;
^ ""2 bc-^y'd' •
Moment d'inertie autour de la môme base 5 ^c* -f- s 6V»
D*où, en retranchant eut?'* (théorème général du $ A de la note du n"» 81, page AS).
6c»+6V^' i (6c* -h 6V^)« (6c«4-6V)'-A6c* feV^c-V).' ^— 3 5 6c + 6"c^ Ï2(6cT6V^5 '
La section en shnple T est» au r^te, un cas particulier de la 8oi« vante.
% 16. Section en double T Twn symétrique. (Côté inférieur pris pour celui des fibres étendues).
Nous supposerons constamment désormais (comme les auteurs an-* glaîs) que le côté supérieur des sections est le côté comprimé « et que le côté inférieur est le côté des fibres étendues, parce que le cas d*une pièce posée sur deux appuis est bien plus fréquemment à considérer que le bas d'une pièce encastrée à un bout et sollicitée à Tautre.
Or les formules relatives à la section en double T où à deux se^ melles peuvent être obtenues facilement et sous une forme simple comme il suit. Soient :
(Du n* ttO).
&•- 5 -I- 6»=:ft,
b la largeur de la semelle supérieure.
c la hauteur totale de la section.
b' la somme des largeurs et c' la hauteur de Tévidement qui aurait lieu si la section était en simple T ou s'il n'y avait pas de semelle inférieure.
En sorte que 6 — 6' est Tépaisseur du corps de la section ou de la barre verticale du T.
c" la hauteur de la semelle inférieure , b^^ la somme des largeurs qu'elle ajoute en deux parties à côté de ce corps vertical.
r' et r'i = c — v' les distances du centre de gravité 0 ou de la ligne des fibres invariables à la base inférieure 6 — 6' + b'^ et à la base supérieure 6 ; ou , ce qui revient au même , v, et v\ les distances respectives des fibres invariables aux fibres les plus dilatées et aux fibres les plus comprimées.
On aura
Aire de la section, o>s=6c — ôV + ô^'c"
Moment statique de cette aire par rapport à la base Inférieure
bc^
Quotient, ou distance, à cette base inférieure, du centre de gravité Ô
Moment d'inertie de la section autour de cette môme base infé^ rieore
ilxU S£GT. 1. RÈSiSTA.NC£ D£S SOLIDES.
(DU a* tW9).
En retranchant «ov'* ($ à de la note du n* 81) on aura cette expression assez simple du moment dMnertie autour de la ligne des fibres invariables.
D*oÙ9 résistance spécifique à la rupture du côté dilaté :
Quant à v'i, distance de la ligne des fibres inYariables à la base supérieure ou aux fibres les plus comprimées, Il est égal à
On lui donne, ainsi qu'à -7» les mêmes formes qu'à v' et -> en falsant
6— 6'4-fc" = 6|, 6' = ft"i, fc"=6\, c— c'=c^i. c^&'=z&^.
Alors
l-j(&jc -(>,(-, + (^iC ,} 4 6jC-6\c', + 6^c-,
Et Ton a le rapport de la plus grande compression à la plus grande extension
tj' 6c* — 6'c^4-6V« •
Au reste le moment d*ioertie peut aussi être écrit sous cette forme très-symétrique,
et sous une forme toute semblable avec des Indices i à toutes les lettres hors c.
AKT. IV. BUmmB PAR FLEXION. i&5
(im B* IM).
D'où
I le nnmératenr da l'qprcsiïmi précédente on on aotw pirtïl «vec Ici indices t ,
«' ea r'i "■ 6(fcc*— 6'c'« 4- ^"O on e^b^c^*— b\d^* + ÔV,»)
Il est facile y en divisant ces expressions de I, -7, -r par ^c—
b'd +6^c"= 6iC— 6'icfj + 6"|C"i élevé au carré ou à la puissance =.
et multipliant par «d* ou co* , d'avoir» comme aux paragraphes précédents, des expressions comparables à superficie égale de la section. Pour que la section n*ait que les Justes dimensions nécessaires à la résistance, il faut à la fois, M étant le plus grand des moments des forces extérieures, et R«, R'. (SA. et note du n* 113, S ^3} les limites des tractions et pressions longitudinales non dangereuses des fibres,
Ainsi les deux tables, semelles ou doubles nervures nefatigueront pas plus Tune que l'autre , et Ton aura, toutes choses d'ailleurs égales , la plus grande économie de matière , si
ou 6iC*— 6\cV +6"jc'V = ~ (ftc«— 6'c^ + ^V^).
Cette relation peut s'écrire, en remplaçant r'i par c — c", d par c — d\ et faisant 6 — 6' = 6| — 6'^ = e épaisseur du corps vertical, puis mettant, après réduction, V* = b\ pour ô^^^, y\-=y pour 6- ^,
(2fc"c''+cc)c-{ô"c"«-er'\c"j«)=: ^ [(afe^ic^'i-f ce;c+ (6"c"«-6'\c"4«)].
Elle se réduirait, si les différences de termes affectés des carrés c^, c^V d^ ép^Bseurs des nervures étaient négligeables, à
montrant qu'en partageant la section par une horixontale à égale distance des deux bases , l'aire de la partie inférieure devrait être
^ fois plus grande que l'aire de la partie supérieure.
1/)G SLCT. I. B£Si6TAM:Ë DES 30UDES.
(Du n« ttO).
Mais Tcxemple numérique du $ 18 nous montrera que ce rapport cUfférera souvent d'une manière sensible du rapport exact
A plus forte raison ne poQrra*t-on que rarement y subetltaer le rapport de9 aires des semelles
ce qui exigerait qu^on efflnç&t encore, dans la dernière éqqation
posée, les termes ^ en remplaçant en outre V w^ b^^ bf -{- e,
et b'\ par 6 = ^^1 + «f c*est-à-dlre qu^on négllge&t tout à fait le corps vertical de la section, comme nous ayons supposé pouvoir le faire au $ 9 delà note du n« iid.
S 17* ComparaiêOM diverse^ d»$ êôcUcns à doublé T non iymJ^
triques et symétriques légale superjicie. — Il nous suflSra, pour avoir les résultats les plus généraux de ces comparaisons, de considérer le cas où Ton pei^t faire la première simplification du para* graphe précédent, c'est-à-dire négliger les termes affectés des carrés et des produits des épaisseurs &\ &\ , e, mais en tenant compte de l'influence du corps vertical de la section. Soient :
e l'épaisseur de ce corps vertical ;
be^ b^e les superficies des semelles supérieure et inférieure, ou soient
b, 6j leurs longueurs réduites ou amplifiées de manière à les ramener fictivement à Vépaisseur e,
c la hauteur totale*
Soit enfin:
^ le rapport 1^, queJ qu'a soit, çatre }» pressioa^Ilmite et la
6 tenslon^limite , rapport que nous
I avons ti-ouvé i= - b- . S^ au
f % 13 de la note du n* USet qui se
i*éduità ^ égal à A dans leaeoips d'égale contexture en tous i
ART. IT. BUrTUEE PAR PLEIL[OV. i/l7
(Da n* ttO).
On troure en réduisant les formules in parajj^pto précé^l^oti et plus facilement d^ine manière directe :
Ck+^'C ^ . ^ ^ .^
3 ^ 12 f+îi+c
B>ur que la plus grande dilatation soit une ^nicUpp i}| do ><! plus grande contraction^ on doit avoir
;r « IJ,. Pa ^, =; ^5~P^ d'où !>'.= j^l^, t'. ;:, f :^
qui, Introduits dans les expressions précédentes, donnent
=^i±IliWç|*.J.M I^«.'.M'-<*-^>^
= ii4lc(î6, + c), ! = «:'
Ces expressions particularisées deviennent :
On voit par les valeurs de b que pour que la condition ^=ni soit remplie , la semelle inférieure b^e doit avoir une surface de plus de 1 fois I celle ce du corps vertical quand*), = j» ©t plus de i fois
168 SEGT. I. EÊ8ISTAMGE DES SOLIDES.
(Da H* t9#}.
quand v). = ç; on peut même dire plus de 8 fois et de 3 fois, car alors b = seulement ô ^i ^^ z ^•
Pour une section symétrique ou à semelles égales de même sui^ face CD, si Ton désigne par des accents les quantités analogues, on a (en faisant dans les premières formules ci-dessus 6 = 6| = 6', ou 7)1 = 1 dans les secondes) :
Pour comparer les résistances à la rupture offertes par cette section et par celle qui a des semelles inégales, on doit bien faire atten-
tion de prendre le rapport de ^ (qui multiplié par R. en est la mesure pour la section à semelles égales) à -r (qui serait, pour rautre, à multiplier par le môme coeflElcient R« limite des tensioiuU et non
pas à -r Qui serait à multiplier par K ^ —, yaleur de la HmiU
des pressions^ supposée plus grande que celle de la limite R, des tensions.
Donc :
1* Si les deux sections ont môme hauteur c* = c, môme sorikce eu' = u) et môme épaisseur e' = e , on aura d'abord par cela seul, pour la seconde :
26'+ c= î^ (26, + c), d'où 6'= i±Ai 6, -i=^ c, 2A • ^, — ec ■ ^,^
AIT. IV. RUPTURE FAR rUIIOlf.
(DU H- t9#).
U en résultera
Rapport des résist. à U rnptiue.
Ripporl des ré^Ui. à U flexion.
D*où
Quand
lPour-i=:
Quand
Pour ^ = i
des résisUoces
kla rnptnrt.
flexion.
1/lG
On voit ainsi que pour même superficie et môme hauteur la section à semelles égales résiste moins à la rupture que la section à
semelles inégales telle que -r = ^i* in&ls toutefois sans que le désavantage excède t^t^*^^ lo rapport des résistances varie de 0,80
à 0,68 en ne faisant pas 6, plus grand que 4c. Et, en même temps, la pièce dont la section est à semelles
150 SLCT. i. UÉSiSïANCE DES SOLIDES.
(Dun*ttO].
égales résiste bien mieux à la flexion élastique, ou prend bien moins de flèche sous même charge. L'avantage est exprimé par un rapport qui vaHe de i,& h 1,9.
On voil aussi, par la colonne t-, que ce rapport des aires des
. deux semelles est bien moindre que le rapport «]i = -r des plus
grandes tensions et pressions des fibres, auquel il serait égal si Ton
négligeait Tinflucnce du corps vertical. 11 faut donc prendre ce
corps en considération.
2* Si Ton donne à ces deux sections des hauteurs dlfl'érentes, do
manière qu'elles offrent même résistance à la rupture, ou qu'avec
r 1 ca' = eu on ait ~r, = ^, ce qui s'exprime par
on ti^Vera, en divisant la seconde égalité par la première
Faisons successivement sur le rapport des deux dimensions des
sections à nervures égales les deux hypothèses - = - et — = ^î
non^ aûlx^ns Mes nombres ~ et -, de la seconde hypothèse se déduisant de ceux de la première en les multipliant par-^ et par ^) :
mt. Vf* nyrruRE far rLExioNé .
(DU n» ifO).
land "h
iand 1<
Si*'-' ^'?-3
Pour
Pour
lÔ
oml
on Yoit que lé désavantage comparatif dea sections à semelles égales disparaît si Ton augmente la hauteur; seulement, leur corps
vertical devient plus grêle, car le rapport -; de Tépalsseur à
la hauteur n'est que des 0,6 aux 0,8 du rapport - relatif aux
sections à semelles inégales de même résistance et de même superficie.
D'un autre côté, les semelles égales ont un avantage considérable sous le rapport de la résistance à la flexion , ou de la petitesse des flèches, qui sont en raison inverse des moments d'inertie r, I
153 SBCT. t. ttsmsMm d» smam,
(Duii«t««). *'
dont nous donnons les rapports s^élevant à plus de 3 et de & à 1« si
Ton exclut les valeors de -^ donnante s 0.
S 18. Application de la formule exacte à la êectian jwgée la mieux proportionnée par M* Hodgkinson^ Conclusion de ce paragraphe et du précédent. — Les approximations du S précédent pouvalent suffire à son objet; mais les formules du S 16 peuvent seules donner des résultats exacts.
Prenbns pour exemple la section en double T en fonte que M. Hodgkinson présente comtee la mieux proportionnée* diaprés les expériences de rupture immédiate où 11 a fait varier successivement les dimensions (^}, et qui a, en millimètres, des semelles inférieure et supérieure de 167,& sur 16 eï 59,2 sur 8, avec une hauteur 130 et un corps vertical de 6,7 de large, ou pour laquelle
e=a,7, 6=59,2, c=130, 6'— 52,6, c'=122, 6^=160,7, c"=16, 6j=167,4 c=130, 6'j=160,7, c\ = iili, 6"j=:52,5, c^|=8.
Not» trouvons d*abord
t/t ^ 1 6>c,»-l 6\cV 4- i b\&\* 371982 .
r' i6c»— i6'c'« + ifc"c"« ■" 13010i "" ^'^^*
doù »' = 33,687, Vj = 96,313.
Si, pour ce rapport ^ de la plus grande compression à la plus
grande dilatation , nous avions pris le rapport des aires des semelles Inférieure et supérieure en négligeant le corps v^lfcal et les carrés
de8épal8«u«.noas.nrIon.en j£:=l||*g»5= 2^ =6,6564 OU près du double de la vraie valeur 2,859.
£t si, en tenant compte du corps vertical, nous avions encore négligé les termes provenant des carrés des épaisseurs, nous aurions
(>] Figure 66 (etpèrieooet IS et 43) H pagei 400 et 404 de la Iradnclioo llbra faite par M. Pirel, des Kechnehêê empérimenUiliê^ ele. {JtntÊU» ifcs Pènto el (CAaiTMéeff, 4*' femetire 4856.
AU. IT. WnUBB rAft flXXlOlf.
(Don* !••).
eu (S 16) j— = -pr^rlf = 3,514, qui excède encore tfen-
viron -r le trai rapport 2,859.
Ed poorsuivant le caleol rigoureux nous obtenons
co = 8862 ■■*.«n<»,2; I = 8 581 7W, p = 254 74».
Maintenant , traniformons cette section.
1* Si, en lui consenrant sa superficie, sa hauteur totale c = 130 millimètres, et Tépaissnj seur 6,7 de son corps vertical, nouschangeonsses nervuresen d'autresqui soient égales entre elles et d*une épaisseur 12, nous trouvons que les semelles auront 131,33 de longueur et qu^on aura
La résistance à la flexion élastique est, comme on volt, augmentée dans la proportion -^ = 1,36, mais la résistance à la rupture
oOo
n'est plus que les i^^ =: 0,705 de ce qu'elle était
2* Rendons à cette dernière résistance sa valeur en augmentant la hauteur de la section devenue symétrique. Soit G sa nouvelle hauteur, B la largeur extérieure ou la longueur des semelles, G la hauteur et B* la largeur totale de Tévidement, on devra avohr (S 12}
BC-FC'=«=: 3862,2; ^^-jg^i^ = p =264749;
d'Où, Si Ton pose
rsniB, C'smC :
15a SEGT. 1. IÊSHTAIIQB DtB SOUDES.
(Du n* ttO).
1— mn 6 1'
1 — mn»*«'lô' ""Cii-^mn)*
Si nous prenons i— m = 0,l, i — n = 0,l2, ced fonnfiles nous donneront les dimensions suivantes :
B = 87,240, C = 212,846 ; ÉpaiMeur du corps 8,724»
Épaisseurs dtt leoMUet — ^ — =: i2,7705«
ou la section figurée d^autre part en ponctué rond et qui offre, avec la même superficie et la même résistance à la rupture que la section eu lignes pleines, une résistance à la flexion bien supérieure, car son moment d'inertie est
ou plus que triple du moment d'Inertie I de la section en lignes pleines.
8*. Si maintenant, en conservant la nouvelle hauteur 0 s SI 2^,85 ainsi que la largeur 87,9 des semelles, nous réduisons répaisseur de la semelle supérieure aux deux tiers, c*est à-dlre k 8,61 en augmentant d'autant l'épaisseur de la semelle inférieure ou en la portant à 17,04» conformément aux deux lignes boriaontales en pomtué allongé^ les formules du $ 16 donnent
La résistance à la rupture est sensiblement augmentée puisqu'on a maintenant 286370 au lieu do 254749, et la résistance à la lléxiMi , mesurée par la valeur de I, est fort peu diminuée et tot^ours un peu plus que triple de ce qu'elle était avec la section primitive en lignes pleines»
4* Oa aurait eu sensiblement le même résultat en augmerdani la largeur de la semelle inf Meure ponctuée au lieu d^augmenter son épaisseur. Et l'on aurait eu un profil plus conforme au ooosell généralement donné de rendre le plus égales possibles les épaisseurs des diverses parties des pièces en m6tal fondUè
ART. iV. RUPTURE PAR FLEXION. 155
(Du n« tfO).
De la discussion contenue datis ce paragraphe et dans le précédent, et à laquelle noua aurions pu donner plus d^étendue sans eo épuiser Tutilité pratique, nous pouvons tirer ces conclusions :
A égale hauteur et à égale superficie, utie pièce eu métal ou autre matière pour laquelle la ré8i8tance4)ermanente H'* à la compression longitudinale excède tl*ètf-sensiblement là résistance B. à Textension, résiste plus à la rupture éloignée si la semelle Infé* rieure ou étendue de sa section en dotïble T a plu^ do surface que la semelle supérieure ou comprimée, que si ces deux semelles sont égales, pourvu que Tinégalité ne soit pas telle que le rapport de^ distances du centre de gravité aux deux bases supérieure et infé-
Heure excède •—, ou qu'elle n'aille pas Jusqu'à produire du côté
devenant concave des compressions longitudinales ayant pour conséquence des dilatations transversales plusf dangereuses que les dilatations longitudinales du côté devenant conveXé; pourvu aussi qu'il n'en résulte pas de déversement ni de flexion latérale de la semelle comprimée^
R' Ce rapport-limite — serait /^ si la matière était d'égale contex-
Ho
ture en tous sens; 11 parait convenable (Ji^Q''^ recherches ultérieures) de le réduire à 3 pour les fontes et à 2 pour les fers.
Mais, môme en lui donnant sa plus grande valeur &, le calcul prouve que la résistance à la rupture obtenue avec les semelles inégales n'excède jamais les 3/2 de celle qu'on a avec des semelles égales pour même surface et môme hauteur.
Et la résistance élastique à lajlexion est considérablement diminuée par rinégalité des semelles qui , ainsi , augmente beaucoup la flèche sous même charge.
En accroissant des 0,/i aux 0,7 la hauteur d'une section à semelles égales, on obtienti pour même superficie, l'excédant de ré* sistance à la rupture qui est susceptible d'être obtenu en les rendant inégales pour même hauteur.
Et l'on augmente en même temps» dans ufie plus fiifte proportloh, la résistance élastique & la flexion*
156 8ECT. 1. EÊ5ISTANCE DES SOUDES.
Lors donc qa!on ne sera pas géoé pour la hauteur, U sera avantageux d'employer, à Faugmenter, la plus grande partie de Pexcédant de matière de la semelle ioférieore de la section non symétrique qu'on aurait proportionnée de manière à offHr égalité de résbtanee sur les deux bases. Toutefois, la hauteur doit être limitée par la crainte du détersemaU ($$ à et 13) susceptible d*ètre produit par une charge légèrement oblique, et par celle de ^Militer la flexion latérale de la semelle supérieure pressée longltudinalement. On devra, par la même considération, consenrer aux semelles une certaine grandeur, et, le plus souvent, pour les fers laminés, faire la semelle supérieure égale à Tantre, les expériences de rupture citées à la fin du S 13 de la notedu n* 113 ne paraissant pas offlrfr de motifs suffisants pour la fttire plus grande que la semelle inférieure.
Dans chaque cas il conviendra de se rendre compte, par les Ibrmules exactes du S 16, ou par un calcul numérique de moments statiques et de moments d'inaUe fait sur Tépure (surtout lorsque la section q^aura pas exactement la forme d'un double T à an^es droits et prononcés) , des résistances comparées de diverses formes avant d*adopter la forme définitive.
Nous reviendrons, au reste, sur ce svg'et dans la partie expérimentale en discutant les résultats obtenus, auxquels U nous sera sans doute donné de Joindre ceux d*épreuves toutes récentes, faites en grand sous la direction de M. Morln.
S 19. DUcussûm relative avx sections en croix ou à nermres égales dans deux sens rectangulaires. — - On emploie quelquefois pour les arbres tournants des machines, ou bien pour les poteaux et les bielles, des pièces à quatre nervures égales appelées aussi pièces à côtes ou à ailes, ou axes emplumés (feathered axis). Noua allons voir qu'elles n'oflVent, à égales quantité de matière, que peu ou point d'avantage sur les sections circulaires quant à la flexion, k moins que les nervures ou ailes ne soient très-fbrtement saillantes, ce que d'autres considérations doivent faire souvent exclure.
Ces sections sont les suivantes.
Le moment d'inertie de chacune est le même autour de tous les axes tracés sur leur plan par leur centre de figure. On prend con-
AIT. !▼. MPTUM PAl PLBZIOll.
(Du 1* §••].
stamment pour valeur de v' le maximum de distance de la fibre la plus éloi* gDée« pour les diverses positioiis de oel axe.
i* Simple croix éTéquerre. Soi^t e la longueur des douUes bras, e leur épaisseur, on a
=2ce~e«, t'==|v'S5T?, I=^+^--n
ou
"('H* ■ ^''VWW^ '
On trouve en conséquence Lorsque - = C (fimple cirré), -^ = ~ = 0,0833, -^ = 0,1176
1,5 • 0,0807 (minimiuii) » . 0,1268
La résistance à la rupture par la flexion augmente constamment à mesure quelerapport - du double bras à répaisseur augmente ; mais
la résistance -; à la flexion élastique n^augmente qu^après avoir eu,
pour 6 == 1, 5 .6, un minimum trés-peu différent de la valeur 0,0796 relative à la section circulaire, et être redevenue ensuite, pour 6 = 26, la même qu'elle était pour 6 = e ou pour le simple carré» On voit, au reste, que Taugmentation de la résistance à la rupture
est peu rapide, et il faut que le rapport - atteigne 8 i/2 pour que
cette résistance — « d'une pièce & section en croies atteigne la va-
158 sjurr. I. UiUTAvci ocs souocs..
(Du H* !••).
leur 0,14105 = -^ qu'elle a dans une pièce cylindrique on à sec-
lion oircttltire.
Noui nVons pas calculé -; eu égard aux au^rmentations do va-
leor pouvant résulter de la supposiUoii de troncatures qui diminuent v' plus que I, parce que, lorsque Taxe du moment d'inertie est parallèle k la base supérieure AB =: e, les deux conditions du S 8 de la note du n* 113 (p. 09 et 100) pour qu*une troncature augmente
le quotient -? sont, ici, (c— c)e' > 2c*c et {c—e)€^> cé^(c+e) qui
ue se trouvent remplies ni Tune ni Tautres d'où il suit que la seule troncature capable d'augmenter la résistance consisterait à échancrer un peu un angle tel que A lorsque Taxe du moment est CD perpendiculaire à OA, ce qui ne produirait qu*une augmentation négligeable.
2* Section carrée avec quatre nemtres. On a, 6 étant le côté du* carré servant de noyau, c la longueur d'une double nervure y compris }a largeur de ce no^au, et e l'épaisseur des nervures
u> = 6«+2(c-6)«, I=~[ec«— e6»4-(c— 6)c»-}-6*]
la plus grande des doux longueurs
0D=|6v^ OA-|v^?T?,
Ou la l'* longueur tant que -r n'atteint pas y 3— (^\ ou que laaee*
tion n*est pas inscriptible dans un
cercle, en sorte qu'on ait OA=:OD;
Et la V longueur ensuite.
e 1 D'oA, en adoptant ^ s ^ = a,2 :
iwf, IV. nyPTuai^ l'A» FuxiOtf. 199
(DU n» ttO).
Si X = i ifi»^ »M Dtrriire») i = 0,0888, — ^ =» 0»4^76
1,8 • 0,OOAd 0,1197
On voit qu'à égale Burll&ce éè section la résistance élastique est d'abord diminuée par Taddltion de nervures; puis, passé la valeur I s 1,4 = W 2 — r| j qui rend la section iiuporiptibld û$m un cercle, cette résistance est augmentée. Quant à la résistance & la rupture par flexion, elle augmente d'abord jusqu^à t === 1,4 puis
elle diminue, et redevient, pour | = 1,8, ou pour les nervures
dont la saille est un peu moindre que la demi-épaisseur du Qoyau , peu dlflférente de ce qu'elle était sans nervures; elle n'augmente que pour des nervures plus saillantes. Et elle n'atteint la valeur
0,U10 relajâve au cercle que pour r^^ environ , ou pour des nervures ayant leur saillie égale à la largeur du noyau.
Une troncature qui consisterait seulement à échaiierer ou ehanfreiner xm peu l'angle p ou l'^gle A parallèlement aux diagonales
D%\ lk!W' augmenterait trop peu ~, pour qu'il y eût lieu de tenir
compte de cette augmentittion (S 8 de la note da n* 113), S| elle consiste à accourcir la double nervure verticale en lui donnant une longueur c^ un pen moindre que celle c conservée 4 la nervure hojriwDftOe, i devient, pour »'= pA, ^^i'-^^' (^^)^ + 6^ ^^ 1.4 dériyée par rapport à c^
160 SECT. I. BÊSISTAlfCB OBS SOUDES.
(DMA* !••).
ne sera négatife. quand 6 s 5^, qne pour - <6»225, ou | < i,2A5.
Gomme cette yaleor de ^ est moindre que celle y ^*~(l) ^ ^** pour laquelle on cesse de prendre v' =s OD = ^ 6v'3pour commeo-
cer à prendre t/ == oA ±s s ^c*+^, on voit que -7 n*augmaitara
pas en diminuant la longueur delà double nenrure Tertlcale.
La prise en considération des troi^oatures possibles ne changera donc pas sensiblement les conclusions précédentes.
8* Section carrée avec quatre nervures en prolongement dee diagonales» Soient
b le côté du carré,
c la longueur d'une double nervure y compris la diagonale qu'elle prolonge, et e son épaisseur.
Le moment d'inertie se compose de celui ^ (e(^+ ce*— e^) de la
croix d'équerre qui resterait en enlevant les quatre triantes tels que ABCp et de quatre fois le moment d'inertie .A^ de ce triangle. Gomme on a ses côtés:
^. ^)L^g AB=DC=6Ç-2BD=6.^-^.
J et par conséquent Taire de ce triant
w' = I (6— s V^' 9 on peut, pour son moment dlnertle autour de la diagonale Ui du noyau » appliquer hiformule
du S 6 de la note du n* 83 , en substituant les ordonnées de ses
trois sommets A, B, G, y=|f y'-|f y^=^-5- — 1« ï^ ^ex-
e* b* ck»'
ttnôme entre parenthèses se réduit <^ ^ + -j* Multipliant par ^,
(Du n* f tO).
quadruplant et ajoutant le moment d'inertie de la croix , on obtient
On a
et Taire w = 6« + c« + 2e (c-— 6v^2). D'où, adoptant ^ = | ou l'épaisseur des nervures égale au quart du côté du carré :
Si I = v^2 = l,ûlA2 ; ^ =i 0,0863; -ij := 0,1239
f;a résistance à la flexion élastique augmente constamment Mais la résistance à la rupture par flexion n^augmente qu'après avoir diminué; elle ne vient à surpasser sensiblement celle 0,14105 du cylindre à section circulaire que pour t =* 3 ou pour des nervures
comme celles de la figure, et qui sont très-saillantes. De même que pour le cas précédent, la troncature d'un angle en
chanfrein n'augmenterait p que d'une manière négligeable ; et toute
réduction de la double nervure verticale à une longueur moindre
que c, diminuerait -., quand ^ =^et g = au moins v2' H n'y »
pas lieu de prendre les troncatures en considération.
102 S£CT. l. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
(Du n« itO).
A" Section composée d'un noyau tiica-aire de rayon T et de qualie nenures ayant une épaisseur e ci une saillie s. — On peut la partager : i* en un rectangle de largeur e et de hauteur 2r+2i; ^êû deux autres reotanglei de hauteur e et de largeur
en
quatre portions de cercle p'm'my comme celles qut ont été considérées au (2*) du $ 3 de la note da
n*" 84 , et pour lesquelles Tare am'' = x' = arc sin â- • On a donc u»=c (2r-f a*) + 2fi (s 4-r-\/>«-|\ + 4r« ^^ - arc sin 5\
t?'=\/(r+*)«-fy.
c i Ce qui donne, en adoptant - = - : •
Simple rerclo ^ = 0,07958; -^ = 0,U105
r'eo*
Los nervures augmentent constamment, à 6gale superficie, la résistance à la flexion, mais elles diminuent d abord la résistance à la rupture par flexion, qui n'arrive à surpasser ce qu'elle était sans nervures ou pour la simple section circulaire, que lorsque la saillie de celles-ci atteint 1 f^'" 1/2 le rayon du noyau.
ART. IV. RUPrURt PAR FLfcXiON. 163
191. Considérons un solide prismatique (Fig. 0) encastré horizontalement h l'extrémité A, et chargé à l'autre extrémité M d'un poids. Nommons
r le moment de rupture, évalué conformément aux n~ 113 et suivants, d'après la figure de )a section transversale du solide ;
P le poids suspendu à Textrémité M du corps;
a la distance horizontale de la section A à la direction du poids P ;
8 la longueur AM du solide ;
/ la flèche de courbure CM.
Par le même motif que pour la section carrée avec nervures, il n'y pas lieu de s'occuper ici des troncatures possibles.
Conclusion de ce $ 19. — On reconnaît ainsi qu'il y a nécessité absolue, avant d'adopter un profil à nervures ou à quatro ailes y de se rendre exactement compte des résistances qu'on peut en attendre à égale quantité de matière.
Et même, si Ton considère que les arbres de transmission de mouvement, pour lesquels surtout on a imaginé ces sortes de profils, sont en même temps soumis à la torsion, et que les nervures ont fort peu d'influence sur la résistance à la torsion, comme on verra aux notes des n°» 156 à 160 , en sorte qu'à égale quantité de' matière elles diminuent Irès-sensiblement cette sorte de résistance, on partagera, quoique par une antre raison, l'avis de M. Tredgold {Practical essay on the sirength ofcasiiron^ 182/i)qui préfère, pour ces arbres, les sections circulaires sans nervures.
Les sections en croix paraissent ainsi devoir être réservées pour les pièces sollicitées debout ^ comme les poteaux et les bielles , et à la condition que les bras de la croix seront assez longs pour augmenter très-sensiblement -| ou la résistance élastique à la flexion,
qui est ce qu'il y a d'essentiel à considérer dans les pièces sollicitées de cette manière.
lO'i
La rupture tend à se faire dans la section A, et les conditions (le l'équilibre sont exprimées par
r r = Prt , rt'oû P = - ; (i
on h peu près , en supposant que la courbe du solide est l'élastique du n** 86 , ce qui donne 5 r= a -f -~ ,
122. Considérons présentement un solide prismatique (Fig. 10), posé horizonlulement sur deux appuis, et chargé au milieu. Nommons
2P le poids suspf^ndu au milieu A du solide ; n la moitié CM de la distance des appuis ; /' la flèche de courbure AG ;
a l'angle de la tangente à la courbe en M, M' avec l'horizontale MM'. •
La rupture du corps tend à s'effectuer au milieu A. L'eflTort exercé contre l'appui M (abstraction faite de la considération du froltement sur cet appui) est une force normale à la courbe du solide, dont la- composante verticale est P, et la composante horizontale P tang a. Par conséquent , en supposant que la
courbe du solide est l'élastique du n° 80 , d où tang « = ^, les conditions de l'équilibre s'expriment en posant
r = P.a + P./'tangot, ou T=rPa (i+^A;
d'où
n -j-» /* tang 1'
ou ^2P =
AUT. IV. RUPTUBE V\l\ FLEXION. 165
123. Considérons un solide prismaliquc droit encastré horizontalement à une c-vtréinilé , comme celui qui est représenté Fig.* 0, et clmrgé de poids distribués arbitrairement sur la longueur AM. Nommant
X la distance horizontale d'un point quelconque du solide à
rextrcmitc A ; p la valeur du poids suspendu en ce point, rapportée à Tu-
nité de longueur, et donnée en fonction de x-, a la distance AÇ ;
ou aura, pour exprimer l'équilibre
ffX.
124. Si les poids portés par eliacm dos éléments de la longueur du solide sont égaux entre eux, p est constante, et l'on a /
Ainsi le solide serait également rompu par un poids distribué conformément sur sa longueur, ou par un poids moitié moindre, suspendu à rextrémité B.
123. Lorsqu'un solide posé horizontalement sur deux appuis, comme on Ta supposé n' 122, est chargé par des poids distri- ' bues uniformément sur sa longueur, p représentant la charge correspondante h l'unité linéaire, on n pa cipa. tang a pour les composantes verticale et horizontale de la pression supportée par les appuis. Par conséquent, en supposant que la courbe du
solide est l'élastique du n** 90, d'où tang a = ^^ , les conditions de
réquilibrc sont exprimées par Téquation
x=pa.a + pa.fUxnga—pa^,
166 SECT. -J. nÊSlSTANCE DES SOLIDES.
OU
r = pa(l+fianga\, ou ijja= — ^r^^.
Ainsi (en négligeant le carré de - | le solide est également
rompu par un poids distribué unirormémcnt sur sa longueur^ ou par la moitié de ce poids placée au milieu.
12tt. Lorsque le solide prismatique , posé horizontalement sur deux appuis ^ est chargé à la fois du poids S^P placé au milieu; et du poids constant p sur chaque unité de longueur, l'équilibre est exprimé par l'équation
r = {P+;)a)a + (P + />a)/'tanga— /w.-, ou
d*où
r = (P + />a)(a + /^tanga)-^,
^p^2r— />a(fl + 2/'tanga) a-j-/*tanga
Dans le cas dont'il s*agit , en supposant la courbure du solide déterminée conformément à ce qui a éié fait n** 90, on a
tanga= ^„ "j „ . — ; celle valeur doit èlvc substituée dans ^ 8P + bpa a
les équations précédentes {*).
(*) Cette expression de tang a résulte immédiatement delà division de la dernière par ravant-dernière équation du § 3 de la note
du n** 90 (page 83). On néglige les termes en [ |r j p{irce que la
substitution de cette expression à tang s dans celle de 2P du texte
no donno que des tormos en K j trùs-poiits.
ART. IV. WPTDnE PAn FLEXION. 167
127. Pour îippliqiicr 1rs résultats précédenlsh un corps donne, il faudra substituer à la place de r rexprcssion du moment de rupture qui convient h la figure de la section transversale do ce corps , conformément aux n*^ i 13 et suivants. On donnera ensuite à la constante R la valeur qui convient h la nature du corps, et qui doit être déterminée par Tobsenation.
Les observations au moyen desquelles on détermine la valeur de cette cx)nstante consistent à placer horizontalement un solide prismatique sur deux appuis , h le charger au milieu par des poids de plus en plus grands, et à observer simultanément le poids qui cause la rupture , et la flèche de courbure qui a lieu h rinstant où cette rupture est prête à s'opérer. La section trans* versale du solide étant un rectangle (Fig. 2) dont les côtés sont
* et c , on a (n« H5) r = R -, et {o' 122), 2P = ,
"0 + ^) m faisant abstraction du poids du solide. Donc
