îi

l,4l75Ry

V 2=1, il 42

4,65iO

m = co

QO

AnX. IV. BUPTURK PAR FLEXION,

( Du D» lAl ).

L'épure ci-dessous représente . & droite de U verticale AA, =s c, prise pour axe des r» toutes les lignes courbes de traction

|}=Il Ti — f 1 — p j J dont les abscisses (aussi verticales) sont les

distances v des diverses fibres étendues à la ligne neutre et dont les ordonnées (horizontales) sont les tractions correspondantes p pour les valeurs m = 1 à 7 en sorte que» pour toutes, on a AB ss la cohésion R. A gauche elle donne les lignes de pression dont les abscisses

comptées de haut en bas sont r^ et les ordonnées horizontales sont Pi; lignes que nous remplaçons par des droites, vu, comme nous avons dit, que leurs sommets analogues à B seraient fort audessous de A, pour dos matières qui, comme la fonte, les pierres dures, etc , résistent beaucoup plus & la compression qu'à Textension lorsqu'on approche de la rupture. Ces lignes droites se roc-

(Du D* I6i].

cordent avec les courbes de traction , ou leur sont tangentes, aux points de passage à travers la verticale AA^ , points qui représentent les diverses projections, suc le plan de la figure, de la ligne neutre rencontrant les fibres qui ont conservé ou repris la longueur primitive à l'instant de la rupture ($ précédent), ou qoi sont les diverses origines des abscisses v, v^ , et qui se trouvent placées sur AA| de manière que les aires triangulaires rectilignes de gauche soient équivalentes aux aires triangulaires curviUgnes de droite afin que la condition d'équilibre de translation soit remplie.

Les courbes qui résultent des valeurs les plus fortes de l'exposant m sont assez analogues à celles qui représentent les expériences de traction des fils et des barres métalliques de MM. Bomet^ Seguin, Ardant(*).

On voit que ,

Pour m = 2,35 environ. Ton aM = 5rR-s- = R<»>Tt

Pour m = 6 M=2R -ï- = R*» -,

résultats qui sont dans les limites des expériences anciennes de Mariette et de celles plus récentes de MM. Fairbairn, Hodgkinson, Henry James,, etc.

La supposition m = oo n'est autre chose que Phypothèse de Galilée^ suivant laquelle la force de résistance des fibres tirées serait constante à Tinstant de la rupture du solide , et celle des fibres

6o* comprimées serait indéfinie. Le résultat M = R -^ est une limite

supérieure.

On voit que le calcul explique comment le moment des forces

qui produisent la rupture immédiate des prismes rectangles par

flexion, au lieu d'être constamment égale à -s- = Rw -, où R6c = Rw

représente la résistance immédiate à la rupture par traction , a une

(*) N* S90 el figure 48 do V Introduction à la mécanique industriêUe de U. Poncclcl; oa bien n<* 9 et fig. 4 de la Résistance des matériaux de M. Morin. vojei aussi plas lolo le Complément des art. i è vi.

ART. lY. RUPTURE PAR FLEXION. 185

De la rupture d'un solide prismatique dune petite longueur.

152. Les notions précédentes ; comme on Ta remarqué au n'^ 79; ne peuvent être appliquées avec exactitude qu'autant que la longueur du solide prismatique est beaucoup plus grande que les dimensions de sa section transversale. C'est effectivement ce qui a lieu dans les cas qui se présentent le plus fréquemment dans les constructions et dont la considération est le plus importante. A l'égard des cas où la longueur du solide surpasse peu les dimensions de la section transversale , ou même est plus petite que ces dimensions, comme ils n'ont pas été suffisamment étudiés par l'expérience , on se bornera à présenter à ce sujet quelques aperçus.

Considérons le solide AM (Fig. 9) encastré horizontalement à une extrémité, et supposons d'abord que le fil auquel est suspendu le poids P soit placé dans le plan de la section A, c'està-dire contre la face verticale du corps dans lequel l'extrémité du solide AM est encastré. L'action du poids P ne tendra pas alors à faire fléchir la portion AM du solide ; mais elle tendra à séparer cette portion de celle qui est encastrée, et avant que

valeur comprise entre —t- donné par Coulomb et -^r- donné par

Galilée. <

Mais ranalyse précédente peut faire mieux que de fournir une

explication des faits observés. Elle peut prévoir ce qui arrivera

dans des cas sur lesquels n*a pas porté Tobservation. Ainsi , des

R6c* expériences de rupture ayant donné M = n . — ^ pour une pièce

à section rectangle , on déduira du tableau précédent la valeur à attribuer à Texposant m (par exemple m = 5à6 8in=:2 environ comme on a trouvé pour la fonte) ce qui pourra servir à calculer par les formules précédentes la résistance, à la rupture immédiate ou prochaine , de pièces de même matière, ayant une section de forme non rectangle. Nous renvoyons plus loin les applications.

cette séparation ne s'opère ^ les fibres qui unissent les parties prêtes à se disjoindre se seront allongées d'une certaine quantité. Il est naturel d'admettre que l'effort nécessaire pour produire cet allongement soit proportionnel : 4' à Taire de la section tranversale du solide; 2° à la grandeur de rallongement dont il s'agit. Par conséquent^ si la section transversale est un rectangle dont b représente le côté horizontal et c le côté vertical ; et si nous désignons par

0 l'allongement dans le sens vertical (supposé très-petit) des

parties du solide placées dans la section transversale A ; D un coefficient constant spécifique représentant la résistance du corps à un glissement d'une partie sur Tautre dans le plan de la section transversale ; TefFort dont il s'agit sera représenté par D5 . bc. Nous écrirons donc ici pour équation d'équilibre

P == Do . 6r ;

et nous concevrons que la rupture aura lieu lorsque l'allongement 9 aura pris une valeur telle qu'il entraîne la disjonction des parties du corps. Le poids qui causerait la rupture serait donc proportionnel à l'aire de la section transversale (*).

(*) % i. De la résistance au glissement relatif des parties d^un solide. Circonstances diverses ou elle entre en jeu, — Ce n* 152 n*exi8tait pas à Tédition de 1826. Navicr Ta introduit dans celle de 1833 évidemment pour répondre à Tun des reproches que M. Vicat venait de diriger contre toute la théorie de la résistance des solides, notamment en raison de l'omission de l'espèce de résistance dont il s*agit, qui s'exerce en A et à laquelle il donnait le nom de force transverse.

C'est, dit l'illustre Ingénieur (') la résistance « à toutG disjonction par le mouvement tangentiel des parties les unes sur les au-

(^) Page \ des Recherches de M, Vical sur îes phénomènes physiques qui précèdent et accompagnent la rupture et Vaffaissement cTune certaine classe de solides. Annales dex ponts et chaussées 4833, deuiième scmeilre.

(Du »• 159).

très 9 ou « à tout eATort qui tend à diviser un corps en faisant glisser^ pour ainsi dire, une de ses parties sur i'aiitre, sans exercer ni pression, ni tirage iiors de la face de rupture. »

L'existence de cette force intérieure signalée par M. Vicat n'avait pas échappé à Coulomb, car, dans son beau mémoire de 1773 (cité au S 3 de la note du n"* 3) il dit, à propos de la rupture d'une pièce fléchie a que la formule n*est exacte qu'autant que la force inté- | rieure agissant dans le plan même des sections transversales n'in- • flue que très-peu , ce qui est vrai lorsque la longueur est beaucoup plus grande que V épaisseur, n Et un peu plus loin il fait entrer cette force tangentlelie dans le calcul, mais seulement pour les massifs de terre , de maçonnerie, etc., en ajoutant qu'on peut par sa considération se rendre compte de la résistance des blocs eux-mêmes h l'écrasement, ce que nous avons discuté à la même note du n' 3.

Th. Young l'avait également aperçue comme résistance à ce quM appelait la défrusion (l'action de pousser dehors ou de chasser de côté \ rangée par lui après Textension et la compression des solides (0 et qui est produite, dit-il, « lorsqu'un effort transversal agit contiguêment ou tout contre {close) de la même manière que les lames d'une paffre de ciseaux. » Il faisait consister la solidité ( hardness) dans cette force d'adhésion latérale dont les fluides sont dé* pourvus, etc.

M. Vicat remarque avec raison qu'il y a un grand nombre de circonstances où les pièces solides sont ainsi sollicitées à rompre par glissement parallèle aux faces de rupture. Dans ce cas, dit-il, se trouvent (p. 2Zi3 de son mémoire) les tourillons, les tenons, les crochets, ainsi que les goujons (p. 2/i8), les clefs ou clavettes, etc. — Nous pouvons y njouter les corbeaux, taquets et tasseaux, ergots ou talons, boulons de chaînes plates et de poulies ou de palans, les queues d'hironde et les bouts de pièces moisées ou embrcvées, les dents d'engrenage ou d'embrayage, les bagues ou embases, les filets de vis et d'écroux, les rivets unissant les plaques de tôle soumises à la traction , et généralement toutes les pièces que des forces

(1) ^ courte of lecture» on nalural Philosophy and mechanical ÂrU. Loodon, 1807, TOI. I, p. 435, lecture Xni (On passive Strengthl.]

(Du II* 169).

transversales tendent & trancher ou à cisailler (terme très-expressif employé par M. Love). Il convient d*y Joindre les couches de mortier qui unissent les assises des murs de soutènement ou les voussoirs des reins des voûtes.

Les pièces même de charpente d'une certaine longueur, qui sont posées aux deux bouts, et qu'une force appliquée au milieu fait fléchir^ ont, tout auprès des points d'appui, une tendance à rompre par glissement , dont il faut tenir compte quand on calcule leur profil d'égale résistance (voy.cîaprès S d de la note du n» ibà). Quelquefois c'est au milieu des pièces et non à leurs extrémités que s'exerce surtout cette tendance au glissement transversal, comme il arrive aux rayons ou bras ACB de roues de voitures ou de machines* qui , en transmettant le mouvement du moyeu A aux jantes B, s'infléchissent de part et d'autre en sens opposé & partir du milieu G, où il n'y a que glissement sans flexion (»).

Nous montrerons aussi, bientôt (art V, note du n* 156), que la torsion n'est autre chose qu'un certain glissement ihégal des parties , sur les divers éléments des sections transversales des pièces, de même que Inflexion est ramenable (n* 77) à des extensions ou compressions variables d'une fibre à l'autre. C'est ce qu*avait remarqué Young, qui faisait consister surtout la torsion dans un déplacement latéral (détrusion) des côtés opposés d'un prisme dans des directions aussi opposées.

Enfin la résistance au glissement s'exerce non-seulement dans un sens transversal aux pièces mais aussi dans un sens longitudinal, car tout efibrt qui tend à faire glisser les sections les unes devant les autres tend aussi, comme nous verrons, à faire glisser lesjibres les unes contre les autres. Ces deux glissements sont môme insé-

(>] Celle ingénieuse remarque a éuS faite par M. Poncelet à la Faculté des sciences, dans ses leçons de 4840, où il a cité arec bieiiTeillance ce que nous arions dit, dans un cours lilhographiô (1 837-4 83S|^ de la résistance au glissement en général, et de sa mise en ligne de compte lorsqu'elle se compose arec les rési»- Unces è Textension et à la flexion dans un mèoie endroit (ci-après note du n* I54l.

(Du D« tn).

parables. Et c'est à quoi on peut attribuer souvent la fente longitudinale des bois et autres corps fibreux.

S 2. Observation sur la manière dont la résistance au glissement est estimée aux n** 152 à 155 du texte, — Dans ce que dit ici Navier et qui a été évidemnftnt improvisé, on voit qu'il envisage le glissement relatif des deux portions d'un prisme situées de part et d'autre d'une de ses sections transversales supposées verticales, comme dû à de certains allongements verticaux de fibres horizontales qu'il ne définit pas, quoiqu'il les regarde, au n* 15û, comme susceptibles de se composer, à la manière des forces ou des petits déplacements rectangulaires, avec les allongements horizontaux dus à la flexion. Mais les deux notes ajoutées par lui , aussi en 1833, au n** 159 relatif à la torsion, et au n* 167 relatif à la rupture par torsion (voy. ci- après) prouvent, par leurs conclusions relatives aux valeurs des coefficients numériques, qu'il envisageait quelquefois les choses d'une autre manière, en rapport avec ce que nous allons en dire en rappliquant au glissement sans torsion.

S 3. Définition et mesure du glissement des lignes matérielles les unes devant les autres, ou sur ces lignes. Il a toujours lieu simultanément et également des deux directions rectangulaires. — Dans un corps élastique dont les particules éprouvent des déplacements relatifs très-petits, variant de l'une à l'autre avec continuité, les très-petites lignes droites parallèles et peu distantes peuvent être regardées comme restant droites et parallèles. Soit donc mnqp un petit rectangle matériel, et m^n^q^p^ le parallélogramme très-peu obliquangle dans lequel il s'est changé; si g est le pied de la perpendiculaire abaissée de ti, sur wiiPi, le côté nq a glissé de TWjg devant le côté parallèle mp. Rapporté à l'unité de distance des côtés, ce glisse-

ment est — î^, quotient qui peut être regardé comme indépendant de la distance elle-même tant que cette distance reste trèspetite, en vertu de la continuité supposée, ou de ce que les autres

(Du 0* I&9).

côtés mn, pq restent sensiblement droits; en sorte qu^on peut le prendre pour mesure du glissement de la matière du corps sor la ligne mp^ dans le plan nmp.

En même temps, si g' est le pied de la perpendiculaire p,g' sur m^n^ , le glissement sur le côté adjaceilf m^i, rapporté aussi à Tunité

de sa distance à pq est ^^ ; quotient égal au premier -^^ qui

mesure le glissement sur mp.

Nous appelerons donc généralement :

Glissement de la matière d'un corps solide sur Fune ou Vautre de deux petites droites matérielles primitivement rectangulaires qui se coupent ^ et dans le plan qu'elles font ensemble^ la prcjec'^ (ion actuelle ^ sur chacune ^ de Vunité de longueur portée dans la direction de Vautre,

Et nous dirons qu*il est la même chose que le glissement relatif des droites parallèles à chacune, prises dans le môme plan et à de très-petites distances.

11 revient, en grandeur, au cosinus de l'angle n^m^p^ devenu légèrement aigu^ ou au sinus de la diminution éprouvée par cet angle primitivement droit. Il est sensiblement égal à ce petit rétrécissement angulaire lui-même^ mesuré en arc d'un rayon égal à Tunité, ou bien à la petite inclinaison acquise par chacune des deux droites wi,7i,, w,pj sur la normale à Tautre, ou encore par la normale ancienne sur la normale nouvelle à Vune d'elles, dans ce môme plan.

S Û. Glissements sur une face ou sur les droites qui sont tracées ^ et dans les plans normaïuc à cette face plane ; ou glissçments divn-s sur la droite qui lui est normale. Leur maximum ^ om glissemont principal sur cette droite normale ou sur cette face^ — Soit jnp une petite face plane qui sera par exemple un des éléments d'une section transversale ampb d'un prisme, devenue a^m^p^b^ par suite des déplacements de ses points. î^i ïWjn, etm^u représentent ce que ' sont devenues la normale mn à cette face et une ligne quelconque mu tracée dans son plan , comme ces deux lignes primitivement perpendiculaires sont généralement devenues légèrement obliques l'une il l'autre, si l'on prend wî,7?i pour unité do longueur, la pro-

(Du n» t&9).

fn

jection T/ijg' de m^n^ sur m^u représentera ( § précédent ) le glissement sur mu et sur la normale mn dans leur plan tiww.

Nous l'appellerons quelquefois glissement sur la face dans le sens mu.

C'est, en effet, la quantité dont deux éléments correspondants 7ig, mp de deux faces parallèles et très-voisines ont glissé Tun devant l'autre, estimée dans ce sens et rapportée à lunité de leur distance. Mous appellerons glissement principal celui m^g qui a lieu suivant miPi, projection actuelle, sur la face, de la ligne m(n^ qui lui était primitivement normale.

C'est la projection^ sur la face, de Vanité de longueur portée sur cotte normale ancienne. Il est le plus grand parmi tous les glissements tels que m^^' qui ont lieu sur la face ou sur ses lignes génératrices rnjW, ou, ce qui revient au môme, parmi les divers glissements sur une même droite mn qui est la normale à cette même face, dans les divers plans qui la comprennent. En effet m^g' e»t aussi la projection de Wjg sur m^u.

En sorte que si Ton appelle :

^ le glissement principal ywjg sur la face ou sur sa normale ;

g', g" les glissements 77îig', rw^g" dans des plans nmu^ nmv primitivement perpendiculaires entre eux ainsi qu'à la face , et suivant leurs întersections rectangulaires mu, nw avec celles-ci, ainsi que suivant leur intersection commune 77m ;

a l'angle ump que la première intersection mu fait avec la droite mp suivant laquelle se projette sur la face, après les déplacements, la ligne mn qui lui était normale;

on aura

g'=gC0S3t, g" = g Bina,

g = Vg' 4- g"«.

Le glissement principal est résultant géométrique de deux glisse-

(DU n« 169).

-ments dans des plans ou suivant des lignes à angle droit 11 mesure le glissement relatif des éléments superficiels correspondants mp^ nq de sections ou faces parallèles très-voisines ab^ cd deyor nuesaj^i, Cjdj.

Le plan du glissement principal est aussi celui qui passe, après les déplacements , par la droite tangente à la normale ancienne m^7^^ à une face et par sa normale nouvelle mjA.

S 5. Efforts tàngentiels. Ils sont proportionnels à la fois aux glissements dans leur sens et aux surfaces. Coefficient d*élasticiié de glissement, — Si , sur une portion finie mp = oi d'une section ^m ou autre surface plane imaginée à rintérieur d'un

solide homogène, toutes les petites normales matérielles nmn sont supposées s'incliner, en devenant Wirn/ij, d'un même petit angle 7?imrt = g et dans le même sens qui sera, d'après les définitions du S précédent, celui du glissement principal mesuré par g, les écartements et rapprochements qui en résulteront entre molécules très-proches, situées de part et d'autre de la surface co , développeront des actions dont les résultantes partielles seront les mêmes à travers tous les éléments superficiels égaux dtû de cette face.

D'où il suit que la résultante générale de ces actions , protoquée par un glissement principal constant g sur cette face, sera proportionnelle à la superficie w.

Cette résultante ou action totale sera aussi proportionnelle à g en vertu du principe général de proportionnalité des efforts à leurs efiets très-petits, du S 2 de la note du n"* 21, puisque nous supposons que cette petite inclinaison des fibres sur la face eu est la seule modification qui rapproche ou écarte les molécules situées à de petites distances de part et d'autre de cd. On aura donc en appelant :

P la résultante, décomposée (au besoin) tangentiellement à la

face b) ou projetée sur son plan G un coefficient constant dépendant de la matière du prisme, p = Gwg.

(Du n» 15»).

De plus, la force tangentielle P aura, sur la face c», la même direction que le glissement principal g si la matière est d'égale contexture en tous les sens transversaux ou parallèles à cette face, car il n*y a pas de raison pour que la résultante se dirige à droite plutôt qu'à gauche du plan dans lequel s'incline la petite normale mn qu'elle rencontre sur la face.

Si donc nous appelons :

g' le glissement sur la face, suivant une droite quelconque mu qui y est tracée,'0u le glissement sur cette droite et sur la normale mn dans leur plan nmu;

P' la résultante des actions moléculaires, décomposée parallèlement à cette droite mu ;

aTanglepTTm;

n y aura le môme rapport entre g' et g qu'entre P' et P et l'on

aura

P' = Gù>g'.

On voit que l'effort tangentiel, estimé suivant une droite quelconque tracée sur la face <ù où 11 s'exerce, est égale au produit de la constante G par Taire <ù et par le glissement suivant cette droite. Cette constante G est ce que nous appellerons le coefficient dré-

lasiicité de glissement.

p» • C'est le rapport de Teffort tangentiel -- exercé dans un sens quel-

tù

conque par unité superficielle au glissement sur la face dans ce sens.

Les expressions P = GcDg, P' = Gcog' des efforts tangentiels subsistent lorsqu'il y a, outre les glissements, des dilatations dans des sens perpendiculaires ou parallèles à la face u si la contexture est toujours supposée la môme en tous sens au moins autour de ses normales, et symétrique par rapport au plan de a> ; car, alors, les dilatations n'influent pas sur les résultantes d'actions moléculaires décomposées tangentiellement; comme Jl est facile de s'en convaincre.

§ 6. X^ résistance à un glissement peut être regardée comme une résistance à une dilatation et à une contraction simultanées et I. 48

(DU n* IM).

moiiié moindres, ayant lieu dans des directions rectangulaires qui font Vune et Vautre un angle demir^roii aicec les lignes glissantes. — En effet soient mp, nq les deux petites droites parallèles qui oot gllss6 Tune devant Tautre de nn^ — qq^, ou soit mpqn le petit rectangle changé au petit parallélogramme (ntpq^n^ que nous supposons de môme base et de même hauteur afin de simplifier esa abstrayant les dilatations des côtés ainsi que les déplacements généraux dans PeqMce). Dans 06 changement, le point 9 s'est éloigné da point m, et le point n s^est rapproché da point p. Les deux diagonales mq^ pn as sont donc, la première dilatée» la seconde contractée.! Abaissons pk perpendiculaire sur la première mq^ et Ç|< sur son prolongement ql Et soient :

z = ^ la dilatation ou la proportion de rextension de cette

diagonale mp,

g r=r Sii le glissement (d'après la définition S 8). PQ

Les deux triangles semblables Iqq^, kpq donnent la proportion

si = 2ïi d'où .^ = ^^ pk pq' mq pq

mq'

eu

mq

Mais le rapport ^^^ de la hauteur à Thypoténuse du triangle ree*

tangle mpq est le plus grand possible lorsque la perpendiculaire ^ se confond avec la demi-diagonale po du rectangle double» et la valeur de ce rapport est alors égale à i/2. C'est donc pour pq = pm, ou dans une direction mq prise à /i5 degrés que le glissement pnn duit la plus grande dilatation. Et cette dilatation est

ou la moitié du glissement.

(Du n» 159).

La pi as grande contraction de pn, deuxième diagonale» a lien aussi quand elle est inclinée d'un demi-droit et elle a la môme

grandeur |;

Tout glissement équivaut donc à une dilatation et à une contraction moitié moindres 9 suivant des directions faisant dans son plan un angle demirdrott avec les lignes ou les faces sur lesquelles il a eu lieu, La résistance au glissement peut ôtre regardée comme une résistance à cette dilatation et à cette contraction obliques. C'est, si Ton veut, la résistance à la transformation de petits carrés en losanges et de petits cercles matériels anc en ellipses a^n^c^ par l'extension d'une des diagonales ou d'un des diamètres à US degrés et la contraction de l'autre. Iléciproquement une dilatation dans un sens quelconque, avec ou sans contraction dans des sens à angle droit, en allongeant ou accourcissant les côtés de petits rectangles formés par des lignes parallèles et perpendiculaires à ce sens, change en parallélogrammes les petits rectangles dont les côtés y sont inclinés, et produit pacr conséquent des glissements; excepté dans le seul cas où il y aurait la môme dilatation ou contraction dans toutes les directions. j^

$ 7. Limite des glissements déduite de la limite des extensions^ dans les solides d'égale contexture en tous sens. Limite des efforts iangentiels, — U suit de là que si l'on peut faire supporter à une pièce solide d'une manière permanente* sans danger d'énervation et de rupture môme éloignée, des tractions longitudinales capar blés de l'étendre dans une proportion désignée (SS 12 de la note du n*" 21 et 10 de la note du n** 113) par

et si l'on suppose sa matière telle que, dans tous les sens, eette 11-* mite des extensions dangereuses soit la môme que dans le sens lon-^ gitudinal, on peut, aussi sans danger, faire glisser les uns devant

196 SECT. I. HÉSISTANCE DES SOUDES.

les autres les éléments de ses sections ou de ses fibres de quantités dont le quotient par leurs distances n'excède pas une proportion double, ce qui donne pour la limite des glissements

expression dans laquelle E représente le coefficient d'élasticité dVxten^ion et R, la limite des tractions non dangereuses de cette matière d*égal(3 contexture eu tous sens, pour Tunité de la section transversale d'un petit prisme qui en serait extrait.

Si donc nous appelons

T Teffort tangentiel capable de rompre immédiatement par glissement ; Et, aussi par unité superficielle :

T. la limite des efforts tangentiels qui peuvent être supportés sans danger pendant un temps Indéfini ;

Cette dernière force T. s'obtiendra en mettant pour le glissement g dans l'expression (S 5) Gg de l'effort tangentiel par unité de surface, la limite g' dés glissements non dangereux dont nous

venons de donner la valeur = 2t' = 2 ^; car, en deçà de cette limite très-resserrée, les efforts<en général n'ont pas encore cessé d'être proportionnels aux effets (S 2 de la note du n* 21). Nous aurons donc . '•^

Le rapport des limites des efforts tangentiels et des efforts de traction non dangereux est, ainsi , double du rapport des coefficients d'élasticité de glissement et d'extension, dans les matières isotropes ou d'égale contexture en tous sens.

T Le rapport ^ , seul détermlnable directement par expérience, des

efforts produisant la rupture immédiate par glissement et par exten-

T sion, peut en différer beaucoup. Aussi , pour avoir ^*, nous allons

déterminer g au moyen déconsidérations de statique moléculaire.

Supplément a l'art, iv. glissement. 197

Du n* 169).

«s 8. Détermination théorique^ pour les matières d'égale con-

texture 1® Du rapport t? des coefficients d^ élasticité de glissement ta

et d^ extension; 2* du rapport >i (S 5 de la note du n* 21) des contractions transversales des prismes aux dilatations longitudinales qui les provoquent quand les faces ne sont pa^ pressées latéralement. — C'est, comme a dit Navier, au n" 1, « par le jeu des forces d'attraction et de répulsion mutuelle des molécules des corps qu'on rend raison des phénomènes de Télasticité. » La pression ou tension intérieure résultant de l'action totale d'une portion d'un corps élastique sur une autre portion qui en est séparée par une petite face plane telle qu'un élément ah (figure ci-dessous) d'une de ses sections, n'est, ainsi, autre chose que la résultante de toutes les forces moléculaires qui s'exercent d'un côté à l'autre à travers la superficie de cet élément Or soient

M le centre de ce petit plan , qu'on peut supposer (pour fixer les

idées) limité par un cercle; co sa surface; r la distance Mm de son centre M à une molécule quelconque m

située à dioite; X la distance de m au petit plan prolongé au besoin; R l'intensité de l'action de deux molécules du corps à la distance

et dans la direction r; 71 le nombre des molécules contenues dans Tunlté de volume du

même corps aux environs de M.

Pour avoir la résultante générale des actions moléculaires à traaf vers (0, additionnons d'abord toutes

/ celles qui s'exercent à des distances

< * ~;::^ égales et parallèles à Mm = r. Les ;^x— ^g-j* molécules de gauche dont elles émanent sont toutes contenues L>^ — / dans un cylindre oblique ahdc dont

^ '^ la base est co et dont les arêtes sont

égales et parallèles à r, en sorte qu'il y a un nombre nwx de ces molécules. La somme de toutes ces actions parallèles et égales est

(Do D* IM).

• nwx . R.

Décomposée normalement à la face <•>, cette somme oa résultante partielle aura ponr Intensité

nwRx-

On peut donc représenter la résultante générale, ou Taction moléculaire totale à travers co, ainsi décomposée normalement, par

nwS R — , r

la somme S s'étendant aux valeurs de r s Mm relatives k toutes les molécules m situées du côté droit pour lesquelles R — ne se séduit pas à une grandeur insensible, vu le décroissement rapide de R quand la distance augmente.

Si on appelle p» cette môme résultante rapportée à l*unité superficielle de la face u, on a

Pu = nSR -•

Or, appliquons cette expression générale de la pression ou ten- ' sion estimée normalement, à Tétat où se trouve le corps élastique s'il a éprouvé des dilatations très-petites

respectivement dans le sens de Mx normal à la face o , et de deux autres lignes de coordonnées My, M2 perpendiculaires entre eUes et & Mx, et par conséquent tracées sur ». si nous appelons :

y, 2 les projeciioni de Mm= r sor My, M^;

et si, pour simplifier, nous supposons le point M resté immobile ainsi que les axes coordonnés (ce qui n'Influe ni sur les écartements ou rapprochements moléculaires ni sur les forces quMls dé-veloppent), le point m aura éprouvé respectivement dans les trois sens X, y, z, des déplacements

tx, t'y, x"%,

dont les projections sur la direction de Mm, ajoutées ensemble.

fbu n* 162:.

dODoent pour l'augmentation très-petite §r de longueur de cette ligne r=: Mm:

Les actions développées par les déplacements, ou les actions moléculaires en sus de celles qui existaient antérieurement et qui se faisaient équilibre, sont proportionnelles à ces augmentations de distance, et se trouvent représentées par ll'or si W est la dérivée de R par rapport à r. Mettant en conséquence R'or au lieu de \\ dans Tex-

pression p^t = wSk et faisant n -^ = R^ quantité qui dépendra

comme R de la grandeur de ;- et de sa direction, on aura simplement

p„ = /S/î\* + /Siîx'y» + i'SRxV.

On obtiendra des expressions analogues pour les actions totales à travers des faces perpendiculaires respectivement aux y et aux 2, décomposées perpendiculairement à ces faces; actions que nous appellerons

p^y et PiZ.

Faisons donc, vu la symétrie que la contexture est supposée avoir en tous sens avant les déplacements

Siîx* = SjRy* = Siiz* = A, S/îy»z« = SRzV = SjRx'y' = G ;

nous aurons pour les pressions ou forces élastiques à travers Tunité superficielle des trois faces perpendiculaires aux x, y, r, estimées normalement à ces faces :

p„=At-hG{t'+î'0, pyy = Ai'-|-G(i"+t), i)„ = Ai"+G(« + t').

Mais les coefficients A, G dépendent Tun de Tautre.

En effet si x' est la projection de Mm = r sur une nouvelle droite Mx', bissectrice de l'angle 2\lx, la symétrie ou l'égalité de contexture en tous sens exige qu'ont ait encore :

A = SBx'*.

(Du n*> 169).

Or on a

x' = x\/| + zY/|.

Substituant dans Sl?x'^ on devra mettre zéro pour les deux sommes dans lesquelles il entre des puissances impaires de x et z, car, on vertu de la môme symétrie de contcxture moléculaire de part et d'autre des plans coordonnés, ces sommes se composeront de termes égaux deux à duux au signe près. Ou aura donc simplement

ou

en sorte que les formules des pressions ou tensions normales au trois faces peuvent être écrites :

p,, = 0(3/: + î'-l-i"), i)vw = «(' +3/' + /''), ;),= = r. (/ + «' + Si").

Or, supposons qu'il n'y ait de pression ou tension que dans le sens j*, ou que.

11 en résultera

0 = i -f 'M' + i'\ 0 = i + À' -t- 32" ; d'où .

Cela montre bien que lorsque les pressions latérales sont nulles, un prisme d'une matière d'égale contcxture éprouve dans les deux sens transversaux des contractions égales au quart de la dilatation longitudinale qu'on lui fait subir; ou que, T^ désignant comme à la note du n" 21 le rapport des contractions latérales à cette dilatation longitudinale, on a

(liu n'' iftt).

Cherchons maintenant, par les mêmes considérations, le rapport des coefficients d^élasticité do glissement et d'extension.

Si, au lieu do décomposer suivant j-, ou normalement à la petite face ab = fo, la somme (page 198.

des actions sVxerçant à travers ^J à des distances toutes égales 6t parallèles 4 Mm = r, on les décompose suivant y, on a

n'oW

et, en désignant par p^^ l'action totale ou pression ainsi décompos<$e tangentlellement à la face n> à travers laquelle elle s'exerce* pour Tunité superficielle, on obtient

r Or supposons que le corps n'ait éprouvé aucune dilatation dans les -^-^ sens rectangulaires x, i/, 2, mais -£v— '* que le plan zWx et tous ceux qui lui sont parallèles aient tourné autour de leur intersection avec le plan yWz d*un angle très-petit

S qui sera évidemment un glissement sur les parallèles aux y dans les plans parallèles à yWx,

Dans ce mouvement, le point ?«, ayant tourné d'un petit arc dont X est le rayon, aura cheminé, dans le sens y^ de

xg; ce qui, en projetant ce déplacement sur Mw=rr, aura produit un petit accroissement de r

'^/• = xg^.

On aura donc en mettant comme ci-dessus Ti or = ii - 5;- pour R

dans nS K -^ r

202 SECTION I. BCîSISTANCK 1)£S SOLIDES.

(Du n» 169).

ce qui montre que le coefficient de g est un de ceux que nous avons désignés tout à l'heure par G, et qu'on a

Ce coefficient de glissement ou d*élasticité tangentielle est égal à celui d'élasticité latérale qui affecte les dilatations transversales t', i" dans la formule ;)x* = 3Gi + G/' + Gi" de la pression ou tension longitudinale p„ d'un prisme d'égale contexture.

Mais, lorsque ce prisme dilaté longitudinalement ou suivant les x dans une proportion i n'éprouve aucune pression latérale, il est, comme on vient de voir, contracté latéralement ou suivant les y

et les z dans des proportions i qui, mises pour — i', — ?" dans p„= G(3i + i' + i") donnent

^«=.jGz.

Ce qui affecte t, dans le second membre de cette égalité, doit être la valeur du coefficient d'élasticité d'extension E d'après la définition de celui-ci. On a donc :

OU le coefficient de glissement égal aux deux cinquièmes du coefficient ou module d'extension dans les prismes dont la matière est d'égale contexture en tous sens ('].

Les expériences sur la torsion (voyez ci-après n* 162) n'y contredisent nullement car celles qui ont été faites jusqu'en 1833

ont donné, moyennement, environ G = - E pour des matières où

cette égalité de contexture n'était qu'approchée.

(>) On IrouTO i, noire Mémoire sur la flexion inséré au Journal de M. LiouTillc

en 48îi6, arl. 7 cl 9, une autre dénionstralion simple de l'égalité du coefficient de

glissement â celui qui afTeclc les dilatations transversales dans rcxpression de la

I G tension longitudinale, et du rapport - = - entre ce coefficient G cl celui de la di-

o A lalatioD longitudinale, (f^. Appendices ci-après, p. 5o9, 565, 580. 047, 805.

Elle ne s'appuie pas sur les expressions ci-dessus p^x = nSi: -- , u/^u = hSi\ -^.

(DU D"iM).

s 9. Rapport entre la limite To des efforts iangentiels et la limite R, des efforts de traction dans les solides d'égale contexture. Comparaison à Pexpérience, — Si, dans l'égalité obtenue S 7 :

nous mettons pour -^ la valeur 2/5, à laquelle nous venons d'ar-

river par la considération des actions moléculaires dont les résultantes constituent les pressions ou tensions intérieures normales, tangentielles ou obliques aux faces à travers lesquelles elles s'exercent, nous trouvons

pour la relation entre les limites des efforts capables d'être indéfi* niment supportés tangentiellement et perpendiculairement par une même face matériella Elle a été trouvée (note [a) du n* 167 ci-après) parNavier à propos de la torsion, quoiqu'il ne l'ait pas aperçue dans le mode d'action qui fait le sujet des n*"* 152 à 155.

On ne doit pas s'attendre à ce que |r ou le rapport des efforts tan-

gentiels et normaux capables de rompre immédiatement soit A/5 comme ^. Cependant les expériences de MM. Tiouin et G** ont

no

donné précisément ce rapport /i/5 entre les poids produisant la rupture de petites tringles de fer par cisaillement et par extension, car la moyenne de ceux-là a été 8200 kilogrammes, et , la moyenne de ceux-ci, /iOOO kilogrammes par centimètre carré (*)•

S 10. Application de ces principes dans les cas exceptionnels où la section de glissement est astreinte à rester plane, — Une section ab d'un prisme sollicité transversalement doit rester à peu près plane lorsqu'elle est soumise à ce que M. Vlcat appelle un encastrement complet (*) c'est-à-dire lorsqu'elle n'est pas seulement

(1) Leçom sur la ritittanee de$ matériaux de M. Norio, 2* édiUoo, 4S57, d* 40 , page 3V.

(*) Annalet du pontt et chauttéet 4833, ffi •offleilre, piges 148, 83t, t47.

(Du n* 159).

coDteuue, mais scellée ou soudée avec une matière plus rigide, ou lorsqu'elle se trouve sollicitée parallèlement à son plan par deux forces opposées agissant à une distance extrêmement petite et tendant à trancher comme il arrive pour les sections des rivets dans le plan de contact des tôles qu'ils assemblent n y a aussi, comme Ta remarqué M. Vicat, certaines sections qui, sollicitées dans leur plan par une force à laquelle font équilibre deux autres forces extérieures agissant à distance mais symétriquement de part et d'autre, n'ont aucune raison de s'infléchir plutôt à droite qu'à gauche et qui doivent rester planes ; comme par exemple la section milieu d'une pièce droite horizontale à laquelle est suspendu un poids à égale distance de ses deux extrémités appuyées.

Sur une de ces sections exceptionnelles, amb par exemple, l'inclinaison iiimn des fibres ou le glissement g peut être regardé comme ayant la même valeur pour tous les éléments dta, en sorte que si P est la force transversale qui

f ^.'I • l'engendre, on a (S 5)

expression où ron peut mettre pour G, quand sa détermination n*a pas été l'objet d'expériences (voyez à la torsion) les 2/5 du coefficient d*élasticité E d'extension (S 8).

Et la plus grande valeur qu'on puisse attribuer sans danger d'une manière permanente à cette force transversale P supposée agir de manière à ne pas produire autre chose que le glissement en cet endroit de la pièce sera

P = Tow,

la constante T» étant déterminée, ou par des expériences directes, ou en la regardant comme égale ($ 9) aux /!i/5 de la limite plus connue R» des forces d'extension non dangereuses.

Mais le glissement est généralement variable dans l'étendue des sections. Nous verrons aux deux notes suivantes ce quHlfaut alors faire, ainsi que dans les' cas où il y a à la fois glissement et extension ou flexion.

1S5. Revenons maintenant à la considération du solide dont la partie à gauche du point A est encastrée fixement, mais dont la partie à droite de ce point est libre , et sollicitée à son intrémité M par le poids P. D'après les rémarques faites dans le n** 77, réquilibre de la partie ÂM exige que les forces intérieures développées dans la section transversale A par l'action du poids P aient des composantes verticales dont la somme soit égale à ce poids ; et il faut de plus que les composantes hori zontales de ces mêmes forces fassent équilibre au poids P autour de l'axe horizontal correspondant aux fibres dont la longueur ne varie pas. Nous avons considéré jusqu'ici ce dernier équilibre seul ; mais dans le cas dont il s'agit il devient nécessaire de considérer également Féquilibre des forces verticales. Supposons donc ces forces verticales développées dans la section d'une manière conforme à ce qui a été expliqué ci-dessus (ce qui ne peut être bien éloigné de la vérité, surtout lorsque la longueur du solide est fort petite), nous écrirons d'abord

réquation

Et quant à Téquilibre de rotation, si nous représentons par p le rayon du cercle osculateur de la courbe affectée par l'axe longitudinal du solide au point A, nous aurons, conformément à ce qu'on a vu dans l'article précédent, pour exprimer l'équilibre, l'équation

E bo»

a désignant toujours la longueur AM, et E ayant la signification indiquée n« 77.

Lorsque le solide supportera sans rompre l'action du poids P, nous regarderons Téquilibre qui s'établit dans la section A comme étant exprimé par ces deux équations. Si la longueur du solide était presque nulle, on considérerait seulement la première. Si cette longueur était fort grande , on considérerait seulement la seconde. Dans les cas intermédiaires on les considérera toutes

deux, et elles donneront respectivement les valeurs des quantités S et p exprimant respectivement le degré d'allongement des parties dans le sens vertical ^ et le degré de flexion qui a lien au point d'encastrement A (*).

(♦) S 1. Les sections transversales libres de se courber restent normales à la sur/ace du prisme Jléchù Autres théorèmes relatifs au contour des sections, — Au lieu de « ce degré d'allongement » dont parle encore Ici l'auteur sans le définir, les principes de la note du n* précédent vont nous conduira à calculer les glissements ou les inclinaisons prises sur les sections par les fibres, et Taugmentation qui en résulte dans la flèche produite par une force ployant en môme temps un prisme; augmentation dont la proportion est sensible lorsque le prisme est court

Les glissements varient en général d'un élément à l'autre des sections transversales primitivement planes, ce qui tient à la courbure ou au gauchissement quelles prennent généralement f car celles dont nous avons parlé au $ 10 de la note du n** précédent, et qui sont empêchées de s'infléchir, ne font qu'une rare exception. Pour apprécier les circonstances de cette courbure prise par les sections , remarquons d'abord en général que partout oîi la surface extérieure d'un corps d'égale élasticité en tous sefis est libre ^ ou n'éprouve que des actions normales comme la pression de l'atmosphère ou d'un autre fluide en repos, et aucune action tangeotielle, il n'y a, par cela seul ($ 5 de la note du n* précédent) aucun glissement sur cette surface. Par conséquent, après la flexion ou autre petite déformation du corps, les petites lignes matérielles qui étaient primitivement normales à cet te surface extérieure lui sont encore normales.

11 suit de là

i* Que ces lignes normales mn, tracées dans le plan primitif d'une section mmm normale elle-même aux arêtes d'un prisme, restent normales au contour de cette section quelle que soit la petite modification que cô contour a éprouvée; ce qui est d'accord avec ce que nous avons dit au S 3 delà note du n** 80 de la forme du contour après une flexion.

SUPPLÉMENT A L'ART. lY. GLISSEMENT. 207 (Du n» tIM).

2" Que les sections planes, en se gauchissant ou en se changeant en surfaces légèrement courbes, restent normales aux faces latérales, quel que soit le petit changement de forme éprouvé par celles-ci.

3"* Que lorsque la surface latérale du prisme a des arêtes saillantes (comme pour les prismes à base rectangle ou polygonale) les sections infléchies restent normales à ces arêtes devenues cour-bes. En effet, elles èont normales à la fois aux deux faces c(fttlgués qui se coupent suivant ces arêtes.

A* Que le glissement principal sur les sections, aux divers points m, m, m de leur contour, ne peut être dirigé que suivant la tangente à ce contour aux mêmes points. Car comme les fibres ou lignes matérielles m/, ml primitivement perpendiculaires au plan de la section sont restées perpendiculaires aux petites lignes mn qui sont tracées sur la section et qui n*ont pas cessé d'être normales . au contour mmm^ ces lignes ml devenues légèrement inclinées sur la section ne peuvent s'y projeter que suivant Pélément du contour ou la tangente.

Ces théorèmes sont également vrais , comme il est facile de le prouver, lorsque la contexture de la matière du prisme, symétrique par rapport aux sections, n'est égale que dans tous les sens transversaux et est du reste différente dans le sens longitudinal comme il arrive pour les bois et autres corps fibreux.

Ils ne peuvent concerner les sections à encastrement complet dont il a été question au commencement du S iO do la note du n*> 152, car à leur contour la flexion développe, sur les faces latérales, des résistances tangentielles longitudinales dues au scellement ou à la soudure. Semblable chose peut être dite pour les sections au contour desquelles se trouvent appliquées les forces extérieures isolées (comme pour la section des rivets dans le plan des tôles qu'ils assemblent), car cette application de forces a lieu par Tintermédiaire de corps qui (comme ces tôles) exercent sur la surface des frottements énergiques. Ces sections exceptionnelles, susceptibles de rester planes» pourront couper obliquement tout ou partie des faces latérales du prisme fléchL

$ 2. Loi de variation des glissements aux divers points des sec-

208 StCT. 1. RÉSISTANCE DES SOLIDES.

(Du n« tftS).

iions cTun prisme rectangulaire mince Jiéchi de champ. Forme de doucine affectée par les sections primitivement planes. — Toutes les autres sections, faites dans les parties des pièces fléchies où les faces latérales n'éprouvent que la pression de Tatmosphère, devront se gauchir pour peu que l'équilibre* exige qu'il s'y développe des actions tangentielles, afin de pouvoir rester normales à quelques mires du conteur et s'incliner sur d'autres fibres; en sorte que le glissement variera d'un élément à Tautre de ces sections.

Pour déterminer la loi de sa variabilité, prenons le cas le plus simple, celui d'un prisme rectangulaire ABDC dont les sections transversales abb'a' aient une largeur aa' assez petite par rapport

à la hauteur ah pour que les glissements puissent être regardés comme égaux en tous les points appartenant à chaque droite mm' parallèle à la largeur aa\ ou perpendiculaire au plan de sollicitation AGP. Soient a6, cd les coupes longitudinales infléchies de la section abb'a' et d'une section très -voisine; ces coupes auront la forme de doucines rencontrant perpendiculairement les coupes AC, BD des faces supérieure et inférieure du prisme, auxquelles les sections seront restées normales ainsi qu*au faces latérales (S précédent).

Posons l'équation d'équilibre de translation longitudinale de la petite tranche solide dont la coupe transversale est mm'p'p et la coupe longitudinale mnqp^ et qui est comprise entre ces deux sections ab, cd et deux plans parallèles aux faces supérieure et inférieure du prisme. Soient

6 et c la largeur aa* et la hauteur ab de la section ;

P la force qui agit transversalement en N à la distance ON == a de la section d'encastrement AB, pour fléchir le prisme, et qui fait en même temps glisser les sections les unes devant les auU^ ;

SUPPLÊMEIIT A l'art. IV. GLISSEIIE9T. 209

(Du ii*ilM].

x^x + dxlea abscisses Oo^Otdes deux sections ao6, cid;

v^v -\' dv le3 ordonnées om , op des deux plans comprenant pri*

mitivement la tranche, Torigine o étant prise sur la ligne oo'

des fibres de longueur invariable ot; p le rayon de courbure de Taxe OoN du prisme en o ; g le glissement principal' sur les éléments de la section ayant

leurs centres sur la ligne mm'; g« le glissement au centre de la section , ou aux points de la

ligne 00'; E, G les coefficients d'élasticité d'extension et de glissement;

ta=zb.c Paire de la section, ^^ ^ = tô son moment d'inertie autour de 00'.

D'après ce qu*on a dit au S A de la note du n° 152, g , qui est le glissement sur mo ou sur mn dans le plan nmo de ces deux lignes, sera aussi le glissement principal, dirigé longitudinalement» sur la face inférieure mm' x mn de la tranche; et le glissement principal sur la face supérieure pp'xpg sera, aussi par unité superficielle.

Comme les aires de ces deux faces sont égales à 6(2a;, la tranche se trouvera sollicitée longitudinalement, ou parallèlement à m/i, sur ces faces, par les deux forces opposées : ,

Gg.bdx et — G(g+ ^dt?J6dx.

Mais la même tranche ou réunion de fibres est tirée longitudinalement en arrière, sur la base de gauche pm^ en vertu des extensions provenant de la flexion, par une force dont la grandeur, pour l'unité superficielle, est, comme nous savons (n« 77),

produit du coefficient d'élasticité d'extension par la dilatation -

des fibres au passage à travers lasection abb'a'. Etl'on a, pourl'équl* I. U

aïO MCT. I. fttSISTAifCI DES 80I10B8.

(Du n* tIM).

libre de rotatioa entre la force P dont le moment autour de oo' est P(cE — x) et les forces intérieures E ~ du qui (^exercent à travers la même section, Téquation

B ^ aorte que la traction en arrière -o par unité auperfideUe de la

base mp de la tranche a pour valeur

La traction en avant sur Tautre base nq s'obtiendra en remplaçant « par X + <Ix. Done , comme ces deux bases ont pour aire bév, la tranche est encore sollicitée longitudlnalement par les deux forces opposées

Ajoutons ces deux forces à celles Ggbdx et — G (g + ^^^) ^^

qu^on vient de trouver, on devra, pour Téqullibre de la tranche, avoir une somme zéro. Il en résulte, en réduisant et divisant par le volume bdvdx de la tranche s

Intégrant depula v = o, valeur pour laquelle g = g«t oo obtient

ce qui montreque les glissements varient parabolf quement des bases aa' , 66' à la médiane oo' de la section.

Cooune ils doivent être nulasur ces deux bases (S précédât), on obtiendra pour le glissement centrait en faisant g :=o» vss:t:|:

(Du n» t&8].

d'où pour les autres glissements

Cette expression satisfait à la condition d'équilibre de translation transversale qui exige que la somme des actions tangentieUes GgéU» sur la section soit égala à la force P, car en remplaçaot dta par Taire mm'p'p = bdv^ et w par 6c, Ton a bien

(1) Vous avons 4 peine besoin de dire que cette détermination du glissement cen* irai ou de l'inclinaison pri«e par l'axe du prisme sur ces sections courbées en iurfac« efliadrique à base de doueine peut être donnée éléraeniairement dans les court d'Arts et métiers. On conçoit facilement que let ftciioni solliciiées A glisser TuBe derant l'autre doivent rester normales aux faces du prisme qui n'éprouvent que la

pression atmosphérique, ou que le glissement g doit être nul pour v =:±:-. Et

si l'on appelle g| 1o glissement sur l'unité de la face supérieure p^ de la tranche mnfp, OQ voit aisément que la différence g — gj du glissement sur les deux faces mis, pq, multiplié par leur aire et par G , doit, pour Péquiiibre de la traneiit, être égale à Texcéa des tractions sur ses deux bases mp, nq, excès égal à leur auper-

fletc multipliée par. S « = — r — v» traction sur l'uoité de li première, moins

P ■ pv(oii— e<( 2 V, traction sur l'unité de la seconde { ce qui donne, en rédnifani,

et mettant om pour v, rexpresaion :

P G(g— gi)=- . omXnp,

qui «dditionnée A toutes celles de mèmf genre depuis 091 = 0 jusqu'à «mrsune

valeur quelcooqui v donne bien G (go -^g] = - r- puisque li somwe de produits

om yimp d'une variable om = v par spu incrément est l'aire ~ du triangle rec-

3 P ungle Isocèle dont elle est le côté. D*oû l'on tire l'expression g, = - — en fai-

laut V ?s la detei-bauleur - en même temps que g = 0 comme on vient de fçïr.

212 SECT. I. RÉSISTANCE DBS SOUDES*

( Du D* tftS).

Une analyse exacte prouve qu'on aurait encore S* == n gr: po^r

une section rectangle dont la largeur n*est pas très-petite par rapport à la hauteur, et aussi pour les points du diamètre vertical d'une section circulaire, si les fibres, en se dilatant longitudinalement, n'éprouvaient pas une contraction latérale ('}; et qu'on tient compte de riniluence de celle-ci en multipliant le second membre de 3 P

i, 2 fois la haut';

g, = ^ gj;^ ou la fraction ^ par,

lorsquela largeurdelasectionrectanglea

ce qui suppose qu'on prend 'l ■" ^ » F = k- Pour une section circulaire, il faut prendre

et, pour une section elliptique, la même chose en multipliant la fraction 7/5 parl,0/i; 1,035; 1,00; 0,9/li selon que la largeur esta 1 1

la hauteur comme

S 3. Détermination de la forme courbe en cylindre à base de doucine affectée par la section après lajlexion du prisme. — Appelons x

l'ordonnée horizontale ms du point quelconque m de cette sui'face ou sa distance au plan eo normal à la courbe d'axe o( ;

la petite inclinaison j- de l'élément mp sur eo sera égale à l'inclinaison A:mr de sa normale mk sur une parallèle mr à o/, ou au'glissement g=: krnn plus la petite inclinaison nmr que

(1) Oa trouve en cOel aux articles 49 et S7 de notre Mémoire lur la flexion, inséré au Journal do malbématiquei pour 4856, des formule! (lei dernières de celles qui portent le n* 77 et le n* 406) donnant pour li force lingentlelle— p«s, U i

( Du n« tIM).

la fibre mn peut avoir prise sur la fibre centrale ot Cette dernière inclinaison s^obtienten remarquant qu'à la dilatation longitudinale

- de la fibre en m répond une contraction transversale i - (i ayant

la signification de la note du n* 80), d'où résulte, entre les points m

et 0 un rapprochement \ t;- dv=r^^=ri^ J7 • Le point n J« P -^P -* El

se sera rapproché du point correspondant t de Taxe, d'une quantité pareillement exprimée mais avec— x— dx au lieu de —x ; en sorte que le point m se sera rapproché de plus que le point nj de

5f Pdt ^î 2 ET'

d'où résulte» en divisant par otszmn^^dx^ une inclinaison

Pc»

prise par mn sur o^. Ajoutant cette quantité au glissement g=

P /c» \ = sgj (t""**) trouvé S précédent, on a