GÎU ^e
ce qui donne, en intégrant de manière que x = o pour v= 0
3^ r2£ / 5G\ at^-i AGIO Le V E/ 3c» J"
C*est réquation de la coupe aob ou de la base de [a surface cylindrique en doucine affectée par la section après la flexion du prisme par la force P. Chacune de ses deux moitiés est une parabole du troisième degré ou une courbe tout à fait analogue à la courbe d'axe Oo^N du prisme fléchi.
que nous appeloni ici Gg, def espresikmf qui rorieiMieot à
lor^tt'oD y suppose nulle une quantité v; qui y repréfente le produit de - per notre rapport v) ci- dessus des contractions latérales ani dilaUtions longitudinales.
21 & 8BGT. 1. BÊSISTANCE DES SOLlOtS.
(Du D* i5Sl.
61 Ift feotioo rectâDffle a une bue doQt U gri'iDdear approdM dt oelle de la bauteur ou Texcède» ranalyse prouve que la aurfaceeet
coupée par des plans parallèles à oe non plus suivant des droites, mais suivant des lignes légèrement concaves vers oo'\ ces coupes •ont ooovetes ti la MCtioU est circulaire ou elllptiqtia (Mémoiri cité sur la flexion).
S U. Flèche complète de flexion^ eu égard au glissement. — La fiDrce qui produit le glissement produit aussi ordinairement une flexion. On obtiendra les déplacements totaux des dlvere^polats de la pièce solide en composant, d*après le principe de superposition du S 2 de la note du n* 21, ceux qui viennent de la flexion, calculés comme on a fait aux %% 77 et suivants et à leurs notes, avec ceux qui viennent du glissement.
Par exemple \2Ljlèche^ ou le déplacement vertical total MN de
Taxe à Textrémité libre d'une pièce encastrée de longueur a, s'ob-
Pa« tiendra en ajoutant à ^^^ valeur de cette flècbe due à la flexion
seule (n° 86), ce qui vient de rinclinaison que le glissement central g, fait prendre à tous les éléments de la ligne d'axe sur les normales aux sections, ou le produit de g» par la longueur a. On a donc pour \dkjlèch$ complète
MN = /=^ + g,a, D*où successivement! en mettant pour (Té ses valeurs ci-dessus
"— ^-w;('*ll=:)-î^('*i5) -■
On voit que le glissement n'augmente sensiblement la flèche que lorsque la longueur a du prisme n'est pas considérable par rapport k sa hauteur ç ou ar.
SUPPLÊIIBNT A L'ART. lY. GLISSEMENT. 3iS
154* A Fégard de la rupture, on remarquera que^ conformé* mément aux notions présentées dans le n"" 112 ^ nous la regardons comme étant déterminée par un certain degré d'extension acquis par les parties du corps qui se trouvent le plus fortement tendues. Or il est visible qu'en supposant ici l'état d'équilibre de la section À conforme aux notions précédentes, les parties placées à la face supérieure du solide dans cette section se seront allongées par l'effet de rabaissement vertical de la partie AM et de la flexion de cette partie t d'une fractira de leur longueur qui est exprimée par
nRJÔ''
OU, en mettant pour S et p leurs valeurs tirées des équations précédentes.
fc V D« ^ Pc*'
Or la grandeur de cet allongement étant le terme qui détermine la rupture , il s'iensuit que le poids qui peut rompre le solide est proportionnel à l'expression
Cette formule satisfait aux cas extrêmes : si la longueur du solide est fort petite^ on négligera le terme affecté du rapport
-r , et la résistance à la rupture sera proportionnelle à bc-, si cette • longueur est fort grande par rapport à la hauteur c, on négligera au contraire le terme =-;, et la résistance sera proportionne' nelleà — , comme l'indique dans ce cas Texpérienoe. Il est a
vraisemblable que, dans les cas intermédiaires, la formule dont
216 SBGT. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.
il s'agit s'éloignera peu des effets naturels, lorsqu'on déterminera les coefficients constants ir^ et •= de manière i satisEûre à des résultats obtenus directement par Texpérience (*).
(*} S i. Détermination de la dilatation maximum qui se pro» duit dans un sens oblique lorsqu^il y a à la fois un glissement transversal et une extension longitudinale accompagnée de contraC' tion latérale.-— Ea partant du principe énoncé au texte « que la rupture est déterminée par un. certain degré d^extensiçn, » prin* cipé déjà posé ci-dessus ($ 4 de la note du n* 8) et qui nous a constamment guidé (note du n* 113) ; mais en rappliquant avec ce qui a été établi sur le glissement aux notes des deux numéros précédents 152, 153, nous allons chercher une expression exacte des conditions de résistance à la rupture éloignée sous Tactlon de forces produisant à la fois un glissement et une extension^ accompagnée^ comme toujours, de contraction dans un sens perpendiculaire, et pouvant varier d'une fibre à l'autre comme quand 11 y a flexion.
Cette recherche mérite d*autant plus d'attention que nous en appliquerons le résultat à Tarticle VI (note du n* 168), au cas pratique de torsion et flexion simultanées, où les glissements ont une influence capitale.
Considérons donc une fibre qui se dilate longitudinalement, se contracte transversalement, et, en même temps, s'incline légère- ^ ment sur Télément de section qui lui
sert de base, ce qui produit un glissement sur celle-ci. Soient, avant les déplacements de ses points, mnqp^ et, après, mn,g j), la coupe, par le plan de ' glissement principal, d'un élément de cette fibre. Si nous appelons
X, y les dimensions longitudinale et transversale p^, mp;
ij k les proportions de la dilatation de la dimension x, et de la
contraction de la dimension y ; g le glissement sur la base mp ; t'i la proportion de la dilatation de la diagonale mq ;
SUmÉMBRT A L*AIT. IT. GLISSEMEIIT. 217
(IMlB«tftA).
et d, jQsqo'à la ligne ii|Ç|» coupe noQTeDe de U deoxièiiie base»
nous tirons qr prolongement de pg» et pt parallèle à PiÇi, nous
aurons
qrmMÙx^
et, en considérant qne ri, égal an glissement g mnltlpUô par pr (SA de la note da n*i52)i pénètre regardé comme égal à la même très-petite quantité g multipliée par pg = x, dont pr dlilère eitrèmement peu :
• rçi =^ ri— pp, = %.x^k.y.
Mous pouvons prendre pour unité de longueur la diagonale mq dont nous avons à calculer la dilatation «i*
Pour avoir cette proportion mq^ ^mq ^ 1 1 dont elle é*est agrandie nous n*avons qu*à projeter les deux petites lignes qr^ rq^ dont la valeur vient d*6tre donnée, sur le prolongement de mq^ et prendre la somme des deux projections; Or puisque m^ = i, projeté sur pg, donne x, gr = t. a; se projetant sur mq prolongé avec lequel U fait le même angle, donnerai, x multiplié par x, ou ûe^; et, par une raison semblable, puisque mg = 1 projeté sur mp donne y, rq^ = ^ — ky donnera (gx—Â^)y.
Mous avons donc pour la projection «i de la dilatation qu^éprouve le solide dans la direction oblique mq par Teffet de la dilatation longitudinale t, de la contraction transversale k et du glissement g simultanément :
i, = »x« + gay — AyV
expression dans laquelle x et y, liés ensemble par
donnent le degré d*obliqulté quelconque de mq.
Pour que le corps résiste d*une manière permanente aux efforts simultanés produisant ces effets, il faut (S 2 de la note du n* 3) que la plus grande valeur de la dilatation i^ n^excède pas la limite adoptée, représentée ci-dessus (SS 19 de la note du n* 21; A, 5, 10 de celle du n* 113, et 7 de celle du n"" 152) par
f = |,o«par|g' = |5.
318 BECT. I. BÈSISTâNCË DES SOUftKf.
(Du a* IMl).
, Nous potuTlônt trouver la yaleor de x donnant cette diroctlOD de. plus ^ande dilatation en remplaçant x par cos «, y par sina, a étant Tangle nmq fait par la direction mq avec les fibres, et en égalant à zéro la différentielle^ de t\ par rapport à a, ce qui donnerait
tang 9 « » T-^-v pour déterminer l*angle « du maximuin.
Mais, désirant continuer de doifter cette recherche sous une forme éléinentafre, nous écrirons ainsi la valeur de {^ :
et nous raisonnerons comme au $ 10 de la note du n* 83 pour les moments dUnertieprincipaux ; ou, plussimplement enoore, nous remarquerons que X* -—y* et 22y peuvent être regardés comme deux cûtéa AB, AG d*un triangle rectangle dont n^ypoténuse BC est Tunité (car, en considérant l — (x* — y')' comme la diiTérence de deux carrés, il est égal au produit de 1 + x* — y* = 2x', somme dès racines, par 1— x*+y*»2y% différence des racines); puis, en portant sur les cOtés AB, AG,
ÙÊÊ longueurs kb » l±i, ac = |, nous verrons
que la projection, sur lliypoténuse BG, de la ligne brisée 6Ac, ou de 6c, sera
Or cette projection est à ion maximum lorsque bc est parallèle à BG etelleapourgrandeuralors6olul*môme=V^Â6'+Âc'. On adonc:
te radical doit tOHJôurs être pris positivement, en sorte que si g = o, lé maximum est i ou la dilatation longitudinale lorsque t est positif. Mais lorsque t est négatif.oi; quand il y a contraction longitudinale
on a le maximum de î^ = —y- ^ == — Ar, quantité alors positive représentant une dilatation transvenale.
SUPPLÉMBirr A L'ART. IV. OLISSEMENT. 219
(Du n« IM}.
lie rapport de la contraction latérale kk\% dilatation iongitndi* - nale i dea fibres est celui que nous avons appelé «i et qui dépend de , la contei^ture égale ou inégale, en divers sens» de la matière qui
est du reste supposée homogène qu la même aux diveni points; en
sorte que Texpression précédente revient à
SI Ton fait soceesslvemetit dans eette tonnole
elle donne, dans le cas particulier g = t, i^ = l,566t, l,55At, l,535t,
valeurs fort peu différentes entre elles. Et l'on on obtient qui le sont bien moins enoore lorsque le glissement g a une grandeur ou plus considérable ou plus petite que la dilatation i (supposée positive) de la fibre. Nous pouvons donc faire constamment» comme si le corps était d'égale contexture fS 9 note n* 15S) quand i éH positif ou quand il y a dilatation proprement dite
et la formule précédente de la dilatation maximum en un point donné sera :
expresiIOA qui » lorsque g »<r 0, donne ij « < si t est positif, mais qui donnerait i^ = — r t si i était négatif, car le terme \/ (g ij doit tOHJours entrer pour sa valeur absolue ou positive comme on a dit tout à Theure, en sorte qu*il serait alors — ô ^'
$2. ViagêdâûêtU détermination. FùrniuUgi^^ à divers genres ^efforts s^exerçant à la fois. — Pour ftiire servir à rétablissement de la condition de résistance permanente» ou de
(Da D* ISA).
stabilité de la cohésion d*nn solide à ehsenne de ses sections» cette expression delà plus grande dilatation entre les dlTerses droites matérielles quisecroisent dans tous les sens en nu même point qnelconqoe» il faut chercher la plos grande Talenr da second m^nbre
pour les divers points de chaque section, et régaler à la limite des extensions non dangereuses qui est» avons*nous dit an S précédent.
En divisant Téquation par »' et conséquemment par son carré les deux termes sous le radical, on peut le remplacer ensuite par sa
T ■■Mi R
valeurs^danslesecondterme,etparsa valeur Y dans le premier
Idnsi que dans le terme hors du radical L*équation de adiésion permanente devient ainsi
' = '^-^'-*ipE + V(^E)'+(?)'
G^est la cùndition générale de résistance ^un solide pour une section quelconque à travers laquelle il y a des extensions longitudinales i (ou des contractions — t) et des glissements g.
Elle s'applique au cas où i serait négatif = — j et où , par conséquent , le terme hors du radical serait négatif pourvu que le radical soit toujours positif ou qu'on mette +jpour + i dans le premier terme qu'il recouvre.
Elle satisfait évidemment aux deux cas extrêmes :
i* Où le glissement g est nul, car elle donne alors (le terme provenant du radical étant toujours positiO :
(La plus gnade des Talenn de £i si I est positif; etlapliisgnndftdesTaleiind«— YpSisvU^tKestiiègatif on si— 1=/ est une contnetioa longitndimlê.
(ce qui est d*accord avec le S 7 de la note du n* 3).
(Do a* ISA}.
2* OÙ Textension t est nulle puisqu'elle donne
T« = U plas grande valeor de Gg*
Etelledoit fournir dans lesoas intermédiaires, où i et g existent àla fois, et lorsque la contexture du solide n'offire pas en tous sens l'égalité que nous avons supposée, toute Tapproximation désirable en donnant des valeurs convenables aux constantes R„ T., E, G, 11 (0* Il est bien entendu qu'il faut en poser une semblable pour les diverses sections si les plus grandes valeurs de « et de g ne sont pas les mêmes pour toutes.
S 3. Application aucasoiila rupture peut être déterminée par un glissement , sur une section libre de s*in/léchir. — Ce cas arrive, par exemple :
i* Aux extrémités A» B d\in solide simplement posé sur deux appuis et sollicité au milieu par une force transversale 2P; car, à ces deux endroits A » B, le moment des forces qui tendent à fléchir est nul et la pièce ne résiste qu'au glissement
2* Au milieu C d'un solide qui se trouve sollicité transversalement en sens opposés par des forces égales P, P aux extrémités, où la direction de son axe est supposée fixée de manière qu'il ne puisse tourner sous leur action.
Alors on a simplement pour condition de résistance à la rupture éloignée
T« = la plu» grande rakar de Gg
ou , g« étant le glissement central
T. = Gg^
3 P Or nous avons trouvé (S 2 de la note du n* 153), ». = 5 g^
(>) La formiite eoailnille par M. VaTier pour tatiffaire anni an cas eitrènat
mient à peu près à 4= W f ^ V-f (^)'» 00 à ca qo'oo aurait ai ij éuil =4. Maif yi ne doit Jamaia eieèder 4/3 on alteindre 4 /S.
Vit ftfiCT. I. lÉSIfiXAhCB OIS WaUMê.
(Du n* IftA).
ou l ^, etc. selon la ferme des sections. Nous aurons donc, pour
5 Gci>
calculer la superficie w k donner à la section menacée par simple glissement sans flexioot ou pour caicoler la limita de la force P quand cette superficie est donnée
Et on divisera les fractions 2/3 et 5/7 par les nombres peu différents do Tunité dont on a donné le tableau à la fin du même S 9 de la note du n« précédent 153, si la largeur du rectangle n^est pas très-petite, ou si la section est une ellipse au lieu d^étre un cercle.
Les dimensions des autres sections du môme solide, supposées de même forme, seront réglées comme on dira aux S suivants.
La théorie ordinaire et connue des solides dits d'égale résistance (S 6 de la note du n* 118, ou ci-après section IV art. vu n** A98 à 507), en réglant le profil de ces pièces eu égard à la seule flexion, donnait une superficie zéro à la section répondant aux deux point^d'appui de la première pièce et à la section milieu de la seconde. La considération du glissement montre quelle doit être celte superficie et fait disparaître ainsi le paradoxe.
S k> Application au cas où il y a en même temps glissement et extension ou compression sans fiexton» Formule et table numén^ que.^ V Soit un solide qui doit être, à Tune de ses sections, à la fois étendu par une force longitudinale également répartie Q, et sollicitée au glissement ou cisaillement par une force transversale P. Désignant par &> la superficie inconnue qu^il faut donner à cette section pour rendre le solide capable de résister, on aura :
t = —-. sur toute la section ;
g — ^ aussi sur toute la section si elle est astr»iiita à rester plane (S io de la note du n* 152) ;
SUPPLtMEIIT A L'ABT. 1¥. GUSSEMEIT. 2U
( Da n* IftA).
3 P 7 P Et : la plus grande valeur deg^ ^tt- ou ^ ?ïr si elle est libre,
de sinfléehir, selon que sa forme est rectangulaire étroite: ou qu'elle est circulaire.
Substituant dans la formule générale du $ 2 et multipliant par «», les. coefficients d^élasticité £ et G disparaissent et on tiré pour cette superficie •> ohercbée
i — T) Q ^ ^ //i+T) Q\» /P Tp 7 P\«
En appelant : '
ia'" la superficie qu'il faudrait donner si la pièce n^était sollicitée à rompre que par extension ;
b>'' celle qu*fl faudrait donner si elle n'était solicitée à la rupture que par glissement ou cisaillement transversal ;
comme on a , en faisant successivement P = 0 et Q = 0 : ^0„P 3P 7P.
la fom^ule d'extension et glissement peut être écrite dQ cette manière claire et commode
, 1 ou, si *1=5:
,=l=j«^^y/(LJ-^.-y+co-;
«=^t«v-'+\/(|u,"^y+co"«;
8^ expression qui peut être remplacée, par le tableau suivant :
324 SECT. I. EÉSISTANCE DES SOUDES.
(DO B* IftA).
Pour •
0 I 1/4 1 f/3 I f/« I î/3 I 3/4 I 4/5 I i | 4/ÎS | 3/4 | J/3 | f/1 | 1/3 1 1/4 | 1/» [o (d I U
Od a — — = El — =
ill,04Sli,0831i,i75ll,S89li,35i|t,3«0ll,5U|l,4i8ll,38611,333|l,t35ll^^
2* SI la force longitudinale Q sollicite le prisme â la compretsionet non à Vexiension^ la formule dn S précédent qui, en faisant i = — i prend, comme on a dit, la forme
i =: U plu gnnda Ttlear de -
'-^h\mww
devient, en remplaçant^' par
Eta
D*oû en ralsant P = o et appelant u* la section à âonnw pour râil»ter à la seule sollicitation longitudinale on à la compresstoB
en sorte qu'on a dans le cas de la compression
ou, si Y2 =
= -f»-+\/g--jV«"«;
formule donnant ceci :
(Duii«lftA).
0 1 1/4 1 1/3 1 1/2 1 2/3 1 3/4 1 4/5 | 1 | 4/5 | 3/4 \ 2/3 | f/i | 1/3 | 0,3 1/4 | 1/8 | 0 iù tù
0|l,Ollll,(nill,OSO|l,084|l,ilO|l,ltSl^ll9|l,03«|l,0(M|0,«44IO,8Sl|0,gOi|0,800IO,80t|0,g«Oll,OM
Les valeurs de -^ sont plus petites que l'uoité quand ta"' est au-des-
co
sous de T w" ; leur minimum répond à w'" = 0,3<a" et est égal à 0,8. On
voit ainsi qu^une compression longitudinale aide quelquefois à la résistance au lieu d'y nuire. Gela se conçoit , parce qu'elle diminue les écartements moléculaires provenant du glissement qui a lieu simultanément.
S 5. Rivet ou petit boulon ^ comme exemple immériqne du cas d'extension et glissement. — Par anticipation à ce que nous nous proposons de faire après avoir rapporté les tableaux d'expériences du complément des art. i à vi , nous donnons, ici, pour ne pas interrompre ce qui est relatif au glissement et à sa prise en considération, des applications numériques des formules précédentes.
On demande, par exemple, la superficie à donner à la section circulaire d'un rivet ou d'un petit boulon en fer destiné à assembler des feuilles de tôle, en supposant qu'après le serrage de son écrou, ou après sa pose à chaud , il éprouve une traction Q = 1000 kilogrammes environ , et qu'il se trouve dans le cas de supporter transversalement, en vertu des efforts auxquels seront soumises les tôles» une force P = 1200 kilogrammes tendant à le rompre par cisaillement
Solution. En admettant que par chaque millimètre carré on puisse lui faire supporter d'une manière permanente un effort de traction Ro de 5 kilogrammes, et ($ 9 note n** 152) un effort de cisaillement To des A/5 de R, ou de A kilogrammes, il faudrait donner au rivet ou boulon, s'il n'était soumis qu'à la traction, une section de
( Du n» tftA).
— ^— = 200 millimètres carrés ; o
et s*il n'était soumis qu'au cisaillement, une section de
—r- =r 300 millimètres.
On aura donc (i'* formule du $ précédent), lo'^rsSoo, t>i'' = 300« co=?200-f
W U 200 j + (300)«, o\x, Section efeciive à domer :
tù = 400 millimètres carrés,
c'est-à-dire un diamètre de 0",02267.
On verra, S 9, W exemple, un cas de comprassion et glistemenL
S 6. Application gtiand il y a à la fois glissement , extension et flexion. Premier cas y où la section reste plane, — 5toit maintenant cette pièce sollicitée à la fois non-seulement à Textension par une force longitudinale Q et au glissement par une force transversale P, mais, encore, à la flexion par celle-ci, que nous supposerons, pour plus de simplicité, parallèle à Pun dôs deux axes principaux (note du n** 83) de la section w dont on cherche les dimensions.
U faut considérer deux cas.
Supposons, en premier lieu, que cette section soit de celles qui ne peuvent prendre aucune courbure ou qui sont astreintes à rester planes (S 10 de la note du n** 152). Si
I représente son moment d'inertie autour d'une ligne qui y est tracée par son centre de gravité à angle droit sur la force transversale P ;
M le moment de P autour de cette ligne j
V' )a distance, à cette même ligne , de la fibr^ la plus éloignée et par conséquent la plus étendue ;
l'on a ±: ~- -I- -- «' pour cette plus grande dilatation , le «igâe to-
férieur devant être pris quand la force Q est comprimante; et
P (/ =r -— pimr le glissement sur la base de cette fibre.
suni.tMBirr a l'abt. iy. cussEMBaT. 227
(Du n» Iftâ).
Substituant dans Téquation générale de résistance du g 2^ on a
équation à laquelle on peut donner cette forme plus simple , en transposant le 1*' terme du second membre, élevant au carré sans dév^opper, puis faisant passer encore le premier terme du second membre dans le premier, et décomposant ensuite le premier membre en vertu du théorème à^ — b^^ia-h b) (a — 6) :
En désignant par eu''', ta" les superficies que Ton donnerait à la section «o si elle n'était soumise respectivement qu'à la force longitudinale Q et qu'à re£fort de glissement P, et par I', v' des valeurs du moment d'inertie I et de la plus grande ordonnée v' satisfaisant à la condition de stabilité M P ne sollicitait qu*à fléchir; ou en faisant
P ^, M r T, * Ro v"'
en fflèiAe temps que
jt == u/* si 0 «8t obe trietion .
ta'*' si 0 est nue pression (gg 7 rote du n» 3, et 17 noté du xfi ICI);
réquation devient
Supposons par exemple la section circulaire , et désignons par r son rayon cherché , et par r', r^\ f" les valeurs qu'on donnerait à r si le solide n'était sollicité respectivement qu'à la flexion , qu'au gliasement, qu'à l'extension ou compression. Gomme on a «> = tt\
(DU n* IftA).
1 = î?-,t' =L r, on obtient, en mettant pour co", w'% r, v' des expressions analogues et multipliant tout par Ar*, si on se borne au cas où la force longitudinale 0 a«rit par traction et où r^ = r,, = - :
Comme r^, r**, r"* sont connus en chiffres par les expressions ?- = xr"'*, — = rr"", s- = -i" » ^tte équation donnera facilement
R. To Ko a
la valeur du rayon cherché r par une construction graphique, ou bien en tâtonnant par la méthode numérique des différences iff^portionnelles ou de double fausse position, appliquée successivement, et dont remploi deviendra plus prompt eu prenant les logarithmes des deux membres.
Si la pièce n'est sollicitée qu'au glissement et à la flexion, Ton a r^ = 0, et l'équation se réduit à :
(r> — r") (ûr» + r'») = lir''^?*.
11 n'y a que lorsque la flexion est nulle ou que — = 0 que l'équation se réduit au second degré et que la solution peut être directe (SS U et 5).
Si la section est un rectangle dont 6, c sont les côtés perpendiculaire et parallèle à la force transversale P, on a co = 6c,
6 I 6c' t/ = ^, - = — ; et, en accentuant comme précédemment les valeurs qu'on donnerait si la pièce n'était soumise qu'à chacun des trois genres d'efforts, on a une équation qui multipliée par 46V prend cette forme ;
(6c* — b^Vc — 6^») (46c* 4- 6'"c^c + b'&*) = 46"* d'^cK
Elle servira à déterminer l'une des dimensions 6, c de la sectiofk rectangle en se donnant l'autre, ou en se donnant une relation entre elles. Par exemple si l'on veut que c soit égal à 6 multiplié par un nombre donné quelconque , en faisant &, &\ (f = 6', 6", 6" multiplié par le même nombre ou rapport, et divisant l'équation par sa quatrième puissance, on a, avec des 6, précisément l'équa-
SCPPLÉJiEMT A l'art. IV. GLISSEMENT. 229
(bu n» IftA). ^
tion que nous avons eue avec des r pour le cas d*une section circulaire.
Si Ton se donne Tépaisseur c, Ton a en divisant par sa quatrième puissance & = c'* = c"* = c^* :
d'où, pour la largeur chercliée
6= g T + 6') + \/[g {fr + 6')]' + 6"« ^P .
qui peut aussi être donnée par le premier tableau numérique du S A.
Si Ton se donne la largeur 6, on a en divisant par 6« = 6'* = ft"* = ^* une équation en c qui se réduit, quand c^= 0 ou quand la pièce n'est sollicitée qu'à la flexion et au glissement sans extension ou compression générale, à
d'où , une expression de c' :
qui se réduit à c* si c'' = 0 et à c^ si c' = 0, et qui fournit du reste ce tableau numérique :
Pour -—• =
El pour — =
On a —= Et -;7==
1 I 1,102 I 1,207 1 1,425 I 1,575 | 1,651 1 1«883 1 1.645 1 1,571 I 1,419 I l,2Ul j 1,097 1 1
% 7. Observation pour le cas où Von donne partout à ta pièce une égale épaisseur. Il faut alors qu'elle soit très-courte pour que le glissement ait une injliience sensible sur la condition de résis-
(Du n« tftA). •
■»i— — wi<— -^pi— ^^ij^MM» uj-j * m^ÊÊim^^.i liai ^■^■p^^^BgE^—»'i^'»Br^s5';
tance. ^^^ 4aiM Texpreeision générale Au S préoéd^Rt pîll il (Mt faire Q = 0 quand il n'y a que flexion et glissement
vm'^' .
nous faisons passer | =-r hors du radical de manière à avoir Tanité pour premier terme sous le signât le second terme pera
(hJPL Op I \S
~ • TT* t;^] ; 6tp(, pQur M, nous mettons Pa, moment de la
force P avec un bras de levier a, et, pour T.» sa valeur thé^ rique ? Ro> nous avons
Cette expression se réduira à R. -, = Pa = M pi| ^ T^ils^tiQP QX^
dinaire de résistance h la flexion seule lorsque le second terme sous le radical sera petit devant le premier, de manière que la quaatitiâ
entre crochets excède fort peu ^ -j- - = 1. Or, ce second terme,
pour une section circulaire de rayon r, vu que w =. tt*, r' = r,
I =1 ~, se réduira ^ ( r- ) « e^ V^^^ une section veetangle o^
c bc^ / c \ *
w = 6c,r'=-, I = ^-,à (~| .On peut le négliger quand la liau-
teur 2r ou c du solide est moindre que le bras de levier a avec lequel agit la force qui opère en même temps la flexion et le glissement
Il en résulte que lorsque la forme du solide doit être à peu près prismatique et que sa longueur ou pour mieux dire la distance du point d'application de la force à la section la plus exposée excédera la hauteur de la section, on pourra calculer ses dimensions comme si elle n'était que fléchie en négligeant le glissement.
C*est ce qui arrive souvent pour les dents d*engrenages, etc.
Mais il faut en tenir compte , comme nous avons déjà dit, si IVm donne au solide la forme d*égale rédstanoe. Et, en tous cas, les ef-
(Du n<» tftA).
fets de glissement sont comparables à ceux d'extension et de compression générale qui sont produits par des forces du môme ordre d'intensité et dont on tient compte en général.
$ 8, Second cas (de Jlexion et de glissement simultanés)^ ok la section peut sHr\fléchir librement. Alors il sujpt de choisir la plus forte des din^ensions fournies par un double calcul. -— Suppoepas en second Ijeu que les sections aob de la pièce AB sollicitée transversalement par une force p puissent prendre librement la courbure dont nous avons parlé S 2 de la note du n" 153 et S 3 de la note du n' 15/i. Les fibres en a , les plus éloignées de la ligne o des fibres invariables sont les plus étendues en vertu de la flexion ; mais, d'après ce que nous avons vu, elles restent normales à la section infléchie, et le glissementy est nul. D'une autre part, c'est au milieu de la seclion, ou en o , que le glissement est le plus fort; mais la flexion du solide i?y produit ni ex^ tension ni compression. De plus , le calcul prouve (^) que lorsque la hauteur a6de la section atteint 3^<^^',05 le bras do levier oB de la force si la section est rectangle, et /i'»*«,3 si elle est circulaire, le point dangereux ou de plus grande dilatation quitte brusquement les bords a et 6 pour venir très-près du centre o, dont il se rapproche encore plus à mesure que la hauteur do la section augmente par rapport au bras de levier.
11 en résulte que, dans ce cas, les efibts de flexion et do glissement produits par une action transversale se combinent à peine ensemble , et que, pour avoir les dimensions à donner à la section, H n*y fi qu'*à les calculer successivement comme si la pièce ii était sollicité qu'à la flexion et comme si elle n'hélait sollicitée quau glifsemexd transversal avec libre courbure de la section; et qu'à prendre le plus fort des résultats de ce double calcul.
Mais, d'après les tableaux de^ §§ /i et 6 dans lesquels les frac- (iOQs dopt les nombres qui y sont inscrits excèdent Tunité donnent la mesure de la quote-part nullement négligeable de celui des deux
(>) Mimoké 9U9 l<k tonian ( Savants élrangers, l. XIV), art. 4 26, ou bien art. U6 règle J,.
232 SEGT. I. BÊSISTANCfi D£S SOLIDES.
(Du ti- tftA).
effets qui est le moins influent , Ton voit que lorsque la section est astreinte à rester plane ou encore lorsque, soit qu'elle reste plane ou qu'elle devienne courbe , le glissement a lieu simultanément à une exteusion ou une compression générale des fibres, les écartements moléculaires partiels se composent pour produire on écartement résultant qui est sensiblement supérieur à chacun, et il y a nécessité de donner aux sections des dimensions plus fortes que celles qui les rendraient capables de résister séparément aux deux genres d'effort
5 9, Applications numériques des formules des %% 6, 7, 8.
!•* exemple. Flexion et glissement. On demande la hauteur c à donner à la section rectangulaire d'une pièce prismatique horixontale en fonte» d'une largeur 0'',0i5= 6, posée sur deux appuis à une distance de f ",03 = Sd^ pour qu'elle puisse porter au milieu une charge 2P = 2000 kilogrammes.
Solution, C'est la section milieu qui est la plus exposée à rompre par flexion seule. Or cette section n'a aucune raison de se courber plutôt à droite qu*& gauche : elle restera donc plane, et il faut pour calculer sa dimension verticale c, se servir de la formule de la fin du S 6.
La valeur c' qui rendrait la pièce capable de résister à la seule
flexion serait fournie par K -^ = Va, d'où en faisant b = 0,015,
a = ^, P = 1000, Ro = 7 600 000, l'on tire c'« = 0,0008,
La valeur &' capable de la faire résister au seul glissement sans courbure de la section serait donnée par T,6{/' = P, où b = 0,015, P = 1000, et où , faute d'expériences spéciales on fera
To = I Ro = 6 000 000 ; d'où c" = ^ = 0,01111, c"« = 0,000123457.
Au moyen de ces valeurs de c'* et c"\ la formule c^^-^c'^ + r c"* +
"^ V (s ^^ "^ ^ ^ ')' "^ (^^'*y^^^^ ^^ ^^ s 6» relaUveà cecas où l\>n se donne la largeur}6 , fournira
. SUPPLÉMENT A l'art. IV. GUSSEMENT. 233
(Du ll*lMi].
Il y a bien , à droite et à gauche de la section milieu , des sections qui sMnfléchissent librement : mais, ainsi que nous avons dit $ 8, il n*y a aucun glissement sur labase des Abres les plus tendues ou comprimées , et aucune extension ni compression des fibres du centre où le glissement est le plus fort ; et la hauteur b à donner à la section doit être la plus forte de celles qu'on trouverait s'il rCy avait quejlexion et s'«7 iCy axait que glissement. Or, dans la première supposition, on aurait moins que ce que nous avons trouvé pour la section milieu; dans la seconde, celle de glissement seul avec
libre inflexion, on aurait (j 3), frc = ^ = ^^^ = 0,00025
d'où c = !^ = 0",0i667, valeur moindre que celle 0,03 que
nous avons trouvée tout à Theure pour la section milieu non inflécliie.
Donc il faut donner à la petite pièce prismatique en fonte une hauteur de 3 centimètres.
2"* exemple. Même pièce en lui donnant un profil d'égale résistance.— Soit alors sa hauteur ou épaisseur variable désignée par z au lieu de c, pour la section à la distance x d'un des deux appuis.
On trouverait, s'il n'y avait que flexion , Ro -g- = Pa:; et, avec le
glissement, on trouverait pour la valeur de z' en x, la dernière
6Pjî / P \"
équation du S 6 en faisant c" = z', c'* = ^, c"* = f ^^ J ai les
sections étaient partout astreintes à rester planes ; mais, vu la faculté qu'elles ont généralement de s'infléchir ($ 8), le double profil para-
&z' bolique donné par l'équation R, — = Px en supposant la face inférieure horizontale, conviendra à la pièce en faisant R» = 7500000, 6=jD,0i5, P = iOOO partout, excepté !<" auprès de son milieu X = a = 0,015 où il en résulterait une épaisseur z = 0,0283 tandis qu'on doit avoir, comme nous venons de trouver, z =-. 0,03; 2» auprès des appuis, ou l'équation donnerait l'épaisseur z = 0 et où
234 SKCr. 1. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
(Du D» IftA).
l'on doit avoir, comine pn vient de dire, z = 0,0167. Prenant, en ces trois points, les ordonnées z = 0,0167, z = 0,03, z = 0,0167 et faisant de petits raccordements pour aller Joindre tangentiellemcnt la parabole, on aura le profil d'égale résistance.
3"* exemple. Flexion et glissement. Boulon de poulie. — On demande quel diamètrQ doit avoir le boulon horizontal d'une poulie destinée à porter deux poids P = 800 kilogrammes, et qui a un jeu horizontal de 3 millimètres dans sa chape ?
SoliUion. Ce boulon est comme une pièce posée sur deux appuis A, B et portant, intermédiairement^ ^eax poid? P en deux points C, D distants l'un do l'autre de l'épaisseur CD de la poulie. Si celle-ci restait bien à égale distance des deux branches de la chape, ou si on avait toujours ÂG = DB, les réactions des appuis A, B seraient égales chacune à P, et Iq moment M tendant à U flexion serait Px AC=Px 0",0015 dans toute la partie CD qui fléchirait ainsi en arc de cercle. Le glissement serait nul entre G et D; mais, immédiatement en deçà de G et au delà de D, le glissement aurait lieu en vertu d'une force transversale P. Mais la poulie peut se porter tout d un côté, ou toacher la branche B de la chape en restant à 3 millimètres de la branche A. Comme ce jeu est toujours petit en comparaison de l'épaisseur de la poulie, les deux appuis peuvent toujours être considérés comme portant chacun la moitié de la charge totale 2P. Le boulon, à sa section la plus exposée, qui est la section G, e^t donc sollicité à fléchir par un moment M = Pa = 800^ x 0,003= 2^,4 , et à glisser par une force transversale P = 800^
Gomme cette section peut librement s'infléchir en doucine, il y a lieu (§ 8) de calculer son rayon r successivement OQQime g'fl q'y avait que flexion et comme s'il n'y avait que glissement, et deprendre le plus fort des deux résultats. Dans la première hypothèse on aurait, le coeflScient de résistance permanente R« étant 600000^:
Roi
jir*
^* = Ro-y =Pa = 2,/i; d'où r» =
rr=a%0#798.
SCPPj^KPir A L'AHT. IV, QUSSEMJgliT. ^^5
(Du n« tftA).
D^s Ifk (li^^i;ièipQ hj^poth^, pç)le du glissement avec Hbre infl^^jpn , Q^ aqr^l; , vw que (a 3ectton est circulaire (S 3),
(%ttQ Seconde valeur étant 1^ plus forte , on doit adopter le dia- Qiètre Jr î= 3 x; p,"P0862 = 17"",2, qu'il sera prudent de porter à 3 centimètres!, yi; qu'il s'agit d'une pièce sujette à s'user.
^■» Hxemple. Compression et glissement. Rais de roue de voiture. — Quelle superficie faut-il donner à la sectiop milieu des rais de roue d^une charrette destinée à traîner une charge de ip,000 kllogiViiipn^ dap^ ^^ ç)i6mias dQ traY^rse ?
Sofution* 81 1^ charge de ^«ppo^ par rou^ est supposée porter toujours au moins sur deux rais & la fois, & cause de ia répartition produite par la jante , chaque rai sera comprimé longitudinalement ; à chaque tour, par une force de 2,500^. En admettant (voy. plus \tà^) <Qu§ pour une longueur d'au plus 12 fois Tépaisseur, le bois de chône debout supporte d'une manière permanente, par centimètre carré» une compression de lili^ que nous réduisons à 35^ vu les chocs, Il AiudraiC donner une section (i>"'= 70 centimètres carrés.
Mais chaque rai sert en outre à transmettre horizontalement , comme Ta remarqué M. Poncelet (ci-dessus $ i de la note n"* 152), p^ 0çi^ ^Pfiçns tr^svcrs^les opposées ^ la force du tirage à la bsindç €iu çpqtact avec )e sol , ou la rj§sistAnce de celui-ci & l'essieu. Çptte jlJÇTiction 09 cette résistance horizontale est le 1/20 de la charge spr UQ terrain médiocre; mais, afin de résister aux coups de collier accideo tellement nécessaires pour franchir les qbstacles, il est bon de compter sur l/S, ou sur 625 kil. La superficie nécessaire pour résist^r m glissement ré^ultdnt de cette action traasversale
625^ sur une section libre de s'infléchir en doucine sera ^ — .
Si l'on prenait pour T^ les /i/5 (S 9 de la note n" 152) de la résistance permanente R. du chêne à l'extension dans le sens des fibres, qui est (voy. plus loin) 2^ par millimètre cari^é ou 300^ par centi-
236 sfiCT. I. bêsistânge des soudes.
(DU n« lft4).
mètre, on aurait To= 160. Mais la résistance à la rupture par extension dans un sens perpendiculaire aux fibres n'est (voy. idem) que le 1/13 de ce qu'elle est dans le sens des fibres , ce qui donnerait, si la contexture était en tous sens ce qu'elle est dans le sens trans-
versai T,=-j^= 12^,3. Diverses considérations théoriques portent
lu
à penser (*) que le rapport de T. à G a une valeur moyenne proportionnelle entre celles qu'il aurait si la contexture était « en tous sens, successivement ce qu'elle est dans chacun des deux sens; si l'on admet la même loi pour la valeur de T. elle-même» on prendra T^^=\/ i60.-j^ = liti; mais on verra que des expériences sur
la rupture du bois par torsion font adopter environ T« = 30. Heo résulte, pour la surface de section capable de résister au glisse-
ment, w"= - — = 31 centimètres carrés,
La valeur (5 /i) w = — - w'" + 1/ («<»*; + «»>"* ^ donnera la superficie de la section du milieu du rai, pour résister sUnultanément aux deux efforts de compression et de glissement, sera en conséquence
w = 73 centimètres carrés.
Quant aux sections autres que la section milieu , comme la pièce y est soumise , en outre, à la flexion par la force transversale 625*, censée appliquée au milieu dU rai, l'on déterminera leurs dimensions pour chacune des deux moitiés par la formule (S 6j^
B, = — ^ -f -j- de manière à résister à la fois à la compression
et à la flexion, M étant le moment variable Par, produit de la foree P = 625 par la distance x de la section milieu à la section que l'on considère, dont v' est la demi-épaisseur et I le moment d*lnenie, et l'on se tiendra à ces dimensions sans considérer le glissement si (S 8) elles donnent une superficie plus forte que celle de 73 centimè-
(') Mémoire iur la Iwrsion des priâmes, 1855, iri, 94 , 17. \ 25.
ART. V. TOBSION. 237
iSS. Lorsqu*au lieu d*une pièce encastrée par une extrémité y on considérera une pièce posée horizontalement sur deux appuis et chaigée au milieu (Fig. 10), les mêmes considérations pourront être appliquées, en concevant quç a désigne la moitié de la distance des appuis, et P la moitié du poids placé au milieu de la pièce (*).
