DE LA FLKXI03 DES PIECES COI RUES
446. On considérera une pièce courbe AwiM (Fig. 72) encastrée horizontalement à l'extrémité A, et l'on supposera que deux forces verticale et horizontale P et Q, ayant été appliquées à l'extrémité M de cette pièce, elle ait été fléchie suivant la courbe Am'M’. Il s’agit, la figure de la courbe AM étant donnée, ainsi que le moment de résistance à la flexion delà pièce et les forces P et Q, de connaître la figure de la courbe AM’. On nommera
10 On peut aussi voir l’ouvrage intitulé : Itapporl et Mémoire sur les pouls suspendus.
.r , y les coordonnées horizontale et verticale A p, pm d’un point quelconque de la courbe AM ;
* la longueur de l’arc Am;
æ',y' les coordonnées du point tri de la courbe AM' dans lequel sc transporte le point m ;
n, b les cordonnées AB, MB du point extrême M ;
ri, b' les coordonnées AB', M'B' du point M', dans lequel sc transporte le . point M ;
<t l'angle que la normale de la courbe AM menée au point m forme avec la verticale;
¥ l'angle que la normale de la courbe AM' menée au point m forme avec la verticale ;
i le moment de résistance à la flexion de la pièce courbe AM, dont l'expression générale est donnée n" 80.
Reprenons les considérations exposées n" 77 , en désignant , comme dans ce numéro, par v la distance d’un point quelconque de la section transversale de lapièceà l’axe d’équilibre. Avant la flexion, la longueur d'une portion infiniment petite d'une fibre placée à la distance r de cet axe est du -r- v dv, parce que l'angle de deux normales consécutives est d?. Après la flexion, et en faisant abstraction du changement qui peut être survenu dans la longueur Je l’élément dx, la longueur de la même portion de fibre sera devenue dx+vd^. La proportion suivant laquelle cette portion de fibre s’est allongée est donc
(rfç' — d?) r . il Y— d?
— , ou simplement r,
il x -b r d ? d s
en négligeant vdt à l’égard de ds , ce que l'on peut faire dans les cas ordinaires des applications, l’épaisseur de la pièce étant fort petite par rapport au rayon de courbure. On conclut de là , que les conditions de l’équilibre d’une pièce courbe s’expriment de la même manière que celles d'une pièce
1 tPjr dy' — dy
droite, en remplaçant la fonction-, ou — . par ■ — .
o dx2 d s
457. L’équation exprimant les conditions de l'état d'équilibre de la pièce courbe AM sera donc
, = P (a — x) -4- 0 {b~jr),
d’où Ton déduit
?’-?■= -J' >‘r y/ 1 {,iTj [p (“ - *> + et*—/ ) ]•
La flexion de la pièce étant toujours supposée très-petite, les angles '/et
v doivent différer très-peu l’un de l’autre. Le second membre peut donc être regardé comme un angle très-petit, qui ne diffère pas de son sinus, et dont le cosinus est égal à l’unité. Ainsi l'équation précédente donnera
t /* / fdyy
». Y — cos. ?= sin. f y ili 1 -+- f ■ — — J [P(o — x) + 0(è— r)l.
1 (' / fdjrY
n. q> — sin. 9 = - cos. <? / d x 1 / 1 [ ) [P (a — .r) -s- 0 (é — y)]-
« J V \dxj
il x il y il x’ il y
Mais on a cos. ?= — , sin. 9= — ; cos. = —, sin. 9' = — ; en supposant
toujours que les parties de la pièce ne changent pas de longueur quand elle fléchit. Donc
(P(o — jr)o-0(6 —y)], [P(a -x)-M}(è-r)l,
équations qui, étant intégrées, feront connaître les déplacements de chacun des points de la pièce courbe, quand la figure de cette pièce sera donnée.
448. En développant le radical en série, les expressions précédentes deviendront
il i' — il t il y J ™ rf J- |^1 -t — ^ J — etc. J ^P(a — x ) + 0(6 — /)!,
il y' — ity = - d x J I — etc. J f P (<i — jr ) -t- 0 (h — /)]•
On pourra presque toujours dans les applications , à raison du peu d’amplitude de la courbe des pièces, se borner au deuxième terme de la série. On ne commettrait même dans beaucoup de cas que de très-faibles erreurs en négligeant ce terme.
449. Dans une pièce courbe sollicitée de la manière indiquée n“ 446, les parties sont tendues dans le sens de la longueur de la pièce par l’action de la force P, et comprimées par l’action de la force Q. La tension ou compression produite par chacune de ces forces, en un point quelconque de la courbe, est égale à la force décomposée parallèlement à la direction de la courbe en ee point. Ainsi T désignant comme ci-dessus une pression, on a ici
dy d x
dy
— P hQ
V \dx
APPLICATION Ali CAS OC LA FIGl'RE DI LA PIÈCE CUl'HE EST CNE PORTION DI PARABOLE.
b x* dy 2 bx
450. On a dans ce cas y = — , — = ; et en substituant dans les for-
mules du n"4G8,
O5 r fax* xi\ fb x* b a^An >
1 , f : r'\ ( bx3\
dy1 — dy = -dx J P ( a ar 1 -f- Q ( 6 * — ^ J
2 b1 r fax3 **A fbx3 b x3}-! i
d'où l’on lire en intégrant
y—--! | “ r-é— --Voé— )1
r /'ai5 a-*\ /6*5 6a7\-i l
■4 I P ( -*-0 — etc. ;
1 » /ai1 i1\ fb x1 b a‘A
2 b* r fa x* x3\ fb x1 b x3 A ~i i
Si l’on désigne par li et /les quantités dont le point extrême M est déplacé horizontalement et verticalement, ces formules donneront, eny faisant x—a,
fba'b b 3 \
1 pXc.
(nalA H
fa3 a b3 A
lit. 1
451. Considérons une pièce courbe MAM' (Fig. 75) formée de deux parties égales, supportée verticalement sur deux portions d’un plan horizon-
tal, cl chargée ati milieu A du poids 2 II. La pièce cédera à l’action de ce poids, et le sommet s’abaissera en même temps que les extrémités s’écarteront l’une de l’autre. La moitié AM de la pièce est dans le même état d’équilibre que si, étant encastrée horizontalement en A, elle se trouvait sollicitée à l’extrémité M par une seule force verticale II agissant de bas en haut. Par conséquent, faisant P = — Il et Q=0 dans les équations précédentes, et se bornant aux deux premiers ternies des séries, les valeurs
'r>ai h
exprimeront respectivement la quantité dont chaque point M ou M' se déplace horizontalement, et l’abaissement du sommet A de la pièce. Cet, abaissement est un peu plus grand qu’il ne le serait pour une pièce rectiligne, à distance égale des points d’appui.
452. La formule du n° 449 donnera à fort peu près, pour la pression exercée dans le sens de la courbe au point dont l’abscisse est x,
T= Il ( .
\ oj a® y
Comme on suppose ici b petit par rapport à a , la plus grande valeur de celle pression aura lieu aux points extrêmes M ou M', dans lesquels x ~ a.
453. Considérons maintenant la même pièce courbe MAM' (Fig. 74), chargée de la même manière, mais en supposant que les appuis ne permettent pas aux extrémités M et M' de s’écarter l’une de l’autre. Chaque moitié de la pièce est dans le même état d’équilibre que si cette moitié, encastrée horizontalement en A, se trouvait sollicitée à l’extrémité M ou M' par une force verticale II agissant de bas en haut, et par une certaine force horizontale Q. Cette force horizontale doit être déterminée par la condition que les points M ou M’ ne se déplacent pas horizontalement. Il suit de là qu’en mettant — u à la place de P dans les deux dernières équations du n" 450, et faisant /i = 0. les valeurs qui s'en déduisent , et qui sont . en se bornant aux deux premiers termes des séries,
expriment respectivement la pression horizontale que la pièce cour lie MAM'
exerce contre les appuis, par suite de l’action du poids 2n, et la quantité dont cette action fait abaisser le sommet A de la pièce. Ainsi , dans une pièce courbe qui a peu d’amplitude, l’abaissement du sommet est à peu près indépendant de la flèche b de cette pièce; et en le comparant à la valeur de/' du n" 8G . on voit qu’il n’est pas le de l’abaissement qui aurait lieu pour une pièce rectiligne des mêmes dimensions. Mais il ne faut pas oublier que la valeur précédente est calculée sans avoir égard à la contraction que doit produire la pression exercée dans le sens de l’axe de la pièce, et qui contribue avec la flexion à faire abaisser le sommet de la courbe.
454. Dans le cas dont il s’agit , les actions exercées sur la pièce ne tendent qu’à la contracter. La formule du n° 449. en remplaçant P par — n, Q par
Il — — . et en ne conservant que les termes de l’ordre — , donne
pour la pression supportée dans le point dont l’abscisse est#
La plus grande valeur de cette pression a lieu dans le point dont l’abscisse
est , et cette valeur maximum est
APFLICAT105 AC CAS OC LA HOLRE DE LA FltCE GOTRBE EST LS ARC DE CERCLE.
455. Nous conserverons les dénominations du n° 466 qui se rapportent à la figure 72, et nous désignerons de plus par
A le rayon de l’arc de cercle suivant lequel la pièce est courbée ;
■fr la valeur de l’angle y qui convient au point extrême M de la pièce courbe. D’après cela, considérant, comme dans ce numéro, le cas d’une pièce encastrée horiAmtalcmcnt à une extrémité, et sollicitée à l’extrémité opposée par deux forces verticale et horizontale P et Q ; remarquant que
i = A 8in. y a — A sin. <P d» =z k dtf;
y = A { I — eo«. y ) , b = A ( 1 — cor. 4») ,
l’équation du n° 447 qui exprime les conditions de l’état d’équilibre de la pièce courbe, s'écrira
t (tf y' — dy) = A3, dy [P (sin. 4* — - sin. y ) -4- Q (cos. y — cos. 4>)]; d’où l’on déduit par l’intégration
i (y' — y) = A3 [P ( -y siit. <Î>-|- cos. y — t)-»- Q ( sin. y — y cos. ♦)].
UE LA MÉCANIQUE, l'« PARTIE. isü)
Opérant sur cette expression comme sur celle qui est dans le numéro cité, on en tirera de la même manière
« (rf;r/ — rf.r) = — A5 rfy. sin. y [P (y. sin. 4> •+• eus. y — 1 ) +0 ( »in. y — y. cos. <t>) ], ,(d? — dy) — A5 rfy. cos. y [P (y. sin. ♦ -H eus. y — 1 ) + Q ( sin. y — y. cos. 4>) ] ;
et en intégrant
^ ^ ( P [sin. 4* (sin. y — y cos. y) -f- - sin. 2 y -4- eus. y — 1] )
I 0 [ f y — ÿ sin. y cos. y — cos. 4> (sin. y — y cos. y) ] )
ir'-r)- as
P [sin. y (y sin. y-f-cos.y — 1 ) -y- j sin. y cos. y -H j y ~ sin. y ] , 0 [ ÿ sin. 2 y — cos. <t> ( y sin. y cos. y — I ) ] >
Ces expressions donnent, eu fonction de l'angle y appartenant au point quelconque ni de la courbe, les déplacements horizontal et vertical de ce point. En y supposant y = <t> , on aura pour les déplacements horizontal et vertical du point extrême M , désignés par h et f :
j P ( j sin. 1 $ — 4> sin. <t>. cos. <t> ■+- cos. <t> — i ) j I Q ( a <J> — f sin. 4>. cos. <t> 4>. cos. 2 4>) !
j P («P sin. î4>+ y sin. <P cos. <P — 9 sin. 4>h- ÿ <l>) j I 0 ( ÿ sin. 1 <P — 4> sin. <t> cos. <î> -+- cos. ♦ — 1)1
456. La contraction T supportée par un élément quelconque de la courbe est exprimée par la formule
. T = — P sin. y -f- (J cos. y.
457. En considérant d’abord le cas où l'angle 4> serait peu considérable, on trouverait , en négligeant les puissances de ♦ supérieures à la cinquième,
formules qui peuvent s’écrire
