La formide du n" 456 donne
/ 2 cos. 9
T = II l sin. 9 H-
pour la compression longitudinale supportée par un élément quelconque du demi-cercle.
DE I A FLEXIOX O'iîlï NICE COURBE BOUT TOUS LES PU1ATS SUPPORTES r DES POIDS.
460. Considérons la pièce courbe AM (Fig. 75), encastrée horizontalement à l'extrémité A, et chargée dans tous ses points par des poids dont l'action oblige cette pièce à prendre la position AM'. En conservant les dénominations du n" 446, ctappellant
p le poids placé au point m dont l’abscisse est x , la valeur de cc poids étant rapportée à l’unité de longueur , et donnée en fonction de l’abscisse xj
x{ l’abscisse A q d’un point quelconque n compris entre m et M. p, la valeur de p dans le point n;
on aura pour exprimer les conditions de l’équilibre, nu lieu de l'équalion du n- 447 ,
. = / dr, Vi (*i - x),
ds */ x
d’où l’on déduira, comme dans ce numéro ,
dx'-dx = -- d y dx y/ 1 f“ dx,Pl{x'-x)'
df-dr= - dx f d x y/ 1 -t- J “«/x.p.u.-x),
formules qui feront connaître le déplacement de chacun des points de la courbe.
461. En développant le radical en série, ces formules deviendront
d x’ — dx = d y J d x £l -4- - ^ ^ — etc/j dx,pt (X| — x),
dy — dy— -d* J^dx^\+^^~^j-<Ac^J^adxipl(xl—x),
462. La pression qui a lieu au point m est égale à la somme des poids dont la partie mM est chargée, décomposés parallèlement à la direction de la courbe eu m. Cette pression est donc
Cette valeur est négative lorsque — est positif : alors la courbe n’est pas com-
primée , mais tendue dans le sens de sa longueur.
APPLICATION AC CAS OC LA CHARGE EST CISIFORIËREST DISTRIDCtE , ET OU LA FIGCRH DE LA PIECE COURBE EST CSE PURTIUS DE PARADULE.
463. Lorsque la charge est distribuée de manière que des poids égaux répondent à des parties égales de l’axe horizontal A.r, p est constante, et les formules du n° 461 deviennent
dx' — dx =
dy — dy =
P f ( Udy\> , (a* un
dy / dx , 1 -h- [ — I — etc. ! bih I,
« ,/ ' 2 \dx) ' \ 2 2/
P /- , 1 fdy\* | fa1
— d x / d x ! I -t- - 1 1 — etc. ![ a x h — ]■
i J I 2 \dx] ’V2 2/
b x1 il y 2 bx
L'équation de la couiÿc étant d’ailleurs y— — d’où — = — , ces formules
donnent
il T
fa2 j*
ni3 x* A3
En supposant x—u, et désignant toujours par h,f les déplacements horizontaux et verticaux du point extrême M, on aura, en se bornant aux deux premiers termes des séries ,
'104. La formule du n° 462 donnera ici , à très-peu près, pour la tension exercée en un point quelconque de la courbe,
465. Considérons une portion de courbe MAM' (Fig. 76), formée de deux parties égales de figure parabolique, supportée verticalement sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s’écarter, et chargée de poids répartis de la manière indiquée n" 463. Chaque moitié de la pièce est dans le même état d’équilibre que si cette moitié, étant encastrée horizontalement en A, était sollicitée par les poids distribués sur l’intervalle AM ou AM'; et de plus par une force verticale pa agissant de bas en liant au point extrême M ou M', et par une certaine force horizontale Q agissant au même point. Or en supposant une pièce courbe sollicitée à la fois par des poids répartis sur sa longueur , et par des forces appliquées à l’extrémité , on connaîtra les déplacements des points de celte pièce en ajoutant les résultats obtenus n"’ 448 et 461. -Par conséquent , ajoutant ici les résultats des n°’ 450 et 463, on aurait pour les déplacements des points extrêmes :
i* ft,d
A* X 0 /Soi1
rj- Tl
KO
05 a J i V bz \ p f a* a2 b2 \
Mais dans le cas dont il s'agit on a P= — p a, et Q est déterminée par la condition h = 0. Les pressions horizontales exercées contre les appuis sonl donc
pa'J
et en mettant cette valeur dans l'expression de f, on trouve f=0. Ces résultats s’accordent avec ceux des n'” 440 et 442. La figure attribuée à la pièce courbe étant ici celle qui convient à l’équilibre, on doit trouver une valeur nulle pour l'abaissement du sommet.
466. Si la pièce MAM' (Fig. 76), supposée toujours de figure parabolique, était chargée à la fois du poids 2 pa, réparti sur sa longueur comme on vient de le supposer , et du poids 2 U suspendu au sommet A. la poussée ou pression horizontale exercée contre les appuis serait la somme de la valeur précédente de Q, et de la valeur trouvée n" 433, c’est-à-dire
L’abaissement du sommet serait exprimé par la valeur de f du n° 453.
467. La pression supportée par les différentes parties de la pièce, dans le sens de la longueur , est représentée ici par la somme des valeurs de T données n°* 441 et 454 , qui est
p a1 pb x1 f 25 a b 2 b x 25 b x*\
T = 1 hit 1 .
2 b aJ \2îb 28 a a3 Ida’ J
Si la quantité 64 pa — 25 n est positive, la plus grande valeur de la pression a lieu aux extrémités M ou M'; elle est
pa1 /25 a 45 b
-+- 4 p b -f- II I h
Si cette quantité est négative, la plus grande valeur de la pression a lieu au point dont l’abscisse est
tell
25 II — 04 p a
APPLICATION AC CA» OC LA CHARGE EST CSlFORXtHEST DISTRIBUEE, ET OC LA FIGURE DE LA FlfcCE COl'RBE EST CS ARC DE CERCLE.
468. En supposant la charge distribuée uniformément sur la longueur de la courbe, et nommant;) la valeur du poids placé au point quelconque m (Fig. 75 ), cette valeur étant rapportée à l’unité de longueur mesurée sur l’arc de la courbe, nous aurons, au lieu de l’équation du n” 460,
(si». 9, — sin. 9 ) ,
■ (U 9'— d 9) = p As d 9 [cos. 9 — cos. 4* — (<t> — 9) sin. 9) ;
et en intégrant,
1 (9' — 9) = ju A3 [2 sin. 9 — 9 (cos. 4> •+• cos. 9) — <S>( 1 — cos. 9) J.
On déduit de cette équation , comme dans le n" cité ,
• (</ x'—ilx) = — p tin. f [2sin. ? — ?(eos. <P cos. ç) — <p ( 1 — cos. *)],
■ — dy) = P A* il f. cos. ç [2 sin. ÿ — ç (cos. <t> ■+• cos. f) — ♦ ( 1 — cos. ?)] ;
et l'on trouve en intégrant, la charge p étant supposée constante,
t(x' - X) — — pA1 j Ï?- f sin-9C°sl? — cos. ♦(sin. ? — çcos.ç) |
' — 7 ? sin. * ® -+- 4> (7 tin. 1 9 ■+■ cos. ç — 1)1 ’ ,(r’r) = p A4 j tsin-,9-i?si" ?cos.ï-i 92 )
1 — cos.<p(çsln.?-i-co8.9 — TH-7 sin.^cos. 9 — tin.?), j ’
expressions qui donnent les déplacements d’un point quelconque de la courbe. En faisant ?=♦, on aura pour les déplacements du point extrême p a4 r
— ®= I 4* ( j-t- cos. <p cos. J <P) — J. sin. *p cos. «P I ,
f = 1 cos. 4* — cos. J «P H- j <P » — <p( tjn. <p -t- sin. <p cos. 4>) ■+• i sin." 1 <P I.
A69. La tension longitudinale exercée en un point quelconque de la courbe
est
T=/; A (4* — ç) sin. 9.
470. Si l’on considère un arc d’une petite amplitude , les formules du n° 468 donneront, en ne conservant comme ci-dessus que la cinquième puissance de f ,
qui s’accordent avec les expressions du n° 463, en sorte qu’il est indifférent, lorsqu'on peut se borner à ce degré d'approximation, de considérer un arc de cercle chargé uniformément sur sa longueur, ou un arc de parabole portant une charge répartie uniformément sur la projection horizontale de cet arc.
471. Si la pièce courbe est un quart de circonférence, on fera dans les
formules du n" 468 4> = — , ce qui donnera pour les déplacements du point
extrême
p A4 it
p A4 ic1 — 8 x -4- 20 • IC
472. Dans le cas où la pièce courbée en arc de cercle serait chargée d'un
DE LA MÉCANIQUE, I" PARTIE. 23!i
poids distribué uniformément sur sa longueur, et sollicitée en même temps par les deux forces verticale et horizontale P, Q, appliquées au point extrême, il faudrait ajouter les expressions de h et /"des n" 455 et 468 pour avoir les déplacements horizontal et vertical de ce point. D'après cela, si nous considérons une pièce courbée suivant un quart de circonférence, nous aurons
• p P A3 1 it
;) A» *> — 8 it -4- 20 P A3 5 « — R OA3 1
et si nous supposons qu’une pièce formant une demi-circonférence , chargée de la manière qui vient d’être indiquée, est posée sur deux appuis qui ne per-
mettent pas aux extrémités de s’écarter, il faudra faire P = — p A — { puis-
que cette quantité représente le poids dont chaque appui est chargé ), et h =0, ce qui donnera
Ainsi la poussée horizontale d’une pièce courbée en demi-cercle, posée sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s’écarter, est égale au poids dont chaque moitié de la pièce est chargée , multiplié par la fraction
— ; c’est-à-dire un peu moins du tiers de ce poids : cette poussée est la moitié
de celle qui aurait lieu si le poids total du demi-cercle était suspendu au sommet. La valeur précédente de f représente la quantité, dont s’abaisse le sommet du demi-cercle. Cette quantité est moindre que celle qui aurait lieu si le poids total du demi-cercle était suspendu au sommet dans le rapport de 5*’ — 8 k —24 à 6*’ — 16*- — 8.
473. La compression longitudinale en un point quelconque de la pièce sera représentée par
T = — p A (♦ — 9) sin. 9 — P sin. 9 -t- Oros. ? ;
Cette formule, en supposant «t> = — , mettant pour P sa valeur — p A — et
pour Q la valeur — , donne
/ cru. 9 ’
T =p A | 9 sin. 9 H
-■>(i LEÇONS SLR L’APPLICATION
