ÏSAOI DES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS DANS LES APPLICATIONS

•474. Les résultats précédents donnent les moyens de déterminer la limite des poids dont on peut charger une pièce courbe dans les divers cas d'équilibre que l'on a considérés.

Lorsque la figure de la pièce est celle qui convient à l’équilibre des poids dont elle est chargée , cette pièce est simplement pressée dans le sens de sa longueur: et les dimensions de la section transversale étant ordinairement fort petites par rapport à la longueur, on peut supposer cette pression répartie également sur toute l’étendue de la section transversale. Par conséquent, ayant calculé la plus grande valeur de la pression, représentée par T dans les n~ 426 et suivants , désignant par u l’aire de la section transversale de la pièce, et (comme dans les n» 181 et suivants) par R' le plus grand effort que l’on veut faire supporter aux fibres sur une étendue égale à l’unité de surface, on posera l’équation

d’apres laquelle on pourra établir le rapport convenable entre la charge qui produit la pression et les dimensions de la pièce.

475. Lorsque la figure de la pièce n’étant point celle qui convient à l’équilibre, cette pièce fléchit par l’action des poids dont elle est chargée, on peut déterminer la limite de ces poids conformément à ce qui a été exposé dans le n° 387. Représentons par o la section transversale de la pièce, et par v' la distance à l’axe d’équilibre des fibres qui subissent la plus grande compression. En vertu de la pression T, dont les valeurs ont été données dans les n01 449 et suivants, les fibres sont d’abord comprimées, dans toute l’étendue

de la section, d’une fraction de leur longueur égale à—. De plus, par l’effet

de la flexion, les fibres extrêmes sont comprimées d’une fraction de leur Iondy' — rf?

gucur égale à V , comme on le voit facilement par les n“ 77 et 446.

Par conséquent, R' désignant le plus grand effort que l’on veut faire supporter aux fibres sur l’unité de surface , on posera l’équation R' T d y' — dy E Ki ù ds

qui fera connaître la limite cherchée. On doit remarquer que la valeur de la d ÿ— d ?

quantité v , donnée par les formules précédentes, se trouvera po-

ds 1

sitive ou négative suivant que, dans le point auquel cette valeur appartient.

la flexion aura augmenté ou diminué l'angle formé parla normale de la courbe avec l’axe verticale des y. Mais on ne doit pas avoir égard ici au signe decette

quantité, et on doit en ajouter la valeur absolue à la valeur absolue de — .

On se rappellera d'ailleurs que T a été supposé positif quand il représente une pression ; et par conséquent, lorsque sa valeur se trouvera négative, cela indiquera que la pièce est étendue, et non comprimée. Si la section (ransversale de cette pièce ne peut être partagée en deux parties symétriques par un axe perpendiculaire au plan de la flexion, v' doit représenter la distancé à l’axe d’équilibre (déterminé conformément au n" 78) de la fibre qui est le plus comprimée, si T est positif ; et delà libre qui est le plus étendue, si T est

T dÿ — dy

négatif. Enfin la somme des valeurs absolues des quantités — et v

Eu ds

sera donnée en fonction de l’abscisse x ; et il est évident que l’on doit attribuer à x dans cette fonction la valeur qui la rendra le plus grande possible dans toute l’étendue delà courbe.

476. Considérons, par exemple, le cas du n“ 473, où une pièce courbe de figure parabolique , posée verticalement sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s’écarter l’une de l'autre, est chargée du poids 2 II suspendu au sommet. On a, par le n° 454,

T n /2Ôa

Eu Eo\Z2b

fl*

Le n" 447 donne

( ff ■

où l'on doit remplacer P par — n, et Q par la valeur donnée n" 453 : on aura donc

d ÿ — d? fil { 7 a b1 f 23 b1 \ )

ds i ( o2 28 a \S2« 28 a5/ )

La valeur de T est positive dans toute l’étendue de la courbe, en sorte que la pièce est partout comprimée dans le sens de sa longueur. La valeur de d ÿ — d 9

v' est d’abord négative, devient ensuite positive, et se réduit à zéro

quand x = a. Sans avoir égard au signe de celte quantité, on en ajoutera la T

valeur à celle de — ; et réglant les valeurs de v' et de « conformément à ce Eu

qui a été dit n” 475, on déterminera n de manière que, pour toutes les va-

dY — d 9

leurs de x comprises entre 0 et a, la somme des valeurs de v' et

de — ne surpasse point — .

Eu E

477. Le cas du n" 465, où une pièce courl)c semblable est chargée du poids 2 pa, réparti sur la longueur de cette pièce de la manière indiquée n“ 46ô, est un des cas d’équilibre mentionnés n° 474.

478. En considérant comme dans le n” 455 une pièce courbée en arc de cercle, encastrée horizontalement à l’extrémité supérieure, et sollicitée à l’autre extrémité par les forces verticale et horizontale P et Q, on a d’après le

Tl/ \

= | — P sin. ? 4- 0 cos. 9 I ;

et d’après le n“ 455,

c' P (siii. <t> — sin. v ) 4- 0 (cos. ? — cos. <P) > .

ds • | )

479. Si l’on suppose, comme dans le n° 458, qu’il s'agit d’un demi-cercle posé sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s’écarter l’une de l'autre, et dont le sommet est chargé du poids 2 H, on aura

r an

•P =r —, P = — n, Q = — , ce qui donnera

2 ic

T 11 / acos. 9 \

— — | sin. 9 4- — i

Eu Ks \ i: J

d Y — d 9 r' H a f a cos. 9 \

r’ = f sin. 9 — 1 4 J.

Ces expressions doivent être employées conformément h ce qui a été dit n" 475.

480. Si, comme on l’a supposé n” 466, une pièce de figure parabolique, oulrc le poids 2 pa réparti sur sa longueur, supportait encore le poids 2 R placé au sommet, il faudrait employer la valeur de T donnée dans len” 467, et l’on aurait

Eu Eu 1 a 6 a1 \Zîb Î8 a nJ t«as 1 ’

Mais comme le poids 2 n produit seul la flexion de la pièce , la valeur de

serait la même qu'au n° 476, et devrait être employée de la

même manière.

481. S'il s'agit, comme dans le n"472, d'une pièce courbée en arc de cercle encastrée horizontalement à l'extrémité supérieure, chargée uniformément du poids p sur l’unité de longueur, et sollicitée à l’extrémité opposée par les forces verticale et horizontale P, Q, la valeur de T sera la somme des valeurs données dans les n- 456, et 469, en sorte qu'on aura pour la proportion suivant laquelle un élément quelconque de la courbe est contracté

— = j — p A (♦— 9) sin. 9 — P sin. 9-+- Q co«. 9 j.

Eu £u ' '

dÿ — d 9

L'expression de sera également la somme des expressions don-

nées dans les n0' 455 et 468, et sorte que l'on a

d f' — d ? V' p AJ < I

tf = [ co». p — ro». <P — ( <t> — ? ) sin. 9 !

dst I 1

h j P sin. ♦ — sin. 9) ■+■ O (cos. ? — cos. <t>) j .

482. En considérant donc, comme dans le n° 462, un demi-cercle posé sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s’écarter, .et portant le poids *p A distribué uniformément sur la longueur de ce demi-cercle, on

x xpk pk

fera * = — , P = , Q = — , ce qui donne

— — 7 sin. p -4- - cos. 9

Eu Eu \

</?' — df r' p A1 / s\

v' = ( 9 sin. 9 i cos . 9 j.

iis . \ 9/

Ces expressions doivent être employées conformément à ce qui a été dit n- 465.

DE L’EFFET DES PRESSIONS 00 DES TISSIONS EXERCEES DANS LE SENS DE LA I.ONGCECR DES

PIECES COORBES, POCR LES ACCOERCIR OU I ES* ALLONGER, ET DES CHANGEMENTS DE riGI II K

QUI EN RtSOLTENT.

485. On a indiqué, dans les divers cas d’équilibre considérés ci-dessus, les valeurs des pressions exercées dans le sens de la longueur des éléments des pièces courbes. Ces pressions causent une diminution dans la longueur de ces éléments, longueur supposée invariable dans le n" 446 et dans les numéros suivants ; et cette diminution de longueur concourt avec la flexibilité de la pièce à en changer la figure. Comme il ne s’agit ici que de changements très-petits, on peut les considérer successivement, calculer à part l'effet de chaque changement, et prendre la somme des résultats que l'on aura obtenus.

En conservant les dénominations du n" 446, et nommant s1 la longueur de l’arc Am' (Fig. 73), que l’on suppose maintenant différente de la longueur de l'arc Am, on aura <7 x — du' pour l’accourcissement de l’élément placéau

point m, résultant de l’effort exercé dans le sens de cet élément ; et

pour la fraction exprimant la proportion de cet accourcissement. Par conséquent, » désignant l’aire de la section transversale de la pièce , et T représentant, comme ci-dessus, la pression exercée dans le sens de la longueur de celte pièce au point m, on a

du — d s’

d’où

fdy \* \d x J

équation qui fera connaître les changements de longueur des parties de la pièce courbe. La figure de cette pièce demeurant d’ailleurs à fort peu près la même, il sera facile d'on conclure les déplacements des points qui résultent de ces changements.

484. Considérons, par exemple, le cas du n" 453; où une pièce courbe de figure parabolique, posée verticalement sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s'écarter l’une de l'autre, est chargée du poids 2 H

d x fl b x

suspendu au sommet. En remplaçant — par — — , T par sa valeur du n" 454,

dx a1 -

et se bornant aux termes de l’ordre —, l’équation précédente deviendra

Si l’on désigne par c la longueur totale des portions de courbe AM ou AM' (Fig. 74), et par c' la longueur que ces portions de courbe acquièrent par l'effet de la pression, on aura, en faisant dans l'équation précédente .r = a.

Il 25 ( 216 *1 \

Ew ô‘Jb \ 175 a1/

pour l'accourcissement résultant de l’action du poids 2 n.

485. Si la même pièce courbe, chargée du poids 2 pn réparti sur sa lon-

gueur, est dans l'état d’équilibre considéré n" 442, on doit remplacer T par l'expression du n° 441. L’équation du n“ 485 devient alors

d'où l’on tire

p a3 f f Ab 5

Eh t/ a *

r-*'= — (XH Jj

Eu 26 \ 5 a* J

Eu 26 \ 3 a1 J

pour l’accourcissement total de chaque moitié de la pièce.

486. Supposant enfin, comme dans le n" 466, la même pièce chargée à la fois du poids 2 /xi réparti sur sa longueur, et du poids 2 11 suspendu au sommet, l'accourcissement sera la somme de ceux qui viennent d’étre calculés. On aura donc

~Eh

f 4fcî\

487. L’abaissement du sommet de la courbe résultant des accourcissements, se calculera de la manière suivante. Considérant toujours une pièce de figure parabolique, on a [1]

’ + 3.2 (T J ~ ÜTà [~aj + 7. 1U (.T j “ ClC J’

T j = 0 L— ^ ro(— J - ml— J e,c J

On déduit de la seconde équation

d b ôar 2.9 c-

de A b L 10 a

d’oU il suit que c — c’ étant une petite variation de la longueur c de la moitié

de la courbe , et b — b la variation correspondante de la flèche b , ou a. à

fort peu près, en se bornant toujours aux termes de l’ordre du quarré de — ,

[i] Mémoire sur les ponts suspendus, page 73

488. Pour une pièce dont la figure naturelle est un are de cercle, l'équation du n° 483 doit s’écrire

» — *' = / il <?. T,

où l’on substituera l’expression de T en fonction de l’angle conformément à ce qui a été exposé précédemment

489. Pour calculer ensuite l’abaissement du sommet correspondant à un accourcissement donné de la longueur de la courbe, on remarquera que

c = A ♦ = A. arc sin. —,

- A cos.

d’où l’on déduit en différenciant par rapport à A seul, puis remettant pour-

sa valeur sin. »,

et par conséquent ,

</ b 1 — cos. <t>

</ r sin. «P — cos. 4»

1 — cos. »

sin. <E — cos. <t>

Cette formule s’accorde avec celle du n° 487, lorsque l’angle * est très-petit.

EXPEBIEXCES SCD LA nfcSISTAACS DES PIECES COCBBES.

490. D’après les expériences de M. Duleau [i], une pièce de fer forgé ayant 0" ,06 de largeur et 0",02 de hauteur , a été courbée à froid , suivant un arc de cercle de 6", 32 de corde et 0”,7 de flèche. Cette pièce étant posée verticalement entre deux appuis qui ne permettaient pas aux extrémités de s’écarter (Fig. 77), l’action de son propre poids n’en changeait pas sensiblement la figure.

La flèche de l’arc étant de 0m,709, et la pièce étant successivement chargée au milieu (Fig. 75) de 20, 120 , 220 , 260 et 280 kil., ce milieu s’est abaissé successivement de 4, 34, 68, 89 cl 112 millimètres. La pièce a totalement fléchi sous un poids de 288 kil.

Dans une autre expérience , la flèche de l’arc étant de 0m ,694 , et la pièce étant successivement chargée au milieu de 50, 100, 150, 200 et 250 kil., ce milieu s’est abaissé successivement de 10, 22, 39, 57 et 92 millimètres. Les

[i] Essai théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé, page 44.

DE LA MÉCANIQUE, I" PARTIE. s!13

poids étant ôtés, le sommet de la courbe est resté de 0“.024 plus bas qu’il n’étaitavanl l'expérience. La pièce a iléchi sous un poids de 270 kil. qui n’avait pas été mis tout à fait au milieu.

La même pièce était prête à fléchir sous deux poids de 280 et 285 kil., placés de chaque côté au j de la longueur à compter des extrémités.

La même pièce ayant été chargée successivement au j de la longueur , à partir de l’une des extrémités, d’un poids de 20 et de 100 kil., et la flèche primitive étant de 0“,696, le point chargé s’est abaissé de 8 et de 45 millimètres. Le sommet de la courbe s’est d’abord un peu soulevé, puis s’est abaissé quand la charge a atteint 150 kil- La pièce a fléchi sous un poids de 177 kil.

491. Dans les cintres en charpente qui supportent le toit du manège de la caserne de Libourne, exécutés d’après les projets de M. le colonel Emy , la pièce principale de chaque ferme est un arc en demi-cercle de 10m,6 de rayon. Ces arcs supportent un poids de 9333 kil. H]. Ils sont formés de cinq cours de madriers en sapin, courbés et maintenus à plat les uns sur les autres, ayant chacun 0", 135 de largeur sur 0m,054 d’épaisseur, et présentant ensemble une section transversale de 36450 millimètres quarrés. Ainsi près des naissances du cintre, où la pression est la plus forte, chaque millimètre quarré

de la section transversale supporte un effort de — — = 0k, 12.

ARTICLE VU

DES PIÈCES DE DIVERSES FIGURES EMPLOYÉES DANS I.ES CONSTRUCTIONS. DES PIÈCES FORMÉES DE PLUSIEURS PARTIES ASSUJETTIES ENTRE ELLES.

492. On a supposé jusqu’ici la figure des pièces prismatique. La plupart des pièces employées dans les constructions en bois ont effectivement cette figure; mais dans les constructions en fer, et surtout lorsqu’on emploie du fer fondu , on adopte des figures appropriées à la nature des efforts que les pièces supportent. On obtient de cette manière une résistance égale avec un moindre volume de matière, et par conséquent avec une moindre dépense.

fi] ^lémorial du génie, n» 10, page 43. Voyez aussi l’ouvrage de M. Emy, intitulé: Description d'un nouveau système d’arcs pour les grandes charpentes. L'auteur parait attribuer au système de charpente dont il s'agit la propriété de ne donner lieu à aucune poussée horizontale. Mais celle opinion ne pourrait être admise, bien que, dans certaines circonstances, la |>oussée étant très-faible, elle n’ait pas produit d'effet sensible.

C’est principalement d’après la considération de la résistance à la rupture que la figure d’une pièce doit être déterminée. En effet il convient de régler la force des pièces de manière que les extensions et compressions auxquelles les parties sont exposées ne puissent dépasser une limite donnée. Les formules relatives à la résistance à la rupture s’appliquent à cette détermination : il suffit de fixer convenablement, conformément h ce qu'on a vu dans l’article VII de la I” section , la valeur de la constante qui représente le plus grand effort que les fibres doivent supporter sur l’unité de surface.

Le prisme rectangulaire est la figure la plus simple que l’on puisse donner à une pièce. Cette figure peut être modifiée, soit en changeant la section transversale sans que la pièce cesse d’être prismatique, soit en donnant à la section des dimensions différentes dans les divers points de la longueur de la pièce.