DE LA TIGIRE DE LA SECTION TRANSVERSALE

493. Considérons d'abord une pièce soumise à des efforts qui s’exercent perpendiculairement à sa longueur, de manière que le sens dans lequel cette pièce tend à fléchir soit déterminé; par exemple, une pièce posée horizontalement, et supportant des poids. En donnant à la section transversale la figure d’un rectangle dont les côtés sont horizontaux et verticaux ; nommant

b la largeur,

c la hauteur de la section,

E et R ayant les significations indiquées n“ 77 et 113; le moment de résistance à la flexion sera, d’après le n° 81,

Ac5

et le moment de la résistance à la rupture, d’après le n" 115,

L’aire de la section transversale demeurant la même, la résistance à la rupture augmente proportionnellement à la hauteur c. Mais on ne peut, en général, augmenter c et diminuer b au delà d’un certain terme, parce que la pièce n’aurait pas de stabilité, et parce qu’elle présenterait trop peu de résistance dans le sens horizontal.

494. L'aire de la section transversale et la résistance demeurant les mêmes, on procure à la pièce plus de stabilité, et plus de résistance dans le sens horizontal, en donnant à la section la forme d’un tuyau rectangulaire (Fig. 77), ou celte de deux T opposés l’un à l’autre (Fig. 78 ). Nommant

b la largeur extérieure AB;

b la largeur intérieure DE (Fig. 77), ou la somme des largeurs DE, de (Fig. 78);

c la hauteur extérieure AC ;

c la hauteur intérieure DF ; le moment de la résistance à la flexion sera

et le moment de la résistance à la rupture,

te3 — h' u'*

Pour qu’une section rectangulaire offrit, à surface égale, la même résistance à la rupture, la largeur et la hauteur devraient être respectivement

(fte — Pc’i’i bc3— V c 5

et .

Les sections représentées fig. 77 et 78 paraissent être, dans le cas dont il s’agit, les plus convenables qu’il soit possible d’adopter. La première semble devoir offrir plus de solidité que la seconde ; mais, lorsque les pièces sont faites en fer fondu, il est difficile d’obtenir sans défauts les tuyaux rectangulaires ou circulaires Ci].

495. Lorsqu’une pièce placée horizontalement et supportant des poids doit présenter successivement ses différentes faces à l’action de la charge, ce qui a lieu, par exemple, pour les axes horizontaux dans les machines de rotation, il est convenable que la figure de la section transversale soit telle que la résistance de la pièce à la flexion soit la même dans tous les sens. Un cylindre plein et un tuyau circulaire offrent évidemment cette propriété. D’après le n° 83 un prisme plein à base quarrée, et un tuyau l’offrent également [s]

[0 Dans des pièces semblables en fer fondu, il faut donner des dimensions peu différentes aux diverses parties, afin que, refroidissant en même temps, elles ne tendent pas à se désunir par l'effet de la contraction de la fonte.

[i] Il est question de la figure la plus convenable des axes de rotation dans les Praclicat essaya on mill icork, par Buchanan, avec notes de M. T. Tredgold, 1825, tome I, page 262 ; et dans le Praclical essay on the slreuyth of cast iron, 1824, page 39. M. Trcdgold parait penser que le cercle est la seule figure qui donne aux axes la propriété d'nlfrir dans tous les sens la même résistance à la flexion. L'erreur de cet ingénieur provient de ce qu'il regarde la résistance à la flexion comme étant mesurée par l'expression qui mesure la résistance à ia rupture. On avait déjà remarqué qu'une section quarrée donnait la même résistance à la flexion dans le sens des côtés et dans le sens des diagonales. Mais de plus cette section donne une résistance égale dans tous les sens, et il en est de même d'un grand nombre de figures, que l'on peut former en combinant d'une manière symétrique le cercle et

LEÇONS Süll L’APPLICATION

Il en est de mémo des sections représentées figures 79 et 80. En appelant dans la première,

b la dimension extérieure AB ou CD.

6 l’épaisseur A a, Ce de chacun des rectangles qui se croisent à angles droits,

le moment de résistance à la flexion est, dans toutes les directions,

Le moment de rupture . si la pièce fléchissait dans le sens des côtés des rectangles, serait

ft36 + t>63-6<

et si la pièce fléchissait dans le sons de la diagonale du quarré dans lequel elle est inscrite,

496. En appelant dans la fig. 80 b la dimension extérieure AB ou CI); b' la dimension A'B' ou A'C' ;

6 l’épaisseur An , Ce des rectangles placés en saillie sur le quarré :

le moment de résistance à la flexion est , dans toutes les directions ,

Le moment de rupture , si la pièce fléchissait dans le sens des côtés, serait

et si la pièce fléchissait dans le sens de la diagonale,

497. Considérons maintenant une pièce posée verticalement, et chargée sur l’extrémité supérieure. Le sens de la flexion étant ici indéterminé , il con-

le quarré. 11 en résulte que si les axes renforcés par des côtes saillantes, que les Anglais nomment axes emplumés {feathered nhafls), réussissent moins bien que les axes quarrés ou cylindriques pleins, cela provient probablement de ce qu'ils ne sont pas aussi bien disposés pour résister à la torsion, et non pas des inégalités de la flexion de ces axes.

vient de donner à la section transversale la figure d’un tuyau rond ou quarré, ou bien l’une des figures symétriques indiquées n* 495. Cela suppose toutefois que l’on soit assuré que l’effort s’exercera toujours exactement dans fa direction de l’axe de la pièce. Il arrive quelquefois, par exemple pour les pièces inclinées servant d’arcs-boutants , que l’effort tend à s’exercer sur une des faces de la pièce, et non pas dans la direction de l’axe. Dans ce cas on peut adopter l’une des sections représentées fig. 81 et 82, dont la première a été fréquemment employée.

Nommons

b la largeur AB du rectangle dans lequel la figure est inscrite: c la hauteur CD de ce rectangle ;

6 l’épaisseur CF de la côte ;

T l’épaisseur AE de la face ;

z la distance DM à la face AB de l'axe d’équilibre contenant les fibres dont la longueur ne varie pas lors de la flexion.

Pour connaître la valeur du moment de résistance à la flexion de la section dont il s’agit, il faut d’abord déterminer la situation de l’axe d’équilibre, conformément aux n" 78 et 80. La condition énoncée dans le n° 78 donnera ici

As» — (A - 6)(s-7)» = 6(c — s P,

d’où

S A 7 — 67-t-Sc

L’expression du moment de' résistance à la flexion, d’après la formule du n“8Û, sera.

formule où l’on devra substituer pour : la valeur précédente.

D’après le n° 113, et en remarquant que la distance désignée par v dans ce n° est ici CM ou c — z , on aura pour l’expression du moment de rupture

DK LA FIGURE DK LA SECTION LONG ITÏ MW ALE.

498. Lorsqu’une pièce est prismatique , il y a généralement un des points de la longueur de cette pièce dans lequel elle est plus exposée à rompre que dans tout autre. Si la résistance est suffisante dansée point, la pièce est partout ailleurs plus forte qu’il n’est nécessaire. On peut déterminer la figure d’une pièce de manière qu’elle présente partout une force suffisante, et nulle part une force excédante : les pièces dont la figure est déterminée de cette

- ÎS

manière ont été nommées solides d'égale résistance, lt suffit de donner quelques exemples des recherches de ce genre, qui n’offrent aucune difficulté.

Considérons un solide encastré horizontalement à une extrémité (Fig. 83), chargé à l'autre du poids P, dont les faces latérales sont formées par deux plans verticaux parallèles, et la face supérieure par un plan horizontal. Nommant

a la longueur AB du solide ;

b la largeur du solide ;

c la hauteur AM à l'extrémité encastrée ;

x et v l'abscisse Bp et l’ordonnée pm de la courbe BM formant la face inférieure du solide;

R ayant la signification indiquée n" 113; on aura d'abord pour déterminer la hauteur du solide en AM .

= F O , don c = \ / .

c Vba

On aura ensuite pour déterminer la figure de la courbe

A v1 c1 jc

R = P X, doù r*= :

cette courbe est une parabole dont l’axe est BA.

499. On peut demander la figure affectée par le solide ABM fléchissant sous l'action du poids P. On a ici pour la valeur du moment de résistance à la flexion appartenant à l’une quelconque des sections pm ,

L’équation d'équilibre est donc, en désignant comme au n" 85 par y l'ordonnée de la courbe affectée par le solide,

d'où l'on lire

A e* x * il1 y E r. — = P r,

il r1

il x2

Ac’x ‘

tl y

il x

Cette \aleiir de f, ou de rabaissement du point extrême B, est double de celle qui aurait lieu si toutes les sections du solide avaient une hauteur é|;alc à b.

500. En supposant le solide chargé d'un poids distribué uniformément sur sa longueur (Fig. 84), conservant les dénominations précédentes, et appelant

p le poids porté par l'unité de longueur, on a

bc 2 a , /T/â

I! — = p u. - , d OÙ c~ a \ / ;