G 2 V HA

puis

b r* j; ex

R — = p x. - , d OÙ r = — .

La face inférieure du solide est plane.

501. Le solide étant seulement chargé de son propre poids (Fig. 85), et nommant

p le poids de l’unité de volume du solide : x l'abscisse B p, à laquelle répond l’ordonnée v ;

a? l’abscisse Bp' d’un point quelconque in, compris entre Bel ni, à laquelle répond l’ordonnée v' ; on aura

d y (x — jc’) t' = R.

Différenciant deux fois de suite par rapport à x, il vient

/x R d . r1 R tP . t1

d x' . ri — , pc = —. ,

équation dont l’intégrale est

px*

la courbe BM est une parabole dont l’axe est Br.

On résout facilement les mêmes questions dans le cas où les sections transversales du solide sont toutes des cercles ayant leurs centres sur une même droite horizontale; quand ces sections sont toutes des rectangles semblables ; quand la loi de leurs largeurs ou hauteurs est donnée; etc.

502. Considérons un solide posé horizontalement sur deux appuis, et chargé en M d’un poids 2 P (Fig. 86). Nommant b la largeur du solide ;

r la hauteur AM au point où le poids est suspendu ; n la moitié CB de l’intervalle des appuis ; z la distance AC ;

on aura

éc»

d'où

P (oJ - 3»)

et les deux portions de courbe BM, B M appartiendront à deux paraboles dont l’axe se confond avec la ligne BB’.

503. Si l’on suppose que le poids 2 P peut être placé en un point quelconque de l’intervalle BB', et si l’on veut que le solide résiste toujouw à l’action de ce poids, l’ordonnée de la courbe de la face supérieure devra satisfaire à l’expression précédente de c. Cette expression représente une

ellipse, ayant pour demi-petit axe \ / G P ° ; et comme l’ellipse enveloppe

les courbes paraboliques qui terminent le solide lorsque l’on donne au poids des situations déterminées, ce solide, si l’on adopte cette courbe, offrira un excès de résistance partout ailleurs qu’au point de suspension du poids.

504. Considérons un solide posé horizontalement sur deux appuis, et chargé de poids distribués uniformément sur sa longueur (Fig. 87).

En nommant

p le poids placé sur l’unité de longueur ; a la moitié BC de l’intervalle des appuis ; b la largeur constante du solide ;

c la hauteur CM du solide au milieu de l’intervalle des appuis ; x, v l’abscisse Cp et l 'ordonnée pm de la courbe BM formant la face supérieure du solide ;

et remarquant ( comme on l’a fait n° 90 ) que chaque moitié du solide résiste comme une pièce encastrée horizontalement à une extrémité, sollicitée à l’autre extrémité , par une force verticale pa, et de plus par une force pa agissant en sens contraire et distribuée dans toute la longueur de la pièce,

R =pa (a-Jl-lpl»-!)1,

La figure de la courbe BMB' doit être une demi-ellipse.

505. Si le solide supporte en même temps un poids distribué uniformémen t sur sa longueur et un poids 2 P placé au milieu de l’intervalle des appuis (Fig. 88), on aura, en conservant les dénominations précédentes, b c1

R — =(pa + P)(fl-i)--'p(o — jr) *,