TU"V
ou en mettant pour A la valeur précédente
ipy /il r fi /n /n\
s-VTî-^fcrV T,iB'V:}
En multipliant ces pressions par »*, elles donneront la plus grande extension subie par les fibres en raison delà courbure, et serviront à déterminer les dimensions qu’il est nécessaire de donner à la pièce pour qu'elle résiste à un effort déterminé, comme on l’a vu dans les articles précédents.
La quantité — sera fort petite dans la plupart des applications , et l'on
iPy
pourra réduire la valeur de — au point E, en ne négligeant que des quan-
</jJ
DE I.A MÉCANIQUE, I" l'AltTIK.
titës de l’ordre de — ,
<Pjr n
ii i * •
Ces derniers résultats s’accordent avec ceux qui ont été présentés n“ 540.
545. Quelquefois la pièce AB n’est point encastrée à l’extrémité inférieure: elle est consolidée par une pièce inclinée AF (Fig. 117). Dans ce cas, tout ce qui a été dit dans les numéros précédents doit s'appliquer à la part ic de l’appareil située au-dessus du point A. Quant à la partie située au-dessous de ce point, supposons d’abord la pièce AF dirigée de manière (pie le point F soit au delà de la verticale passant par le point de suspension du poids II. Nommons h la distance AA', ? l’angle A' AF, et désignons toujours par l+t la distance BC. Le poids II tend à faire tourner la pièce A' B sur le point A', et le moment de ce poids, pris par rapport au point A', est II (/-*-/’). Il est nécessaire, pour que ce mouvement n’ait pas lieu, que la pièce AF oppose dans
le sens de sa longueur une résistance ü
A 9in. 9
. Cette force agit au point A
dans la direction FA, et équivaut à une force horizontale n — — ,età une force
. verticale n dirigée de bas en haut. Ainsi 1° la pièce AF doit être assi-
A tang. 9
milée à la pièce considérée n°583, la force désignée par Q étant ici H
h sin. 9
2" la partie A A' de la pièce verticale n’est plus comprimée suivant sa longueur
qu’avec la force II ( 1 ). Mais comme 1’efFort horizontal II
exercé au point A par la pièce AF doit être détruit par un effort égal exercé en sens contraire au point d'appui A', celte partie AA' est dans le même cas qu’une pièce encastrée à une extrémité, et sollicitée à l’autre extrémité par la
force n qui tend à la comprimer dans le sens de sa longueur, et par
A tang. 9 l+l’
la force II dirigée perpendiculairement à sa longueur.
Si maintenant la pièce inclinée est dirigée de manière que le point F se trouve en deçà de la verticale passant par le point de suspension du poids II , l’appareil tendra à tourner sur le point F. La force comprimant la pièce AF
sera toujours exprimée par n , et la partie AA' de la pièce verticale sera
A si». 9
tendue suivant sa longueur avec la force H | — 1 y. 11 serait néces-
V l‘ lang. ç /
saire alors que celte dernière pièce fut attachée en A' à son point d’appui.
544. L’appareil représenté fi;;. 118 est formé du poids n suspendu en C au milieu de la pièce horizontale BB', dont les extrémités sont appuyées sur des points fixes, et qui est consolidée par les contrefichcs AD , A'D' assemblées avec celte pièce, et appuyées elles-mêmes contre des points fixes en A et A'. La pièce B B' fléchissant sous l’action du poids II , et les contrefichcs se comprimant, l’action du poids se trouve répartie sur les quatre points fixes. La méthode employée dans diverses questions traitées précédemment pourrait faire connaître les conditions de la flexion et de la rupture de cet appareil. Mais comme, en général, il s’agit moins dans les applications de connaître le poids capable d’opérer la rupture, qu’une limite au-dessus de laquelle ce poids se trouve nécessairement, on peut ici, et dans des cas semblables, éviter de la manière suivante le calcul compliqué auquel on se trouverait conduit.
On distinguera dans l’appareil proposé deux systèmes, dont chacun supporterait seul le poids II, et dans chacun desquels les conditions de la flexion et de la rupture peuvent être immédiatement connues : savoir 1° la pièce BB' • appuyée sur les points B, B', abstraction faite des conlrefiches ; 2° la portion de polygone ADD'A' appuyée sur les points A, A', abstraction faite de la liaison de la partie DD' de la poutre avec les parties BD, B'D'. Chacun de ces systèmes , considéré à part, étant moins fort que l’appareil proposé, on est assuré que le poids qui romprait cet appareil est plus grand que le poids qui romprait le plus fort des deux systèmes.
Si la pièce BB', appuyée sur les points B, B', supportait seule le poids n, la valeur de ce poids, déterminée par la condition qu’il n’obligeât point cette pièce à rompre en C, devrait être évaluée d’après le n“ 122.
Si le système ADD'A' supportait seul le poids n, et qu’aucun effort ne fût exercé sur les points B, B', on se trouverait dans le cas du n° 536. Par conséquent, désignant par a l’angle BAD, 1° pour que le poids n n’obligeât point la pièce DD' à rompre en C , ce poids devrait être déterminé par les équations des n"’ 413 ou 414, où a représenterait la distance CD, et où l’on mettrait II et ; Il tang. a à la place de Pet Q: 2° pour que les contrefichcs résistassent au même poids, il devrait être déterminé conformément aux n“* 383
et 403, en prenant pour l’effort exercé suivant la longueur de ces
3 cos. a
pièces.
Dans les applications, l’équation du n” 414 différera généralement fort peu
de R' = — (Qe+6P«); ou, en remplaçant P, Q par les valeurs précédentes, b c1
n' = (clang. Ou).
D’un autre cAté, nommant a' la distance BD, on déduirait du n- 122, en considérant l'équilibre de la pièce BB’ soutenue sur les points B, B',
fl. 6 {a +o')
it'= .
Par conséquent, quand il s’agit d’une pièce rectangulaire, il suffit, pour que
Co'
le système ADD'A' soit plus fort que la pièce BB', que tang. a soit < — ; en
supposant d’ailleurs aux contrefiches AD, A'D' une résistance suffisante.
515. On supposera maintenant la pièce horizontale BB' et les contrefiches DE, D'E'(Fig. 119) assembléesaux deux pièces verticales AB, A'B'. Si dans cet appareil les extrémités inférieures A. A' de ees pièces étaient simplement supportées, et pouvaient glisser librement sur leurs appuis, les contrefiches donneraient de la stabilité à l’équilibre du système, mais n’en augmenteraient pas la force, et la pièce horizontale BB' serait sollicitée à rompre en C delà même manière que si les contrefiches n’existaient pas. En effet cette pièce est également sollicitée dans les deux cas à rompre en C parla force-; n, agissant de bas en haut au point A avec le bras de levier BC.
516. Si l’on suppose au contraire, dans l’appareil représenté fig. 119, que les extrémités inférieures A, A' des poteaux sont fixes, les efforts exercés sur ces points pourront être supposés dirigés obliquement, ce qui diminuera l’action qui tend à rompre en C la pièce BB'. On pourra appliquer à cet appareil le principe employé n“ 511, en y distinguant deux systèmes, dont chacun pourrait seul supporter le poids II; savoir 1° la pièce BB' soutenue seulement par les poteaux AB, A'B'; et 2” la portion de polygone EDD'E' appuyée en E, E' contre ces mêmes poteaux.
Pour que le premier système soutienne le poids n, il faut que ce poids ne puisse rompre la pièce BB' supportée à ses extrémités; et de plus que les pièces AB, A'B' résistent chacune à une pression longitudinale ; II.
Pour que le second système supporte le même poids, il faut en premier lieu que la portion de pièce DD' et les contrefiches DE, D'E' aient la force suffisante, conformément à ce qu’on a vu n° 511. On remarquera ensuite qu’il
s’exerce en E dans la direction DE un effort équivalent à une force ho-
3 COS. a
Il tang. a - n
rizontalc et une force verticale - . La force verticale est transmise au
point d’appui A. La force horizontale se décompose en deux autres, appli-
27Ü LEÇONS SL'll L’APPLICATION
quées aux poinls A et B. En nommant h, h' les distances AE, BE, on a n h' lang. a.
pour la composante appliquée en A, qui est détruite par la résis-
Il A lang. a
tance du point d’appui ; et pour la composante appliquée en B. qui
produit une tension dans la portion de pièce BD. Par conséquent il faut en second lieu que les portions de pièce BI), B'D' puissent résister à la tension Il A lang. a
longitudinale . Troisièmement enfin, quant aux pièces verticales AB.
A'B', on peut regarder la pièce AB comme étant maintenue fixement au
point E, et sollicitée à l’extrémité A par une force verticale - , et une force ho-
. Il AA' lang. a
rizontalc dont le moment, pour faire fléchir la pièce en E, est . Le
moment de la force horizontale agissant à l’extrémité B pour faire fléchir la pièce an même point E , a la môme valeur. Par conséquent en négligeant, comme on l’a fait dans le n" 540, la considération de la courbure des pièces, et en se conformant au u° 587, la limite des valeurs de n, pour que les fibres des pièces verticales AB, A'B' ne supportent pas sur l’unité de surface, aux points de rupture E,E', des pressions surpassanlR', sera donnée par l’équation
R' Il / 1 r>‘ . AA' lang. a \
qui devient, lorsque la section transversale est rectangulaire,
n / 6 . AA' lang. a \
2Ac>V A -4- A* /
Ces formules, à raison de la courbure affectée par les pièces, donneront pour n une valeur trop grande, mais différant très-peu de la véritable, dans les cas ordinaires des applications.
Le poids n déterminé par la condition qu’il puisse être supporté par l’un ou l’autre des systèmes dont il vient d’être question, sera supporté, à plus forte raison, par l’appareil proposé.
DE l’ÉOULIBRE DES GRVES.
547. On distingue deux espèces de grues : 1” celle dont l’axe est fixé dans le sol ou contre un mur, et ne peut être déplacé : 2° les grues mobiles qui sont supportées par le sol, et peuvent être transportées d’un lieu à un autre. La figure 120 représente une grue de la première espèce, formée scule-
ment de l’arbre AB, et de la pièce inclinée DC, assemblée «à cet arbre de manière que l'angle des deux pièces ne puisse changer. L’arbre tourne à l'extrémité inférieure sur un pivot, et il est maintenu en A par un collier. La corde qui soulève le poids n passe en C et en B sur des poulies, et s'enroule en E sur l'axe d'un treuil fixé à l’arbre AB. La tension R de la partie CB de la corde peut être un peu plus grande, ou plus petite que le poids n, suivant que ce poids est soulevé par une poulie simple ou par un palan. Nous indiquerons par S la résultante du poids il et de la tension R de la portion CB de la corde. La pièce CD doit être regardée comme encastrée en R, et soumise en C à l’action de la force S : on doit donc assimiler cette pièce à celle qui a été considérée nn 412, en prenant S pour la force désignée par II dans ce numéro. En faisant abstraction de la courbure que l'arbre doit affecter, on peut regarder la partie BE de l'arbre comme une pièce encastrée en E, et sollicitée en B par la résultante des tensions des deux portions BC. BE de la corde. La partie DE résiste comme une pièce encastrée en D, et sollicitée en B par la tension R. On doit l’assimiler à la pièce considérée n" 415. en prenant R pour la force désignée par n dansée numéro, et DB pour la distance désignée par a. La partie AD résiste comme une pièce encastrée en A, et soumise à l'action du poids n : on doit l'assimiler à la pièce considérée n° 406, en mettant pour n et / la distance AD et la distance horizontale du pointe au point A. Enfin quant à la partie AA' de l’arbre, on remarquera qn’d doit s’établir en A' contre l’appui un effort horizontal, dont le moment, pris par rapport au point A, soit égal au moment du poids n, pris par rapport au même point. Ainsi la partie AA' doit être regardée comme encastrée en A, et sollicitée en A' par l’effort horizontal dont il s’agit, et par l’effort vertical n qui tend à la comprimer.
La direction de la force S peut différer très-peu de CD, en sorte que l'assemblage en D soit très-peu fatigué. Les grues de cette espèce peuvent donc présenter une assez grande solidité.
548. On peut maintenir l'extrémité C de la pièce CD par le lien BC (Fig. 121), et alors il n'est plus nécessaire que l’assemblage en D rende invariable l'angle BDC. Dans ce cas, prenant la résultante S du poids U et de la tension R de la portion de corde BC, on décomposera cette force en deux autres, dirigées suivant CD et CB : on connaîtra ainsi la compression exercée suivant CD, et la tension exercée suivant CB. La pièce CD résiste comme celles qui ont été considérées n" 383 ou 389, suivant que cette pièce est libre ou n’est pas libre de tourner sur le point D. En faisant toujours abstraction de la courbure que l’arbre peut affecter, la partie BE doit être regardée comme encastrée en E, et sollicitée en B par la résultante de la tension de la portion de corde BE, de la tension R de la portion de corde BC, et de la tension du lien BC. La partie DE doit être regardée comme encastrée en D, et sollicitée en B par la
tension 11 de la portion de corde BC, et par la tension du lien BC. La partie AD et la partie AA' sont sollicitées à rompre en A de la manière qui a été indiquée ci-dessus.
La pièce CD, qui est toujours comprimée, doit êire faite en bois ou en fer fondu. Le lien BC, quand il est tendu, peut être formé simplement par des barres en fer forgé. Si la résultante S était dirigée dans l'angle BCD, les pièces CD, CB seraient toutes deux comprimées, et devraient être également capables de résister à ce genre d'effort.
519. Les grues qui reposent sur le sol, et n’y sont point attachées, doivent être disposées de manière que la verticale contenant le centre de gravité des poids dont elles sont chargées ne sorte jamais de la base, ce qui exige ordinairement l’usage d'un contre-poids.
La figure 122 représente une grue de ce genre portée sur un chariot circulaire, ce qui permet de supprimer l’arbre. On réglera la force des pièces CD et CD' d’après le n° 532.
550. La figure 123 représente une grue dans laquelle l’arbre est supporté en A sur un pivot, et maintenu en a par un collier : cet arbre peut tourner. Tout le poids de l’appareil est transmis à l’arbre au point D. La pièce CC' est un simple lien horizontal qui doit être fixé en B à l’extrémité de l’arbre. On réglera la force des pièces CD, BC, ou C'D, BC', d’après le n“ 532. La partie BD de l’arbre résiste comme une pièce encastrée en D, et sollicitée en B par une force égale à la différence des tensions des deux portions BC, BC' du tirant. La partie D« résiste comme une pièce encastrée en a, et sollicitée par le poids total de l’appareil : ainsi, ayant cherché la distance à l’axe AB du centre de gravité de tous les poids qui reposent sur le point D, on assimilera celte partie Da à la pièce considérée n“ 40G, en prenant II pour la somme de ces poids, / pour la distance horizontale de leur centre de gravité au point a, et a pour la distance aD. Enfin la partie a A de l’arbre résiste comme une pièce encastrée en a, et sollicitée à l’extrémité A par une force verticale égale au poids de l’appareil, et par une force horizontale assez grande pour faire équilibre à ce poids autour du point a supposé fixe.
551. Dans la grue représentée figure 124, l’arbre est fixe et porte le poids de l’appareil sur l'extrémité supérieure B. Les pièces BC et BC' sont deux liens inclinés, et CC' une pièce horizontale qui doit embrasser l’arbre en D au moyen d’un collier. L’action du poids B produit dans le lien BC une tension déterminée par la condition que la composante verticale de celte tension soit égale à n. La pièce CD est comprimée suivant sa longueur, par une force égale à la composante horizontale de la même tension. Des actions analogues s’exercent au point C'. Les pièces CD, C' D doivent être assimilées à la pièce considérée n" 383. La partie CE de la pièce CD, outre la compression produite par l’action du poids H , et dont on vient de parler, soutient de plus
«ne autre pression longitudinale égale à la tension de la portion de oorde CE. La partie BD de l’arbre résiste comme une pièce encastrée en D, et sollicitée en B par une force égale à la résultante des tensions des liens BC, BC'. Les parties D« et «A sont sollicitées et résistent conformément à ce qu’on a vu dans le numéro précédent.
552. Nous indiquerons enfin la grue mobile représentée fig. 125, dans laquelle l’extrémité supérieure de l’arbre AB est maintenue par des haubans. Les pièces inclinées CD, C D sont assemblées à l’extrémité inférieure de l’arbre, et sont soutenues par les liens BC,BC' attachés àl’exlrémité supérieure. On déterminera, comme dans les cas précédents, les pressions longitudinales exercées sur les pièces CD, C D, et les tensions exercées sur les liens BC, BC'. L’arbre AB est libre de se déverser d'un côté ou de l’autre, et il est sollicité à se déverser par la différence des composantes horizontales des tensions des liens BC, BC'. Il doit donc toujours s’établir, dans les haubans qui maintiennent l’extrémité supérieure de cet arbre, des tensions déterminées par la condition que les composantes horizontales de ces tensions détruisent la différence dont on vient de parler. Lorsqu’on a satisfait à celte condition, l’arbre doit être assimilé à la pièce considérée n" 383, en prenant pour la force désignée par Q dans ce numéro la somme des composantes verticales des tensions des liens BC, BC', et des tensions des haubans.
ARTICLE IX
DES PORTES d’ÉCLVSE.
553. Les parties des portes d’écluse supportent en même temps l’action verticale de leur propre poids, et l’action horizontale delà pression de l’eau. On considérera seulement ici les portes formées par un cadre rectangulaire, dont les côtés verticaux sont réunis par des cnlrctoises horizontales sur lesquelles sont cloués des madriers.
DS l’aCTIO!» Dg LA PESASTECR SIR LA CHARPENTE DES PORTES d’EcLCSE.
554. La figure 126 représente une porte dont la partie principale est le cadre BCFE. Le poteau tourillon BC est supporté en A sur un pivot, et maintenu en D par un collier. Le collier est ordinairement assujetti par plusieurs pièces de fer, dans la direction desquelles il s’établit des tensions. Ces tensions sont déterminées par la condition que leur résultante fasse équili-
lire, autour du point A, au poids de la porte, qui tend à la faire tourner sur ce point.
555. Le poteau IJC étant maintenu verticalement au moyen du collier D, la totalité du poids de la porte est supportée parla partie inférieure AB de ce poteau, et par l’appui A. L'action de la pesanteur tend à détacher tout le reste de la charpente du poteau BC, en le faisant tourner sur le point B. Si l’on prévient ce mouvement, en attachant par des liens la traverse supérieure CF, ou toutes les traverses, au poteau BC, l’action de la pesanteur ne tend plus qu'à faire baisser le poteau EF, en changeant en un parallélogramme le rectangle formé par le cadre. La solidité de la construction exige 1“ que la charpente de la porte ne puisse se détacher du poteau tourillon; 2“ que la figure rectangulaire du cadre ne puisse être altérée.
558. Ces conditions seront satisfaites si l’on attache en C la traverse supérieure CF au poteau tourillon par un lien de fer, et si l’on place dans le cadre le bracon BF. Les traverses peuvent être supposées libres de tourner sur leurs points d’assemblage dans les deux poteaux. Nommant G un poids qui, suspendu au point F, aurait par rapport au point B le même moment que le
poids de la porte, et v l'angle CBF, on aura pour la pression longitudi-
cos. 9
nale supportée par le bracon ; et G tang. ? pour la tension longitudinale supportée par la traverse supérieure CF et par le lien C.
557. On satisferait encore aux mêmes conditions par le moyen du tirant incliné CE, attaché en C au poteau tourillon. Les traverses peuvent toujours être supposées libres de tourner sur leurs points d'assemblage dans les deux poteaux. La tension longitudinale supportée par le tirant est représentée
par , en nommant ? l’angle CEF.
cos. y
558. Lorsque l’on n’emploie pas de bracon ni de tirant, il est nécessaire qu’une des traverses horizontales au moins ( la traverse supérieure CF, par exemple) soit assemblée avec le poteau tourillon, de manière qu'elle ne puisse tourner sur le point d’assemblage. Cette condition suffit pour maintenir la figure rectangulaire du cadre. Toutes les autres traverses demeurant libres de tourner leurs points d’assemblage, la traverse ainsi assemblée supporte seule tout le poids de la charpente de la porte, le poteau tourillon excepté. Elle résiste comme une pièce encastrée horizontalement à une extrémité, et chargée de poids répartis sur sa longueur.
On obtient plus de solidité en assemblant avec le poteau tourillon, de la manière qui vient d’être indiquée, non seulement la traverse supérieure CF, mais encore la traverse inférieure BE, ou même toutes les autres traverses. Le poids de la charpente se répartit alors sur les diverses traverses ainsi assemblées.
559. On obtient plus de solidité encore en assemblant les traverses, de manière que leur direction ne puisse varier au point d'assemblage, non seulement avec le poteau tourillon BC, mais encore avec le poteau busqué EF.
500. D’après ce qui précède les traverses ou entretoises, sur la longueur desquelles une partie du poids de la charpente est distribuée, peuvent se trouver dans trois conditions différentes.
1" Si elles sont assemblées dans les deux poteaux de manière qu’elles puissent tourner librement sur leurs points d’assemblage, elles résistent comme des pièces supportées aux deux extrémités. On conclut du n" 90 que la plus grande compression ou extension des fibres, causée en un point quelconque par la flexion verticale, est
dx1 Si
p désignant le poids porté par l’unité de longueur, a la moitié de la longueur de la traverse, aria distance du point que l'on considère au milieu de cette longueur, i le moment de résistance à la flexion (la pièce étant supposée fléchir verticalement), v' la distance des fibres extrêmes comprimées ou étendues à l’axe d’équilibre tracé dans la section transversale.
5(il. 2" Si les traverses sont assemblées avec le poteau tourillon seulement, de manière qu'elles ne puissent tourner sur le point d'assemblage, elles résistent comme des pièces encastrées horizontalement à une extrémité. On conclut du n" 89 que la plus grande compression des fibres est
n désignant la longueur de la traverse, x la distance du point que l’on considère à l'extrémité encastrée.
562. 5° Si les traverses sont assemblées avec les deux poteaux, de manière que leurs directions ne puissent varier aux points d'assemblage, elles résistent comme des pièces encastrées horizontalement à une extrémité, et dont l'autre extrémité est assujettie à la condition que la tangente de la courbe y demeure horizontale. L’état d'équilibre de ces pièces, en supposant la charge qu'elles supportent distribuée uniformément sur leur longueur, peut être déterminé de la manière suivante.
Nommant
le poids constant dont chaque unité de longueur de la pièce AM ( Fig. 127 ) est chargée ;
x, y les coordonnées horizontale et verticale Kp,pm d’un point quelconque m de la courbe affectée par la pièce;
n, f l’abscisse AB et l’ordonnée MB du point extrême M;
< ayant la signification indiquée n” 80 ,
l’équation d’équilibre de la pièce AM sera
d7 y fa * x7\
dx 7 V 2 2 J
en désignant par A une quantité constante. On en déduit d jr / a2 x a x2 x5
dx
et en déterminant la constante À de manière que Ton ait — = 0 dans le
dx
point M o ii x = a, ce qui donne A = ,
<iy
L’abaissement du point extrême M est trois fois moindre qu’il ne serait si ce point était entièrement libre, comme on l’a supposé n" 89. La plus grande compression des fibres est
a désigne la longueur de la traverse , et x la distance du point que l’on considère à l’extrémité encastrée.
DU CAS Oll IA CRARPETTE DES PORTES EST SUPPORTÉE PAR USE ROULETTE.
563. Lorsque la charpente de la porte est supportée au moyen d’une roulette placée sous le poteau EF (Fig. 126), ou près de ce poteau, le cadre BCEFnctend point à changer de forme. On peut supprimer le bracon BF et le tirantCE, et la solidité de la construction est suffisamment assurée si l’on attache par des liens les traverses aux deux poteaux.
564. Le poteau busqué EF étant ainsi soutenu, les traverses résistent en général aux poids dont elles sont chargées, d’une manière différente de celle qui a été indiquée dans les n"’ 560 et suivants.
1" Si les traverses sont assemblées dans les deux poteaux de manière à tourner librement sur leurs points d’assemblage, on pourra appliquer ici ce qui a été dit n° 560.
565. 2" Si les traverses sont assemblées avec le poteau tourillon seulement, de manière qu’elles ne puissent tourner sur le point d’assemblage, elles résistent comme des pièces encastrées horizontalement à une exlrémilé et supportées à l’autre. L’état d’équilibre de ces pièces peut être déterminé comme il suit.
Nommant
p le poids constant dont chaque unité de longueur de la pièce AM ( Fig, 128 ) est chargée ;
œ, y les coordonnées horizontale et verticale Ap, tu p d'un point quelconque vi de la courbe affectée par la pièce ; a la longueur A M ;
Il l’effort exercé par la pièce sur le point d’appui placé à l’extrémité M ;
• ayant la signification indiquée n° 80;
l’équation d’équilibre sera
'y fa 2 x2\
— —PI a x -i ) — n (o — x),
/ a2 x as2 x3\ f x2\
Déterminant le poids n par la condition que y — 0 quand x — a, il vient Il = { pa , et
f a2 x2 Sax3 x* \
La plus grande compression des fibres est
d2 y v' . p fa2 5a x x2 A
dx2 % \ 8 8 2 J
566. 5° Si les traverses sont également assemblées avec les deux poteaux, de manière qu’elles ne puissent tourner librement sur les points d’assemblage, elles résistent comme des pièces encastrées horizontalement aux deux extrémités. Conservant les dénominations du numéro précédent, l’équation d’équilibre sera
d2y fa 2 x2 \
• = ;> [ oih I — Il (o — x) -t- K,
dx2 V s 2 /
LEÇONS SUll L'APPLICATION
A représentant une quantité constante. On en déduit
et en déterminant les constantes n et A, de manière que l'on ait — = 0 et
dx
pa 1 pa
y = 0 au point extrême où x = a, ce qui donne n = — , A = — ,
/ a7 x7 ax* <r*\
En faisant x = -, on a pour l'ordonnée du point milieu, ou la flèche de cour-
luire, . En comparant ce résultat à celui du n" 90, on voit que cette
flèche est 5 fois moindre qu’elle ne serait si la pièce était simplement supportée aux deux extrémités. En le comparant à celui du n" 375, on voit que la flèche de courbure est la moitié de ce qu'elle serait si le poids pa, au lieu d’étre uniformément réparti sur la longueur de la pièce, était suspendu au milieu.
La plus grande compression des fibres est
iPy r ' . p / aT a x x7 \
dx 7 • \ 12 2 2 /
DE l’àCTIOS DE l'eau SCR CES TRAVERSES DÈS PORTES S'ECLVRR.
567. Lorsque la porte est fermée et supporte la pression de l’eau, les poteaux A D, E F (Fig. 126 } sont appuyés dans toute leur hauteur , et par conséquent ne sont point sollicités par cette pression , qui tend seulement à fléchir les traverses assemblées dans ces poteaux. Pour évaluer l'action à laquelle les traverses sont exposées, on doit distinguer le cas des portes simples et celui des portes busquées. Dans le premier cas, l’action de la pression de l’eau sur chaque traverse peut être assimilée à celle d’un poids uniformément réparti sur la longueur d’une pièce horizontale supportée aux extrémités. On appréciera donc cette action par les n" 90 et 125. Dans le second cas, il s'établit dans le sens de la longueur des traverses une pression qui doit être prise en considération.
568. Nous supposerons ici que chaque traverse supporte la pression exercée par l’eau sur l'espace compris entre les milieux des intervalles qui existent entre cette traverse et les deux voisines; et que la même pièce supporte également l’effort exercé de la part d’une porte sur l'autre, en vertu de cette pression. Nommant p, l’effort résultant de la pression de l’eau sur chaque unité de longueur de la traverse, 2o cette longueur MM’ (Fig. 129), et? l’angle du lmsc CMM', on aura p, 2 a pour l’effort exercé perpendiculairement sur MM', et pi a pour les composantes de cet effort qui doivent être détruites aux extrémités M et M'. La pression que les deux traverses MM' exercent l’une contre l’autre en M' est donc une force parallèle à CM, dont la
' . . Pi»
composante perpendiculaire à MM' est pta. Ainsi celte pression est — , et sa
«in. ?
composante dirigée suivant MM' est . Il suit de là que la pièce M M' doit
tang. ?
être regardée comme étant appuyée à ses extrémités, et supportant à la fois le poids 2/j, n distribué uniformément sur sa longueur, et la pression longi-
ludinalc .
tanft. ?
569. Chaque moitié de cette pièce se trouve donc dans le même état d’équilibre qu’une pièce AM (Fig. 130), encastrée horizontalement en A, chargée de poids distribués uniformément sur sa longueur, et sollicitée en M par une force verticale P agissant de bas en haut, et par la force horizontale Q. Désignant par
x, y les coordonnées horizontale et verticale A p,pin de la courbe AM; a la distance AB ;
f l’ordonnée BM du point extrême M;
pt le poids porté par la pièce sur une unité de longueur;
■ ayant la signification indiquée n° 80 ; l’équation d’équilibre sera
. = - Pi a. x U- P (a -*)-+- 0(/’-.r),
ou en remarquant que dans le cas dont il s’agit P — pt a ,
<Pr
Si •
L’intégrale de cette équation est
• Pi Pt ,
r — y= A sin. \ / — ( J? -t- B) (a1 — a-*),
28H LEÇONS SDH L’APPLICATION
A et B désignant deux constantes arbitraires. On doit au point A avoir #=0, •ly
y = 0, — =0; et au point B, x=a, y=f; ce qui donne les trois équations
dt
d'où l’on déduit
/ O ‘Pi
f = A sin. B \ /
° = aV/^o..bVA
0 = A sin. ( o, ■+• B ) % / —
et pour l’équation de la courbe,
dans laquelle on doit mettre pour Q sa valeur .
tang. ?
570. Les dimensions de la section transversale peuvent être réglées de manière à rendre la pièce capable de résister à l'action dont il s'agit, au
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moyen des considérations employées n“ 587. La plus grande valeur de —
rf jp>
a lieu au point A, et est
tang. f
/ Pi o
V • tang. Ç
Par conséquent, en conservant les dénominations de ce numéro, si l'on ne voulait pas que la plus grande pression supportée par les fibres sur l’unité
DE LA MÉCANIQUE, 1'» PARTIE, de surface surpassât R', on poserait l’équation
v' . tanff, 7
F. « . tan(;. ?
V ». tang.
UE L'aCTIOÜ EIMULTARtE 00 POIDS DE LA CIIARFEHTK ET DK L'EAP SDK LES T1AVF.ESES DES
PORTES D'IXUSE.
571. Le poids de la charpenle fléchit la traverse verticalement, et l'action de l'eau la fléchit horizontalement. A raison de la petitesse des deux flexions, on peut regarder les allongements et les contractions des fibres qu’elles produisent comme étant égaux à la somme de ceux qui seraient produits séparément par chacune des flexions. Les changements de longueur des fibres dus à la flexion verticale dans les divers cas qui peuvent se présenter, ont été indiqués dans les n”' 560 et suivants. Ainsi pour connaître la valeur totale de la compression à laquelle les fibres sont exposées par l’effet des deux flexions,
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on ajoutera l'une des valeurs de»' — données dans ces numéros h la valeur
de la même quantité déduite de l’équation du n" 569. Les valeurs de la somme varieront dans les divers points de la pièce, et il sera nécessaire que
la plus grande de ces valeurs ne dépasse point la fraction — , si l’on veut que
le plus grand effort exercé pour comprimer les fibres sur une unité de surface ne surpasse pas R’.
572. Par exemple, dans le cas des n™ 560 et 564, qui est celui où les traverses sont sollicitées avec le plus de force, les plus grandes variations de longueur des fibres, dans le sens vertical et dans le sens horizontal, ont également lieu au milieu de la longueur de la pièce. La section transversale de cette pièce étant supposée rectangulaire, nommant b le côté horizontal et o le côté vertical , l’équation dont dépendront ces dimensions sera
o p a 1 Efrc»
E be. tang. ?
b tang. f 2 a
/ 12 Pi a
V E 45 c . tant
tang. ?
