DES PO STS SUPPORTÉS PAR DES POUTRES ET DES COTTREFICBES
580. Le cas le plus simple est celui où l'ouverture des travées étant peu considérable, les fermes sur lesquelles le plancher est établi ne sont formées que d’une poutre. La force de cette pièce peut être déterminée par les n'” 125 et 126, 359 et suivants.
581 . Lorsque la distance des points d'appui ne permet pas d’employer seulement une poutre, on consolide cette pièce par des contrefiches (Fig. 152). La pression verticale qui s'établit sur l’extrémité supérieure de ces pièces tend à les faire tourner sur leurs extrémités inférieures, et, pour prévenir ce mouvement, il s'établit nécessairement dans la portion D D’ de la poutre une certaine pression. On peut aussi supposer le mouvement des contrefiches prévenu par l'effet d'une tension qui aurait lieu dans les portions B D, BD’ de la poutre; mais il faut admettre alors que les extrémités B, B’ de cette pièce sont attachées fixement aux culées. Les extrémités des poutres étant la plupart du temps simplement posées sur les culées , il est plus conforme à l’état ordinaire des constructions de supposer que la portion DD’ de la poutre est comprimée.
L’assemblage des contrefiches avec la poutre aux points D,D' en diminue la force, et on ne peut lui attribuer en ces points une résistance égale à celle qu’elle présente partout ailleurs. Pour plus de simplicité, on supposera les parties de la poutre entièrement disjointes aux points D,D'. Le poids de la construction et des surcharges étant censé distribué uniformément sur l’intervalle B B', les portions BD, B'D' résistent comme des pièces supportées aux deux extrémités. Les extrémités supérieures D,D' des contrefiches sont chargées de la moitié du poids correspondant aux intervalles BD, B'D' et du poids correspondant à l’intervalle CD, CD'. Nommant p la charge correspondante à l’unité de longueur de la poutre ; a, a' les distances CD, BD ; a l’angle BAD ;
onapfa + jo') pour la force verticale agissant en D, pour la
• COI. a
pression exercée dans le sens D A de la longueur de la contrefiche , et p (fl+; o') tang. » pour la pression exercée dans la direction DD'. Les contrefiches AD, A' D' peuvent être assimilées aux pièces considérées n“ 383 et suivants, et on peut en régler la force d’après ce qui a été dit n“ 402 et suivants.
582. La pièce DD' doit être regardée comme étant supportée aux extrémités, comprimée dans le sens de sa longueur, et en môme temps chargée du poids p sur chaque unité de sa longueur. La moitié CD de cette pièce peut être assimilée à la pièce AM { Fig. 130), encastrée horizontalement à l’extrémité A, et sollicitée de la manière indiquée n“ 5G9. On peut donc appliquer ici l’analyse exposée dans ce numéro, en sorte que l’équation de la courbe, en écrivant p au lieu de p, , est
1 — cos. jr \/ —
dans laquelle on doit remplacer Q par la valeur p {a-*- 1 a') tang. a de l’effort exercé dans le sens de la longueur de la pièce.
On aura, comme au n” 570, pour l’équation d’après laquelle les dimensions de la pièce doivent être réglées,
R' p (o -4- ; o') tang. a v'
E E » (a -t- ï o') tang. i •
a') tang. a
équation qui devient, lorsque la section de la pièce est un rectangle ayant b
c bc*
pour côté horizontal et c pour coté vertical, d’où a = bc, r' = -, * = E — ,
p (o-4-i a')lang. a E.c
bc (2 a -+- a’) tang.
* /Op (a
I coi. a \/
-t- a "I tang. a Eéc5
583. On peut obtenir une valeur approchée, mais trop petite, de R', en supposant la courbure de la pièce DD' (Fig. 132) assez petite pour que l’on puisse négliger la flèche de cette courbure par rapport tria longueur de la pièce.
iPy P
L’équation d’équilibre du n° 569 se réduit alors à — = — (a3 — x1) et la plus
<Py p a3
grande valeur de — est — . L’équation servant à régler les dimensions de la
dx* 2.
pièce est
R' p (a -t- j o') tang. a v ’.pa7
E E ta 3 a
et devient, lorsque l’on suppose la section transversale rectangulaire,
R' = — I n H fl tang. a -t I.
bc L \ 2 / e J
La valeur de R' déduite de cette équation différera très-peu, dans les cas ordinaires des applications, de celle qui serait donnée par l’équation du numéro précédent.
584. Indépendamment de la charge répartie uniformément sur l’intervalle BB' (Fig. 152), un poids n pourrait être placé dans un point déterminé de cet intervalle. Si ce poids était placé entre les points B et D , il exercerait sur la portion de pièce BD une action que l’on évaluerait facilement, d’après les règles exposées dans les articles précédents. Il produirait de plus un nouvel effort vertical sur le point D. Par exemple, si le poids n était placé au point D même, la charge supportée par l’extrémité supérieure de la contrefiche deviendrait n +p (a ■+■ ^ a'), en désignant toujours par p le poids réparti sur l’unité de longueur dans l’intervalle BB'. La pression exercée dans
le sens de la longueur de cette contrcfiche serait , et la pres-
cos. a
sion exercée dans la direction DD' serait [ n -+-/> (» + ;o')] tang. a. Cette dernière quantité devrait être mise à la place de Q dans l’équation du n” 582, pour régler la force de la pièce DD'. On doit remarquer d’ailleurs que le point D’ supportant seulement l’effort vertical p {a + ~ a'), et la pression exercée dans le sens D'D étant seulement p («+;«') tang. a, la portion II tang.ade la pression exercée dans le sens DD' n’est pas détruite au point D', et par conséquent est transmise à la pièce B’D'. Ainsi cette dernière pièce, appuyée sur ses extrémités, supporte maintenant la pression longitudinale O tang. en même temps qu’elle est chargée du poids p sur l’unité de longueur. On doit lui appliquer les formules du n°582, en y faisant Q=n tang. a.
585. Si le poids n est placé dans l’intervalle DD', l’effort qu’il produit se répartit sur les deux points D,D'. Par exemple, si ce poids est placé au milieu C de la poutre, chacune des extrémités des conlrefiches supporte l’effort vertical j R +p (a -+- ï a’). La pression longitudinale supportée par des pièces
in+pis+io')
est , et la pression longitudinale supportée par la portion de
cos. a
pièce DD' est [( n + p (u+ia')] tang. ». Chacune des moitiés CD de cette dernière pièce est toujours dans le même état d’équilibre que la pièce AM (Fig. 150), dont on s’est occupé n° 569, et l’équation d’équilibre est également
Ipjr / <|J X*\
, = — p( a I + - ]-+- P(a — jr)-+-Q (f— y),
<Ijl r* V 2 2 J
ou l’on aP^di+^a, Q = [ni -*-p (a -*•$ a')] tang. a. L’intégrale de celte
équation est, et faisant q1 = — ,
p ( a1 zi \ P i p
f—X — A sin. q {x B) H [ a x -i J (o - x) ,
A et B représentant deux constantes arbitraires. On doit au point A avoir dy
x = 0, y = 0, — = 0 ; et au point B, x = n, y = f; ce qui donne les trois
dx
conditions
f = A >in. j B + ,
0 = A q cos. q B H ,
0 =s A sin. q ( a -+- B) ,
d'où l'on déduit
A sin. q B =
O q cos. q a P — p a
A cos. q B = — ,
tang.?a,
î 0 0 0 ? V CM- 2 o J
V — pa
tang. q a;
Vq
et en substituant dans l'équation précédente.
P— pa
y— sin. q x
P — pa
Q?co«. q a
tan g. </a 1(1 — eot.qx) ■
où l’on doit mettre pour P et Q les valeurs précédentes.
586. La plus grande valeur de — répond à x^O-, en sorte que la portion
rfx»
de pièce tend à se rompre au milieu : cette valeur est
Par conséquent si l’on veut régler, d’après les considérations exposées n" 587, les dimensions de la pièce de manière que la plus grande pression supportée par les fibres sur l’unité de surface ne surpasse pas R', on posera l'équation
r'.Il
tang. a
LEÇONS Sun L’APPLICATION
dans laquelle on mctlra pour Q la valeur [f U+p fang. a.
Cette équation, lorsque la section transversale de la pièce est un rectangle ayant b pour largeur et c pour hauteur, devient
587. On peut ici, comme au n“ 583, avoir une expression approchée de R', en négligeant dans l’équation d’équilibre le terme Q ( f—y ). La plus
d2r p a* Va
grande valeur de — est alors h — , et par conséquent
<tx* ii i
ou, en mettant pour P et Q leurs valeurs,
R' tn+ptîa-ea')] Ung. a r'{üa + pa7)
équation qui devient, lorsque la section transversale de la pièce est supposée rectangulaire,
[Il -4- p ( 2 a -+- a') ] lang. a 3(II-t-pa)a R' = -i .
2 b c bc 3
588. Le système représenté fig. 132, si l’on suppose que les contrefiches peuvent tourner librement sur les points d’assemblage (Jtii en forment les extrémités, et que les extrémités B, B' de la poutre sont simplement posées sur des appuis, ne présente pas un équilibre stable. Il est donc nécessaire de prévenir les changements de figure, et l’on emploie ordinairement pour cet objet les moiscs BE, B’E'. Ces pièces peuvent servir aussi à fortifier les contrefiches, en s’opposant à ce qu’elles ne fléchissent dans le sens du plan des fermes.
589. Lorsque la distance des points d’appui est trop grande pour que l’on puisse faire la poutre d’une seule pièce, on assemble les contrefiches aux extrémités d’une sous-poutre placée dans l’intervalle DD' (Fig. 133). Dans ce cas la sous-poutre et les parties correspondantes de la poutre sont ordinairement liées l’une à l’autre de manière à se fortifier mutuellement. En supposant toujours les parties de la poutre disjointes aux points D,D', on pourra appliquer à ce système tout ce qui a été dit ci-dessus. Il convient seulement de remarquer 1“ que l’on doit avoir égard au poids de la souspoutre en évaluant les efforts verticaux exercés aux points D, D' ; 2" que la
DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE. 39S
pression longitudinale exercée dans l’intervalle DD' ne peut guère être transmise à la poutre, et doit être supportée entièrement par la sous-poutre. D'où il résulte qu’en appliquant les équations des n'* 582 et 585, 58G et 587, on doit, dans le premier terme du deuxième membre, mettre pour » l’aire de la section transversale de la sous-poutre- seule, tandis que l’On peut évaluer dans les autres termes le moment « dans la supposition que la poutre et la sous-poutre résistent ensemble à la flexion, d’après les indications données n°* 508 et suivants.
590. Lorsque la distance des points d’appui est considérable, on peut employer un système analogue en mettant plusieurs rangs de sous-poutres et de contrefiches (Fig. 154). Nous supposons toujours, pour plus de simplicité, les parties des poutres et des sous-poutres disjointes aux points D.D1VD^,.. On évaluera facilement les efforts verticaux qui s’exercent sur les extrémités supérieures de chacune des contrefiches, les pressions qui en résultent dans le sens de la longueur de ces pièces, et les pressions qui en résultent également dans le sens de la longueur des sous-poutres. On déterminera la résistance de chaque partie du système d’après ce qu'on a vu dans les numéros précédents.
Les contrefiches pouvant exiger des pièces très-longues, ou formées de plusieurs parties mises les unes au bout des autres, il est nécessaire ici d'en prévenir la flexion, non seulement par le moyen des tnoiscs pendantes contenues dans le plan de la ferme, mais par des pièces horizontales et inclinées liant les fermes les unes aux autres. L’usage des moises pendantes est d'ailleurs nécessité par le défaut de stabilité de l'équilibre, comme on l’a remarqué n» 588.
591. Si l’on supposait, comme cela a été indiqué n“581, les contrefiches maintenues par l’efFet d’une tension établie des culées aux extrémités supérieures de ces pièces, on pourrait disposer un système de sous-poutres et de contrefiches de la manière indiquée fig. 135. La solidité de ce système exige que les parties dont chaque sous-poutre est formée soient attachées les unes aux autres par des liens de fer, et que les extrémités de ces sous-poutres soient attachées aux culées. Comme il est difficile d’attacher solidement ces pièces à la partie supérieure d’une culée, le système dont il s’agit parait convenir principalement à un pont composé de plusieurs travées, parce que les deux moitiés des travées adjacentes à une même pile pourraient se faire mutuellement équilibre.
592. En supposant toujours les joints des parties des poutres et sous-poutres placés aux points D,D„D,..., on évaluera facilement, comme ci-dcssus, les pressions exercées dans le sens de la longueur de chaque contrefiche, et les tensions supportées par les sous-poutres. Pour régler en conséquence la force de ces dernières pièces il faut connaître les conditions de l’équilibre
d'une pièce qui serait supportée aux deux extrémités, chargée de poids distribués sur sa longueur, et tendue dans le sens de cette longueur.
Chaque moitié de celte pièce peut être assimilée à la pièce AM (Fig. 130) encastrée horizontalement en A, chargée de poids distribués sur sa longueur, et sollicitée en M par la force verticale P agissant de bas en haut, et par la force horizontale Q, dirigée de manière à exercer une tension dans le sens AB. Nommant
p le poids porté par la pièce sur chaque unité de longueur;
x, y les coordonnées horizontale et verticale A p, tnp de la courbe AM ;
a la distance AB;
f l’ordonnée BM du point extrême ; i ayant la signification indiquée n° 80;
l’équation d’équilibre sera
tPy fa 1 x1 \
. — = -p --ai+- j -P- P ( a x) Q {f X) > dx » \.3 2 1
ou, comme l’on a ici P = pa,
<Py p
dx 3 3 «
en écrivant, pour abréger, q à la place de — .
L’intégrale de cette équation est
f-y=Keqz-h\ie~qx-\ (a1 — x5) — —
2 Q QJ
A et B représentant deux constantes arbitraires, et e la base des logarithmes
dy
hyperboliques. On doit au point A avoir x = 0, y = 0, — = 0; et au point
dx
B, a; =o, ÿ =f; ce qui donne les trois conditions
d’où l'on déduit
2 Q ol V e qa -ye~q “J
DE LA MÉCANIQUE , 1" PARTIE, et pour l'équation de la courbe,
p xl i p e
