La plus grande valeur de — , qui répond à #=0, est

dx1

p f 3 } P -pa eqa— e~qa

Q V ~ e?a+«-«a/ + g Q ' e** + e~qa‘

On aura donc, comme ci-dessus, pour l’équation servant à régler les dimensions de la section transversale,

R' Q v'.p / 3 A e'(P-po) e'7" — e~îa

E Eu 0 V e qn+e~9a / gQ e‘7a-t-e“»a

dans laquelle on doit substituer à la place de P et Q leurs valeurs, conformément à ce qu’on a vu n”’ 584 et 585.

597. L’équation du n° 587 peut être appliquée au cas dont il s’agit, lorsque l'on suppose la courbure de la pièce très-petite.

598. Dans les derniers systèmes que l’on vient de considérer, les extrémités des sous-poutres étant attachées à des points fixes, l’équilibre est stable, elles moises qui lient les contrefichcs les unes aux autres ne sont utiles que pour prévenir la flexion de ces pièces.

599. La figure 136 indique une autre disposition des conlrefiehes, d’après laquelle aucune action n’est exercée dans le sens de la longueur des sommiers du plancher. Supposant toujours les parties des sompiiers disjointes aux points D, D,, D,...., chacune de ces parties DD', DD„ D,D,...., résistera à la charge placée dans l’intervalle correspondant du plancher comme une pièce supportée à ses extrémités. Les efforts exercés verticalement aux points D. D„ D,.... . se décomposeront dans le sens des deux conlrefiehes qui partent de ces points, et produiront sur chacune de ces pièces des pressions longitudinales.

Ce dernier système n’étant point sollicité à changer de figure , quelle que soit la distribution de la charge, présente par lui -même un équilibre stable. Mais l'emploi des moises pendantes indiquées sur la figure serait nécessaire, en général, pour s’opposer à la flexion des conlrefiehes, et soutenir le poids de ces pièces en les tenant suspendues aux points D, D„ D,,....

DI l'action dis rosis routa DE poitkes et de corrmricais si h lis piles oc ClltES.

C00. Lorsque les fermes sont formées d’une seule poutre , comme on l’a supposé n° 580, les extrémités de cette poutre exercent seulement un effort vertical sur leurs points d’appui, effort que l’on évalue facilement d’après les lois de l’équilibre du levier.

601. Dans le cas du n°581, les points d’appui A et A' (Fie. 152) supportent chacun un effort vertical égal à l’effort vertical exercé sur les extrémités supérieures D, D' des contrefiches ; et de plus un effort horizontal égal à la pression longitudinale supportée par la pièce DD'. Les points B. B' supportent un effort vertical dù au poids réparti dans les parties BD, B'I)'.

Lorsqu’il y a plusieurs contrefiches, l’extrémité inférieure de chacune de ces pièces exerce toujours contre la culée de semblables efforts verticaux et horizontaux. La somme des efforts horizontaux exercés contre chaque culée est égale à la somme des pressions longitudinales supportées par les pièces placées dans l’intervalle DD' (Fig. 13f ).

Les efforts horizontaux tendent à écarter les culées ; les efforts verticaux tendent à les maintenir sur leurs bases. L’action par laquelle les culées pourraient être renversées est mesurée par la différence des moments des efforts verticaux et horizontaux, pris par rapport à l’axe autour duquel tournerait la masse de ces culées.

G02. Dans le cas du n“ 591 , les extrémités inférieures des contrefiches exercent toujours contre les culées les mêmes efforts verticaux et horizontaux dont il vient d’être question. Mais de plus, la partie supérieure de ces culées, à laquelle les sous-poutres doivent être attachées, est sollicitée par l’effet des tensions longitudinales supportées par ces pièces. La somme de ces tensions horizontales est égale à la somme des pressions horizontales exercées par les extrémités inférieures des contrefiches; et comme les premières forces agissent pour faire tourner la masse de la culée avec des bras de levier plus grands que les secondes, la culée est ici sollicitée à se renverser en dedans.

603. Dans le cas du n" 599, l’extrémité inférieure de chaque contrefiche exerce contre la culée un effort vertical et un effort horizontal , égaux aux composantes verticale et horizontale de la pression longitudinale supportée par la contrefiche. La somme des efforts verticaux exercés par les contrefiches DA , DA' qui partent d’un même point D est égale à l’effort vertical exercé en D ; et les efforts horizontaux exercés par ccs mêmes contrefiches sont égaux entre eux.

60L On peut, dans le système du n" 590, supprimer toute action horizontale contre les points d’appui, au moyen d’un tirant dont la tension résisterait

à la poussée (les conlrefiches (Fig. 137). Dans ce cas le tirant, suspendu aux poutres et aux conlrefiches , supporte ordinairement le plancher du pont [*].

DES PO XTS SfPPOHTtS PAR DES ARCS.

605. Nous regarderons d’abord les arcs, qui forment la partie principale des fermes dans les ponts de cette espèce (Fig. 138 et 139), comme un corps homogène, auquel on peut appliquer les résultats exposés ci-dessus, article VI .

Si le poids de la construction et les surcharges placées sur le plancher étaient distribués uniformément dans l’intervalle' BB', la figure qu’il faudrait donner à la pièce courbe, pour qu’elle n’eût aucune tendance à fléchir, serait, conformément au n” 412, un arc de parabole. Dans la réalité les parties situées près des extrémités sont un peu plus chargées que celles qui sont situées au milieu, et on donne ordinairement à ces pièces la figure d’un arc de cercle. Mais, eu égard à l’épaisseur de la pièce et au peu d’amplitude de sa courbure, on peut la regarder comme n’étant nullement sollicitée à fléchir par l’effet du poids de la construction et d’une surcharge distribuée uniformément sur le plancher, et supportant seulement une pression longitudinale, dont on calculera la valeur par les formules des n’” 440 et 441. La valeur de Q donne la pression horizontale exercée par l’arc contre les points d’appui.

606. Si, indépendamment d’une charge répartie uniformément sur l’intervalle BB', un poids était placé au sommet C de la courbe, l’arc cesserait d’étre en équilibre. On connaîtrait par les n”* 466 et 467 l’action exercée par ce poids pour augmenter la pression horizontale contre les points d’appui, et la pression longitudinale dans les différentes parties de l’arc. On pourrait évaluer ensuite, par le n" 480, l’action du poids pour faire fléchir l’arc, et les plus grands efforts que les parties de cet arc auraient à supporter.

607. Le milieu C de l’intervalle BB' n’est pas le lieu où un poids exerce la plus grande action pour fléchir l’arc. Il est donc nécessaire de rechercher les conditions de l’équilibre, en supposant le poids placé en un point quelconque de cet intervalle.

Considérons la pièce courbe MCM' (Fig. 140) formée de deux parties symétriques séparées par l’axe vertical AC, et dont les extrémités M, M', situées sur une même ligne horizontale, sont portées par des appuis qui ne leur permettent pas de s’écarter l’une de l’autre. Si l’on suspend un poids 211 en un point quelconque N de la pièce courbe, ce poids fléchira cette pièce, obligera le point N à se déplacer, et exercera de certains efforts verticaux et horizontaux contre les points d’appui. Chacune des parties N M, NM' de la pièce

[i] Le pont de Schaffouse était disposé sur ce principe, aussi bien que le pont de WettiDgen, la plus grande arche en charpente qui ait existé.

se trouvera alors dans le même état d’équilibre que si, la pièccétant supportée en N par un appui fixe, on avait appliqué aux extrémités M,M' des forces égales aux efforts supportés parles points d’appui. Les déplacements des extrémités, qui auraient lieu dans ce dernier cas, répondent aux déplacements du point N qui ont lieu dans le premier. On peut trouver les conditions de l’équilibre de chacune des parties de la pièce en appliquant les formules du n° 448 ; il fautseulemcnt remarquer qu’ici la pièce étant simplement supportée en N sur un appui, la direction de la courbe en ce point n’est pas déterminée d’avance, comme elle l’est pour une pièce courbe encastrée à l’extrémité supérieure. On nommera

a, b les distances AM, AC;

“ la distance horizontale CD du point N au sommet de la courbe; x, y les coordonnées horizontale et verticale des points de la courbe, comptées du point IV.

La courbe, supposée de figure parabolique, aurait pour équation, en comp-

tant les coordonnées du point C, y — — . Les coordonnées étant ici comp-

tées du point N, l’équation de la partie NM est y = — (Sir+r1), d’où

dy 2 b

— = — (=* +■ x). Substituant ces valeurs dans les formules du n" 448. où di a1

l’on écrira — (a1— à la place de b, et négligeant les puissances supéos dy

Heures de — , il vient pour la partie NM de la courbe dx

m étant une constante introduite par l’intégration, et dont la valeur dépend de l’inclinaison que la courbe doit prendre sur l’appui N. On en déduit

et en faisant x = a — a pour connaître les déplacements h et /"du point M,

Les mêmes formules conviendront à la partie NM’ de la courbe, en changeant le signe de a et celui de m. Par conséquent, désignant par P„ Q, les forces appliquées au point M’, et par h, , /i les déplacements de ce point, on aura

= -• — I Pi ( »- -

fi =- I l’i [ 1- a3 et -t- a a3 -4

rt-4-a

on a P

; Pi

Q = Qi ; et il est nécessaire que h = — h, et f—fx. On déduit des équations exprimant ces conditions

fl / 2 <ï3 a 2 a3 N 0 è / a3\

Il (19 a* — 60 a* a3 -4- 6fl B4 a4 — 28 O3 a* -4- 3 a*) h a

II 5c*+ 104 a« a3 — 102 O4 a4 — 5 a3

formules qui font connaître la pression horizontale exercéee contre les appuis, et le déplacement du point N où le poids 2 II est suspendu.

609. Quant à l’action de ce poids pour comprimer et faire fléchir la pièce

courbe, on remarquera d’abord, conformément au n“ 475, que si cette pièce, en même temps qu'elle est chargée au point N du poids 2 n, supporte le poids p sur chaque unité de longueur de l’intervalle M M', la valeur de la pression T sera donnée par l’expression du n“ 441, à laquelle on ajoutera l’expression du n“ 449, en y mettant pour P et Q les valeurs précédentes. On

aura donc pour la partie N M de la pièce, en négligeant toujours le quarré de -,

p a* 5t(o+a)l«+i| 5H So1 - Co’i’ + i1

On remarquera ensuite que

formule où l’on devra substituer pour P et Q les valeurs précédentes. Ces deux expressions serviront à déterminer les dimensions de la pièce courbe, conformément à ce qu’on a vu dans le n° 475. Elles conviendront à la partie N M' de cette pièce en changeant le signe de ».

610. On connaîtra l’effet de la flexion produite par le poids 2ü dans le point N où ce poids est suspendu, en faisant dans l’expression précédente x = 0 ; ce qui donne

dt

ou en mettant pour P et Q les valeurs précédentes,

d <?' — df e' Il (a3 — a1) (7 a4 -t- 30 a1 a5 — 5a4)

rt ■

5556 a environ. Ainsi

Si l’on suppose a = 0, c'est-à-dire que le poids 2 n est placé au sommet C de la pièce courbe, cette formule s’accorde avec celle qui a été donnée n° 476. Mais le point C n’est pas la position dans laquelle le poids 2 Q donnerait lieu à la plus grande flexion possible ; car la valeur maximum de l’expression précédente répond à a = a\/ — — \ / — ou « = 0,

le poids 2H produira la plus grande flexion possible à son point de suspension N, lorsque la distance CD sera un peu plus grande que le tiers de la distance A M. La valeur correspondante de la plus grande extension ou compression des fibres provenant de la flexion au point de suspension N, est, à trèspeu près,

d f' — d f e' Il

vf . 0,3*3 a.

dt «