II' = II
(al— a') a'
tang. u = — II ,
Il (3 a — a') a'1
r==~' ia ;
et en substituant les valeurs de D et tang. « dans l’équation appartenant à lu partie M N de la première pièce , puis faisant x—a, on trouvera pour l’abaissement A M du point extrême M ,
Il olîo’-Joo' + n'1) t G
Si au lieu des deux pièces Ma, N m , qui se croisent sur la longueur de Nn, on n'avait qu’une seule pièce Mot, supportée en C, et chargée aux deux
extrémités du poids n, la flèche de courbure serait, d'après le n" 87, — . — .
L’effet du croisement des deux pièces est de diminuer la flèche de courbure, et d’autant plus que l’intervalle N n est plus grand. Si les deux pièces se croisent sur toute leur longueur, c’est-à-dire si a'=a, la formule précédente
donne , comme cela doit être, .
On a respectivement , pour les parties C N et M N de la première pièce . et pour la partie B C de la seconde pièce,
iP y fa a x \
dx1 \2 2 a’ j
<Py / a a x ' .
iPy
Lorsque (v=‘-a, la valeur de — est constante dans tous les points de la *
dx1
partie C N de la pièce M»; en sorte que la pièce est courbée dans cette partie
suivant un arc de cercle dont le rayon est— . — , et que cette pièce est égale-
ment disposée à rompre dans tous les points de cette même partie. Si a’ est < j la pièce M n tend à rompre en N, et si a' est > { n i, elle tend à rompre en C. On connaîtra les conditions de la rupture , conformément au n" 3o8, en posant dans le premier cas
s = II (a — «’) ,
et dans le second
f = Il -.
Si au lieu des deux pièces qui se croisent, on n’avait qu’une seule pièce Mot supportée en C, et chargée aux extrémités des poids n, on devrait avoir.
d'après le rr 122, p = Il a. On jugera d’après les équations précédentes dans quel rapport le croisement des pièces rend le système plus solide.
635. Les résultats précédents s’appliqueront immédiatement au système représenté figure 115, chargé de la manière indiquée n“ 633, et feront connaître la quantité dont les quatre poids II feront fléchir les pièces , ou la valeur qu’il faudrait donner à ces poids pour en opérer la rupture.
Si les points d'appui A, A' sont placés au quart des côtés du cadre, on o o
a a' = — , et p = n — .
Ainsi le système présente alors une force double de celle de deux pièces ayant une longueur égale à la distance des côtés du cadre, quoique le volume du bois ne soit que de moitié en sus plus grand. Dans la réalité, la force du système dont il s’agit ne serait pas tout à fait double de celle des deux pièces, parce que les bois sont affaiblis aux points d’assemblage, qui sont précisément ceux où ils tendent à se rompre.
636. Si l’on suppose que la section transversale des pièces est un rectangle dont la largeur soit b, p sera proportionnel à b. D’un autre côté, si la hauteur des pièces est réglée de manière que la relation qui . d’après les formules précédentes , doit exister entre ? , a et a' , soit satisfaite , celle relation le sera encore, si l’on vient à augmenter dans un même rapport les quantités a, a' et b. Donc, si l’on fait varier dans un même rapport toutes les dimensions horizontales de la fig. 145, sans changer la hauteur des pièces, la valeur du poids 4n, capable d’opérer la rupture, demeurera constamment la même.
637. Si le système de quatre pièces, représenté figure 145, était chargé par des poids répartis dans toute l’étendue du cadre , on trouverait par des calculs semblables aux précédents les conditions de l’équilibre. On ne s’arrêtera pas davantage sur ces recherches, qui n’otfrent pas de difficultés, et dont il suffit d’avoir indiqué les principes.
DE LA FLEXION ET DE LA Bl PU RE DES PLANS ÉLASTIQUES.
638. L’objet que l’on se propose en construisant les planchers de la troisième espèce, indiqués au commencement de cet article, est de former une masse pleine , comprise entre deux plans parallèles , et dont toutes les parties sont, autant qu’il est possible, liées les unes aux autres. Les lois de la résistance d’un tel corps, en le supposant homogène dans toutes scs parties, ont été recherchées [i]; mais comme l'exposition de ces recherches serait trèslongue, et supposerait la connaissance de méthodes analytiques qui n’ont pas
[i] Ces lois ont été exposées pour la première fois par routeur, dans un Mémoire présenté
encore passé dans les ouvrages et les cours destinés à l’instruction des ingénieurs, on rapportera seulement les résultats le plus simples, et qui paraissent le plus utiles.
639. Considérons un plan supporté horizontalement sur un cadre rectangulaire fixe, et supposons un poids n placé au centre de ce plan. Nommons a, b les deux côtés du cadre; h l’épaisseur du plan;
f l’abaissement du centre du plan, où est placé le poids n ;
E ayant la signification indiquée n” 77.
On aura
H 4 -f* elc. I
1 etc.
(3’o’-t-AJ)> (3Ja»-t-3»A»)»
h etc.
etc.
* représentant le rapport de la circonférence au diamètre. La flèche de courbure est réciproque au cube de l’épaisseur du plan ; et pour des plans de figures semblables, elle est proportionnelle à la deuxième puissance des côtés.
640. Le plan étant chargé de la même manière, et le côté a étant le plus petit des deux côtés a et b, si l’on veut , comme au n” 382, que les fibres placées aux faces convexe et concave du plan ne supportent pas sur l’unité de surface, par suite de l’action du poids h, un effort plus grand que R', il faudra poser l’équation
•15 n oJ b3 ic4 E hs
It' =
«njoé3 / !» 3» 5»
+ 4- etc
(3»a»-t-i»)» (3»a»-4-3Jfc»)»
■ elc.
de.
et pour prendre la valeur de R donnée par cette équation pour la limite des poids dont on peut charger le plan. Cette valeur est proportionnelle auquarré
à l’Académie des Sciences en 1820. Voyez le Bulletin des Sciences par la société Philomatique, année 1823, page 93.
de l'épaisseur du plan. Elle demeure la même lorsque l’on fait varier les côtés a et b dans un même rapport , en sorte qu’elle ne dépend pas de la grandeur absolue des côtés [il.
641. Supposons maintenant le même plan rectangulaire chargé de poids uniformément répartis dans toute son étendue, en désignant par p le poids placé sur l’unité de surface. On aura
— etc.
etc.
etc.
La flèche de courbure est encore réciproque au cube de l’épaisseur du plan. Si le poids p porté par l’unité de surface est constant, cette flèche est, pour des plans de figures semblables, proportionnelle à la Ÿ puissance du côté. Si le poids total pab est constant, la flèche est proportionnelle à la 2’ puissance du côté.
642. Le plan étant chargé de la manière qui vient d’être indiquée, et le côté a étant le plus petit des deux côtés a et b, si l’on veut que les fibres placées aux faces convexe et concave du plan ne supportent pas sur l’unité de surface un effort plus grand que R", il faudra poser l'équation
00 pa2b* /I 1 1 \
R’ = | -t- — etc.
w‘A> 1 \{a2 + b2)2 ms2 a2 — b2)2 5(5 1 a2 -t- b2 )2
1 t (aJ-+-33 b2)2 3(3*ai + 33&»)* 5(5 2 a2 -h b2 b2)2 ' )
f H 1 CtC. 1
f Ifai-t-S1*»)1 S(3loJ-t -S2 b2)2 StS’a1-*- 5* *»)> 1
\ — etc. I
et prendre la valeur de p qui y satisfait pour la limite des poids dont on peut charger l’unité de surface du plan élastique. Cette valeur est proportionnelle au quarré de l’épaisseur du plan. Le poids total pab dont le plan pourrait être chargé, ne varie pas lorsque l’on fait varier les côtés a, b dans un même rapport, et ne dépend pas de la grandeur absolue de ces côtés.
643. Ces résultats peuvent être appliqués aux planchers du genre de ceux
[t] Cette proposition, analogue 5 celte qui est indiquée ci-dessus n° 030, avait été démontrée d’une toute autre manière par Mariette. Voyez ses Œuvres, tome 11, page 108.
dont il s’agit ; niais comme les parties de ces planchers ne présentent pas la liaison et l'homogénéité d’un corps continu, on ne doit pas leur attribuer, dans les applications, une force aussi grande que l’indiqueraient les formules précédentes.
HtCLKS PHATIQtES Pom l’ÉTABUSSEÏENT DES PLANCHERS.
644. D’après M. Rondelet [1], les solives d’un plancher étant espacées tant plein que vide, la hauteur des bois doit être le -,'T de la portée. Cette règle s’accorde sensiblement avec les indications données par d’autres architectes.
L’espacement ordinaire des poutres sur lesquelles portent les solives est de 12 pieds. L'équarrissage de ces pièces doit être le ~ de la portée.
645. M. Tredgold [a] distingue deux sortes de planchers : fies planchers simples ( single joistcd floors ) formés par un rang de solives ; 2" les planchers assemblés ( framed floors) formés par des poutres , avec lequcllcs on assemble transversalement des poutres plus petites, qui supportent les solives. Ces petites poutres reçoivent en outre, par-dessous, d’autres solives d’un faible équarrissage, sur lesquelles sont clouées les lattes du plafond.
Les solives sont généralement espacées à un pied ( mesure anglaise } de milieu en milieu. Dans les planchers simples, nommant
a, b la largeur et la hauteur des pièces, en pouces;
c la portée, en pieds ;
les dimensions des solives, dont la largeur ne doit pas être au-dessous de 2 pouces, se règlent en faisant
pour les bois de sapin,
= 2,3 y — pour le bois de chêne.
Dans les planchers assemblés : 1" supposant les poutres espacées à 10 pieds distance qui ne devrait jamais être dépassée, on prendra pour ces pièces
sapin,
> = 4,2 % / — , ou a = 74 — pour le ra 65
= 4, 34% / — , ou a = *2 — pour le chêne. Va bs
2“ Pour les petites poutres transversales assemblées aux poutres princi-
(0 Arl de bâtir, tome IV, page 133.
|»1 Elementary principes of carpentrjr, pages 61 et suivantes
pales, dont l’espacement doit être de 4 à 6 pieds, on prendra
% / — , ou a = w — pour le sapin ,
Va b3
% / — , ou a = 44 — pour le chêne.
Va b s
■lit)
3“ Les dimensions des solives supérieures se règlent conformément à ce qui a été dit ci-dessus. La largeur des solives inférieures, qui ne servent qu’à fixer les lattes, ne doit pas dépasser 2 pouces. La hauteur de ces pièces se règle par les formules
— pour le sapin, a
CJ
— pour le chêne.
ARTICLE XIU.
