DE LA RÉSISTANCE DES PAROIS DES VASES A LA PRESSION DES FLUIDES

646. La pression des fluides s’exerce perpendiculairement à la surface des parois des vases. Dans le cas d’un fluide élastique, la grandeur de cette force peut être supposée constante dans toute l’étendue de la paroi. Dans le cas d’un liquide soumis à l’action de la pesanteur, les parties inférieures sont plus fortement pressées que les autres, et il est souvent nécessaire d’avoir égard à cette différence.

647. Les parois des vases sont généralement formées par des substances solides. Ce sont des corps qui peuvent résister aux changements de figure auxquels ils se trouveraient sollicités par l'effet de la pression des fluides, mais qui cèdent un peu à cette pression, en raison de l’extensibilité ou de la compressibilité de leurs parties. Il y a quelquefois un tel rapport entre la figure de la paroi et la grandeur des pressions normales exercées dans ses diverses parties, que cette paroi ne tend pas, à proprement parler, à changer de figure, mais est seulement sollicitée à s'étendre ou à se comprimer dans le sens de la surface. On désignera ce cas en disant que la paroi est tracée suivant la surface d’équilibre. Quand il a lieu la paroi peut être formée d’une sulis tance parfaitement flexible, telle que le serait un tissu de fils dont

les parties seraient capables de résister à la compression ou à l’extension, mais ne résisteraient pas à la flexion. L’équilibre est stable si toutes les parties de la surface sont étendues, et la seule chose qu’il importe de connaître est la grandeur de la tension qu’elles supportent. —

On ne-peut présenter ici d’une manière complète et générale la recherche des effets qui se manifestent dans une paroi pressée par un fluide, mais les notions que l’on exposera suffiront dans la plupart des applications. On considérera successivement une ligne et une surface, sollicitées par des forces qui sont dirigées suivant des lignes normales à cette ligne ou à cette surface.

DE L'ÉQUILIBRE D'CITE LIGNE SOLLICITÉE PAR DES FORCES PERPENDICULAIRES A SA DIRECTION-

648. Les conditions de l’équilibre d’une ligne considérée comme un fil parfaitement flexible, à tous les points duquel sont appliquées des forces normales, peuvent être déduites de ce qu’on a vu dans les n°‘ 506 et 428. On peut également les trouver directement comme il suit.

Considérons d’abord une courbe MM' ( Fig. 147) tracée sur un plan, dans lequel sont dirigées les forces appliquées normalement à cette courbe. On peut la regarder comme un polygone d’un nofnbrc infini de côtés, et supposer les forces appliquées aux sommets du polygone. Nommons

ds la longueur d’un élément mn de l’arc de la courbe, ou d’un côté du polygone ;

p la longueur du rayon de courbure au point m;

F la valeur de la force normale appliquée au point M, pour une unité de longueur mesurée sur l'arc de la courbe ;

T la force avec laquelle le côté m n du polygone est tendu.

L’équilibre du polygone exige que la force appliquée à chaque sommet m soit détruite par les tensions des éléments mn, mn'. La force appliquée en m est F du, et la direction de cette force partage en deux parties égales l'angle nmn'. Donc l"la tension du côté mn' doit être égale à la tension T du côté mn ; et 2° le rapport de T à Frf* est celui du sinus de l’angle fmn ou fin ri , qui diffère infiniment peu d'un angle droit, au sinus de l’angle

da

infiniment petit compris entre mn et mn' dont la valeur est — . Il suit de

là 1" que la valeur de la tension T doit être la même pour tous les côtés du polygone, ou que le fil est également tendu dans toutes ses parties ; 2“ que l'on doit avoir en chaque point de la courbe

Frf* Ut T

La pression normale est en chaque point égale à la tension divisée par le

rayon de courbure. Si le fil ne forme pas une courbe fermée, il faut que les derniers éléments MN, M’N' soient tirés dans le sens de leur longueur avec des forces égales à la tension T.

649. Considérons présentement une courbe à double courbure, sur laquelle agissent également des forces normales. On peut la regarder comme un polygone dont les côtés sont infiniment petits, et dans lequel trois côtés consécutifs ne sont pas compris dans un même plan. Les forces , appliquées à chaque sommet du polygone, doivent être dirigées suivant le rayon du cercle osculateur. Tout ce qui a été dit dans le numéro précédent s’applique à ce système : il faut pour l’équilibre du fil qu’il soit également tendu dans toutes ses parties, et c’est ce qui aura lieu si la force normale appliquée à chaque point est égale à la tension divisée par le rayon de courbure [i].

650. Lorsque des forces sont appliquées perpendiculairement à une verge courbe solide, et qui ne cède à l’action de ces forces que par un changement de figure très-petit dû à l’élasticité, il n’est pas nécessaire , pour que l’équilibre subsiste , que les conditions énoncées ci-dessus soient satisfaites. La tension exercée dans le sens de la longueur de la courbe peut varier d’un point à l’autre. Quant à la manière de connaître la tension longitudinale qui a lieu dans un point quelconque, on remarquera qu’une verge sollicitée par des forces normales ne peut , en général , demeurer en équilibre, à moins que ces forces ne se détruisent réciproquement, ou à moins que la verge ne soit maintenue par deux points fixes, si elle forme une courbe plane, ou par trois points fixes , si elle forme une courbe à double courbure. Les efforts exercés sur les points fixes seront déterminés par la condition qu’étant composés avec les forces appliquées normalement à tous les points de la courbe, il en résulte un système que l'on puisse réduire à deux forces égales et directement opposées. La tension des diverses parties de la verge est produite à la fois par les forces normales appliquées à tous les points, et par les forces particulières, appliquées à des points déterminés, et nécessaires pour établir l'équilibre.

Cela posé, si dans une verge courbe MM' (Fig. 1 48) sollicitée de la manière

[0 On conçoit nettement l’existence de l’équilibre dans un fil formant une courbe b double courbure, en se rappelant que, d’après un théorème démontré par Lancret (Mémoires présentés à la première classe de l'Institut, tome T, page 423). on peut toujours faire passer par une courbe quelconque une surface développable telle que, cette surface étant développée, la courbe donnée y tracerait une ligne droite. Cette surface, nommée surface rectifiante, est formée par les intersections successives des plans qui, touchant la courbe, sont perpendiculaires aux rayons des cercles oscillateurs de cette courbe. Il suit de 13 qu'il existe loujours une surface, perpendiculaire aux rayons de courbure de la courbe donnée, sur laquelle cette courbe est une ligne de plus courte distance. Donc le fil pourra être regardé comme étant tendu sur la surface d’un corps solide fixe, où il demeure en équilibre, et où il exerce en chaque point une pression normale.

qui vient d’étre indiquée , et qui forme une courbe non fermée , on veut connaître la tension longitudinale supportée par l’élément mn , on remarquera quccette tension résulte de ce que les forces appliquées aux deux parties;/? M. m M' de la courbe se détruisent réciproquement au moyen de la liaison que l’élément mn établit entre ces deux parties. Par conséquent, si l’on décompose , parallèlement à la tangente de la courbe au point m, toutes les forces appliquées à la partie mM, ou bien toutes les forces appliquées à la partie m M', la somme des composantes ainsi obtenues sera la tension cherchée.

651. Considérons présentement une courbe fermée plane MN (Fig. 149;, sollicitée par des forces normales dirigées dans le plan de cette courbe , et supposons que l’on demande la tension supportée par l’élément mn. Si l’on décompose toutes les forces appliquées à la courbe parallèlement à la direction de la tangente au point m, on remarquera que les points m, m' dans lesquels la direction de la tangente est la même, partagent la courbe en deux parties , dans chacune desquelles les forces normales produisent des composantes dirigées dans des sens opposés. Si l’on prend les résultantes des composantes parallèles à mn fournies respectivement par les forces agissant dans les parties mMm' et m N ni. on obtiendra deux forces égales entre elles et directement opposées. La destruction de ces forces produit la tension des deux éléments vin, m'n' : on connaîtra donc ces deux tensions en décomposant l’une des résultantes dont on vient de parler en deux forces dirigées respectivement suivant m n et m'n'.

652. Admettons que la figure de la verge M N soit à double courbure, et supposons également que toutes les forces appliquées à la courbe aient été décomposées parallèlement à la tangente menée au point m. Si l’on conçoit la courbe proposée enveloppée par un cylindre dont les arêtes soient parallèles à celte tangente, il y aura un point wt'pour lequel le plan tangent à ce cylindre sera parallèle au plan tangent mené par le point m . Les deux points m, ni partageront comme ci-dessus la courbe en deux parties, dans chacune desquelles les forces normales produiront des composantes parallèles à m n dirigées en sens opposés. Si l’on prend respectivement les résultantes des composantes fournies par chaque partie de la courbe, on trouvera deux forces égales et directement opposées, dont la destruction réciproque produit les tensions des éléments m n, m'n'. Par conséquent , si l’on décompose l’une de ces forces en deux autres, qui lui soient parallèles, et qui soient dirigées dans les deux plans tangents menés aux points m, m\ celle de ces composantes qui serait dirigée dans le plan tangent au point m donnera la tension supportée par l’élément m n.

DE l-’tllUIICRt d'bHE StlfACt SOLLICITÉE PAR DES FORCES <JLI SORT DIRIGEES FEEFEKDICCLAIREXF.JIT A CETTE SCRFACE-

653. Les conditions de l'équilibre d’une surface supposée parfaitemenl flexible , sollicitée par des forces normales, peuvent être établies au moyen des considérations suivantes.

Soit la ligne MN (Fig. 150) formant le contour d'une surface, et représentons-nous le solide que cette surface recouvre , et que nous supposerons fixe. Ayant marqué deux points quelconques M , N qui partagent cette ligne en deux portions M/j N, Mc/i\, on peut diviser chacune de ces deux portions en un même nombre de parties très-petites, égales entre elles dans chacune des portions. On peut ensuite du point Mau point N , et de chacun des points de division p de la première partie à chacun des points de division correspondants q de la seconde partie, tendre des fils qui s'appliqueront sur le solide en suivant la ligne de plus courte distance pm q tracée sur sa surface entre leurs extrémités p , q.

L’ensemble de ces fils, en les supposant infiniment rapprochés, formera une surface ; et si, aux deux extrémités de chaque fil pm q, on applique dans la direction des éléments extrêmes des forces égales T, ce fil, en vertu de la tension T, pressera le corps sur lequel il est appliqué suivant une direction

normale à la surface. La valeur de la pression exercée au point m sera — , en

désignant par p le rayon de courbure de la courbe du fil au point m. Si l’on conçoit maintenant le corps supprimé, et que l’on ait appliqué à tous les points

m des forces normales égales à — , l’équilibre subsistera. On remarquera

qu’il n’est pas nécessaire que les forces T aient des valeurs égales pour tous les fils ; il suffit que la tension soit constante dans l'étendue de chaque fil.

Si maintenant on place autrement les points M, N sur la courbe, on pourra former de la même manière un second système de lignes de plus courte distance, et tendre de nouveaux fils qui croiseront les premiers. Si un nouveau fil passant par le point m est tendu par la force T , il produira en ce point

une pression normale égale à — , représentant le rayon de courbure de

la courbe du nouveau fil au point m, et cette pression s’ajoutera à celle qui est produite par le premier fil. Par conséquent, le corps étant supprimé, on maintiendra maintenant l’équilibre en appliquant au point m une force nor- T T'

male égale à — i — .

En continuant ainsi, on voit que l’on peut tendre sur le corps un nombre indéfini de fils appartenant à divers systèmes de lignes de plus courte

3âî LEÇONS SUR L’APPLICATION

distance. La seule condition nécessaire pour l’équilibre est que la tension de chaque fil soit la même dans tous scs points. Si l’on nomme T, T', T", etc., les tensions respectives des fils qui se croisent au point quelconque m , et P , p', p", etc. . les rayons de courbure des courbes de ces fils au point «i, la

pression normale exercée en ce point sera —h — -+- — t- etc. Il est évident d’ail-

leurs qu’à chaque point p du contour de la surface doivent être appliquées, dans la direction des divers fils qui partent de ce point, autant de forces respectivement égales aux tensions de ces fils. Toutes ccs forces sont dirigées dans le plan tangent à la surface au point p.

Si la surface proposée n’était pas terminée par un contour, et formait une enveloppe fermée, ce qui précède lui pourrait être appliqué, en considérant que l’équilibre est établi dans des fils tendus sur cette surface, et formant un ou plusieurs systèmes de lignes de plus courte distance. Chaque fil formerait une courbe fermée, la tension serait constante dans toute sa longueur, et la force normale résultant en chaque pointdu tilde sa tension, scraitégale à cette tension divisée par le rayon de courbure de la courbe du fil. La pression normale supportée par le corps en un point quelconque serait la somme des pressions normales produites par les tensions de tous les fils qui se croiseraient en ce point.

654. Il résulte de ce qui précède que, pour qu’une surface flexible sollicitée par des forces normales soit en équilibre , il suffit que l’on puisse décomposer celte surface, au moyen d’un ou de plusieurs systèmes de lignes de plus courte distance, en bandes infiniment étroites regardées comme des fils, et que les forces normales appliquées à chaque point intérieur, aussi bien que les forces tangentiellcs appliquées à chaque point du contour de la surface, étant réparties entre les divers fils, chacun d’eux soit en équilibre. Une surface quelconque parfaitement flexible étant donnée, il y a une infinité de systèmes de forces , appliquées perpendiculairement aux points intérieurs et tangentiellcment aux points du contour, qui peuvent être en équilibre au moyen de cette surface.

655. Considérons une surface parfaitement flexible, maintenue par un contour fixe, et sollicitée par des forces normales telles que la surface est en équilibre et ne tend pas à changer de figure. On peut demander comment l'équilibre est établi, quelle tension la surface supporte en chaque point suivant une direction déterminée, et quels sont les efforts exercés sur chaque pointdu contour fixe. Cette question ne peut, en général, être résolue, tant que l'on regarde les éléments de la surface comme inextensibles , parce que l’équilibre peut être établi d'une infinité de manières. Mais si l’on suppose les éléments de la surface extensibles, la question est déterminée.

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