TOUS LES SERS
656. Soit une surface parfaitement flexible et inextensible sollicitée par des forces normales, et supposons l'équilibre établi entre ces forces et les efforts de tension qui ont lieu dans le sens de la surface. Admettons que l’on ait tracé sur la surface une ligne quelconque de plus courte distance, et considérons la portion de la surface formée par une bande dirigée suivant celte liljne, et ayant une largeur constante et très-petite : cette bande sera tendue suivant sa longueur avec une certaine force. Cela posé, on dit qu’une surface est également tendue dans tous les sens, 1” si la tension de la bande est constante dans toutes les parties de sa longueur; 2" si la valeur de celte tension est la même, quelle que soit la direction de la ligne de plus courte distance suivant laquelle la bande est tracée.
Soit * la largeur de la bande, qui doit être supposée infiniment petite, et 9 la valeur de sa tension longitudinale, qui le sera également : le rap-
port -=T représente la tension des parties de la surface rapportée à l’unité
linéaire. La quantité finie T donne la mesure de la force avec laquelle la surface est tendue.
657. Soit MN (Fig. 151) une portion du contour d’une surface également tendue dans tous les sens. Il est nécessaire, pour que l’équilibre soit maintenu, que des forces dirigées dans le plan tangent à la surface soient appliquées à chaque point du contour. On peut regarder ce contour comme étant composé de parties infiniment petites bc, dont la longueur est égale à x, et supposer que les forces distribuées sur l’intervalle bc sont appliquées au milieu a de cet intervalle. On peut également regarder la surface comme étant formée d’une infinité de fils ou bandes infiniment étroites, dirigées suivant les rayons du demi-cercle décrit des points a avec le rayon 7 x. Les forces tangcntiellcs appliquées à chaque point a devront faire équilibre aux tensions des bandes partant de ce point. Soit innqp deux des bandes dont il s’agit, dont les directions forment avec la normale ad des angles «. La largeur pq
de ces bandes sera - cfo, leur tension T - et la résultante des tensions des 2 2
deux bandes, T x d*. cos. u>. La somme de toutes les résultantes semblables, ou l’intégrale T x / d*>. cos. «*, dont la valeur est Tx, est la force qui
doit être appliquée au point a. Ainsi l’équilibre d’une surface également tendue dans tous les sens avec la force T, exige que des forces égales entres elles soient appliquées perpendiculairement au contour de la surface dans tous
les points de ce contour, et que la valeur de ces forces, pour une unité de longueur, soit T.
658. Étant donnée la figure d’une surface considérée comme un tissu parfaitement flexible et inextensible, il existe toujours un système de forces appliquées normalement à tous les points intérieurs, par l’effet duquel la surface serait maintenue en équilibre, et également tendue dans tous les sens. Soit M (Fig. 152 ) un des points de la surface, et supposons que l’on ait décrit
de ce point comme centre, et d’un rayon infiniment petit , égal à — , un ccr-
cle. Considérons une des bandes infiniment étroites mnpq, tracées suivant les directions des lignes de plus courte distance qui sc croisent au point M. Désignons par r le rayon de courbure de. la section normale de la surface, faite au point M dans la direction de l’axe de cette bande, et par u l'angle de cette section avec le rayon fixe AM. La largeur mn ou pq de la bande x ’ x
sera — rf", et la force avec laquelle elle est tendue, T — du. Ainsi regardant 2 2
cette bande comme un fil isolé, on la maintiendrait en équilibre en appliquant au point M, perpendiculairement à la surface, une force dont la valeur, rapportée à l’unité de longueur, serait, d’après les numéros 648 et 649, xi x 1 x» 1
T. — du. et pour l’intervalle nmqp , T. — d». — . x; ou T . — . — du. Si 2 r 2 r 2 r
l’on considère également une autre bande m'n'p' q' dirigée perpendiculairement à la première , en désignant par r' le rayon de courbure de la section normale faite dans la surface suivant la direction de la nouvelle bande, on
aura de même T. — . — du pour la valeur de la force qui, étant appliquée
sur l’intervalle in'n'p'q’ perpendiculairement à la surface, maintiendrait cette nouvelle bande en équilibre. Si l’on prend donc la somme des quantixx r- 1 i \
tés T — ( — i I du dans une étendue égale au j de la circonférence à
compter du point A , on aura la somme des forces qui , étant appliquées normalement à la surface , dans l’étendue du cercle décrit du point M , font équilibre à la tension de toutes les bandes qui sc croisent en ce point. Or on sait
que la valeur de la quantité — h — est indépendante de l’angle u, et qu’en
nommant p, p' les deux rayons de courbure principaux de la surface pour le
1 t iiV i i \
point M, cette valeur est — i — . Donc l’intégrale cherchéeeslT — ( — i — ).
La surface du cercle décrit du point M avec le rayon - étant d’ailleurs — ,
on voit donc que l’expression
représente la valeur de la force normale qui doit être appliquée au point M (celte valeur étant rapportée à l’unité de surface), pour que la surface pro- |K>sée soit également tendue dans tous les sens avec la force T [t],
059. Si les deux rayons de courbure étaient égaux et de môme signe.
ST
propriété qui appartient à la sphère, la force dont il s'agit serait — . On
voit par-là que la même pression normale qui pourrait produire une tension T dans le sens des éléments circulaires d’une surface cylindrique, produirait dans tous les sens une tension i T dans une surface sphérique de même diamètre.
APPLICVTIOXS A DES VASES DE DIVERSES FIGI RtS.
660. Nous considérerons en premier lieu des vases contenant un fluide qui exerce du dedans au dehors une pression , et dont les parois sont planes. Ces parois sont généralement tendues dans la direction de la surface , en même temps qu’elles supportent une pression normale. Le cas le plus simple est celui d'un tuyau rectiligne dont les parois sont formées par des plans parallèles à l’axe de ce tuyau; par exemple le tuyau rectangulaire AH (Fig. 155), que l’on suppose ouvert par les deux bouts. Les parois ne sont point tendues dans le sens de la longueur du tuyau, mais dans le sens de sa largeur seulement. Considérant une partie ni q' de ce tuyau, on peut regarder les portions mnn'm' et pq q'p des faces inférieure et supérieure, comme étant tendues respectivement, parallèlement aux côtés mm', pp, par l’effet des pressions opposées qui s’exercent sur les portions mnqp, m'n'qp' des faces latérales, avec une force égale à la moitié de la pression exercée 'sur chacune de ces dernières portions. De la même manière, chacune des portions mq, m'q’ sera tendue parallèlement à m p, m'p' avec une force égale à la moitié de la pression exercée dans l’étendue m n‘ ou pq'. L'une quelconque des portions de paroi dont il s’agit, telle que mnqp, peut donc être regardée comme une pièce qui est à la fois tendue suivant sa longueur, pressée par des forces normales distribuées uniformément sur cette
ti] Il est aisé de voir que l'on parviendrai! au même résultat, en considérant toute autre fiRiire dont le point M serait le centre.
longueur, et supportée sur ses deux extrémités. On peut lui appliquer l’analyse du n°592, et régler la force de la paroi d’après l’équation du n“ 593. a désignera la moitié de la longueur mp; Q, la moitié de la pression normale exercée sur mn' ou pqf ; p, la valeur de la pression normale exercée sur mnqp pour une unité linéaire mesurée sur la longueur mp.
G61. Si le tuyau était fermé par les deux bouts, ou par un bout seulement, ce qui précède ne pourrait plus être rigoureusement appliqué. Mais en procédant comme il vient d'étre dit, on connaîtrait une limite d'après laquelle on serait assuré de donnera chaque paroi une force plus que suffisante. Considérons, par exemple, un vascquadrangulairc et vertical ABGH (Fig. 154), ouvert par la face supérieure, dont le fond repose sur un plan horizontal fixe, et qui est rempli d’un Huide pesant. Si le fond du vase n'existait pas, on pourrait appliquer à chaque élément transversal m </ ce qui a été dit dans le nu précédent, en faisant attention que la pression du fluide augmentant avec la profondeur, ces éléments ont à supporter des efforts d’autant plus grands qu’ils sont placés plus loin de la surface supérieure du fluide. Mais si le fond du vase existe, comme ce fond attache les unes aux autres les quatre parois latérales, il empêche qu’il ne s’établisse, dans le sens des longueurs m n des éléments, des tensions aussi grandes, et que ces éléments ne se courbent autant en cédant à la pression normale. Le résultat du calcul indiqué ci-dessus donnera donc, pour les parties des parois, des épaisseurs qui surpasseront d’autant plus les épaisseurs réellcmcut nécessaires que ces parties seront plus voisines du fond du vase.
GG2. Si le vase était entièrement fermé, les parois seraient tendues suivant plusieurs directions. Si, par exemple, le vase rectangulaire AH (Fig. 154) est fermé par les deux bouts, et contient un fluide pressant du dedans au dehors, l'une quelconque AF des faces est tendue suivant deux directions parallèles aux arêtes A B et AE. Cette face peut être regardée comme appartenant à un tuyau rectangulaire dont l’axe est parallèle à AB, ou à uu autre tuyau rectangulaire dont l’axe est parallèle à AF. Si l’on considère successivement ces deux tuyaux en les supposant ouverts par les deux bouts, et si l’on applique ce qui a été dit n" 660, on obtiendra des résultats d’après lesquels la force de la paroi AF se trouverait nécessairement fixée au delà de ce qui est nécessaire. L’excès de force qui lui serait donné, si l’on adoptait ces résultats, serait d’autant plus grand que la longueur des tuyaux serait moindre par rapport aux dimensions transversales.
La recherche du véritable état d’équilibre des parois, dans des cas de ce genre, comporte une analyse particulière, qui ne peut être exposée ici.
G63. Si les parois, au lieu d’être planes, étaient formées par des portions de surface cylindrique, on pourrait faire usage des notions précédentes, en
appliquant les résultats présentés ci-dessus, article VI, sur la résistance des pièces courbes.
66-1. Considérons maintenant un vase dont la paroi est courbe, et en premier lieu un tuyau rectiligne ouvert par les deux bouts. Supposons que le fluide contenu dans ce tuyau exerce sur tous les points d'une même section transversale des pressions égales, ou que l’on peut supposer égales sans erreur sensible, comme dans le cas où les gaz ou l’eau coulent dans des tuyaux d’un petit diamètre. La paroi du tuyau n’est pas tendue dans le sens de sa longueur, mais seulement dans le sens des sections transversales. Un élément transversal du tuyau peut être regardé comme une bande ou un fil sollicité par des forces normales dirigées dans son plan. Ces forces étant égales dans tous les points, le fil ne peut être en équilibre, à moins que le rayon de courbure n’ait aussi une valeur constante. Ainsi la paroi tendra à changer de figure, à moins que la section transversale du tuyau ne soit circulaire.
La section étant supposée circulaire, soit p la valeur de la pression normale produite par le fluide sur une unité de surface de la paroi, et considérons un élément transversal du tuyau, dont la longueur, mesurée sur l'axe, soit égale à l’unité linéaire ; p représentera également la pression normale exercée sur une unité de longueur de la circonférence de cet élément. Par conséquent, nommant r le rayon du tuyau, on aura, d’après le n“ 6-18, pr pour la tension qui s'établira dans le sens de cette circonférence. Ainsi l’on dira que la surface du tuyau est tendue dans le sens des sections transversales avec la force pr. On voit que la tension résultant d'une même pression normale intérieure croit proportionnellement au rayon du tuyau.
Désignant par h l’épaisseur de la paroi, supposée constante et beaucoup plus petite que le rayon r; et (comme au n" 181) par R' la plus grande tension que l’on.vcut faire supporter aux fibres sur l’unité de surface : on pourra régler l’épaisseur de la paroi en posant l’équation
665. Si la section transversale du tuyau n’était pas circulaire, la paroi tendrait à changer de figure, et en changerait effectivement si elle était formée par un tissu flexible. Si elle est formée par une substance solide, la figure ne changera pas totalement, mais sera légèrement modifiée par l’effet de l’élasticité de cette substance. La matière de la paroi est alors sollicitée de deux manières : l*par l’effet du changement de courbure, qui étend ou comprime les fibres près des faces extérieures ou intérieures ; 2“ par l’effet de la tension qui s’établit dans le sens des sections transversales, tension qui varie d’un point à l’autre de ces sections, et qui étend les fibres dans toute l’épaisseur de la paroi. La modification que supportent les parties par l’effet du changc-
ment (le courbure est, dans la plupart des applications, peu considérable; ellepculétredélerminéeau moyen des principes exposés ci-dessus, article VI. Quant à l’effet de la tension causée par la pression du fluide, qu’il importe ordinairement le plus de considérer, soit M N (Fig. 155) la section transversale du tuyau, et supposons que l’on veuille connaître la tension supportée par cette section dans le point m. On mènera la tangente ntp, et une autre tangente nq parallèle à la première. On remarquera ensuite, conformément au n° 651 , que les pressions normales exercées par le fluide sur les portions de courbe mM/t ou m N n, décomposées parallèlement aux lignes mp,nq, équivalent aux pressions exercées sur la ligne pq, qui leur est perpendiculaire ; d’où il suit que l’on aura la tension exercée en »i, en prenant la moitié de la pression que le fluide exercerait sur pq. On voit que la tension des diverses parties de la paroi est proportionnelle à la distance des deux tangentes m p, n q.
666. Si le tuyau rectiligne dont il s'agit était fermé par un bout, la résistance du fond s’opposerait au changement de figure de la paroi et à l’extension des sections transversales. Cette paroi serait donc sollicitée moins fortement, surtout dans la partie voisine du bout fermé. Il en serait de même, à plus forte raison, si le tuyau était fermé par les deux bouts. Mais dans ce dernier cas, en vertu de la pression du fluide contre les deux bases du tuyau, la paroi supporterait une tension dans le sens des arêtes de la surface cylindrique, en même temps qu’elle en supporterait une dans le sens des sections transversales. Si la section transversale du tuyau est circulaire, on a, en conservant les dénominations du n" 664, p.r.r3 pour la pression exercée sur les
p.icr1 pr
fonds opposés, et par conséquent . ou — pour la force avec laquelle
une portion de la circonférence du tuyau égale à l’unité linéaire est tendue dans le sens des arêtes. Ainsi, la pression du fluide étant supposée uniforme dans toute l’étendue du tuyau, la tension qui a eu lieu dans le sens des arêtes est la moitié de celle qui a lieu dans le sens des sections transversales. Si la section transversale du tuyau n’était pas circulaire, la tension qui aurait lieu dans le sens des arêtes serait encore moindre par rapport à celle qui aurait lieu dans le sens des sections transversales.
667. Soit un vase cylindrique d’une longueur indéfinie, dont l’axe est hori zontal, et qui contient un liquide pesant. MAN (Fig. 156) représentant la section transversale de ce vase, et MN le niveau de la surface du fluide, la pression normale qui aura lieu en un point quelconque m de la section sera proportionnelle à la distance tnp. Par conséquent si la paroi du vase est formée par un tissu flexible, la condition de l’équilibre, conformément au n“ 648. sera que le rayon de courbure au point m soit réciproque à la distance
mp, ce qui détermine la nature de la courbe MAN. En rapprochant ce qui vient d’étre dit des n" 77 et 86, on verra que la figure de cette courbe est celle qu’affeelerait un ressort homogène, d’une largeur et d’une épaisseur uniformes, dont la figure naturelle est rectiligne, et qui serait tenu plié, au moyen d’une corde attachée du point M au point N. La courbe est également tendue dans tous ses points, et on connaîtrait la tension en supposant que le poids du fluide contenu dans le tuyau est appliqué au point O, et décomposé suivant les directions des tangentes M O, N O, menées aux points extrêmes. Il est évident que l’équilibre exige que les points M, N soient fixes, ou que la courbe y soit tirée par deux forces égales à sa tension, et dirigées dans le prolongement de ces tangentes.
668. Si la section transversale du cylindre horizontal n’a point la figure qui convient à l’équilibre, et si la paroi est faite d’une matière solide, elle est légèrement fléchie par l’effet de la pression du fluide. L’état de flexion de cette paroi, aussi bien que la tension qui peut avoir lieu dans le sens de la section transversale, dépendent à la fois de la figure de celte section, et de la manière dont le vase est supporté : on peut les déterminer par les principes exposés dans l’article VI de la présente section.
669. Si le même vase cylindrique était fermé aux deux extrémités, les parties voisines de ces extrémités seraient sollicitées avec moins de force dans le sens des sections transversales. La paroi serait de plus tendue parallèlement à l’axe. La valeur totale de cette tension serait évidemment égale à la pression exercée par le fluide sur chacune des bases du cylindre : mais on ne peut connaître exactement la manière dont cette tension est répartie sur les différentes arêtes de la surface cylindrique, à moins de considérer la paroi courbe et les deux bases comme un seul corps élastique, et d’en déterminer complètement l’état d’équilibre.
670. Lorsqu’un fluide est contenu dans un vase entièrement fermé, et où la pression est égale dans toutes les parties, la paroi, si elle est flexible, ne peut se maintenir en équilibre, à moins que sa figure ne soit celle d’une sphère. Dans ce cas, conformément aux n” 648 et 659, nommant p- la pression intérieure sur une aire égale à l'unité de surface, et r le rayon de la sphère, la paroi est tendue dans tous les sens avec la force j pr; en sorte que, si h est l’épaisseur de celte paroi, on devra, pour s'assurer que cette épaisseur est suffisante, vérifier l’équation
Kh — '-pr.
Il en serait de même si la paroi, formée d'une substance solide homogène, avait naturellement la figure sphérique. En effet la pression du fluide ne tendant pointa changer cette figure, la paroi ne peut céder qu’en se dilatant, et elle doit être également tendue dans tous les sens.
G71. Lorsque la figure du vase n'est point sphérique, la paroi doit nécessairement être formée d'une substance solide. La pression du fluide tend à en changer la figure, en même temps qu'elle lui fait subir une extension. La recherche de l’état d’équilibre de cette paroi, en général très-compliquée, comporte des considérations qui ne peuvent être exposées ici. Mais en laissant de coté cette recherche, on peut se proposer, dans les applications, de régler l’épaisseur de la paroi de manière que l'on soit assuré qu'elle résistera à l'action du fluide. Pour y parvenir, conformément aux principes énoncés ci-dessus n°‘ 653 et suivants, on concevra que l'on a tracé sur la surface du vase une ligne de plus courte distance dans une direction quelconque, et une bande infiniment étroite d’une largeur uniforme dirigée suivant cette ligne. Regardant ensuite cette bande comme une verge élastique soumise en chaque point à des forces normales dont l’intensité dépendra de la pression du fluide, on pourra déterminer l’état de flexion et de tension de la bande dont il s’agit, d’après les principes de l'article VI cité ci-dessus, et en régler convenablement la force. Or il est évident que si une bande quelconque, ainsi séparée de la surface, présente une résistance suffisante, la paroi formée de la réunion de toutes les bandes présentera une résistance plus que suffisante, puisque leur adhésion mutuelle ne peut que s'opposer à ce qu'elles ne cèdent à l'action du fluide.
672. Par exemple, si la figure du vase est une surface de révolution, sur laquelle les méridiens sont des lignes de plus courte distance, on pourra considérer un de ces méridiens, la bande infiniment étroite dont il serait l’axe, et régler l’épaisseur de la paroi de manière que cette bande, supposée isolée, résiste à l'action du fluide. La paroi aura alors une résistance plus que suflisanlc. Si la surface de révolution était une sphère, la force de la paroi, ainsi déterminée, serait précisément double de ce qui serait nécessaire, ainsi qu’on le voit par les n°’ 648 et 659.
EXPERIENCES SCR LA RtSISTAXCE DES VASES CONTENANT LS ÉLUDE QU EXERCE l'NE PRESSION
