RÉCAPITULATION SUCCINCTE DES NOTIONS PRINCIPALES DE LA DYNAMIQUE

1. L’objet de la dynamique est la connaissance des mouvements que prend un corps ou un système de corps , en vertu des forces à l'action desquelles il est soumis.

L’idée que l’on doit se former d’une force agissant sur un corps . est celle d’une cause dont l’effet s'exerce sur quelques-unes ou sur la totalité des parties du corps, et par suite de laquelle ces parties ont une tendance à acquérir, dans une certaine direction , une vitesse donnée dans un temps donné. Celte action peut s’exercer pendant un temps très-court (comme dans le cas d'un choc). Elle peut être permanente (comme l'action de la pesanteur). Elle peut être constante ou variable avec le temps.

2. Quand le corps sur lequel agit une force permanente est retenu immobile par un obstacle, il se produit contre cet obstacle une pression, qui est l’équivalent d’un poids : c.e poids, rapporté à une unité convenue, est la mesure de la force.

Quand le corps cède librement à l’action de la force, il prend un mouvement, et sa vitesse croit dans chaque unité de temps d’une certaine quantité. Le produit de cette quantité par la masse du corps est la mesure de la force. Nommons

ni la masse d’un corps (nombre proportionnel à son poids);

g la vitesse que le corps acquiert dans l’unité de temps , en vertu de l’action d’une force à laquelle il cède librement (exprimée en unité linéaire);

P la pression que le corps exercerait contre un obstacle immobile, en vertu de l’action de la même force (exprimée en unité de poids);

P’ la pression que le corps exercerait en vertu de l’action de la même force , contre un obstacle qui reculerait en acquérant la vitesse g' dans l’unité de temps.

Et nous avons les relations :

P=mg; — =g; P' = m [g — g'), tn

5. Quand l’action d’une force sur un corps, après avoir duré quelque temps, vient à cesser, le corps, s’il est libre, continue à se mouvoir suivant la direction et avec la vitesse qu’il avait à l’instant où la force a cessé d’agir. Cette propriété est ce que l’on nomme l 'inertie.

4. Considérant un corps qui se meut, on nomme quantité de mouvement de ce corps le produit de sa masse par sa vitesse.

5. On nomme force vive de ce corps le produit de sa masse par le carré de sa vitesse.

6. Considérant à la fois un corps qui se meut et une force qui agit sur lui : nommant tn la masse du corps ; g la vitesse que le corps acquerrait dans runilé de temps s’il cédait librement à l’action de la force; supposant P—mgj nommant x un espace que le corps a parcouru, estimé dans le sens de la force : on appelle quantité d’action imprimée au corps la quantité fin g. d.r , ou f P. dx, c’est-à-dire l’intégrale des produits de la pression qui serait exercée par le corps en vertu de la force , et de l’espace parcouru dans le sens de celte force,

7. Le mouvement d’un corps, considéré comme un point matériel, se détermine par le moyen d’un seul principe, qui consiste en ce que les mouvevements imprimés simultanément par diverses forces se composent suivant les mêmes lois que les pressions dans la statique.

8. A l’égard d’un système de corps liés entre eux d’une manière invariable ou non . il faut, au principe précédent, enjoindre un autre dù à d’Alembert. En vertu de la liaison des corps, aucun ne peut céder librement aux forces qui agissent sur lui ; le mouvement que chaque corps prendrait, s’il était libre , se compose en deux autres : l’un effectivement pris par le corps ; l’autre détruit par les liens qui l’unissent aux autres parties du système. Le principe consiste en ce que les quantités de mouvement détruites sont nécessaire ment telles qu’cllcsse font équilibre sur le système, conformément aux lois de la statique.

Nommons

x, g , z les coordonnées à la fin du temps t, de l’un des corps du système ;

tn la masse de ce corps ;

Ç, », ï les vitesses que les forces qui lui sont appliquées imprimeraient à l’unité de masse suivant les axes des x , y 3 z dans l’unité de temps, si cette masse leur cédait librement;

S une somme faite pour tous les corps du système.

Nous aurons pour l’expression analytique du principe de d’AIembert

( ( ,px\ ( ,pr\ ( tPs\ i

0 = S I m 5 rf ( 1 S x ■+• »i f u d I 8,r ■+■ ni ( t rf / ) S z J

1 V <11 J \ dt J \ dt ) >

ou

S j iPx-t-Sy iPy+$z iP z

S m = S »i (55.t-4-t,Sj--4- CS s).

dP

Cette expression conduit, dans chaque cas particulier, à la connaissance des mouvements du système et des efforts supportés par les liens qui attachent les corps les uns aux autres.

9. En développant les conséquences qui résultent de l'expression précédente, on parvient à la connaissance de divers autres principes ou propriétés générales du mouvement d’un système de corps.

Le premier de ces principes est celui de la conservation des forces rives : il s’exprime analytiquement comme il suit. Considérant le système à deux époques successives de son mouvement, nous nommerons x' , ÿ , z' les coordonnées du point où le corps dont la masse est m, se trouve situé à une première époque; v' la vitesse variable de ce corps à cette première époque; r la vitesse variable du corps à une époque subséquente, où ses coordonnées sont x, y, z.

P =r mi, Q —m ti, R = m t et nous aurons la relation

Smr3-S tn t'

* î ti fs1’*/''. yiz Smr-» — S«ÿ> = !S ^ J Prf.r-*- J * qdy-+ J"“v.dz^.

équations qui signifient également que la somme des forces vives acquises par tous les corps du système, entre deux époques successives de son mouvement, est égale au double de la somme des quantités d'action imprimées à ces corps entre les mêmes époques.

L’existence de ce théorème suppose les conditions de la liaison des corps indépendantes du temps. On doit en général faire entrer sous les signes S, non seulement les forces appliquées extérieurement au système, mais encore les forces provenant des actions mutuelles des corps. Ces dernières forces donneront des termes nuis dans le second membre des équations précédentes, lorsque les liens des corps seront inflexibles et inextensibles.

10. Lorsqu’à une époque du mouvement d’un système, il se produit un choc, soit entre les corps du système, soit contre des obstacles extérieurs ,

l’effet de ce choc est d’introduire, pendant sa durée, de nouvelles forces, dues à la résistance au changement de figure des corps entre lesquels le choc a lieu. Ces forces influent sur la valeur de la force vive du système, qui en général diffère, après le choc, de ce quelle aurait etc si le choc n’eût pas eu lieu. Les forces intérieures développées par les chocs étant généralement inconnues, on ne peut appliquer le principe de d'Alembert à la recherche du mouvement du système pendant la durée du choc. Cependant, si le choc est regardé comme instantané, et si on assimile les forces dont il s'agit à des pressions intérieures supportées par des liens inflexibles et inextensibles par lesquels les points du système sont unis, ce principe peut être appliqué, fl conduit alors à un théorème général, relatif au changement que subit la force vive d’un système à l'instant où un choc s’y produit.

£n nommant

m la masse d’un des corps du système;

v la vitesse avant le choc représentée par MN (Fig. 1);

v' la vitesse après le choc représentée par MN';

v" la vitesse perdue par l’effet du choc représentée par MN"; on a

rJ = r- J r" » — 2 v’ r" cos. N' M N",

S m p" . r' cos. N'MN". dt = 0.

Il en résulte

S m r'1 = S m e1 — S m r" J pour l’expression analytique du théorème.

Cette équation signifie que la somme des forces vives, après le choc, est égale à celle des forces vives avant le choc, moins celle des forces vives dues aux vitesses perdues par l’effet du choc. Le théorème dont il s’agit est dû à Carnot.

11. Le second principe est celui de la conservation du mouvement du centre de gravité. Il consiste principalement en ce que le mouvement du rentre de gravité d’un système de corps est toujours indépendant des liaisons qui existent entre eux, et en général de leurs actions mutuelles; et en ce (pie ce mouvement est le même que si toutes les forces appliquées aux corps avaient été transportées à ee centre, pour y être appliquées, chacune suivant sa direction.

12. Le troisième principe est connu sous le nom de principe des aires. Il consiste en ce que. dans le mouvement d’un système de corps liés entre eux d’une manière quelconque , soumis à l’action d’une force d’attraction dirigée vers un point fixe ou non, la somme des produits des masses des corps par les aires qu’ils décrivent autour de ces points, ces aires étant projetées sur un plan quelconque, est une quantité proportionnelle au temps, et indépendante de la nature du système et des mouvements particuliers de chaque corps.

15. Enfin le quatrième principe est celui de la moindre action. Il s’ex-

prime analytiquement par l'équation

maximum

ou

minimum

ou

maximum

S t/i f c* dt =fd t S m c* as /

ou

minimum

En nommant

m la masse d’un des corps du système ; ds l’élément de la courbe décrite par ce corps ;

v la vitesse de ce corps suivant cette courbe, considérée comme fonction de s dans la première équation, et du temps t dans la seconde ; ce qui donne

d a =ssp dt.

L’intégrale indiquée par f est prise , non pas entre deux époques quelconques du mouvement du système, mais entre deux époques où le système se trouve dans des situations déterminées par lesquelles il est obligé de passer. Ce principe, comme celui des forces vives, suppose les conditions de la liaison des corps indépendantes du temps.

TITRE II

SOLl/TIOX GÉNÉRALE, DANS l’iIYPOTHÈSE DU PARALLÉLISME DES TRANCHES, DE LA QUESTION DU MOUVEMENT D l'N FLUIDE INCOMPRESSIBLE COULANT DANS UN VASE OU UN TUYAU.

14. Un fluide peut être regardé comme un assemblage de molécules qui peuvent se déplacer les unes par rapport aux autres, sans offrir presque aucune résistance. L'application des lois de la dynamique à un tel corps offrant dans plusieurs questions utiles de trop grandes difficultés, on considère à sa place un système formé par des tranches infiniment minces, comprises entre des plans perpendiculaires à la direction du mouvement. Ces tranches sont, regardées comme des corps solides, mais on leur attribue la faculté de se resserrer ou de s’élargir (en conservant leur volume), suivant que l’exigent les variations des sections transversales du vase dans lequel ces tranches se meuvent.

15. ABCD (Fig. 2), est un vase dont l’axe est vertical et où l'étendue des sections horizontales ne varie que par degrés insensibles. Une portion de fluide abcd, placée dans ce vase, est soumise à l’action de la pesanteur. On

suppose que les tranches infiniment minces dans lesquelles le fluide est partagé ont toutes le même volume ; et qu’à la fin de chaque élément du temps, une tranche occupe dans le vase l'espace qu’occupait la tranche qui la précède au commencement de cet élément. 11 s'agit de connaître le mouvement du fluide, mouvement qui sera entièrement déterminé, si l'on connaît à chaque instant la valeur de la vitesse pour une section donnée du vase. On nommera

u l’aire d’une section horizontale quelconque ag, faite dans l’espace occupé par le fluide;

a l’aire d'une section déterminée du vase, par exemple, de la section inférieure C D ;

0, 0’ les aires variables des sections a b, cd, où se trouvent les surfaces supérieure et inférieure a b, cd du fluide ; z, la distance m (*. de la section ag à la surface supérieure a b du fluide ; r’,la distance m n comprise entre les sections extrêmes a b, c d, distance qui est variable avec la situation du fluide dans le vase ; •

ï, c’ les distances variables m N, n N des tranches extrêmes n b, c d du fluide à la section fixe CD:

u la vitesse de la tranche placée en ag au bout du temps t;