OV N' J
Si la valeur de /> donnée par cette équation était nulle ou négative, il faudrait en conclure que les tranches du fluide tendent à se séparer les unes des autres, ou du moins que le fluide tend à s’écarter des parois du vase, en sorte qu’il ne pourrait plus être considéré comme coulant dans le vase donné, et que son mouvement cesserait d’ôtre représenté par les équations précédentes. 18. Dans le cas particulier où le vase est prismatique,
« = O = O' = ü, N = — , N' = — : les équations (1) et (2) deviennent
du
P — P’ -+-003' — fz’ = 0 , et — dï = Cd<.
dt
Éliminant dt, et intégrant de manière que t = C,, quand U = 0, ou quand le mouvement commence, on trouve
Le fluide se meut comme un corps solide soumis à l’action d'une force
accélératrice constante qui lui imprimerait la vitesse g dans ru-
es'
nité de temps.
L’expression de p du n° 17 donne
la pression varie uniformément d’une extrémité à l’autre du fluide, elle serait nulle si les deux surfaces extrêmes n’étaient pas pressées.
19. Le principe de la conservation des forces vives conduit directement à l’équation (1). On a
Force vive de la tranche au bout du temps t
r.odz . K2 = fü2 L* — ;
/* z as
Force vive acquise par le fluide pendant l'élément du temps dt. . .
/S'ils r I I \ \
— — f ü U dt
2 o Si2 ü d\j
s- tis /ü2 a2 \
Vo'2 o2 /
Quantité d'action imprimée à la tranche as dans l'élément du temps dt par la gravité g = d : a.udt =g fdz.üUdlj
Quantité d’action totale imprimée au fluide par la gravité dans cet élément du temps f gz'QU dt ;
Quantité d’action imprimée dans le même élément du temps par les pressions exercées sur les tranches extrêmes «A, cd.
au dt avdt
PO PO’ = (P — P') DU dt;
Égalant, conformément au principe de la conservation des forces vives la force vive acquise pendant le temps dt, au double des quantités d’action imprimées pendant le même temps, on trouvera l’équation(l).
20. Considérons maintenant une portion de fluide abcd coulant dans un tuyau ABCD (Fig. 3) dont l’axe MN, c’est-à-dire la ligne qui passe par les centres des sections transversales, est une courbe quelconque, et dont les sections transversales , supposées très - petites , ne varient que par degrés insensibles. On assimilera le mouvement du fluide à celui d’un système de tranches infiniment minces, formées par des plans perpendiculaires à l’axe du tuyau. On nommera
a, O, O’ les aires des seclions transversales CD, aê, ab, cd ; z la différence du niveau p r des centres des sections ab, a, ?; r' la différence du niveau p q des sections extrêmes ;
C, U Les distances verticales p .N , q N des centres des sections extrêmes au centre de la section inférieure CD ;
S la longueur de la portion m h- de l’axe du tuyau :
S’ la longueur de la portion m n du même axe ; x la longueur de la portion m n N ;
t/.,U, p , P, P', s. g et t auront les mêmes significations qu’au n" 15.
On aura, comme dans le n” 15,
Masse de la tranche placée en * 6 ?
LEÇONS SÜR L’APPLICATION
Action exercée par la gravité sur cette tranche, qui est assujettie à se
ds
mouvoir suivant l’axe du tuyau, g — surfs ;
Force perdue par la tranche I ÿrfz rfs j pu:
( du ’\
Moment de cette force perdue ( gdz rfs j f u. u rf l;
et pour l’équation exprimant les conditions du mouvement,
/si du
Remplaçant comme au n° 15,
du dU d 8 d tù d $ d 8 ü U
— rfs par a U U ; puis — par u ou
d i dt tù
ta* d t
dt
on trouve, au lieu de l'équation (1),
dv /'s'ils oü»/a> a»\
P-P'-t-Pÿ(ï-C')-Pa — / — — --- • =o;
dt./ ou 2 \0'J O ’/
où l’intégrale / — a remplacé / — ■
