P = P-(P-P')- + PS «-(C-C
N’ L N'J 2 Lu’ O’ \0” O’/ N' J
/* ds /■**’
ds
25. On n’a point eu égard dans ce qui précède à l’action de la force centrifuge; cette force n’influe pas sur le mouvement du fluide, parce que, étant dirigée perpendiculairement à la ligne décrite par les tranches, elle est détruite par la résistance de la paroi. Mais elle augmente la pression supportée par les parties du fluide et de la paroi d’une quantité qui peut être évaluée approximativement comme il suit :
I»E LA MÉCANIQUE, â->” PARTIE. 313
»S (Fig. 4) étant une section transversale faite dans le tuyau; ^ le centre de cette section; n» la direction du rayon de courbure de l’axe du tuyau au point i», le centre de courbure étant placé du côté de v, soit menée la tangente e/'au contour de la section perpendiculairement à i*.<. Considérons un point quelconque i de la section , et abaissons de ce point sur c/' la perpendiculaire ik, dont nous désignerons la longueur par y. A cause de la petitesse des sections du tuyau, on regarde toutes les molécules comprises dans la
au
section a g comme se mouvant avec la vitesse u = — , et comme décrivant des
courbes identiques avec l’axe du tuyau, dont le rayon de courbure pour le point est r. L’action de la force centrifuge est dirigée dans le sens » y. : la valeur de cette action , rapportée à l’unité de volume du fluide , est pour un point quelconque de la section,
u2 Qï UJ
La molécule de fluide placée en i, supportant l'effet de cette action sur une colonne de fluide de la longueur ik ou y , la pression duc à la force centrifuge qui aura lieu dans le point i, rapportée à l’unité de surface, sera donc
Cette quantité ajoutée à l’expression (8) de p, donnera la pression totale qui a lieu dans un point quelconque du fluide ou de la paroi.
24. Si toutes les sections du tuyau sont égales entre elles, on a
u = O = O' = U, N = — , N' = — . Les équations (5) et (6) deviennent
dU
d’où en éliminant d t,
— dx = Vrll;
S' est constante et dépend du volume du fluide , et de la grandeur de la section. t— t' est variable, et s’exprimera en fonction de x d’après la figure du tuyau.
L’expression (8) de p donne ici
Si l’axe du tuyau était une ligne droite formant l’angle <p avec l’horizon,
serait constant et= sin. ?. Désignant parx,, la valeur de x quand U = o,
on aurait alors
Le mouvement du fluide est celui d’un corps cédant librement à l'action
d’une force accélératrice qui lui imprime la vitesse g sin. ? -s dans l’unité
de temps. La pression varie uniformément d'une extrémité à l'autre de la colonne du fluide
TITRE III
nu MOUVEMENT dT'.N FLUIDE QUI S’ÉCOULE HORS d’uN VASE ENTRETENU CONSTAMMENT PLEIN.
25. Supposant en premier lieu que le fluide s’écoule hors d’un vase abcd (Fig. 5), dont l’axe MN est vertical, par la section inférieure ou orifice cd; qu’à mesure que la tranche supérieure du fluide s'abaisse, elle est remplacée par une tranche égale, animée de la même vitesse ; que l’entrée de l’orifice cd étant évasée, les filets de fluide sortent du vase avec des directions parallèles à l’axe MN ; l'équation (1) du n° 15 donne toujours la loi du mouvement; mais l'on a 0 =ü, z‘ =Ç, C' = 0. Cette équation devient alors
dV /»t d s l)> / ü»\
dtj o u 2 \ 0>/
C étant constante , on n’a plus à considérer l’équation (2). La valeur de la pression, déduite de l’équation (4) du n“ 17, est
/ n \ rt u»rü> üJ / ü!\ s i
On déduit de l’équation précédente (1),
A'rfll
dt= — -,
en faisant / b
/t ds — o ta
et l’on peut distinguer trois cas :
1° La section supérieure O est plus petite que l'orifice a, et C positif:
2° O et a sont égaux , et C nul ;
3° O est plus grand que a, et C négatif.
26. Quand C est positif, on a (en supposant t = 0 quand Li = 0) :
4 f ,/c\ „ /I l/BC
< = — = arc lang. = t y — doù U = y — tarif; t;
t/BC V B J CA
la vitesse croit très-rapidement avec le temps. Elle est infinie quand
l/uc
