BC
e est la base des logarithmes hyperboliques = 2.718282. ... (3)
La section supérieure O surpassant sensiblement a , la vitesse ü croit trèsrapidement avec le temps. Après un temps très-court, la valeur de U ne diffère pas sensiblement de la limite de cette valeur, qui est
Si les pressions exercées contre les tranches extrêmes O et û sont égales ou milles, la limite de la valeur de U est simplement
-va
Ainsi , abstraction faite des premiers instants qui suivent celui où l’on a débouché l'orifice, le mouvement du fluide est uniforme. La valeur de la
rfü
vitesse est celle que donnerait l'équation de ce mouvement, en y faisant — =0.
Cette valeur est indépendante de la figure du vase : elle contient seulement
la hauteur du fluide t, et le rapport — des sections extrêmes. En multipliant
la valeur de U par l’aire ü de l’orifice , on aura le volume de fluide qui sort du vase dans l’unité de temps, ou la dépense de l’orifice.
29. En substituant dans l’expression (4) de p du n“ 17 la valeur qui vient d'être trouvée pour U, on a
/j = o j a P — (fÿj-t-P — P')
Us
Ainsi, quand le mouvement est uniforme, la pression qui a lieu dans une section transversale donnée ne dépend pas de la figure du vase, mais seulement de l’aire u de cette section, de sa distance ; à la surface supérieure du Q
fluide , et du rapport — .
30. Considérons maintenant, comme dans le n" 20, un tuyau abcd ( Fig. 6) de figure quelconque, dont la section est très-petite, et varie d’un point à l’autre par degrés insensibles. Supposons la paroi évasée à la section extrême ou orifice d’écoulement cd. Le tuyau est entièrement rempli de fluide, et la tranche, qui sort à chaque instant en cd, est remplacée en a b par une tranche du même volume , ayant la vitesse qui convient à cette section. Les conditions du mouvement du fluide sont exprimées par l’équation (5) du n" 20. En y faisant 0'= 2, S'=*, C' = 0, celte équation deviendra
</ u ils :ü>/ üJ\
--P' + pjt-pü— / ' I :
ai J nu a \ «v
où ç représente la différence de niveau n p des centres des sections extrêmes.
Cette équation donnera lieu à des résultats semblables à ceux qui ont été exposés n”’ 26 , 27 et 28. Lorsque U sera < O, l’écoulement pourra être regardé, abstraction faite des premiers instants du mouvement, comme s’opérant uniformément avec la vitesse,
v AKir)
et si les pressions sur les sections extrêmes sont milles ou égales entre elles
51. En substituant cette valeur de IJ dans l’expression (8) de p du n” 22, on aura
P=P + PJJ- (PJJH-P — P')
p u* /a’ an
z représente la différence du niveau pr. entre les centres de la section supérieure et de la section a 6, pour laquelle on calcule la pression.
52. Soit maintenant le vase A B CD (Fig. 7), entretenu constamment plein au niveau AB, d’où le fluide s’écoule par l’orifice CD, dont l’entrée est évasée. Quoique le mouvement du fluide dans l’intérieur du vase ne puisse en général être connu exactement, on ne peut douter, si la section supérieure AB est plus grande que l’orifice CD, que la vitesse à cet orifice ne devienne sensiblement constante au bout d’un temps très-court, après lequel l’état du fluide peut être regardé comme ne variant pas avec le temps. Par conséquent, abstraction faite des premiers instants du mouvement, on peutadmettre que les molécules du fluide, partant de la surface AB, se rendent à l’orifice en décrivant des courbes dont la figure est invariable. De plus, l’expérience montre que cette surface se maintient sensiblement plane et horizontale, à moins qu’elle ne soit très-peu élevée au-dessus de l’orifice CD, cas que nous excluons ici. Il suit de là que l’on peut regarder le mouvement
3ÜO
du fluide dans le vase comme ayant lieu dans une infinité de canaux m^n , dont la grosseur est infiniment petite ; dont les extrémités sont dans la surface supérieure horizontale AB. et dans le plan CD de l’orifice; et dont la première et la dernière section ont entre elles les mêmes rapports que les sections A B et CD. Par conséquent, appliquant ici les résultats précédents . la vitesse du fluide, en un point quelconque n du plan de l’orifice, sera donnée par les expressions (9) et (10) du n" 50, suivant que les pressions extérieures exercées en AB et CD seront inégales ou égales entre elles. C représentera la distance pn du point n à la surface supérieure du fluide.
55. A l'égard de la pression qui a eu lieu dans chaque point ^ de l’intérieur du vase, on ne peut la déterminer en général; parce que, pour appliquer les formules du n" 51, il faudrait outre la distance pr. désignée par z, connaître le rapport des sections du filet my-n en y. et en n. De plus il faudrait connaître la figure de tous les filets placés du côté de la concavité du filet m^n pour être à même d’apprécier l’effet de la force centrifuge, conformément au n“25. On peut remarquer toutefois que, dans une partie du vase qui aurait sensiblement la figure d'un tuyau rectiligne, où la force centrifuge pourrait être négligée , et où les molécules appartenant à une môme section perpendiculaire à l’axe du tuyau auraient dans le sens de cet axe des vitesses peu différentes entre elles, les formules du n° SI s'appliqueraient sans beaucoup d'erreur , en prenant w pour la section perpendiculaire à l'axe du tuyau à laquelle appartient le point pour lequel on calcule la pression, et pour : la distance de ce point à la surface supérieure du fluide.
54. Le volume de fluide dépensé dans l’unité de temps se calcule en multipliant l’aire de l'orifice par la valeur moyenne des vitesses qui ont lieu dans les divers points de cet orifice. Pour un orifice dont le plan est vertical , en supposant que, dans la formule (10) du n” 50, on néglige sous le radical le a»
terme — , cette vitesse movenne est exprimée par O*
Jÿf>
y , z étant les coordonnées d’un point quelconque de l’orifice rapportées à l'axe horizontal des y qui est dans le plan de la surface du fluide et à l’axe vertical des z, (Fig. 8);
z , z" les ordonnées pr»' , pm" du contour de l'orifice correspondantes à l’abscisse y ;
b la plus grande valeur AP de y.
La hauteur due à la vitesse moyenne que l’on désignera par ; esl
35. Si la figure de l’orifice est un rectangle ayant les côtés horizontaux et verticaux (Fig. 9),
a étant la distance AC du côté inférieur de l’orifice à la surface supérieure du fluide ;
r la distance AC’ du côté supérieur de l'orifice à la môme surface :
C la distance du centre de l’orifice à la même surface;
A un facteur dont l’expression est
On évitera le calcul du facteur A en faisant usage de la table suivante, qui a été donnée par M. de Prony :
