ÉVASÉE. — DE LA CONTRACTION DE LA VEINE FLUIDE
51. Considérons un fluide qui s’écoule par un orifice hors d’un vase entretenu constamment plein. D’après le n" 52 on connaîtra, quelle que soit la figure de la paroi, la vitesse des parties du fluide au passage de l’orifice; par exemple , si l'orifice est petit par rapport à la section supérieure , on sait que ces vitesses sont dues, pour chaque point de l’orifice, à la distance de ce point à la surface supérieure du fluide. Donc, si la figure de la paroi, comme on l'a supposé dans les articles précédents, est telle que les, directions des filets du fluide coupent le plan de l’orifice à angles droits, on en conclura le volume de fluide qui sortira du vase dans un temps donné. Mais dans le eas général, où la direction des filets est oblique sur le plan de l’orifice, la connaissance des vitesses des molécules ne suffit plus, puisque le produit de l'écoulement doit s'estimer par l’aire des parties du plan de l’orifice multipliées par la vitesse du fluide décomposée perpendiculairement à ce plan.
Les molécules du fluide, en contact avec la paroi, se meuvent nécessairement suivant des directions tracées sur cette paroi. Ainsi les molécules, appartenant à la surface de la veine fluide, tendent à sortir du vase suivant des directions tangentes à la paroi. Si ces directions ne sont point parallèles à l’axe de l’orifice, la veine fluide tend à s’élargir ou à se resserrer au delà de cet orifice : cet effet est ce qu'on nomme la contraction de ta veine. Ce phénomène est fort compliqué, d'autant plus que le mouvement du fluide au passage d'un orifice ne dépend pas seulement de la figure de la paroi du vase : il dépend encore des circonstances du mouvement du fluide dans la partie de la veine qui est hors du vase, puisque la dépense n'est pas la même lorsque la veine se meut librement dans l'air, ou lorsqu’on présente à celte veine un obstacle qui l’oblige à affecter une figure différente. L’étude de ces effets, et la connaissance de la dépense de fluide, qui a lieu dans divers cas, est jusqu’à présent une recherche purement expérimentale.
ORIFICE OO EST DARS l’RE PAROI PLARE.
52. C’est celui que l’on a le plus fréquemment soumis à l'expérience. Bien que l'on sache que l'hypothèse du parallélisme des tranches ne représente pas les effets qui ont lieu au passage de cet orifice, on peut rechercher à quel résultat conduirait ici cette hypothèse.
Soit (Fig. 16) le vase vertical ABCD dont le fond EF est un plan horizontal. Ce vase est entretenu constamment plein au niveau AB. et le fluide sort par l’orifice C D ouvert dans le fond. Ce cas diffère de celui traité n" 25, en ce que la tranche de fluide e E F/, parvenue sur le fond du vase, doit se contracter subitement pour s’adapter à la section CD, en se plaçant dans la position cc' dd, et par conséquent acquérir dans un temps infiniment petit une vitesse finie. Conservant les dénominations précédentes, et appelant O’
au
l'aire de la section EF, on aura pour la vitesse au passage de cette sec-
au
lion, et U pour la variation finie de vitesse que doivent subir les
tranches de fluide.
La force capable de produire cette variation dans le temps infiniment
Qu
petit dt, serait capable d’imprimer dans l’unité de temps la vitesse :
dt
et la masse de la tranche étant ? üU dt l’action de cette force sur la tranche
qui traverse l’orifice est sût1 dt. . Le moment de cette action doit
dt
LEÇONS SÜK I.’Al>l>Uf.ATIO>
être ajouté, dans ['équation formée nu 15, aux moments de toutes les autres forces qui produisent les variations de vitesse des tranches de fluide. On aura d’ailleurs ce moment en remarquant que l’on doit regarder l'action dont il s’agit comme s’exerçant sur la masse de la portion de fluide qui passe de la position eEF/’à la position cc d'd , et que le volume des tranches étant U Vdl
OU dt, onaeE= , cc' = U dt ; en sorte que l'espace parcouru parle
centre de celte portion de fluide pendant l’élément du temps dt, et suivant
la longueur de l’axe du vase, est - U dt . Donc le moment cher-
ché est
au
O' i / UVdt\
,avdt. . — f vii t
dt 2 V O' /
ou
— . oüUdf.l)1 1 ,
quantité qui doit être ajoutée, avec le signe — , cl en y supprimant le facteur üUdt, au premier membre de l’équation (1) du n°25. Cette équation deviendra alors pour le cas d’un mouvement permanent, et en supposant P-P' = o,
En employant le principe de la conservation des forces vives, on remarquera que la tranche qui franchit l’orifice, dont la masse est ?U\ldt, subissant dans sa vitesse, pendant un temps infiniment petit, une variation finie au
exprimée par ü — — , le système doit perdre dans ce temps , d’après le
théorème de Carnot, la force vive qui serait duc à cette vitesse quiest exprimée par
/ üuy
püVdt. IV J .
En ajoutant cette force vive perdue aux forces vives acquises, dont l’expression a été trouvée n° 19, on obtiendra le même résultat que ci-dessus. On déduit de l’équation précédente
quantité plus petite que la valeur U
qui aurait lieu si l'entrée
de l'orifice était évasée.
Si l’orifice U était très-petit par rapport aux sections O et O', la première valeur se réduirait à V'a ï, et la seconde aV'-o^. L’effet du défaut d’évasement de l’orifice serait donc de diminuer la dépense du fluide dans le rapl>ort de j/i à I. Ce rapport est compris dans les valeurs qui sont indiquées par les expériences; et c’est celui qui avait été adopté par Newton, d’après une expérience dont le résultat ne doit pas toutefois être appliqué b tous les cas.
53. On peut aussi chercher b apprécier l’effet de la contraction de la veine de la manière suivante. L’orifice étant supposé horizontal , soit (Fipf. 17} MN la projection verticale, et n la projection horizontale de l’axe de cet orifice. Supposons que l’on fasse passer par cet axe un nombre infini de plans verticaux : CD représentera en projection verticale l’intersection du plan de l’orifice par l’un de ces plans, cl c n d , dnd représenteront en projection horizontale la portion du plan de l’orifice, qui sera comprise entre deux de ces plans très-voisins l’un de l’autre. Admettons que l’on ait partagé l’aire cdndd en un nombre infini de parties pq, dont les aires soient égales entre elles, et qui seront regardées comme les intersections d’autant de filets de fluide par le plan de l’orifice. Supposons enfin que les directions respectives de ces filets soient telles que, si l’on menait du point N b chacune de ces directions des parallèles, la demi-circonférence verticale, dont le point H est le centre, se trouverait partagée par ces parallèles en parties égales. Appelant V la vitesse commune des filets aux points où ils coupent le plan de l’orifice; ? l’angle formé par la direction OP de l’un de ces filets avec l’axe MN ; on aura V cos. ? pour la vitesse du filet estimée perpendiculairement au plan de l’orifice. La dépense de fluide sera égale à l’aire de l’orifice multipliée par la valeur moyenne de V cos. v, qui est
— J </f • V cos. ÿ = — V .
Donc la dépense sera moindre que celle qui aurait lieu si l’entrée de l’orifice étaitévasée, dans le rapport de * à 2 ou de 1 b 0,6366. Ce résultat est indépendant de la figure du contour de l’orifice. L’expérience montre effectivement que la diminution de dépense, provenant de la contraction, demeure sensiblement la même pour des orifices de diverses figures, à moins que le contour ne présente des angles rentrants. D’ailleurs, le résultat que l’on vient d’ob-
tenir tient le milieu entre ceux qui se sont présentés le plus fréquemment. On doit présumer que les hypothèses précédentes s'écartent peu de la vérité.
54. On désignera ici, pour abréger, par m, le rapport de la dépense effective à ce qu'on nomme la dépense naturelle, c'est-à-dire à celle qui aurait lieu si l’entrée de l’orifice était évasée; en sorte que le résultat du n” 52
donnerait m = — = 0.707 ; et le résultat du n° 55 donnerait
D'après les expériences nombreuses qui ont été faites sur les orifices ouverts dans une paroi plane, on doit distinguer :
1° Ceux dont le diamètre moyen surpasse O1", 015 environ ;
2° Ceux dont le diamètre est au-dessous de cette quantité.
Dans le premier cas, la valeur du rapport tn peut être supposée = 0,61. lorsque la charge sur le centre de l'orifice est au moins 100 fois le diamètre de cet orifice. La charge diminuant, m augmente, et devient , = 0,62, quand la charge est 10 fois le diamètre environ; puis= 0,66, quand la charge sur le sommet de l’orifice n'est plus qu’une petite partie du diamètre.
Dans le deuxième cas, la valeur de m augmente à mesure que le diamètre de l’orifice diminue, jusqu'à devenir égale à 0,7 au moins, lorsque ce diamètre est d'un millimètre.
Ces résultats conviennent également aux orifices circulaires, carrés et rectangulaires- Ils laissent peu d’erreur à craindre dans les applications.
55. Onaugmenle ladépense d’un orifice ouvertdans une paroi plane (Fig. 18; en plaçant en dedans du vase une fausse paroi qui empêche que la contraction ne s’établisse sur toute l’étendue du contour de l’orifice.
Dans une expérience de Venluri, sur un orifice en demi-cercle, la contraction n’ayant pas lieu le long du diamètre, on a trouvé ni = 0.808 au lieu de ni — 0.62.
D’après des expériences de M. Bidone sur un orifice carré, on a. lorsque la contraction s’opère,
sur les quatre côtés m = 0,62
sur trois côtés 0,64
sur deux côtés 0,66
sur un côté seulement . . 0,69.
ORIFICE FOMÉ FAR CS ÎCVAC FÉSÉTRAST 0AS8 L’iRTtRlECR DC VASE.
56. On suppose que la veine de fluide (Fig. 19). sort sans toucher aux parois du tuyau, circonstance qu’il est toujours aisé de produire, surtout si l’écoulement s’opère de bas en liant. Ce cas est remarquable en ce nue la
contraction est la plus grande, et par conséquent la valeur du rapport m la plus petite qu’il soit possible. On peut déterminer cette valeur comme il suit :
Soit (Fig. 20) le vase ABFE posé sur un plan horizontal parfaitement poli, entretenu constamment plein au niveau AB, et dont le fluide s'écoule par l’orifice vertical CD formé par un tuyau pénétrant dans l'intérieur du vase, et dont l’aire est très-petite par rapport à la section supérieure AB. On suppose que la veine de fluide, après s'étre contractée à la sortie de l’orifice CD, soit contenue dans un tuyau horizontal parfaitement poli. Nommant toujours ü l’aire de l’orifice CD. ç la hauteur de la surface supérieure AB sur le centre de l’orifice, m le rapport de la dépense effective à la dépense naturelle, on remarquera que. par l’effet de l’écoulement du fluide, le vase est repoussé en sens contraire avec une force dont la grandeur estdéterminéc par la condition que la quantité de mouvement imprimée au vase, dans un temps donné, soit égale à la quantité de mouvement du fluide qui est sorti dans le même temps. La vitesse du fluide, après la contraction, est \/TgX. ; la masse de fluide qui sort dans le temps dt est p m m/Tÿ'l. dt,c t la quantité de mouvement de cette masse ? m ü. 2 gZ.dl. La force capable de produire cette quantité de mouvement est donc P m 11. 2 gi. Mais d’autre part le vase ne peut être repoussé en sens contraire du mouvement du fluide, qu’en vertu île la différence des pressions supportées par les deux faces opposées AE. BF ; et comme, à raison de la forme de l’orifice et de sa petitesse, on peut supposer ici que les parois sont pressées partout comme si le fluide était en repos, cette différence est égale à la pression supportée par GH, c’est-à-dire ? û. g ç. On a donc la relation
i m Q . 2 <j Ç = î ü. . g ï , d’OÙ *« = — .
Ce résultat est exactement confirmé par une expérience de Borda, à qui l’on doit la démonstration précédente. On en conclut que, dans tous les cas
possibles , le rapport m est compris entre - et 1 .
ORIFICE F. N P\RTIK ÉVAS t.
57. On peut, à défaut de données fournies directement par l'expérience, appliquer ici les notions exposées n” 53. Nommant (Fig. 21) ?' l’angle formé avec l’axe M N de l’orifice par les tangentes menées à la courbe A C ou B D de la paroi dans les points extrêmes C ou D, la vitesse moyenne de l’écoulement serait
1 /'•?' V «in. v’ sin. y'
— J ü y . v ros. v — — - — . d’où ni = .
50 f LEÇONS SUR L’APPLICATION
On pourrait ensuite modifier ec résultat d’après ta Grandeur absolue de l’orifice et la grandeur de la charge, comme on a vu n“ 51 que le résultat du n" 53 devait être modifié.
INFLUENCE DES OBSTACLES RENCONTRÉS l’Alt LA VEINE Sl’R LA DÉPENSE DES ORIFICES
58. Lorsqu’on présente un plan quelconque à la rencontre d’une veine fluide , la dépense de l’orifice est diminuée si le plan est fort près de l’orifice. D'après une expérience de M. Hachette sur un orifice de O1" ,02 de diamètre, ouvert dans une paroi plane , la diminution de dépense devient sensible quand la distance du plan est double du diamètre de l’orifice. La distance du
plan étant le -du diamètre, la dépense est diminuée dans le rapport de 5
à 2 environ.
EIGCRE DES VEIXES D’EAU JAILLISSANT DANS l'AIR HORS DES ORIFICES.
59. Soit en premier lieu (Fig. 22) une veine jaillissant de haut en bas d’un orifice circulaire horizontal CD, dont l’entrée est évasée. Le mouvement des tranches de fluide, au delà de l’orifice, s’accélère par l’effet de l'action de la pesanteur, et l’aire des sections diminue en conséquence. On a donc, en conservant l’hypothèse du parallélisme des tranches.
yW+ïg j
En nommant ü l'aire de l’orifice CD:
U la vitesse du fluide à cet orifice, calculée d’après les articles précédents: 0 l’aire d’une section quelconque cd de la veine ; u la vitesse du fluide dans la section cd; x la distance Nn.
Si le jet de fluide était dirigé verticalement de bas en haut, il faudrait changer le signe de x dans les formules précédentes.
Lorsque l'entrée de l’orifice C D n’est pas évasée (Fig. 23), la veine se con tracte au delà de cet orifice. A une distance N N’, qui est à peu près égale au diamètre de l'orifice quand il est fort petit, et à la moitié de ce diamètre dans le cas contraire, les filets de fluide sont sensiblement parallèles à l'axe N n. La dépense en CD étant m QU, en attribuant à m la signification indiquée n° 51, et nommant a la distance NN',. la vitesse en C'D' sera V U1-!-*»*; et
l’aire de cette section, mü — -
La vitesse dans la section cd
t/ 1)2 -4-2 gu
sera V' U’+îï/*; et l’aire de cette section , mû toujours par x la distance Nw.
|/r»-4 vgx
en désignant
DK LA MÉCANIQUE, 2-' PARTIE. r,6:i
Lorsque la veine de fluide jaillit dans une dircelion horizontale d’un orifice dont le plan est vertical, l’axe de cette veine tend à s’infléchir suivant une courbe parabolique dont le paramétre est le quadruple de la hauteur due à la vitesse U; l’amplitude de cette courbe est un peu diminuée par la résistance de l’air. On peut appliquer à ce dernier cas les notions précédentes, en remarquant que n peut être supposé nul, et que x représentera la distance verticale d'un point quelconque de l’axe de la veine à l’axe horizontal de l’orifice.
Tout ce qui précède est d’accord avec l’expérience. On a reconnu généralement, soit par la comparaison de la dépense avec la grandeur du diamètre des veines, soit par l’observation de l’amplitude des courbes paraboliques que les veines tracent dans l’air, que la vitesse de la section C' D' était égale à la vitesse qui serait donnée par les formules des articles précédents si l’on regardait cette section comme un orifice dont l’entrée est évasée.
CO. Les notions précédentes conviennent également aux cas où la veine de fluide jaillit d’un orifice dont la figure n’est pas circulaire. Mais on observe dans ce cas un phénomène remarquable, connu sous le nom d'inversion de la figure de la veine, et qui consiste en général en ce que la figure de la section transversale de la veine, à mesure qu’on s’éloigne de l’orifice, se modifie de manière que les lignes diamétrales les plus longues dans l’orifice deviennent les plus courtes; en sorte que la veine présente des côtes saillantes dans les directions correspondantes aux milieux des côtes de l’orifice, et réciproquement.
D'après une expérience de Venturi sur un orifice rectangulaire A (Fig. 21), arrondi aux extrémités, ayant 18 lignes de longueur et moins de 6 lignes de hauteur, la section de la veine, au delà de l’orifice est d’abord représentée par B: à 4 pouces et demi de distance, par C; puis par D.
D’après plusieurs expériences par diverses personnes, un orifice carré de 0“,30 de côté, étant représenté en M (Fig. 25), la section de la veine, à 0m,105 de la paroi intérieure du vase est N; à 0'",417 elle est P; à 0”,5 elle est Q; à 0™, 582 elle est R. Les ailes ou côtes horizontales et verticales se dilatent de plus en plus. Une veine sortant d’un orifice triangulaire» (Fig. 26) finit par prendre la figure b; les côtes ou ailes se dilatent de plus en plus en s'éloignant de l’orifice.
(il . Lorsque par l’effet d’une fausse paroi ( voyez n“ 55), ou parce que l'orifice est contigu à l'une des faces du vase la contraction ne s’opère pas sur toute l'étendue du contour de l’orifice, la dircelion de l'axe de la veine n’est plus perpendiculaire au plan de l'orifice. La veine se dilate davantage du côté où il n'y a pas de contraction.
TITRE VI
!>f. l'écoulement par i n déversoir.
62. Un déversoir est un orifice rectangulaire dont le côté supérieur est plus élevé que le niveau de la surface du fluide dans le vase. Cette surface s’infléchit alors au-devant de l’orifice, et ce cas diffère des précédents, en ce que la hauteur de la veine n’est pas déterminée à l’avance. On supposera que le déversoir (Fig. 27), par lequel le fluide s’écoule hors d’un vase entretenu constamment plein au niveau AB, est évasé par le fond et les côtés, et de plus, que l’aire de cet orifice est fort petite par rapport à la section supérieure du vase. Si l’on connaissait la hauteur CD de la veine, on pourrait évaluer la dépense d’après les n“ 54 et suivants. Pour déterminer cette hauteur, on supposera que le mouvement du fluide est assujetti à la condition que la somme des forces vives qui ont été acquises par les molécules , lorsqu'elles sont parvenues à la section CD , soit la plus grande possible. A cause de l’évasement de l’orifice on peut admettre que tous les filets de fluide coupent la section C D suivant des directions perpendiculaires à cette section. La somme des forces vives des parties du fluide qui franchissent la section C D sera alors proportionnelle à la fonction
En nommant
h la largeur horizontale du déversoir;
C la hauteur BC de la surface AB du fluide sur le fond du déversoir;
C’ la hauteur BD de la môme surface A B sur le côté supérieur de la section CD.
En égalant à zéro la différentielle de cette fonction prise par rapport à C’, on a
5 0'* — o c c" -+- i c* — o, d’où c' = 0,2753. C;
en sorte que la hauteur CD de la veine est les 0.7247 de la hauteur B C de la surface du fluide sur le fond du déversoir.
63. La hauteur due à la vitesse moyenne du fluide au passage du déversoir est
H le volume de fluide dépensé dans l'unité de temps.
— 1/2 g 1 — (0,2753!* *C* =8,5201. bC".
le mètre étant l’unité linéaire, et la seconde sexagésimale l'unité de temps.
64. On n’a pas d’expériences sur des réservoirs dans le cas ou la paroi est évasée. D’après une suite d’expériences faites sur des orifices de ce genre ouverts dans une paroi plane, le docteur Robison a trouvé que la hauteur B D
f Fig. 28) était presque les - = 0,2857 de la hauteur BC; ce qui s’accorde
sensiblement avec le résultat précédent. Dans ce dernier cas, la contraction sur le fond et sur les côtés de l’orifice diminue la dépense. D’après diverses expériences deSmeaton, de Dubual et de M. Bidone, on voit que la diminution est d’autant plus grande, que la largeur du déversoir est plus petite par rapport à la hauteur B C. Nommant toujours m le rapport de la dépense effective à la dépense qui aurait lieu si l’orifice était évasé, et qui serait donnée par le résultat du numéro précédent, on peut prendre m = 0,65, si la largeur du déversoir ne surpasse pas la hauteur BC. La valeur de m augmentera ensuite quand cette largeur sera plus grande, jusqu’à devenir w =0,75 lorsque la largeur sera égale à cinq fois environ la hauteur BC, et m = 0.8 lorsque la largeur sera égale à dix fois environ la même hauteur.
D’après des expériences récentes de M. Poncelet sur un orifice en mince paroi, la hauteur de la veine n’est pas dans un rapport constant avec la charge sur le fond de l'orifice. La largeur de l’orifice étant 0m,2 et la charge suite fond variant de 0"',029 à 0“,151 , le rapport de la hauteur de la veine à cette charge a varié de 0,78 à 0,9. Ces expériences s’accordent d’ailleurs à peu près avec les règles que l’on indique ici pour le calcul de la dépense.
65. Si le vase se vide par le déversoir, la surface supérieure A B du fluide dans le vase s’abaisse, C varie, on a la relation
1 /"C otfc
2,5201 .AC* .rf<= — Ot/C; d'OÙ < =
pour l'expression du temps que ta surface du fluide emploie à s'abaisser de toute la hauteur première C.
66. Lorsque le vase est cylindrique ou prismatique , O est constante, et l'on a
b . 2,520 lj
ainsi le fluide ne peut descendre dans le vase jusques au niveau du fond du déversoir qu’après un temps infini.
TITRE VII
DU MOUVEMENT IV ILS FLUIDE DANS IIS VASE , LORSQUE LA SECTION CHANGE d’us I’OINT A CS AUTRE D’UNE QUANTITÉ FINIE.
67. Considérons (Fig. 29), le vase A BCD, dont l’axe M N est vertical, qui est entretenu constamment plein au niveau A B, et dont le fluide s’écoule par l’orifice CD, après avoir traversé l'orifice intérieur GH ouvert dans le diaphragme EF. Supposons la paroi évasée aux sections GH et CD.
Nommons
il Faire de la section C D ;
u Faire d'une section quelconque i«out* faite dans le vase au-dessus ou au-dessous du diaphragme;
O Faire de la section supérieure AB;
il' Faire de la section G H ;
O' Faire de la section 1K que les tranches du fluide occupent immédiatement après la section GH;
: la distance Mp ou M» de la section » à la surface supérieure du fluide;
£ la distance M N de la section C D à la même surface ;
U la vitesse du fluide dans la section CD;
p la pression dans la section ».
( Si, comme le représente la figure 50, la figure de la paroi n’est pas évasée aux orifices CD, G1I, les résultats suivants conviendraient à ce cas en regardant la vitesse U comme ayant lieu dans la section cd, ç comme étant la hauteur M n du fluide sur cette section, appliquant aux sections cd et g h tout ce qui est dit pour les sections C D et G H de la première figure, et écrivant m ü et w'Q' au lieu deü et ü', les coefficients m, m' ayant la signification indiquée au n° 54.)
On remarquera ici, comme dans le n" 52, que les parties du fluide qui passent immédiatement de la section G H à la section I K, perdent subitement QU QU
la vitesse , perle qui serait le résultat d’une force capable d’impri-
t /QU QU\
mer la vitesse — ( j dans Fuuité de temps.
ilt \SX' o ' /
La masse des tranches étant filVdf; et remarquant qu’en passant de la section G H à la section 1K, les parties du fluide parcourent dans le sens de l’axe MN un espace égala la différence des demi-épaisseurs des tranches qui
occupent successivement ces deux sections , on aura, pour le moment de la tranche supposée animée de la force dont il s’agit,
îüi dt. — dt
au\ /i atiii i au<//\ u*
. — Uroütlrft.—
O'/ \2 il’ 2 0'/' 2
Ajoutant ce moment, avec le signe —, au second membre de l’équation (1) du n" 25, supprimant le facteur ali dt, supposant P — P’ =o, et faisant r/IT = o, cette équation deviendra
iL’-o-.
En employant le principe de la conservation des forces vives, on remarque que l’état du fluide étant supposé permanent, la force vive acquise par le système dans l’élément du temps dt n’est autre chose que l’excès de la force vive de la tranche qui sort en C Dsur la force vive de la tranche qui entre eu
AB; excès dont la valeur est p aU dt. IP ^1 J. De plus la tranche qui
passe de la section GH h la section IK perdant instantanément la vitesse
au au
— — — , il en résulte dans le système , conformément au théorème de Car-
not, une perte de force vive exprimée par pQUrff.U2/ . D’un
Va- o •)
autre côté, on trouvera, comme dans le n’ 19, qu’en faisant P — P' = o, la quantité d’action imprimée au système pendant l’élément du temps dt, est PÿC.a U dt. Égalant le double de cette quantité d’action à la somme des forces vives acquises et perdues, on retrouvera l’équation précédente. Comme il ne peut rester de doute sur l’accord de ces deux méthodes, on se contentera par la suite d’employer le principe de la conservation des forces vives. Cette équation donne
L’effet de la présence des diaphragmes E F est de rendre plus petite la vitesse d’écoulement; et en diminuant l’orifice intérieur il', on peut rendre cette vitesse aussi petite qu’on le voudra.
68. La valeur de la pression, pour une section quelconque a s placée au- . dessus de I K., est donnée par la formule trouvée n" 29,
pu» r n» u*\
A l'égard des sections 7 S placées au-dessous de I K. en introduisant dans l’équation d'équilibre du n" 17 le terme relatif à la force nécessaire pour opérer le changement brusque de la vitesse que subit le fluide en passant de la ser- G H à la section I K , on trouvera
piurfij ü> /q ay-i
2 LuJ 0J 07 J
En considérant d'ailleurs l’équilibre de la portion de fluide comprise entre les sections fX et CD, on trouverait également pour la pression qui a lieu dans la section 1 S
'pu»/ a»
Ces deux expressions deviennent identiques quand on y met pour U la valeur trouvée 11° 67. L’effet de la présence du diaphragme est de diminuer la pression dans la partie inférieure du vase.
69. Les résultats précédents conviennent également à un tuyau de figure quelconque , dont les sections transversales sont très-petites. On peut les appliquer h un vase de figure quelconque, quelle que soit la situation de l’orifice d'écoulement, avec les restrictions indiquées n” 53.
70. L'orifice d’écoulement CD étant supposé fort petit par rapport aux sections A B et I K . les formules précédentes se réduisent à
(entre les sections A B et GII )
n Pl”
P = P — PSf (C — s H — (1 I
entre les sections I K et CD.
71. S'il y avait dans le vase plusieurs diaphragmes, le passage du fluide des sections GH, NO, TU, .... (Fig. 51) dans les sections plus grandes IK, PQ, VX, donnant lieu à autant de pertes de force vive qui de-
vraient être évaluées comme on l’a fait n” 67 . on trouverait pour l'expression de la vitesse d’écoulement
DK L/V MÉCANIQUE, a™* PARTIE.
SI’. C". 11"' (‘tant les aires des sections G H, N 0, T ü : 0'. 0", 0"' les aires des sections IK. PO, VX, la valeur de la pression deviendrait
?Lî*/ü> ü>\
entre les sections AB et GH.
p— P + pjra entre les sections I K et NO.
p u1 r ü1 u1 /a oy-i
2 Lu* O’ \ü’ 07 J
p r si! a* / ü a y /a a y-i
entre les sections PQ et TU, etc
72. L’orifice d’écoulement a étantsupposétrès-petitpar rapportaux sections 0. 0'. 0", O'" les formules précédentes se réduisent respectivement à
1 H 1 H b etc.
p=P-t-pi/5— —,
entre Ips sections A B et G H,
plia /a»
entre les sections I k et N 0.
P = P + pJ3 —
entre les sections PQ et TU,
etc,
75. Si le vase n'est pas entretenu constamment plein , et se vide par l’orifice C D, les conditions du mouvement pourront être déduites de l'équation (1) du n“ 42, en ajoutant au premier membre autant de termes , tels que
, qu’il; aura de diaphragmes entre la surface supérieuredu
fluide et l’orifice. Il faut remarquer d’ailleurs que, si l’orifice d’écoulement a est supposé très-petit , il peut ici ne pas être permis de négliger dans cette i/V
équation le terme affecté de - -, comme on l’a fait aussi n” 47, parce que l’exi- Ut
stcnce des orifices intérieurs Si', il" peut rendre très-grande l'intégrale
/s il Z
— . L'expression de li du n° 72, ne pourrait être regardée comme don-
liant à chaque instant la vitesse d’écoulement , qu'aulant que U serait aussi très-petit par rapport à fl\ ü"
74. Les résultats précédents s’accordent sensiblement avec les effets naturels. On en déduit l'explication de divers phénomènes remarquables, entre autres d’un fait observé par Mariolte, et qui consiste en ce que, le vase ABFF, ;Fig. 32) se vidant par l’orifice CD, le jet de fluide qui jaillit de cet orifice s'élève à une petite hauteur telle que T, tant que la surface ab du fluide dans le vase est au-dessus du diaphragme IK: tandis que ce jet s'élève subitement en U, presque au niveau de ce diaphragme, aussitôt que la surface du fluide est descendue au-dessous de l'orifice intérieur GH. En effet, dans
le premier cas, le jet tend à s’élever à la hauteur , ü, et ü' étant
les aires des sections CD et GH , supposées très-petites par rapport aux autres sections du vase; et, dans le second cas, le jet tend à s’élever à la hauteur c, en désignant toujours par 7 la hauteur de la surface du fluide sur le plan de l'orifice.
écoulèrent par es ajutage cylindrique (ng. 33)
75. En conservant ici les dénominations du n° 67, il faut supposer ü'=0'=ü; et comme la paroi n’est pas évasée avant la section G H , on doit écrire m ü’ au lieu de ü'. Il ne peut y avoir de contraction au delà de C D.
La formule du n” 67 devient
En nommant
ü l’aire de la section CD du tuyau ;
O l’aire de la section supérieure AB ;
? la hauteur M N ;
m le coefficient de la contraction déterminé d’après le n" 54, à moins que le tuyau GHCD ne pénètre dans l’intérieur du vase, auquel cas on ferait t
m = -, d’après le n" 56.
Les formules du n" 68 donnent
entre les sections A B et g h, (dans l'intervalle G H I K on doit mettre pour <o les sections de la veine G H hg ),
entre les sections IK et CD.
La pression diminue de CD en IK; et elle est dans cet intervalle moindre ipie la pression extérieure P.
76. Si la section du tuyau est très-petite par rapport à la section supérieure du vase, on a
f IP u»
P=V + i!JZ ,
entre les sections AB et g h;
p — P — ps(C — s)
entre les sections 1 K. et CD.
Ces dernières formules peuvent être employées, quelle que soit la figure du vase.
77. Si l’ajutage cylindrique est horizontal (Fig. 34), les résultats précédents pourront également être appliqués , ç représentant la hauteur N P de la surface supérieure du fluide sur l’axe du tuyau , à moins que la surface supérieure AB du fluide ne soit très-peu élevée au-dessus de HD, auquel cas il faudrait calculer une vitesse moyenne d’après les valeurs de X. qui conviennent aux divers points de la section du tuyau , comme on a fait n°* 34 et suivants. D’après cela on voit qu’en adaptant à un petit orifice un ajutage cylindrique horizontal , on augmente la dépense dans le rapport de m à
— , et on diminue la vitesse du fluide dans le rapport de 1 à
■ — . Le fluide sort en plus grande quantité, mais l’amplitude
v/’-GH’
de la courbe décrite par la veine est moindre. Dans la portion I K.DC du tuyau, la pression intérieure est égale à la pression extérieure P.
78. Quand on adapte un ajutage cylindrique à un orifice ouvert dans une paroi plane, l’écoulement n’est nullement modifié tant que la longueur du tuyau ne surpasse pas son diamètre . parce que la veine du fluide , par l’effet
. de la contraction, jaillit sans toucher à la paroi du tuyau. Si la longueur du
LEÇONS SUK 1/ APPLICATION
tuyau surpasse une fois et demie son diamètre, on peut ordinairement, par la manière dont on débouche l'orifice, faire couler le fluide à plein tuyau , et l’on observe alors l'augmentation de dépense indiquée par les résultats précédents. Il y a cependant des cas où il n’est pas possible de produire ce mode d’écoulement; en effet, la première expression de p du n"76 donne pour la pression dans la section g h, en faisant #=mil,s = t, et mettant pour U sa valeur,
expression qui deviendra négative si Ç est suffisamment grand, ce qui indique que la veine doit se détacher de la paroi, et que le fluide ne peut couler à plein tuyau. Cette expression est toujours négative quand P =o; et l’on observe effectivement que l'augmentation de dépense, causée par un ajutage cylindrique, n’a pas lieu dans le vide de la machine pneumatique. Ces effets peuvent, d’ailleurs, être un peu modifiés par l’adhérence du fluide aux parois qu'il mouille.
L’augmentation de dépense due à un ajutage cylindrique est la plus grande possible quanti la longueur du tuyau est égale à deux fois et demie son diamètre environ. Au delà de cette longueur, la dépense est diminuée par l’effet du frottement du fluide sur la paroi. On nommera> le rapport de la dépense qui a lieu par un ajutage cylindrique à la dépense qui aurait lieu si la vitesse du fluide était due à la charge. Il résulte des nombreuses expériences qui ont été faites sur ce mode d’écoulement, que, dans les mêmes cas où l'on prendrait pour un orifice ouvert dans une paroi plane m = 0,61 ou >«=0,62 (voyez ci-dessus n° 54 ),on peut prendre pour un ajutage cylindrique h- = 0.81 ou p.=0,82; ce qui revient à regarder la vitesse avec laquelle le fluide jaillit par cet ajutage comme étant les 0,81 ou les 0,82 de la vitesse due à la charge.
D’après la théorie précédente on a entre les coefficients m et n la relation
En faisant m =0.62, cette formule donne n.=0, 85, tandis que l’expérience donne n = 0,82. La petite différence de ces deux nombres peut être attribuée en partie au frottement du fluide sur la paroi du tuyau.
79. Les conditions de l’écoulement d’un fluide par des ajutages coniques
DK LA MÉCANIQUE, 2»* PARTIE. 7,î\i
convergents ou divergents peuvent également être déduites des formules des n“* 67 et 68. Mais on ne parvient à des résultats aussi précis que dans le cas précédent. Il existe plusieurs observations sur les circonstances de l'écoulement, et particuliérement sur les valeurs qu'affecte la pression dans les ajutages, qui s'accordent généralement avec la théorie.
Venturi, et divers autres physiciens, ont fait un objet de recherches de la figure de l’ajutage, qui, étant adapté à un orifice en mince paroi, augmenterait dans la plus grande proportion possible la dépense de cet orifice. On a formé en général cet ajutage par une portion de tuyau cylindrique prolongé par un cône divergent. L'effet d’une semblable disposition est de composer un autre vase dans lequel l’orifice d’écoulement est plus grand que l’orifice donné. On peut ainsi augmenter la dépense jusqu'à une certaine limite, qui a lieu lorsque la veine de fluide cesse de remplir la section extrême de l’ajutage, limite qui répond dans les formules au cas où la pression p devient négative.
TITRE VIII
DU MOUVEMENT D W FLUIDE DANS US VASE ES PA11TIE PLONGÉ DANS US AUTRE VASE REMPLI DU MÊME FLUIDE.
80. Soit le vase ABC!) (Fig. 35), dont l'axe est vertical, et qui est entretenu constamment plein au niveau AB. Le fluide s'écoule par l'orifice CD. dont l'entrée est évasée dans le vase inférieur EFG H. Ce dernier vase, par l'effet de cet écoulement, est entretenu constamment plein au niveau EF. On suppose que les sections des deux vases ne varient que par degrés insensibles. 11 s’agit de connaître la vitesse qui a lieu en CI), et la pression dans l’intérieur des deux vases. On nommera il l'aire de la section C 1) ;
O l’aire de la section AB ;
!!■ l’aire de la section I K du vase inférieur ;
O' l’aire de la section EF, du même vase, déduction faite de l’espace occupé par le vase ABCD;
», »' les aires d’une section horizontale quelconque *6 faite dans le vase ABCD, et »? faite dans le vase EFGll, déduction faite de l’espace occupé par le vase A BC 1) :
z' les distances des sections a 6 et A B, et des sections • ? et EF ; ï, V les distances M N et O N de la section CD à la surface supérieure du fluide dans les deux vases ;
U la vitesse du fluide à la section CD; p la pression dans la section aS ou dans la section «9;
P la pression atmosphérique qui s’exerce extérieurement sur les surfaces AB, EF;
p, <j, t auront les mêmes significations qu’au n“ 15.
(Si l’entrée de l'orifice CD n 'était pas évasée, il faudrait écrire ni a au lieu de a, et regarder la hauteur £ et la vitesse U comme appartenant à la section dans laquelle la veine s’est contractée. )
Le mouvement du fluide est supposé devenu permanent. Les tranches descendent dans le vase ABC 1), passent immédiatement de la section CD à la section 1K, et s’élèvent dans le second vase de I K en EF. On verra, comme dans le n" 67, que la force vive acquise par le système dans un élément de /ü3 a3\>
temps dt est pûUrffU1 ( ), et que la force vive perdue par l’effet
V O'» ov
du changement brusque de vitesse des tranches qui passent de C D en l K
est oüUtff. li5 1 1 J. D’autre part, la somme des quantités d’action
exercées par la gravité sur les tranches de fluide contenues dans le vase ABCD est tgl. SI Udl; et sur les tranches contenues dans le vase EFGH, — pf/î .a liât. Les quantités d’action dues aux pressions exercées en AB et EF se détruisent mutuellement. L’équation du mouvement du fluide est
d’où
8I.Quantàla pression, on trouvera ici delà même manière que dans le n°68
;i= I1 4-pj3
pour une section du vase supérieur comprise entre A B etCD.
pour la section 1 K du vase inférieur. Ces deux valeurs deviennent identiques quand on y remplace U par l'expression précédente. La seconde donne la pression pour les sections du vase inférieur placées au-dessous de IR, en y mettant z' au lieu de t’;
ou» , üj üj /
“VI a 'J \
