C» / SI
pour les sections du vase inférieur comprises entre I K. et la surface supérieure EF.
82. L’orifice de communication CD étant supposé très-petit par rapport aux sections AB. EF, I K, on a
la vitesse à cet orifice est due à la différence des pressions dans les deux vases ;
pour une section du vase supérieur comprise entre AB et CD;
p — P pgZ
p — P fgZ',
pour la section 1 R du vase inférieur. La seconde donne la pression pour les sections du vase inférieur placées au-dessous de IK,' en y mettant z' au lieu de C. La pression y est la même que si l’orifice CD était fermé, et le fluide stagnant;
plj» /ü» A
p = p -+- p ÿ tt - r s’) 1 — -+- 1 J,
pu*a»
pour les sections du second vase placées entre I K et E F.
83. Les résultats précédents peuvent être appliqués, quelles que soient les figures des vases et la position de l’orifice, lorsque ce dernier est très-petit. Les résultats relatifs à la pression sont sujets néanmoins aux restrictions qui ont été indiquées n" 33. L’exactitude de l’expression précédente de la vitesse U avait été vérifiée par une expérience de Newton, et l’a été depuis par beaucoup d'autres.
Dans le cas où le fluide (Fig. 36) s’écoulerait d'un vase supérieur dans un
l.ECONS SUR L’APPLICATION
vase inférieur par un orifice latéral CD, et où le niveau EF de la surface supérieure du fluide dans le second vase se trouverait comprise entre le point le plus élevé et le point le plus bas du contour de l’orifice, on pourrait regarder l'orifice CD comme composé de deux parties dont on calculerait séparément la dépense.
1“ Dans la partie CF on considérerait la vitesse comme étant due à la différence des niveaux AB, EF ;
2" La partie FD serait considérée comme un orifice dont le fluide sort en jaillissant dans l'air.
Les mêmes principes peuvent être appliqués à la considération du mouvement varié du fluide dans deux vases qui communiquent entre eux par un orifice, et dont l’un se vide taudis que l'autre s’emplit. On a vérifié que plusieurs résultats de la théorie s’accordaient avec l’expérience.
TITRE IX
MOUVEMENT l)U N FLUIDE INCOMPRESSIBLE QUI S’ÉCOULE DIS V A SE DANS VN AUTRE.
84. On considérera seulement (Fig. 37) le cas de deux vases qui communiquent eulre eux par un orifice très-petit par rapport aux sections transversales. On supposera que l’orifice de communication a, et l'orifice d’écoulement a', sont dans un même plan horizontal. Il s’agit, d'après les positions des surfaces a b, ef du fluide dans chaque vase, à un instant donné, de connaître ces positions à tout autre instant. Nommons O, O' les aires variables des sections supérieures nb, e/’dans chaque vase : ü, a' les aires des orifices de communication et d'écoulement (s’il y avait contraction au passage de ces orifices, on écrirait m a, ni' a' au lieu de a et ü', ni et m' ayant la signification indiquée au n" 54.); ï, Ç' les hauteurs du fluide dans chaque vase sur les centres de ces orifices nu bout du temps t ;
Z, Z' les mêmes hauteurs à l’instant où l’on commence à compter le temps t; Q dt le volume de fluide reçu par le vase supérieur dans le temps dl, volume qui peut être constant ou variable avec t.
On aura V 2 g (C — C') pour la vitesse à l’orifice a, et y/ 2 g •' pour la vitesse à l’orifice a'; par conséquent
o<K = Qdt—adt y/ïÿtc^cô ,
O' dZ' = üitt |/2j/ (C — î'j - a' rf<|/3 tj r. équations qui renferment la solution de la question.
Supposant que Q ne varie point avec t. on en déduira, en éliminant dt.
o tir. o • dv
o-ai/ïïTTc-S') ai/ajts-ï'i-û'i/aÿC'
Mettant pour O et O' leurs valeurs en Ç et C, on obtiendra une relation entre ces deux quantités; puis, au moyen des équations précédentes, tes relations cherchées entre t et t, C et t. Mais cette équation n’est pas intégrable sous forme finie, et elle ne l’est même pas quand O et O' sont constantes.
85. Si le vase supérieur ne reçoit point de fluide, Q= o, et l’équation se réduit à
o'ùC
Si O et O' sont constantes, et qu’on fasse C = C x, puis x — 1 = u*, elle devient
so(ttu — û' ) u du <tc
où les variables sont séparées, et qui peut s’intégrer sous forme finie.
86. Si le vase supérieur ne reçoit point de fluide, et si le vase inférieur n’en perd point, l’équation du n” 84 devient
Otfï-t-O'dC = 0,
d’où, si O et O' sont constantes,
et
oz - o' (C — Z')
otz-o + o'Z'
On a la relation
il d 1 1/§ ÿ (Ç - C) = O' d c, d’où
O’ dt? O' |/Ô d X.'
Ql /sjT(C— ’?') üi Æg i/ôz -v-o'Z' — (o + o' j~c
et en intégrant
t = fl/O' (Z-Z')-l/0Z + 0'Z'-|0 + O') cl
pour le temps que la surface du fluide dans le second vase emploie à monter de la hauteur Z' à la hauteur C.
On a également la relation
a, u i/2 g (n - cl = - o i/c ,
LEÇONS SLR L'APPLICATION
d’où
Ü z-n a 1/23 |/(o + o')i;-oz-o7' ’
cl en intégrant
2 0 j/cF
a (o + o'ji/ïj L J
pour le temps que la surface du fluide dans le premier vase emploie à descendre de la hauteur Z à la hauteur C.
On aura le temps que le fluide emploie à se mettre de niveau dans les deux vases en posant C = C', d’où
Mettant ces valeurs dans les expressions de t, il vient pour la durée totale du mouvement
87. Si le vase supérieur est entretenu constamment plein pendant que le fluide s’écoule hors du vase inférieur, ï = Z, et le mouvement est exprimé par la seule équation
d’où
0'rfÇ' = ürf<l/23(Z — Ç") — ü'dt V/SjÇ'i 0' d C'
l’intégration donnera la valeur de t en C'.
Le fluide, après un certain temps, prendra une hauteur constante dans le deuxième vase ; on en trouvera l'expression en posant c/L = o , d’où
aj+a'2
La vitesse de l’orifice a' sera alors constante et égale à
88, Si. le premier vase étant entretenu constamment plein, le second ne
