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DK LA MÉCANIQUE, 2™ PARTIE, perd point de fluide, l’équation du n° précédent se réduit à
~Va g ti y/z^Y'
d'où, si O' est constante ,
t = — [\/7. -Z- l/Z - Cl
pour le temps que la surface du fluide emploie à s’élever dans le second vas# de la hauteur Z' à la hauteur C'. Le fluide sera de niveau dans les deux vases au bout du temps
* a V 2<jf
Ainsi , d’après ce qu’on a vu n” 4!), le vase inférieur emploie pour s’emplir par l’orifice ü le même temps qu’il emploierait à se vider par cet orifice.
Lorsque, dans les applications, les sections 0, 0' ne seront pas constantes, il sera facile de calculer par approximation les valeurs des intégrales dont dépendent les durées des écoulements, en employant les formules rapportées dans la première partie de cet ouvrage , n” 352. Mais il faudra avoir soin de partager ces intégrales en plusieurs parties, lorsque les sections changeront brusquement de grandeur ; et de n’appliquer les formules qu’à une portion d’intégrale dans laquelle 0 et 0’ ne varient que par degrés insensibles. On aura égard, pour estimer le produit des orifices, à ce qui a été dit n” 83, en partageant, s’il est nécessaire, la durée de l’écoulement en plusieurs parties auxquelles on appliquera un mode de calcul différent.
89. Lorsqu’il y a plusieurs vases communiquant entre eux par de petits orifices, la connaissance du mouvement du fluide s'obtient au moyen des mêmes principes. On considérera seulement (Fig. 38) le cas où le vase supérieur étant entretenu constamment plein au niveau ab, l’état du système est devenu permanent , en sorte que le fluide se maintient dans les autres vases à des niveaux constants ef, ik, déterminés par la condition que la dépense qui a lieu par tous les orifices soit la même. Supposant seulement trois vases, et nommant
ü, ü’ ü" les aires des orifices C , G , L ;
Z la hauteur de la surface a b sur le centre du dernier orifice L:
r la distance des surfaces a b et ef ;
y la distance des surfaces ef ei ik ;
z la hauteur de la surface ik sur le centre de l'orifice L;
Q le volume de fluide dépensé dans l’unité de temps par cet orifice;
on aura
Q — Q l/3 g x, Q = U' l/ü g y, O = Ü" {Zi g s, r ■+-.»• -y s = Z. ; d’où l’on déduit
ü! ü'ÎH-ll! ü''2-4-ü'2ü"3 ÛÎQ"»
■’ ' 02 ü'3., 02ü''l t.ü'ia"5' ,
' ~ ' Ü2ü'2-t-ü2ü"’+ü'ja''î'
o--aü'
ûjü'j-+-üja"2-
On parvient à des résultats analogues, dans le cas où il y a un plus grand nombre de vases.
TITRE X
EFFORT SUPPORTÉ PAR UN VASE DANS LEQUEL COULE UN FLUIDE INCOMPRESSIBLE.
90. Soit en premier lieu, comme dans le n° 15, un vase ABCD (Fig. 39) dont l’axe est vertical , et dans lequel se meut une masse de fluide, soumise à l’action de la pesanteur, et comprise entre les plans horizontaux a b, cd, supposant le fluide et le vase même entourés par l’atmosphère, conservant les dénominations du n” 15, appelant
II le poids du fluide contenu dans le vase;
F la force avec laquelle le vase est sollicité verticalement de haut en bas par l’eflet de l’action de la gravité sur le fluide, et du mouvement du fluide.
On remarquera que l’action exercée sur la paroi par chaque tranche n’est autre chose que la force perdue par cette tranche; d’où
iiu\ f'z' du
poif5 = II-t / •— ail S.
dt J J O dt
F.n opérant comme on l’a fait n° 15. on a
(MJ il i
ils
tf »\
tt* r* — =r ü 5' <*)
(Ml
ii i
cl par conséquent
I)E LA MÉCANIQUE, â™ PARTIE.
<ni r 1 i \
F = Il — p U s' ,
ill V<>' o J
formule où l’on doit mettre pour ü sa valeur déterminée de la manière indiquée dans le n° 16.
9 1 . Si le vase est supposé entretenu constamment plein, comme dans le n* 25, l’orifice d’écoulement CD étant évasé, on a
f = il - ?at pü’r» / - ,
dt \ü O J
et lorsque le mouvement du fluide est devenu uniforme ,
F = 11 -pii» U’ =II-2p?IU .
Si l’orifice d’écoulement ü était très-petit, cette valeur deviendrait, à fort peu près,
F = n-2pÿCC,
c’est-à-dire le poids du fluide contenu dans le vase , moins le double de celui de la colonne dont l’orifice est la base.
Si le vase se vidait, comme on l’a supposé n” 42 et suivants, on mettrait pour O, Ç et II dans la première formule du n° précédent les valeurs qui auraient lieu simultanément à un instant donné, conformément à la théorie exposée dans le titre IV.
Si l’orifice d’écoulement n’était pas évasé, on écrirait dans les formules m Si au lieu de a ( voyez n” 54 } , et l’on regarderait ; et U eomme appartenant à la section dans laquelle la veine s’est contractée.
92. En second lieu considérons, comme dans le n° 20, une portion de fluide abdo (Fig. 40) coulant dans un tuyau dont les sections transversales sont très-petites, et dont l’axe est une courbe quelconque, que nous supposons rapportée à deux coordonnées horizontales x et y, et à la coordonnée verticale z. En conservant les dénominations du n" 20 , on nommera
». 6, -y les angles formés par la tangente de l’axe du tuyau menée au point n avec les axes des x, des y et des r;
A, B. C: A', B', C' les angles formés par la tangente de l’axe du tuyau menée au point wi et au point n avec les mêmes axes; x', y, z' les distances des points ni et n mesurées parallèlement aux axes des x, des y et des z;
I, n, t les distances des points m et N mesurées suivant les mêmes directions: r le rayon de courbure de l’axe du tuyau an point u. ; n le poids du fluide contenu dans le tuyau.
L’effort exercé sur le t uyau par la tranche du fluide placée en =S est produit :
1" Par la force perdue par cette tranche, dont l’expression est . . . f du\
g cos.f J. ? ad s, et qui est dirigée dans le sens de l’axe du tuyau;
^ dt J
2° Par la composante g sin. t • p «rf* de l’action de la gravité sur la même tranche, qui est dirigée perpendiculairement à cet axe, dans le même plan vertical que la précédente;
3" Par la force centrifuge — . purfs dont la tranche est animée (royez n"2ô), r
qui est dirigée dans le sens du rayon de courbure, qui forme avec les axes des angles dont les cosinus sont respectivement
d . cos. a, d . cos. 6, d . cos. 7.
Cela posé, pour connaître l’effort exercé contre le tuyau dans une direction parallèle aux x, on décomposera suivant cette direction les forces agissant sur la tranche de fluide dont il s’agit, et comme pour les composantes dans le sens des a: des deux forces g cos. -p p «rfs, y sin. 7 pue/# (qui elles-mêmes proviennent du poids de la tranche), la somme est nulle, puisqu’elle doit donner en définitive la projection du poids de la franche sur cet axe des x qui est horizontal, on obtiendra
— cos. a . puf/j — u2d . cos. a. p w.
du Q JU QU dv ds
Puis remarquant, comme au n° 20, que — = — ; et rem-
dt tù dt ta2 ds dt
d s QU
plaçant toujours — par w, ou — , cette expression devient
dt tù
d V d tu p Ü3 V2
— f Q d s . cos. a -f- p Q* UJ en», a d . cos. a,
d t ta2 tù
ou bien
rfü
— e U d s . cos. a — d .
dl
En intégrant donc entre les limites indiquées, il viendra pour l’effort horizontal cherché
(l D /cos. A’ cos. A\
-p 11/ Pau’»j (D
dt V O’ O j
On trouverait delà même manière pour l’effort exercé dans une direction
horizontale parallèle aux y
dl' ( cos. B’ cos. n \
-fùy fû*c>( , (2)
dt \ O’ O /
c t dans une direction verticale parallcle aux s
</U /cos.C’ cos. C\
n - o ü s' »aua (3)
iU \ O’ o /
en considérant alors que les forces élémentaires provenant du poids donnent d’abord pour somme de leurs composantes verticales, le poids de la tranche, et ensuite pour intégrale le poids du fluide, ou n.
93. S’il s’agit d’un tuyau entretenu constamment plein , les formules précédentes conviendront à ce cas en faisant O’ = a, et mettant 5, * et C à la place de x', y1, z\ On aura donc alors pour les efforts exercés respectivement dans le sens des x, des y et des z
d U ( cos. A' cos. A \
pû5__paîlJ» ( -J w
d U ( roa. B'
— sfil — p tJ1
d U / co». C' en». C \
n-cac o üj uj (B)
dt \ ü O )
Lorsque, dans un tuyau entretenu constamment plein, le mouvement du fluide sera devenu uniforme, on emploiera les formules précédentes, en y
rfu
supprimant les termes qui contiennent — .
dt
Si le tuyau se vide, on emploiera encore les mêmes formules, en y mettant pour O, t, d, U et II les valeurs qui ont lieu simultanément à un instant donné.
94. Pour un vase de figure quelconque , l’effort supporté dans une direction donnée étant la somme des efforts exercés suivant cette direction par tous les filets du fluide contenus dans le vase, les formules du n° précédent peuvent être appliquées lorsque le mouvement du fluide est supposé uniforme. La valeur de U sera déterminée conformément aux n" 32 et suivants.
Par conséquent, un fluide s'écoulant d’un vase entretenu constamment plein , par un orifice dont le plan est vertical , qui n’est pas très-près de la surface supérieure du fluide, et dont l’entrée est évasée, on a, par les formules (6) et (5), effort exercé verticalement, de haut en bas
o ü3 U* OU
ItH , ou ÏI -1 ■ 2 3 (7 • ü ï : (7)
O O1 — CJ
effort exercé horizontalement , en sens contraire du mouvement du fluide.
■> U UJ , OU 2 o g ü c (8)
os - aj
Si l’orifice d’écoulement Q est très-petit, le dernier effort, nommé ordi-
nairement force de réaction, est 2 o g Q c. Ce résultat s'accorde avec ce qui a été trouvé d’une autre manière n° 5f>.
95. Si l'on considère maintenant, comme dans le n“ G7 , le cas d’un vase dont l'axe est vertical (Fig. il ), et qui présente un changement brusque dans la grandeur de ses sections, conservant les dénominations de ce n”, on remarquera qu'ici l'effort exercé sur le vase de haut en bas, est augmenté de la force nécessaire pour opérer le changement brusque de vitesse des tranches qui passent immédiatement de la section G H à la section 1 K. Cette force
î /au aux /a a x
étant exprimée par püUrff. — [ — ), ou pUlI1 ( — ), cette
quantité doit être ajoutée aux expressions de F des n”* 89 et 90. Par conséquent, le vase étant entretenu constamment plein, et le mouvement du fluide uniforme, on a
formule dans laquelle on doit mettre pour U la valeur trouvée n" 67. Par l'effet du passage du fluide de la section G II dans la section plus grande 1 K, l’effort exercé sur le vase de haut en bas est augmenté. Cet exemple montre comment il faudrait opérer s’il y avait plusieurs diaphragmes, ou dans d’autres cas analogues.
96. Si l'on considérait un vase dont le fluide s’écoule par un ajutage cylindrique horizontal , il faudrait retrancher de l'expression (8) de la force de réaction qui a lieu dans le cas de l'écoulement par un orifice dont l’entrée
est évasée, la valeur püU1 ( 1 j de la force perdue par la tranche qui
entre dans l'ajutage. Cette force de réaction se réduira donc à
ou, en mettant à la place de U la valeur trouvée n" 75,
et l'orifice ü est très-petit par rapport à la section supérieure O,
2Pffat: .
Les résultats de cet article sont confirmés par diverses expériences dues à Daniel Bernouilly et à M. Brunacci.
TITRE XI
DE l’ÉQIIILIDHB ET DU MOUVEMENT DÏ'N FLUIDE CONTENU DANS UN VASE
