ÉQUILIBRE DE LA VIS

57. Considérons une vis verticale, tournant dans un écrou fixe, au moyen de laquelle le poids Q est élevé par la puissance horizontale P (Fig. 30.) Admettons d’abord que le filet de la vis soit quarré, et nommons a l’angle que l’hélice moyenne du filet forme avec un plan horizontal; r le rayon de la surface cylindrique sur laquelle est tracée cette hélice moyenne ;

y le rayon de la circonférence décrite par la puissance P ;

/' le rapport du frottement à la pression.

On obtiendra une équation d'équilibre approchée et suffisamment exacte dans les applications, en supposant le poids Q dont la vis est chargée, concentré dans un seul point placé sur l’hélice moyenne du filet : et en supposant également que la force P exerce sur ce môme point une action horizontale exprif r'

niée par P — . En remarquant que les forces P — et Q, étant décomposées

suivant la tangente à l’hélice, donnent les composantes P — cos. aCtQsin. a ;

et que les mêmes forces, décomposées perpendiculairement à la surface du

filet donnent les composantes P — sin. a cl Q cos. a ; on aura pour condition

de l’équilibre,

I’ — cos. a — Q sin. a-t-fl P — sin. a Q cos. a r V r

DE LA MÉCANIQUE, 3““ l’AUTlE. iVô

d’où

r lang. a ■*- f

r" 1— f tang. tz

Cette équation suppose la puissance P distribuée symétriquement autour de l’axe de la vis. S’il en était autrement, cet axe tendrait à être déplacé par cette puissance, et il en résulterait contre la surface cylindrique de l’écrou un frottement dont on tiendrait compte d’après les règles établies 11° 35.

58. Admettons maintenant que le filet de la vis soit triangulaire, et nommons 6 l’angle formé avec l’horizon par la génératrice de la surface hélicoïde sur laquelle porte le poids Q (Fig. 31). En conservant les dénominations pré-

cédentes, on aura également P — cos. «et Q sin. a pour les composantes des

forces P — et Q dans le sens de la tangente à l’hélice décrite par ce poids. 11

reste à trouver les pressions que ces forces exercent perpendiculairement à la surface hélicoïde. Pour cela, considérons le point M de cette surface, auquel on suppose appliquées les forces dont il s'agit, et faisons passer par ce point trois axes rectangulaires, savoir : l’axe vertical M z, suivant lequel est dirigée la force Q; l’axe horizontal Mÿ, tangent à la surface cylindrique sur laquelle est tracée l'hélice moyenne, et suivant lequel est dirigée la force r'

P — ; et l’axe également horizontal M r, perpendiculaire à la même surface, r

et qui coupera l’axe de la vis au point A. La tangente à l’hélice M T sera comprise dans le plan des yz, et la génératrice MR de la surface hélicoïde sera comprise dans le plan des xz. Or la normale menée à la surface hélicoïde au point M, devra être perpendiculaire aux deux lignes MT et MR : d’où l’on conclut qu'en désignant par a, b, c les angles de cette normale avec les axes des x, y, z, on aura pour déterminer ces angles les trois équations

tang. 6

0 — cos. a , cos. 6 -t- cos. c . sin. 6 , d'où cos. a = — — - . .. 1

|/ 1 -t- tang. 2 a -t- tang. 2 6

tang. a

0 = cos. b . cos. a •+- cos. c . sin. a cos. b = <

l/l + tang. 2 a ■+■ tang. 2 6

1 = cos.2 a -t-cos. 2 6 + cos. 2c cos. r — .

- \/ 1 -+- tang. 2 a -f- lang. 2 6

Les pressions normales dues aux forces P — et Q étant respectivement

LEÇONS SUR L’APPLICATION r '

P — cos. b el Q cos. c, l’équation de l’équilibre est donc

P — lang. a Q r ' r

P — cos. a = 0 *<n. a -f- f — -

r |/l -4-tang. 2a-i-lang.,6

d’où

r1 tin. a|/l ■+■ tang. 2 a ■+- tang. 1 6 f

r cos. a |/ 1-Mang » s+ long. *6 — /’Uing. a

On doit appliquer ici la remarque qui a été faite à la fin du n" précédent 1 il-

[i] En décomposant les forces et 0 suivant la tangente à l’hélice et la perpendiculaire

à cette tangente, la somme des premières composantes est

P — cos. a — 0 sin . « , r

et la somme des secondes est

P — sin. a Q cos. a. = P', -

Cette force P' est dans le même plan que le rayon r et la normale à la surface hélicoide, parce que ces trois lignes sont perpendiculaires à l’hélice au point M. De plus, P' est située dans le plan tangent ou cylindre du rayon r, et par conséquent perpendiculaire â ce rayon. Elle fait donc avec la normale un angle complément de a.

Ainsi, en décomposant la force P' en deux autres, l’une suivant la normale à la surface hélicoide, et l’autre suivant le rayon r, la première composante, à laquelle le froltement est proportionnel, sera

P — sin. a + 0 cos. a P' r

sin. a sin. a

Et la seconde composante, qui est détruite par la rigidité du corps de la vis. sera

tang. a

L’équation d’équilibre est

P — cos. a — O sin. a — fti — o, r

on a

/1-t- tang. * a I