ST
Pour avoir égard aux pertes d’eau qui ont lieu autour des aubes, il faudra supposer une dépense d’eau un peu plus grande que la valeur de E introduite dans ces formules.
Les augets doivent avoir une figure particulière, qui les rende propres à admettre l’eau facilement, et à la conserver longtemps. ( Voijez les notes du tome I" de M Architecture hydraulique de Bélidor, page 415.) Quand la roue se meut dans un coursier, les aubes doivent le remplir exactement, être un peu inclinées en avant, sur le rayon, saillir au delà des jantes de la roue (afin que ces dernières ne plongent point dans l’eau), ou au delà d’un tambour. On diminue l’effet des pertes d’eau , en laissant prendre à la roue une plus grande vitesse.
ROL’ES VERTICALES DANS LESQUELLE* L’aCTIOV DE l’lAO s'exerce SASS CHOC. ( PIG. 40.)
120. Ces roues ont été proposées et mises en usage par M. Poncelet. Elles sont formées par des aubes courbes entre lesquelles l’eau pénètre sans choc, en jaillissant d’un orifice placé au bas de la chute. L’eau s’élève le long de l’aube, perd en s’élevant sa vitesse, retombe, et quitte la roue en se mouvant en sens contraire du mouvement de l’aube. En conservant les dénominations
ii*2 LEÇONS SUR L’APPLICATION
précédentes, la vitesse de l’eau en entrant dans la roue, est y/ 2 g H; et sa vitesse relative, quand elle est emportée par la roue, est simplement l/2</H — V. Elle s’élève le long de l’aube à une hauteur due à cette vitesse, puis retombe , et acquiert, en retombant, une vitesse relative égale, et en sens contraire. L’eau en quittant la roue, est donc animée de la vitesse
absolue | /hgli — 2 V.
La somme des quantités d’action imprimées dans l'unité de temps étant toujours nuj\l — PV, et la force acquise par le système rn (V/Ïgïl — 2V)1, l’équation du mouvement de la roue est
2»iÿ.u — 2 p v= «» (|/âjTi — 2v>>, d’où pv=a».v(v— v/iTu).
121. On rendra cette quantité la plus grande possible en faisant
v =-; \ZTgTi ; d’où p v = »i g n .
La plus grande quantité d'action possible est obtenue, quand la vilessedes aubes est la moitié de celle de la veine d'eau ; et cette quantité d’action est théoriquement égale à celle qui est représentée par la chute.
122. La hauteur de la courbe des aubes doit être la hauteur due à la vitesse V, c'est-à-dire le quart de la hauteur de la chute, lorsque V est réglé de manière à obtenir le maximum d'effet.
L’inclinaison du premier élément des aubes doit être parallèle à >tp(Fig.47). en supposant que vin représente la vitesse de l’eau, et mp, la vitesse de cet élément à l’instant où l’eau entre dans l’aube-
D’après les expériences de M. Poncelet, la quantité d'action réellement obtenue est les \ ou les { de celle qui est représentée par la chute ; et la vitesse qui donne le maximum est la moitié de celle de l’eau ; comme l’indique la théorie précédente.
ROUES HORIZONTALES DESTINEES A TRANSMETTRE L'ACTION D INE CHUTE D'EAU D’UNE CAPACITE DONNEE.
125 .Houes horizontales mues par le choc de l’eau, (Fig. 48). Considérons une roue horizontale dont la circonférence est garnie de palettes inclinées, faites en forme de cuillers, qui reçoivent le choc d'une veine d'eau jaillissant hors d'un tuyau ou d’une buse. Supposons le mouvement de la roue uniforme, et nommons
H la hauteur AC de la chute;
V la vitesse horizontale circulaire du point C de la palette rencontrée par l’axe de la veine d'eau ;
a l'angle DCM, ou l’inclinaison de la palette sur l’horizon;
v l’angle de l’axe de la veine d’eau avec la normale à la surface de la palette en C ;
P l'effort exercé tangentiellementà la circonférence passant parle pointe, par suite de l'action du courant;
ni, E, n, f), ayant les mêmes significations que ci-dessus; nous aurons:
Vitesse de la palette estimée perpendiculairement à sa surface V sin.
Vitesse perdue par l’eau par l’effet du choc
. co«. x — V sin. a.
Vitesse conservée par l'eau, après le choc, et quand elle cesse d'agir sur la roue
V' i .7 « . sin.2 j- -f- V2 sin.2 a.
d’où:
force vive acquise par le système dans l’unité de temps m (2 3 H . sin.J x — V1 fin.1 a), force vive perdue par l’effet du choc
ni . co*. x — V sin. «)J.
La quantité d’action imprimée dans l'unité de temps est ni g. H — PV. Égalant la somme des forces vives acquises et perdues au double des quantités d’action imprimées, il vient
P V = m (l/a g H . coj. x — V jin. a) V sin. a pour l’équation du mouvement de la roue.
124. La roue doit être disposée de manière à rendre cette expression de PV un maximum. On voit d’abord que l’on doit avoir s = o, c'est-à-dire que la veine d’eau doit choquer perpendiculairement les palettes ; d’où
P V = m (\/ S j il - Vsin. a) V sin. a.
On devra faire ensuite
VÎqK v = ,
3 sin. a
d’où
PV = if»?H, ou P V = { Il E . H.
Le mouvement de la roue doit être réglé de manière que la vitesse ait la valeur ci-dessus. La quantité d’action transmise est alors théoriquement la moitié de celle qui est due à la chute de l'eau. On voit que, la vitesse de l'eau demeurant la même, on peut faire varier la vitesse de la roue sans cesser d’obtenir le maximum d’effet, en variant l’inclinaison des palettes.
125. On n’a pas, sur les roues de cette espèce, d’expériences spéciales qui fassent connaître avec certitude la quantité d'action qu’elles transmettent. On peut présumer qu’elle est à peu près la même que pour les roues verticales considérées n" 115, et qu'il y aurait aussi de l'avantage à donner à la roue une vitesse un peu moindre que celle que la théorie indique.
j3i LEÇONS SUll L'APPLICATION
126. Houes horizontales mues par le choc et par la pression de tcau ( Fig. 49). On considère une roue dont la circonférence est garnie de palettes courbes. La veine d'eau B C, qui arrive suivant une direction inclinée, choque perpendiculairement le haut de ces palettes, coule entre elles, et sort de la roue à leur extrémité inférieure D. La veine d’eau est supposée, pendant son mouvement dans la roue, demeurer toujours à la même distance de l’axe. Nommons
H la hauteur totale de la chute ;
h la portion AC de la chute parcourue par l'eau avant qu’elle n’entre dans la roue ;
V la vitesse circulaire horizontale de la roue à l'endroit où l'eau rencontre les palettes courbes ;
a l’angle A CB formé par la direction de la veine d'eau avec la verticale; P l’effort exercé, par suite de l’action du courant, tangcnticllcmcnl à la circonférence passant par le point où l’eau rencontre les palettes ; m, E, II, g, auront les mêmes significations que ci-dessus.
La vitesse que perd l’eau, par l'effet du choc à son entrée dans la roue, est.
comme ci-dessus, l/2 g h — V sin. 8.
Après ce choc, l’eau n’a plus aucune vitesse relative dans la roue : mais, en y parcourant la hauteur H — h, elle acquiert la vitesse relative y/2 g (H — h) . Cette dernière se décompose en une vitesse verticale = cos. y y/2 g (H — h). et une vitesse horizontale = sin. ¥ — h). Quand l’eau quitte la roue,
la vitesse verticale n’est point altérée ; mais la vitesse horizontale effective de l'eau se trouve plus petite que sa vitesse horizontale relative, de la quantité V. La vitesse effective de l’eau est donc alors
\/ cos.Jy 3 ÿ (H — h) (sin. y t/2 J (H — /i') — V)’.
D’où l’on conclut : force vive acquise par le système dans l’unité de temps.
m | eo».1 f . 3 g ( H — li ) -+- («in. y V' 2 9 ( H — A ) — V )J | j force vive perdue par l’effet du choc,
m (|/ 3 g h — V sin. flp.
La somme des quantités d’actions imprimées est m g H — P V.
L’équation du mouvement de la roue est donc
P V = ; m { 3 V sin. fl y/3 g h — V*(l -t-sin.1 8) -4- 2sin. ? . V y/2 g (H — A ! ,
quantité qu'il faudra rendre la plus grande possible, en réglant les valeurs de ?, a, h et V .
127. On voit en premier lieu que l’on doit prendre sin. ?= 1; c'est-à-dire
que l’eau, en quittant la roue, doit avoir une direction horizontale. L'expression précédente devient alors,
P V = m [ «in. 6 1/2jT-v- V/2ÿ(H-A) -;V(1 + sin.1 0 )] V.
La valeur de e qui rendra cette expression la plus grande possible, est donnée par la relation
Vsin. 9 = y/îgh, d’où
sin. 9 = .
On en conclut qu’il nedoit pas y avoir de choc à l'entrée de l’eau dans la roue. L’expression de PV devient
PV = »[jA + V t/2ÿ(H — h) — ! V*], et sera la plus grande possible si l'on a
V=rj/2ff(H-A),
c'est-à-dire si l’eau sort de la roue avec une vitesse nulle. La valeur correspondante de P V est
ou la quantité d’action représentée par la chute de l’eau. Ainsi la roue dont il s’agit est susceptible de donner le maximum d’effet. Mais cela suppose qu’il n’y ait pas de choc quand l’eau entre dans la roue.
128. Roues horizontales mues par la pression de l'eau. En conservant toutes les dénominations du numéro précédent, on supposera les aubes tellement formées, que la veine d’eau entrant dans la roue ne les choque point, mais s'introduise entre elles tangentiellemcnl à leur courbure. On admettra toujours que cette veine d’eau demeure à la même distance de l’axe de la roue. Comme ici, il n’y a point de choc, il s’agit seulement de chercher l’expression de la force vive possédée par l’eau à l'instant où elle quitte la roue.
La vitesse de l’eau, quand elle entre dans la roue, est \/ ‘igh , équivalente à la vitesse verticale cos.o Vig h, et à la vitesse horizontale sin. 9 V 2 g h. L’eau commence donc à couler le long de l'aube avec la vitesse relative
cos.1 9 . 2 g h -4- ( sin. 9 j/2 y li — V )*.
L’eau descendant dans la roue de la quantité H — h , sa vitesse relative,
quand elle arrive à l'extrémité de l’aube, est due à la hauteur
— [ cos.1 9 . 2 y h -4- ( sin. 9 j/nj h — V)1] -+- Il — A ,
c’est-à-dire [que cette vitesse est . . . . \ ïg H — 2 V sin. 9 1/2 g h s- V1. Elle équivaut à la vitesse verticale cos. v \/ 2 g H — 2V sin. 9 V'ig h V*, et à la vitesse horizontale .... sin. ? 2 <7 H — 2 V sin. 9 1/2 <7 h -e- V*.
Quand l’eau quitte la roue, sa vitesse horizontale effective est plus petite que la vitesse relative de la quantité V , et par conséquent la vitesse effective de l’eau est alors
V co«.»<p (2 17 H — 2 Vsin.ei/2sA-*-V>>+-( sin. <p V i g H — 2 Vsin. 6 (/2ÿÂ + V1 — v)*‘
La force vive possédée par l’eau est égale à m multipliée par le quarré de cette vitesse.
La somme des quantités d'action imprimées étant toujours m g .H - P V,
on a donc pour l'équation du mouvement de la roue
P V = m (sin. 0 j/2 g  — V -+- sin. 2ÿH — 2V sin.0 l/2ÿA-t-VJ) V.
129. Il faut déterminer?, 0, V et h de manière à rendre cette expression de PV un maximum. On voit d’abord, comme dans le cas précédent, qu’on doit supposer
sin. ? = I.
ou que l’eau sorte de la roue suivant une direction horizontale. On aura alors
P V = m (sin. ef/T g7t — V -+- 2 g II — 2 V sin. 0 \Zïgh -4- V») Vj
et en faisant varier V, on trouve pour la valeur correspondante au maximum :
sin. 8 1/2 <7 h
Cette valeur de V est celle qui rend nulle la vitesse effective de l’eau au sortir de la roue.
Des trois quantités V, 0, h, il y en a deux arbitraires. La troisième étant réglée conformément au résultat précédent, la plus grande quantité d’action possible se trouvera transmise à la roue. La valeur théorique de ce maximum est la quantité d’action représentée par la chute de l’eau.
150. Les roues où l’eau ne choque point les aubes peuvent donc, d'après la théorie, transmettre une quantité d’action double de celle que pourraient transmettre les roues où l’aube est choquée. Il y a lieu de présumer que l’avantage estau moins aussi considérable dans la pratique. On n’a point encore publié d’expériences suffisamment exactes sur les roues de ce genre. Pour que l’eau entre dans la roue sans choquer Ifs aubes , elles doivent être tracées comme il suit (Fig. 50). B C représentant la vitesse effective \/ ig/i de l’eau quand elle entre dans la roue en C, les composantes horizontales et verticales de cette vitesse sont AB, AC. Portant la vitesse V en BF, C F représentera la vitesse relative avec laquelle l’eau commencera à couler le long de l'aube. Cette ligne indique la direction qui doit être donnée à la courbe de l’aube en C. La figure de la courbe entre le point C et le point inférieur D, où sa
direction doit être horizontale, est indifférente. On pourrait même se dispenser de mettre des aubes dans la roue; il suffirait qu’il y eût au fond des orifices dont l’eau sortit suivant une direction horizontale , et en sens contraire du mouvement de rotation.
131. En considérant toujours la roue dans l’hypothèse du n° 128, c’est-àdire en supposant que l’eau ne choque point les aubes, on examinera ce qui aurait lieu si l’eau, en descendant dans la roue, s’approchait ou s’éloignait de l’axe de rotation. Conservant toutes les dénominations précédentes, on nommera de plus
v la vitesse angulaire;
r la distance à l’axe d’un point quelconque de la roue; r" la distance à l’axe du point où l’eau entre dans la roue ; r” la distance à l’axe du point où l’eau sort de la roue ; on verra comme ci-dessus que la vitesse relative avec laquelle l'eau commence à couler le long de l'aube étant
y cm.1 6 . 2 g h-¥{ sin. A — «j r')i<
la force vive que l’eau possède à cet instant (en ne considérant que son mouvement relatif dans la roue), est
m [cou.1 6.2 g A -«-(«in. 6 1/2 g h — v r”)1].
Pendant que l’eau est contenue dans la roue, la force vive doit augmenter d'une quantité égale au double des quantités d'action qui lui sont imprimées par la gravité et par la force centrifuge. La quantité d'action imprimée par la gravité est «t <7 (H— A). Celle qui est imprimée par la force centrifuge est fmv1rdr=imc1(r"i—r'2).
Par conséquent la force vive de l’eau doit devenir
m [cos.2 6.2^A-«-(*in.6t/2j A — or)1] -+- 2 m g (H — A) -4- m r2 (r"* — r1*).
OU
m (2 g H — 2 r r* «in. 0 j/2 g A -+- r2 r" 2).
La vitesse effective, à l’instant où l'eau quitte la roue , est donc , en supposant sa direction horizontale ,
\/ 2ÿH — 2 r r'sin.O y/ig h-t-v2!"1— vr".
La force vive que l'eau possède alors est égale à m multipliée par le quarré de cette vitesse. Égalant cette force vive à 2 ni g. II — 2 P. vr', on a
P . r ? — m j^r r* sin. 8 j/2 j A — r1 r"1 -t- v r" g H — 2r r'sin. $l/2ÿA-t-e2r**J'
132. Cette valeur de la quantité d’action transmise à la roue sera la plus grande possible et égale à la quantité d’action ni g. H fournie par la chute de
l'eau . si la vitesse effective de l’eau au sortir de la roue est nulle, ou si l'on a
V ïÿtl — 2 r r'«in. 6 r"1 — c i"=o, d’OÙ rr' =• .
sin.e y/H g h
valeur ideutique à celle qui a clé trouvée pour V, dans le n” 129. Ainsi quand l'eau, en se mouvant dans la roue, s’approche ou s’éloigne de l'axe, cette circonstance n’a aucune influence sur les conditions de l'établissement de la machine. Il faut toujours donner la même vitesse de rotation au point de la roue où l’eau entre.
153. La théorie des diverses roues horizontales connues, ou qui pourraient être proposées, est comprise dans les résultats des numéros précédents; le n" 128 a rapport aux roues semblables à celles des moulins du Dasacle décrites par Bélidor. Le n° 132 montre que les roues construites sur le même principe que la Danafde de M. Manoury Dectot, c’est-à-dire les roues où l’eau entre à la circonférence, et sort près de l’axe, ont les mêmes propriétés, et doivent être établies d'après les mêmes conditions que les précédentes. Ces conditions conviennent aussi aux roues où l’eau entre près de l'axe et sort à la circonférence, disposition qui appartient aux roue n à réaction proprement dites. Dans ces dernières, la roue a souvent toute la hauteur de la chute, et l'eau y entre avec une vitesse sensiblement nulle : on a alors l/2 <; A = o d’où V = oc. Ainsi le maximum d’effet a lieu quand la vitesse de la roue est infinie.
134. Le même résultat peut être obtenu par un autre procédé, qui s'applique plus directement aux roues .à réaction où l'eau entre par-dessous. Supposons une roue (Fig. 31}, tournant dans l’air, ou plongée dans l'eau du réservoir inférieur, dans l'intérieur de laquelle l'eau arrive par le centre, et à la circonférence de laquelle sont des orifices disposés de manière que l'eau sorte horizontalement et en sens contraire du mouvement de rotation. Admettons que l'aire de ces orifices est très-petite par rapport aux sections du réservoir supérieur, que l'entrée en est évasée, et que l’eau ne subit dans les conduits qui l’amènent dans la roue aucun changement brusque de vitesse. Nommant
H la hauteur de la chute, ou la différence de niveau des réservoirs supérieur et inférieur ;
V la vitesse circulaire horizontale de la roue, au centre des orifices d'écoulement ;
v la vitesse angulaire ;
r la distance à l'axe d’un point quelconque de la roue:
R la distance des orifices à l'axe ;
P l’effort exercé, par suite de l’action du courant, tangentiellemenf à la circonférence passant par le centre des orifices:
m, E, n, fi ayant les mêmes significations que ci-dessus.
Si la roue était immobile, la pression contre les orifices étant due à la hauteur H, l’eau en sortirait avec la vitesse V 2 g H . I,a roue étant en mouvement, la force centrifuge cause à l’endroit où les orifices sont placés, une pression qui s’ajoute à celle qui résulte de l’action de la gravité, et qui est due à l'action de la force centrifuge sur une colonne horizontale de fluide dont la longueur comptée à partir de l’axe est R. Cette pression exprimée par
Il p R rJ B> v»
— / eJr.rfr = n = Il ,
g J o 2 g ’ig
est due à la hauteur — . La pression totale exercée contre les orifices est 2 g
donc due à la hauteur H h — ; et par conséquent, la vitesse relative avec 2?
laquelle l’eau en sort est
L’eau quitte donc la roue avec une vitesse effective est une force vive
m(l/2ÿH-t-Vî — Y)».
La quantité d’action imprimée est toujours.... mg\l — PV : l'équation du mouvement de la roue est donc
comme on le trouverait en faisant h = o dans l’expression du n° 128. Cette quantité sera la plus grande possible , et égale à la quantité d’action m g. II fournie par la chute d’eau , quand la vitesse effective de l’eau au sortir de la roue sera nulle, ou quand on aura
l/îÿH-t-V5 — v = o d'où v = oc
MORIAS OC CHAPELETS EMPLOYÉS COMME MOYENS DE TRANSMETTRE L’aCTIOM D'UN COURANT OU D’intE COUTE d'eau. ,
135. On remplace quelquefois une roue à augets par une chaîne sans fin garnie de seaux ou augels, et tournant sur deux tambours cylindriques placés verticalement l’un au dessus de l’autre (Fig. 52). Cette disposition a l'avantage que les augets gardent l'eau plus longtemps et que la machine occupe moins d’espace. Cet avantage est compensé par plusieurs inconvénients. La théorie mécanique de ces appareils est la même que celle de la roue à augets, et l’établissement doit en être fait d’après les mêmes conditions.
On a aussi proposé de remplacer la roue de côté par une chaîne garnie d’aubes qui se meuvent dans un coursier incliné (Fig. 53). Cette nouvelle disposition paraît offrir moins d’avantages, et plus d'inconvénients que la précédente.
TITRE XV
DES BALANCIERS HYDRAULIQUES ET MACHINES A COLONNE d'eAU.
136. Le principe des machines désignées communément sous le nom de balanciers hydrauliques (Fig. 54), consiste dans l'emploi d’un seau susceptible de monter et descendre en parcourant verticalement la hauteur de la chute. Le seau , étant placé un peu au dessous du niveau du réservoir supérieur , s'emplit d'eau : il descend en soulevant un poids. Étant arrivé un peu au dessus du niveau du réservoir inférieur, il se vide; un contre-poids le fait ensuite remonter.
Ce principe peut être appliqué de diverses manières. On peut rendre la paroi cylindrique du seau fixe, en laissant mobile le fond de ce seau. Ce fond devient alors un piston qui se meut dans un cylindre vertical occupant la hauteur de la chute. On peut employer deux seaux ou deux pistons , assujettis aux deux bras d'un balancier , en sorte que l’un descend pendant que l’autre monte, et réciproquement. L'action de l’eau produit dans tous les cas un mouvement rectiligne alternatif, qui peut être employé à faire marcher le piston d’une pompe, ou à produire d'autres effets.
La théorie de cet appareil est très-simple. Nommant
H la hauteur de la chute, ou la différence du niveau des réservoirs supérieur et inférieur ;
h la hauteur du seau , ou la hauteur que l’eau versée à chaque oscillation occupe dans le cylindre où se meut le piston;
E le volume d’eau versé à chaque descente du seau ou du piston ;
n le poids de l’unité de volume de l’eau; on aura H — h pour la hauteur parcourue par le seau ou le piston dans leur descente. La quantité d'action transmise, abstraction faite des frottements et autres résistances, sera donen E(H — A), tandis que la quantité d’action représentée par la chute sera n E. H.
Le rapport de ces deux quantités sera d’autant plus grand que h sera plus petit par rapport à H. Cet appareil est peu avantageux pour les petites chutes.
137. Le principe des machines à colonne d’eau est analogue au précédent, dont il diffère néanmoins. Un piston P (Fig. 55), est contenu dans un cylindre. Par l’effet du jeu du piston auxiliaire p, la face inférieure du piston moteur P est alternativement exposée à la pression de la colonne d’eau dans le tuyau AB, et soustraite à cette pression. Quand le piston P est parvenu au haut de sa course, il est ramené dans sa position primitive par un contre-poids, tandis que l’eau qui remplit le cylindre où se meut ce piston s'écoule libre-
meut dans le réservoir inférieur. Cet appareil produit un mouvement rectiligne alternatif, qui est ordinairement employé à faire marcher des pompes.
Quelquefois la machine à colonne d'eau esta double effet: le jeu des pistons auxiliaires p inet alternativement la face supérieure et la face inférieure du piston moteur P, (Fig.56), en communication avec la colonne d’eau qui prend son origine dans le réservoir supérieur. Il est évident d’ailleurs qu'en plaçant verticalement les cylindres, ce qui présente plus de facilité pour la construction, on perd sur la hauteur de la chute la hauteur occupée par ces cylindres. La machine à colonne d’eau n’étant guère appliquée qu'à des chutes d’une trèsgrande hauteur, cette perte est généralement peu importante.
Supposons cette machine dans l’instant où une demi oscillation va commencer, et où toutes les parties sont immobiles. Considérons le système formé de l’eau contenue dans les tuyaux , du piston , et des parties mobiles de la machine auxquelles ce piston transmet le mouvement. Ce système prendra, par l’action de la gravité , un mouvement accéléré. La loi de ce mouvement, à raison des obstacles à l’écoulement de l’eau résultant du frottement contre les parois des tuyaux et du passage de l’eau dans les robinets ou soupapes, est donnée par une fonction exponentielle , et la vitesse du piston , après un temps très-court, devient sensiblement uniforme. Il ne peut y avoir aucune erreur sensible, quand on cherche les lois de l’établissement de la machine, à considérer seulement le mouvement du piston pendant le temps où ce mouvement est uniforme. Admettant cette restriction, et le piston étant censé se mouvoir horizontalement , on nommera
H la hauteur de la chute, comptée du niveau du réservoir supérieur au centre du piston ;
E le volume d’eau fourni par la source pendant chaque unité de temps ; fi Faire du piston ;
U la vitesse du piston (on a E= fi U);
P la pression exercée contre le piston par Faction de l’eau ; nie poids de l’unité de volume du fluide. •
Faisant abstraction des effets du frottement de l’eau et de son passage par les robinets, soupapes et autres étranglements, on aura pour la quantité d'action exercée sur le système pendant l'unité de temps
tn.a h — p)ü,
et pour la force vive acquise pendant le même intervalle ,
l'équation du mouvement sera donc ,
(n.fiH — p)ü = he — , d’où p u = n e ( n .
138. P II csl la quantité d'action transmise par le piston dans l’unité de temps. Cette quantité sera un maximum quand on aura o = o, d'où p u = HE H.
Ainsi le maximum d'effet a lieu quand la vitesse du piston est infiniment petite; et il est égal à la quantité d’action représentée par la chute de l'eau. On fait prendre ordinairement aux pistons une vitesse d’environ 0”, 3 par seconde. Il n’en résulte pas théoriquement une perle sensible sur la quantité d’action transmise.
Les observations recueillies sur les machines à colonne d'eau employées à faire marcher des pompes indiquent un effet utile qui varie entre le tiers et la moitié de la quantité d’action représentée par la chute de l’eau. Faute de connaître exactement la portion de cette quantité d'action consommée inutilement par le jeu des pompes, on ne peut évaluer celle qui est transmise par la machine à colonne d’eau considérée dans la tige de son piston. Cette dernière quantité d'action peut varier beaucoup avec la disposition de la machine; elle dépend de la grosseur des tuyaux où l’on fait couler l’eau, de la figure des coudes, et de la figure de la paroi près des ouvertures ou soupapes que l’eau doit franchir. Les notions présentées dans la seconde partie des Leçons, permettront, quand ces circonstances seront connues, d’évaluer approximativement la quantité d'action que la machine pourra transmettre.
Conservant les dénominations du numéro précédent, appelant
ü' l’aire de la section d’un des tuyaux que l’eau parcourt ;
X' la longueur de ce tuyau ;
x' le contour de la section ;
u l’aire de la veine d’eau après son passage dans un étranglement;
o l’aire de la section quia lieu immédiatement après cet étranglement;
«7 la vitesse imprimée en une seconde par la gravité = 9", 8088 ; on aurait égard aux effets des obstacles qui s’opposent au mouvement de l’eau dans le tuyau, et à son passage par l’étranglement, en ajoutant au second membre de l’équation du mouvement écrite u" 137 les termes suivants :
n raao /üüY"|üu u» /a a
— x'*' >-6 — i-llE.
g L ü' V ü' / J Û' ig V® O
On en déduirait également l’expression de la quantité d’action transmise PU. On doit donner à a et à 6 les valeurs indiquées dans la deuxième partie des Leçons comme ayant été déduites des expériences faites sur l’écoulement de l’eau dans les tuyaux de conduite.
Si l’eau parcourait plusieurs tuyaux de diamètres différents, ou si elle devait franchir plusieurs étranglements, on introduirait dans l’équation de nouveaux termes semblables à ceux qui ont été écrits ci-dessus. Un seul
étranglement peut être tel que la quantité d'action transmise s’en trouve diminuée autant qu’on le voudra.
La première idée de la machine à colonne d’eau se trouve dans la machine de Denisart et la Deuille, décrite par Bélidor dans le tome second de son Architecture hydraulique (il a paru en 1739). Cet auteur donne le projet d’une machine de ce genre, mieux conçue que celle des inventeurs. Un autre projet, proposé en 1741 par M. de Gensanne, est décrit dans le tome septième des Machines approuvées par l’Académie des Sciences. La machine a été construite en grand pour la première fois par Hoël, en 1749, à Schemnitz. Elle est employée à produire de très-grands effets dans les travaux des mines.
TITRE XVI
DE 1,’actiom du vemt.
139. L’action du vent est transmise aux machines par le moyen de roues. On emploie à cet effet des roues de deux espèces : les unes ont leur axe horizontal et parallèle à la direction du vent : les autres ont cet axe vertitical et perpendiculaire à la direction du vent. Les conditions de rétablissement de ces deux espèces de roues sont fondées sur des considérations différentes.
140. Moulins à vent dont l’axe est horizontal. Ces moulins sont employés généralement: ce sont ceux qui peuvent produire les plus grands effets. La roue ou volant est formée par quatre rayons, sur chacun desquels est placée une aile qui reçoit obliquement l'action du vent. La figure de cette aile est ordinairement rectangulaire. Elle est formée par une surface gauche, légèrement concave, et dont les éléments forment avec l’axe de la roue et la direction du vent des angles d'autant plus grands qu’ils sont plus éloignés de cet axe.
On augmente toujours la quantité d'action qu'un moulin peut transmettre en augmentant l’aire des ailes. La question qu'on peut se proposer est, en supposant donnée l’aire des ailes , ou bien la longueur du rayon , de déterminer la figure des ailes et la vitesse du mouvement par la condition que la roue transmette la plus grande quantité d’action qu’il est possible. La solution de cette question est essentiellement fondée sur la connaissance de l’action d'un courant d’air sur des plans minces légèrement concaves , que l’air frapperait obliquement, et qui céderait à son action en prenant un mouvement de rotation autour d’un axe. En se reportant à l’exposition présentée dans la deuxième partie des Leçons, des connaissances acquises jusqu'à présent sur
la résistance des fluides, on verra que l’on est fort éloigné de connaître la nature de l’action dont il s’agit. La recherche des lois de l’établissement des moulins à vent, ne peut donc être, quant à présent, qu’une recherche purement expérimentale.
Pour donner toutefois une idée des notions théoriques qui peuvent être présentées sur ce sujet , l’axe de la roue étant supposé dans la direction du vent (Fig. 57), on nommera
v la vitesse du vent ;
9 l’angle formé par le plan de l’aile avec la direction du vent;
V la vitesse circulaire du centre de l’aile; ü l’aire de l’aile ;
P l’effort exercé par le vent tangentiellement à la circonférence passant parle centre de a ;
R le poids de l’unité du volume de l’air;
k un coefficient numérique à déterminer par l’observation ; et l’on aura :
vitesse du vent estimée perpendiculairement à l’aile. . v sin. ?; vitesse de l’aile estimée dans la même direction. ... V cos. v; vitesse relative avec laquelle le vent frappe l’aile. . v sin. y — V cos. y. Supposant qu’ici, comme dans le choc direct, l’effort exercé est propor-
(t>sin.<p — V co».
tionnel à la hauteur due à la vitesse relative, cet effort sera Ar H ü ,
et sa composante dans le sens du mouvement circulaire,
(p lin. ® — V cos. v)1
P = HIU cos. ç;
d’où
iv sin. y — V cos. ?)*
P V =*na- V cos. y.
141. Cette expression de la quantité d'action transmise doit être rendue un maximum. En faisant d’abord varier V, on aura
c* sin.* ?
V t> tang. ç, d’OÙ P V = T\ i II U .
Faisant ensuite varier ç, il vient
sin. v = l, d’OÙ V = « , P V = /y k tlü .
Ainsi l’effet maximum aurait lieu lorsque le plan de l’aile serait perpendiculaire à la direction du vent, et la vitesse de la roue infinie. Ces résultats.
par les raisons énoncées ci-Uessus, ne méritent pas une entière confiance, quoique beaucoup moins éloignés de la vérité que d’autres considérations théoriques sur le même sujet dans divers ouvrages.
142. Les résultats fondés sur l'observation et l’expérience, d'après lesquels l'établissement des moulins à vent doit être fait, sont principalement dus à Coulomb ( Mémoires de P Académie des Sciences, 1781 ), et à Smealon ( Recherches expérimentales sur l’eau et le vent, traduites par M. Girard). Ces résultats peuvent être résumés comme il suit :
1“ Figure des ailes. L’aile étant supposée rectangulaire, la figure la plus avantageuse est celle de l’aile dite à la hollandaise, offrant au vent une surface légèrement concave, et dont les éléments transversaux ont les inclinaisons suivantes. Le rayon de l'aile étant divisé en six parties, le premier élément, en comptant de l'axe, est désigné par 1. Celui qui est placé à l'extrémité de l’aile est désigné par 6.
Numéros des éléments..
milieu de l'aile.
extrémité.
Angle fait avec l'axe.
Angle fait avec le plan du mouvement.
La largeur de l’aile ne doit pas surpasser le quart de sa longueur. Elle en est ordinairement le j ou le j. On doit plutôt diminuer l'angle des éléments avec le plan du mouvement, que l’augmenter.
Si, renonçant à la figure rectangulaire, on veut former l’aile de manière qu’en employant la même surface de toile, le moulin transmette la plus grande quantité d’action qu'il est possible, la figure qui réussit le mieux en grand est celle d’une aile élargie (Fig. 58), formée en plaçant à l'extrémité du rayon un barreau égal au j du rayon, et partagé au point où il le coupe dans le rapport de 3 à 2. Les inclinaisons des éléments transversaux doivent être réglées d’après la table précédente.
143. 2" Vitesse des ailes par rapport à celle du vent. Les ailes étant disposées de l'une ou de l’autre manière indiquées ci-dessus, on doit, pour obtenir le maximum d’effet, maintenir leur vitesse de rotation dans un rapport constant avec celle du vent. Cette vitesse de rotation, à l’extrémité de l’aile, doit être égale à 2, 7 ou 2, 6 fois celle du vent. Ce résultat, établi par Smeaton d’après des expériences en petit, s'accorde à fort peu près avec les observations de Coulomb sur les moulins de la Belgique.
144. 3“ Quantité d’action transmise par les ailes. Les ailes étant disposées comme il a été dit ci-dessus, et leur vitesse maintenue par rapport à celle du vent dans le rapport qui vient d’être énoncé, la quantité d’action transmise est proportionnelle à l'aire des ailes. Elle croît un peu moins rapidement que le cube de la vitesse du vent; en sorte que la vitesse du vent devenant double, il s’en faut de ~ que la quantité d’action transmise devienne ocluple. Négligeant cette différence, on écrira entre la quantité d’action transmise en une seconde par une aile de moulin, et les éléments de cette quantité, l’équation
d’où
Les expériences en petit de Smeaton donnent pour les ailes hollandaises
celles de Coulomb qui ont été faites en Belgique sur des moulins à pilons donnent
Les moulins de Paris diffèrent peu de ces derniers, ü aire d’une aile exprimée en mètres quarrés; v vitesse du vent exprimée en mètres;
P effort exercé sur une aile par l’action du vent dans le sens du mouvement circulaire, supposé appliqué h l'extrémité de l'aile et exprimé en kilogrammes ;
x coefficient numérique déterminé par l'observation.
Cette équation servira à faire l’établissement d’un moulin. On néglige ici la considération de la variation de la densité de l'air atmosphérique, à laquelle on n'a pas eu égard dans les observations.
145. Les moulins à vent dont l'axe est horizontal présentent divers inconvénients, dont les principaux sont : 1° la nécessité de faire varier la vitesse des ailes, quand celle du vent varie ; 2' la nécessité de les orienter ; 5“ le danger qu’ils courent quand la vitesse ou la direction du vent change brusquement.
On peut remédier aux inconvénients provenant de la variation de la vitesse par les moyens connus, employés pour faire en sorte que des axes se transmettent le mouvement de rotation, avec des vitesses dont les rapports puissent être changés.
Les moulins sont souvent disposés de manière à s’orienter d’eux-mêmes. On emploie à cet effet une queue placée dans le prolongement de l’axe du volant, et portant un plan vertical sur lequel le vent agit comme sur une girouette. Un moyen plus avantageux consiste dans l’usage d'un petit moulin auxiliaire, placé à l’extrémité d une queue, dans le plan vertical passant par l’axe
du volant (Fig. 59). Ce moulin, lorsqu’il ne se trouve point dans la direction du vent, fait tourner un aie ; et par suite un pignon engrenant dans une crémaillère circulaire fixe. Il en résulte le mouvement nécessaire pour orienter le système mobile dont le volant et le petit moulin font partie. Enfin on remédie aux effets de la violence du vent en serrant la toile dont les ailes sont couvertes ; et on peut employer des dispositions d'après lesquelles cette manœuvre est opérée par le mouvement même du volant, lorsque la vitesse dépasse une certaine limite.
146. Moulins à vent dont l’axe est vertical. Les dispositions de ces moulins sont plus variées que celles des précédents. On peut distinguer : 1° ceux dont les ailes sont formées de plusieurs volets mobiles sur des axes verticaux qui présentent leur largeur au vent quand ils doivent recevoir son action, et leur épaisseur quand ils doivent s’y soustraire; 2° ceux dont les ailes sont fixes et protégées dans leur retour contre le vent par une enveloppe cylindrique. Ils doivent être orientés comme les moulins à axe horizontal; 3° les moulins dits panemores dont la surface des ailes est une sorte de conoidc présentant alternativement à la direction du vent sa concavité et sa convexité. Le mouvement est imprimé au moulin en raison de la différence de l’action du vent sur les deux faces des ailes.
Aucune de ces dispositions n’est exempte d’inconvénients, et toutes, à dimensions égales , ne peuvent transmettre qu'une faible partie de la quantité d’action qui serait transmise par un moulin à axe horizontal. On n'a pas publié d'observations propres à en faire apprécier exactement l’effet.
147. Parmi les moulins à vent à axe vertical, on peut distinguer le suivant (Fig. 60), qui n’est point décrit dans les traités de mécanique. L’axe passe au travers d’un cylindre vertical susceptible de tourner, et portant à l'extrémité supérieure une roue dentée. Ce cylindre est fixe pendant que le moulin travaille. L’axe du moulin porte quatre bras. Les ailes sont fixées sur les roues extrêmes , qui ont un diamètre double de celui de la roue fixe. Le diamètre des roues est arbitraire. Les situations des ailes entre elles, et par rapport à la direction du vent, étant une fois fixées, le mouvement du moulin ne les changera pas. On orientera facilement le moulin, et on réglera l’effort qu’il pourra recevoir du vent , en faisant tourner le cylindre auquel la roue dentée fixe est adaptée. Cet appareil, inventé par J. Jackson, est décrit dans le Pepertory of arts, tome 8, 1806.
TITRE XVII
