MO. S

relation qui est indépendante des angles a et s. La table suivante indique les valeurs correspondantes * et t — * qui satisfont à l'équation (é), ces valeurs étant exprimées en centièmes du quart de cercle.

i ion

Après avoir calculé a par l'equation (a), on prendra dans cette table la va-

leur correspondante de t — *; celte valeur, multipliée par — et par r, don-

nera la projection horizontale de l'arc hydrophorc ; en divisant ensuite par tang. e, on aura la longueur absolue de cet arc.

230. La longueur de l’arc hydrophore serait nulle si l’on avait «=e. L’inclinaison de la vis sur l'horizon doit être moindre que l'inclinaison de l’hélice sur l’axe pour qu'elle puisse élever de l’eau. L’évaluation de la longueur de l’arc hydrophore, et par conséquent du volume d’eau qui peut être contenu dans chaque spire, servira à déterminer la valeur qui doit être donnée à l’angle a pour que, toutes choses égales d’ailleurs, la vis monte dans un temps donné la plus grande quantité d'eau qu'il est possible. Soit V la vitesse de rotation du cylindre sur lequel l'hélice est tracée, les areshydrophores seront

transportés dans le sens de l’axe avec la vitesse et s’élèveront verti-

tang. 8

SiKÏ

V «in. a

calement avec la vitesse . Par conséquent, la question dont il s’agit

lang. 8

consiste à déterminer l’angle a de manière à rendre un maximum la fonction

( f — *) sin. a..

Si l’on supposait l’angle e de 60°, on trouverait, pour la valeur correspondante au maximum de cette fonction, <x = 44° environ.

231. La vis d’Archimède étant considérée dans l’hypothèse du n° 229, supposant le mouvement de rotation uniforme, remarquant que l’eau entre dans le tuyau sans choc et en sort avec une vitesse nulle, parce que ce fluide coule dans le tuyau avec une vitesse relative égale à celle des points du tuyau en sens contraire, on voit qu’il n’y a point de force vive perdue dans cet appareil. Ainsi, en négligeant les frottements, l’effort du moteur doit simplement faire équilibre au poids de l'eau contenue dans la vis; soit P l'effort du moteur supposé appliqué à la circonférence de la base du cylindre sur lequel l'hélice est tracée, E le volume d'eau contenu dans l’arc hydrophore, n le nombre des spires du tuyau qui forme la vis, n le poids de l’unité de volume de l’eau. Comme à chaque tour du cylindre les arcs hydrophores sont élevés

Sûr. sin. et

de la hauteur verticale ■, le principe des vitesses virtuelles donne,

tang. 8 .

pour la condition de l'équilibre,

2 * r, sin. a sin. a

P.2*r = fi.TIE , OU P = n . Il E ,

tang. 8 tang. 8

ou bien, en appelant H la hauteur à laquelle l’eau est élevée, et remarquant H 2icr

que — n ,

sin. a tang. 8

2ir r

232. Considérons actuellement la disposition des vis d’Archimède , qui est généralement adoptée , et qui consiste à établir, entre un noyau et une enveloppe cylindriques, des cloisons formées par des surfaces hélicoldes décrites par une droite constamment perpendiculaire à l'axe du cylindre. Soit A A (Fig. 105) l’axe du cylindre projeté horizontalement en a; B M B N l’hélice tracée sur ce cylindre et servant de directrice à la droite génératrice de la surface hélicotde; M N un plan horizontal. Tous les points de la génératrice décrivent des hélices ayant toutes le même pas , et par conséquent des inclinaisons différentes sur l'axe A A. Parmi ces courbes distinguons l’hélice CMC projetée horizontalement ency.c, qui forme, avec l'axe A A, un angle égal à l'inclinaison A M N de cet axe sur le plan horizontal M N , en sorte que la courbe CMC est touchée en M par la trace M N de ce plan. 11 est visible que

toute hélice dont le rayon serait moindre que a c et a b ne pourrait recevoir d’eau, et que toutes les hélices dont le rayon est compris entre a c et a b pourront en recevoir : donc on peut prendre a c pour le rayon du noyau de ta vis sans rien perdre sur le volume de l'espace hydrophore. Cet espace est compris entre le plan horizontal MN, la portion de la surface hélicolde qui est au-dessous de ce plan, et la surface cylindrique servant d'enveloppe à la vis ; on peut en calculer le volume comme il suit. On nommera a l’angle que l’axe A A forme avec le plan horizontal M N ;

« l'inclinaison de l’hélice B M B N sur l'axe A A ;

r le rayon» b de l’enveloppe cylindrique sur laquelle cette hélice est tracée; * l’angle m ap formé avec le rayon a ni par un autre rayon a p mené à la projection horizontale/» d’un point quelconque P de la surface hélicolde ; x la longueur du rayon a p ;

z la portion P Q d’une droite parallèle à l’axe A A qui est comprise entre le point P où celte droite coupe la surface hélicolde, et le point Q où elle coupe le plan horizontal M A.

On a

si il. s sin. s

E P = r . s tang. 0 , E Q = T . , s = jr . r ■ t lang. ».

tang. a (ang. a

Posant z = 0/ il vient

x = r tang. a lang. 9 ,

sin. s

équation qui appartient à la courbe n n, intersection du plan horizontal M N avec la surface hélicolde. En faisant x = r, l’équation précédente donne

sin. s

= tang. a . tang. 0 :

nous désignerons par „ la valeur de « qui satisfait à cette dernière relation, c’est-à-dire l’angle ni an formé avec am par le rayon mené au point extrême n.

Cela posé, remarquant que l’élément différentiel du volume de l’espace hydrophore est xds.dx. dz, on aura, pour l’expression de ce volume, l’intégrale triple

x sin. 9

ou bien

lang. a

r tang. a . lang. 8

sin. s

es tang.

dt.x.

1 1 sin. s t s»

— s lang. t-l — + tang. 3 a . tang. 5 8

2 S tang. a 0 sin.3»

•iOS

LEÇONS son L’APPLICATION

/ I ! 1 — cos. s 1 y*sds.*s\

r5! g1 Uüg. OH H lang. 3 a tang. 5 S / I.

Ç 4 3 lang. a 6 «y o sin.3*/

L'intégrale du dernier terme se calculera facilement par approximation.

Si, comme on l’a proposé, la droite génératrice de la surface hélicolde n’élait pas perpendiculaire à l'axe, mais inclinée de manière à augmenter la profondeur de l’espace hvdrophore, on aurait alors, en désignant par *> l’angle de la génératrice avec la perpendiculaire à l'axe, sin. *

• * = x r . s lang. 0 H- x lang. u :

lang. a

le calcul du volume de l’espace hvdrophore s’opérerait de la manière qui vient d’étre indiquée.

Soit E le volume de l'espace hydropbore, on déterminera, conformément à ce qu’on a vu dans le n° 230, l’inclinaison de la vis propre à faire monter, toutes choses égales d'ailleurs, la plus grande quantité d'eau qu’il sera possible en un temps donné, en cherchant la valeur de & propre à rendre un maximum la fonction

E sin. a.

On pourra également appliquer ici les résultats énoncés dans le n° 231.

233. Pour que l’eau s’élève dans la vis en passant de spire en spire de la manière qui a été supposée dans le n° 229 et les suivants, il est nécessaire que la portion de chaque spire, qui n'est point occupée par l’eau, soit remplie d'air dont la force élastique soit égale à la pression atmosphérique. Pour que cette condition soit toujours satisfaite, et dans le cas même où l’extrémité de la vis serait entièrement plongée dans le réservoir inférieur, et où, par conséquent, l’air n'y pourrait point pénétrer par cette extrémité, il est nécessaire que l’air puisse arriver dans toutes les spires par l’extrémité supérieure. C’est ce qui aura lieu si le rayon du noyau est moindre que a c, c'est-à-dire moindre que la quantité r tang. a tang. o, parce qu’alors les portions d’eau occupant les espaces hydrophores n'empêcheront point l’air de passer librement d’une spire à l’autre.

La vis d'Archimède est une des machines connues des anciens et décrites par Vitruve. Elle ne peut élever l’eau qu’à une petite hauteur, et comme il faut que l’eau retombe de l'extrémité supérieure dans une bâche, cette circonstance diminue l’effet utile qui pourrait être obtenu. Les observations indiquent qu'un homme élève dans sa journée, au moyen de cet appareil, 90 mètres cubes à 1 mètre de hauteur ; mais la petitesse de ce nombre parait tenir en partie à la manière imparfaite dont l'action des hommes est ordinairement appliquée à la vis. D’autres observations faites sur des vis miles par des chevaux ont donné des résultats plus avantageux.

DK LA MÉCANIQUE, 3“* PARTIE. ü«9

i «cuise de vn\

334. Elle est composée d'une corde sans ün ou de plusieurs cordes sans fin (Fig. 106) placées les unes à côté des autres, passant sur une poulie supérieure fixe et sur une poulie inférieure qui sert seulement à maintenir la corde tendue et qui est plongée dans l’eau. Lorsqu’on imprime à la poulie supérieure et par conséquent à la corde un mouvement de rotation rapide, l'eau s'élève, en suivant la partie montante de la corde, par l’effet de la communication de mouvement qui résulte de l'adhérence. On a élevé l’eau, au moyen de cet appareil, à plus de 55 mètres de hauteur. A cette hauteur, avec une corde de 0",045 de pourtour, l’effet utile a été trouvé à peu près les j de celui que l'on aurait obtenu en agissant sur un treuil à manivelle servant à manœuvrer des seaux. A une hauteur moindre et avec des cordes plus grosses , le produit est plus considérable. Celte machine a été inventée en 1780.

CASSE BYDEAVLIQCE. XACB1SK DE VIALOS.

235. La canne hydraulique est un tuyau vertical AB (Fig. 107) dont l’extrémité A, garnie d’une soupape, est plongée dans le réservoir inférieur: on imprime à ce tuyau un mouvement de va et vient vertical. L’eau entre par la soupape quand le tuyau s'abaisse, et après un certain temps, lorsque le mouvement alternatif du tuyau est convenablement réglé, la soupape devient inutile, l'eau contenue dans le tuyau ayant acquis un mouvement d’ascension uniforme. En supposant que l’effet du frottement de l'eau contre les parois du tuyau puisse être estimé d’après les résultats exposés n” 109 de la 2" partie des Résumés des Leçons , les conditions de l’établissement de cet appareil se trouveront de la manière suivante. Nommons U l'aire de la section du tuyau; x le contour de cette section ;

» la longueur du tuyau ;

U la vitesse d’ascension de l’eau contenue dans le tuyau supposée uniforme: V et V1 les vitesses imprimées respectivement au tuyau quand il s’élève et quand il s’abaisse également supposées constantes ; c l'espace parcouru verticalement par le tuyau h chaque oscillation ; n le rapport de la section de la veine contractée après l’entrée de l’eau en A dans le tuyau à la section du tuyau; o la masse de l’unité de volume de l'eau ;

g la vitesse imprimée par la gravité aux corps pesants dans l'unité de temps.

Considérons l’intervalle de temps qui comprend une oscillation du tuyau. Pendant la montée du tuyau ( conformément à la formule du n° 109 cité ci-

dessus ), il sera exercé, sur la colonne d’eau contenue dans le tuyau, dans le sens du mouvement de cette eau, une quantité d'action exprimée par pxU“(v — ü>-4-6 (v —

Pendant la descente du tuyau il sera exercé sur la môme colonne d'eau, en sens contraire, la quantité d’action

PX*[«(V' + ü)-+-6 (V'- ü)»] .e.

La durée de l’oscillation étant c, le volume d’eau élevé pendant cet

intervalle est a U.