REHARQEE SER LA THÉORIE DE LA RESISTANCE A LA REPU RE
151. La théorie présentée dans les n'” 112 et suivants est fondée sur l’hypothèse que les fibres longitudinales , à l'instant de la rupture , offrent des résistances proportionnelles aux extensions et contractions de ces fibres, et qui sont égales pour des extensions cl contractions égales. La situation de l'axe d’équilibre contenant les fibres invariables est déterminée par la condition énoncée n'” 77 et 78, en sorte que cet axe est au milieu de la hauteur de la section, quand la section peut être partagée dans sa hauteur en deux parties symétriques, comme cela a lieu pour le rectangle et le cercle.
Si cette hypothèse était exactement conforme aux effets naturels, les valeurs de la constante R déduites, au moyen des formules précédentes, des expériences sur la rupture rapportées dans les n“‘ 94 et suivants, ne différeraient point des résultats obtenus par les expériences directes sur la rupture des corps produite par extension ou par écrasement. Lorsque cet accord n'a pas lien, on doit l'attribuer à ce que les fibres des corps n’opposant pas, quand la rupture vient à s’opérer, des résistances égales à l’extension et à la compression. l’axe d'équilibre change de situation, en sorte que les expressions du moment de rupture ne s'accordent pas avec l’état du solide.
On doit remarquer toutefois, 1" que les principaux résullatsobtcnus précédemment n’en sont pas moins vrais: en sorte que les résistances des bases rectangulaires sont toujours proportionnelles à la largeur et au quarré de
l’épaisseur, et que les résistances des bases de fleures semblables le sont toujours au cube des dimensions homologues. Les rapports seuls des résistances pour les bases île diverses figures sont changés. 2” Dans les applications, on n’est point dans le cas de calculer les résistances respectives des corps en les considérant dans l’état ipii précède la rupture : on les considère au contraire, comme on le verra dans la suite, lorsqu’ils n’ont pu prendre encore qu’une légère flexion , qui n'en a point altéré l’élasticité ; et les résultats précédents conviennent alors sensiblement à la manière dont la résistance s’exerce-
lit LA KU'TUtE D’C» SOUDE riUSHATlQlE D’rSE PETITE LOXGl'KLR.
152. Les notions précédentes, comme on l’a remarqué n° 79, ne peuvent être appliquées avec exactitude qu'autant que la longueur du solide prismatique est beaucoup plus grande que les dimensions de sa section transversale. C’est effectivement ce qui a lieu dans les cas qui se présentent le plus fréquemment dans les constructions et dont la considération est la plus importante. A l’égard des cas où la longueur du solide surpasse peu les dimensions de la section transversale, ou même est plus petite que ces dimensions, comme ils n’ont pas été suffisamment étudiés par l’expérience, on se bornera à présenter à ce sujet quelques aperçus.
Considérons le solide AM (Fig. 9) encastré horizontalement à une extrémité, et supposons d’abord que le fil auquel est suspendu le poids. P soit placé dans le plan de la section A, c’est-à-dire contre la face verticale du corps dans lequel l’extrémité du solide AM est encastrée. L'action du poids P ne tendra pas alors à faire fléchir la portion AM du solide ; mais elle tendra à séparer cette portion de celle qui est encastrée, et avant que cette séparation ne s’opère les fibres qui unissent les parties prêtes à se disjoindre se seront allongées d’une certaine quantité. Il est naturel d’admettre que l’effort nécessaire pour produire cet allongement est proportionnel 1°à l’aire de la section transversale du solide, 2” à la grandeur de l’allongement dont il s’agit. Par conséquent, si la section transversale est un rectangle dont!» représente le côté horizontal et c le côté vertical; et si nous désignons par S l'allongement dans le sens vertical (supposé très-petit) des parties du solide placées dans la section transversale A;
D un coefficient constant spécifique représentant la résistance du corps à un glissement d’une partie sur l’autre dans le plan de la section transversale ;
l'effort dont il s’agit sera représenté par Ds.ôe. Nous écrirons donc ici pour équation d’équilibre
P = DS.ic;
et nous concevrons que la rupture aura lieu lorsque l'allongement s aura pris
une valeur telle qu’il entraîne la disjonction des deux parties du corps. Le poids qui causerait la rupture serait donc proportionnel à l'aire de la section transversale.
153. Revenons maintenant à la considération du solide dont la partie à Gauche du point A est encastrée fixement, mais dont la partie à droite de ce point est libre, et sollicitée à son extrémité M par le poids P. D'après les remarques faites dans le n° 77, l’équilibre de la partie AM exice que les forces intérieures développées dans la section transversale A par l'action du poids P aient des composantes verticales dont la somme soit égale à ce poids; et il faut de plus que les composantes horizontales de ces mêmes forces fassent équilibre au poids P autour de l’axe horizontal correspondant aux fibres dont la longueur ne varie pas. Nous avons considéré jusqu’ici ce dernier équilibre seul : mais dans le cas dont il s’agit il devient nécessaire de considérer également l’équilibre des forces verticales. Supposant donc ces forces verticales développées dans la section d’une manière conforme à ce qui a été expliqué ci-dessus (ce qui ne peut être bien éloigné de la vérité, surtout lorsque la lougueur du solide est fort petite), nous écrirons d’abord l'équation
P = DS.éc.
Et quant à l'équilibre de rotation, si nous représentons par ? le rayon du cercle oscillateur de la courbe affectée par l'axe longitudinal du solide au point À, nous aurons, conformément à ce qu’on a vu dans l’article précédent, pour exprimer cet équilibre, l’équation
E bc’
Pn= ,
0 lï
a désignant toujours la longueur AM, et E ayant la signification indiquée
Lorsque le solide supportera sans rompre l'action du poids P, nous regarderons l'équilibre qui s’établit dans la section transversale A comme étant exprimé par ces deux équations. Si la longueur du solide était presque nulle, on considérerait seulement la première. Si cette longueur était fort grande, on considérerait seulement la seconde. Dans les cas intermédiaires on les considérera toutes deux, et elles donneront respectivement les valeurs des quantités s et ? exprimant respectivement le degré d’allongement des parties dans le sens vertical, et le degré de flexion qui ont lieu au point d’encastrement A.
154. A l'égard de la rupture on remarquera que, conformément aux notions présentées dans le n° 112, nous la regardons comme étant déterminée par un certain degré d’extension acquis par les parties du corps qui se trou-
DE IA MÉCANIQUE, l'« PARTIE.
vent le plus fortement tendues. Or. il est visible qu’en supposant ici l’état d’équilibre de la section A conforme aux notions précédentes, les parties placées h la face supérieure du solide dans cette section se seront allongées par l’effet de l'abaissement vertical delà partie AM et de la flexion de cette partie, d’une fraction de leur longueur exprimée par :
ou en mettant pour S et M leurs valeurs tirées des équations précédentes,
LVU™.
bc D2 E2c2
Or la grandeur de cet allongement étant le terme qui détermine la rupture, il s'en suit que le poids qui peut rompre le solide est proportionnel à l’expression.
bc
Celte formule satisfait aux cas extrêmes : si la longueur du solide est fort
petite, on négligera le terme affecté du rapport — , et la résistance à la rup-
turc sera proportionnelle à bc; si cette longueur est fort grande par rapport
à la hauteur e, on négligera au contraire le terme — , et la résistance sera bc* Dî
proportionnelle à — , comme l'indique dans ce cas l’expérience. Il est vrai-
semblable que, dans les cas intermédiaires, la formule dont il s'agit s’éloignera peu des effets naturels, lorsqu'on déterminera les eoefïiciens constants 1 56
— et — de manière à satisfaire à des résultats obtenus directement par l’ex-
péricnce.
155. Lorsqu’au lieu d’une pièce encastrée par une extrémité on considérera une pièce posée horizontalement sur deux appuis et chargée au milieu (Fig. 10), les mêmes considérations pourront être appliquées, en concevant que» désigne la moitié delà distance des appuis, et P la moitié du poids placé au milieu de la pièce.
ARTICLE V
Dlî la RÉSISTA .MCE D'IUi COIU'3 PRISMATIQUE A I.A TORSION.
156. On peut essayer de former la théorie de ce genre de résistance au moyen de considérations analogues à celles qui ont été employées pour la résistance à la flexion.
Soit (Fig. 12) un solide prismatique encastré horizontalement à l’une des extrémités. Supposons qu’une force P agisse à l'autre extrémité avec le bras de levier lie pour tordre le solide autour de l’axe Ce; imaginons que par l'effet de la torsion, un diamètre bb de la section extrême, sur laquelle agit la force P, se soit transporté en b' b'. Le diamètre correspondant AA de l’extrémité encastrée n’aura subi aucun déplacement; et on doit concevoir que tous les diamètres des sections intermédiaires, tels que dd, se sont déplacés proportionnellement à leur distance Ce de l’extrémité encastrée. Par l’effet de ces déplacements, les molécules qui, dans deux sections transversales consécutives, étaient avant la torsion vis-à-vis les unes des autres, ont été éloignées l'une de l’autre d’une quantité proportionnelle, 1° à la distance de ces molécules à l’axe Ce; 2° à la différence des angles parcourus par chaque diamètre dans deux sections transversales consécutives , différence proportionnelle à l’angle beb', et réciproque à la longueur Ce du solide. On peut supposer, la torsion étant censée très-petite, que les résistances naissant des déplacements relatifs sont proportionnelles à ces déplacements. Le moment de la résistance qui a lieu dans une section quelconque du solide, doit d’ailleurs être égal au moment du poids P. Considérons une section transversale quelconque et nommons
a la longueur du solide, depuis la section fixe AA jusqu’à la section bb où agit la force P;
a l’angle beb' décrit par les diamètres de celte section extrême, angle qui est supposé fort petit ;
r la distance d’un point quelconque d’une section transversale au centre c de cette section ;
v l’angle de la ligne r avec un diamètre de la même section:
r =/■(?) l'équation do la courbe qui forme le contour de la section;
R le bras de levier Bc avec lequel la force P agit pour produire la torsion;
G un poids constant pour chaque espèce de corps, représentant la résistance spécifique à la torsion.
DE LA MÉCANIQUE, l« PARTIE.
L’élément de l’aire de la section transversale placé à l’extrémité du rayon r étant d?dr- r, on aura
G - dtfdr.r* a
pour la résistance provenant de la torsion qui a lieu dans cet élément; et pour exprimer l'équilibre entre le moment de la force P, et la somme des moments des résistances semblables,
ou
PR:= — / d<f f dr.t *,
ce /«r l’R=— / a J o
iW(<p>]4.
157. La section transversale étant un cercle dont r est le rayon, on a /'(v)=r, et la formule précédente donne
. C9 H xr* 8 P 2a H
PR = — . 2r — = G , d’OÙ 0 = — . .
a 4 2a G xr*
158. La section transversale étant un quarré dont le côté est b (Fig. 13), on doit chercher à part l’expression de la résistance à la torsion de l’un des
huit triangles égaux à ADC. L’équation de AB est r= , On a
2 cos. y
d’ailleurs «
S* 1 1 sin. <f 2 sin.i?
J cos.4® 3 cos.3® 3 cos.®
et par conséquent
o eus.4? 3
Ainsi le moment de la résistance du triangle ABC est
GO 4 a 4.10 5
et par conséquent l’on a pour le moment de la résistance du quarré
