II. lang--; t
d’où
7 = j ü/i.tang. i t.
Elle représente la plus grande hauteur sur laquelle la masse puisse être
coupée verticalement, sans qu'il- survienne d’éboulement. Si -j=0, cette hau-
teur est nulle. Si f= 0, elle est égale à — .
La valeur (lu nombre f se connaît en observant le talus que prend la matière du massif quand la cohésion a été rompue : f est la tangente de l'angle que ce talus fait avec l’horizon , et T l’angle que ce talus fait avec la verticale. En observant ensuite la hauteur sur laquelle le massif peut être coupé verticalement, sans qu’il y ait éboulement, on connaîtra le poids f au moyen de l’équation précédente»
1915. Reprenant le calcul du n° 188, conservant les mêmes dénominations, et supposant la surface supérieure CD du massif (Fig. 15) chargée uniformément par des matières qui doivent se diviser suivant des plans verticaux correspondants aux extrémités supérieures T des plans de rupture ; nommant p la pression qui en résulte sur l’unité de surface du plan CD ; on aura pour la force qui tend opérer le glissement le long de AT,
(ph -t- Il AJ) (tarif; . 6 — m ) cos. 6;
pour celle qui tend à l’empécher
HAS) (tang.ê — m) sin.6-+-f .
cos. 6
En égalant ces deux quantités , il viendra
2'j(l-(-lang.26)
(tang. 6 — »n )(!—/' tang.6) = '■ ;
2p -*-IIA
et si l’on compare cette équation à cclle'du n° 188, on reconnaîtra que les formules trouvées dans le n“ 189 s’appliqueront au cas dont il s’agit , en y écrivant 2 /z -+- Il h à la place de n h.
ARTICLE II
DE L’KQlilI.IBRE d’üN MASSIF TERMINÉ PAR DEUX FACES LATÉRALES, DONT LA SURFACE SUPÉRIEURE EST CHARGÉE d’un POIDS.
194. On considérera, pour plus de simplicité , un massif compris entre deux plans verticaux parallèles (Fig. 16). Supposant que ce massif doit se rompre suivant la direction AT , on nommera h la hauteur AC du massif; n l’épaisseur AB ou CD;
a l’inclinaison sur l'horizon de la ligne de rupture AT ;
P un poids réparti uniformément sur la surface supérieure CD , pour l'unité de longueur du massif; n ,/el t auront les significations indiquées n" 188;
La force qui tend à produire le glissement de la partie supérieure du massif le long de AT est
I P-t-IIaA tang a Isin. a;
celle qui tend à empêcher ce glissement est
f II n1 A f a
f i P-t-IIoA tang.a ]cos.a-t .
V 2 / cos a
Si l'on égale ces deux expressions , on aura
( ItaJ
P -i- II n /i — tang. a j (tang. a — f)=i a( 1 -t- tang. *a),
d’où l'on déduit
lia1 l-t- tang. Jx
P-+-IIaA= tang. a-t-fd. .
2 tang. a — f
195. En faisant varier a, et déterminant la valeur minimum de P-t-IIn/t, on connaîtra en même temps la direction suivant laquelle le massif se romprait, si la charge surpassait un peu la valeur qui convient à l'équilibre, et la plus grande hauteur qu'il soit possible de donner à ce massif, ou le plus grand poids dont on puisse le charger.
La valeur de tang. * qui répond au minimum du second membre de l’équation précédente est
ton,
Pt en la substituant dans ce second membre, on trouve
P-t-Iln/i=/'[ hîfa
+l/2fa(IIol+2'ïO)(l+^)
pour l'expression de la plus grande valeur qu’il soit possible de donner à P+II a h, sans causer la rupture du massif.
196- Si l'on fait abstraction du poids de la partie supérieure ACDT du massif, ces formules deviennent
tang.a = f't-V' 1 P= 2f a (f+l/ 1 -vf »).
197. Si de plus on suppose /'=0, ou que la résistance au glissement soit indépendante de la pression, et proportionnelle à la surface de rupture, on a
tang.a=l, p=î*yfl,
résultats donnés par Coulomb [1]. La rupture tend alors à s’opérer suivant un plan incliné d'un demi-angle droit; la valeur de P est proportionnelle à l’épaisseur a du massif. Ces formules peuvent donner les lois de l’écrasement d’un prisme de pierre, par un effort exercé sur la face supérieure.
198. Les résultats précédents supposent la composition du massif homogène, comme le serait celle d’une masse de terre, de béton, ou de petits moellons posés irrégulièrement et unis avec du mortier. Dans ce dernier cas, on doit mettre dans les formules, pour /* et t , les valeurs qui conviennent à la matière du mortier. Mais si le massif est formé en pierres un peu grandes, taillées régulièrement, et posées par assises horizontales, la lézarde inclinée qui a lieu lors de la rupture devra se former dans les pierres mêmes ; el par conséquent les valeurs de /"et t devront être celles qui conviennent à la matière de ces pierres. On rend raison de cette manière de la plus grande solidité que l’on obtient en employant le mode de construction dont il s’agit.
ARTICLE III
DE LÉQriUBRF. d’|IN MASSIF EXPOSÉ A UN EFFORT EXERCE CONTRE FNE DES FACES I.ATÉRAI.F.S.
199. Considérons un massif ABDC (Fig. 17) compris entre deux faces parallèles, soumis à l'action d’une force horizontale appliquée en E. Cette force pourra rompre le massif, en faisant glisser la partie supérieure sur la partie inférieure, ou en renversant la première. Ces deux modes de rupture doivent être examinés à part.
. CAS OC LA RrPTl'RE RL' MASSIF S’OPÈRE PAR GLISSEMENT.
200- La rupture doit s’opérer suivant une direction inclinée quelconque ST dans la partie ABEF du massif, et il s’agit de déterminer la moindre valeur
[i] Mémoires dos savants vlranflers, 177".
qui puisse être attribuée à la force horizontale appliquée en E , avec la condition d’opérer cette rupture. On nommera
a l'épaisseur AB du massif;
H la hauteur AF ou BE du point d’application de la force horizontale ;
P le poids de la partie supérieure CDEF pour une unité de longueur du massif;
Q la valeur de la force horizontale appliquée en E pour une unité de longueur du massif;
i l’angle de la ligne de rupture EF avec l’horizon ;
h la distance SF ;
n le poids de l’unité de volume de la matière du massif;
y la force, rapportée à l’unité de surface, nécessaire pour séparer deux portions du massif, en les faisant glisser l’une sur l’autre;
f le rapport du frottement à la pression pour deux portions du massif glissant l'une sur l’autre;
* l’angle dont la tangente est f.
La force qui tend à produire le glissement sur ST est
Ocos. * + (P-t-Tl« A— jlla’lang. a) sin. a.
La force qui s’y oppose est
— fQ sin. j II fl2 tang. a) cos. 5t-4- y .
COS. a
En égalant ces deux expressions et tirant la valeur de Q, il vient
1 (2P + 2IlaA — lia1 lang. a) (f — tang. i) + 2to(I + lang. J a)
2 I -♦'/■tang. a
Cette expression représente la valeur qu’il faudrait attribuer à la force Q pour qu’il y eût équilibre entre les actions qui tendent à faire rompre le massif, et les résistances qui s’opposent à la rupture. Les quantités h et a sont indéterminées : on ne peut exposer le massif à une action horizontale surpassant la plus petite des valeurs que prendra Q dans l'équation (/J, quand on y fera varier dans le second membre h et a.
201. Si l’on avait -f = 0, il suffirait de prendre tang. a~f pour rendre nulle la valeur de Q. Ainsi lorsque la cohésion est nulle le massif ne peut supporter aucune action horizontale.
202. Nous remarquerons d’ailleurs que le terme qui contient h dans l’ex pression (/) sera positif ou négatif suivant que tang. a sera < ou > f. Par conséquent si l’inclinaison de la ligne de rupture ST sur l'horizon devait être supposée moindre que l’inclinaison du plan sur lequel les parties du massif se
tiendraient en équilibre par l’effet du frottement seul { inclinaison désignée par o et que l’on nomme ordinairement X angle du frottement), il faudrait prendre h le plus petite possible. Au contraire si l’inclinoison de la ligne de rupture sur l'horizon devait être supposée plus grande que l’angle du frottement., il faudrait prendre h le plus grande possible. On peut donc être obligé d’admettre que la ligne de rupture part du point E , ou bien du point A : ces deux cas doivent être considérés séparément. Quant à l'inclinaison qui doit être attribuée à cette ligne de rupture , on verra tout à l’heure comment elle doit être déterminée.
205. Admettons d’abord que la rupture s’opère suivant la ligne AU partant du point A. On fera h = H dans l’équation (/), et posant pour abréger
A = 2(/T n ll-4-Ta),
D=/Ilo> + 2P-i-}|loH,
C = Il a1 2 f a,
elle deviendra
1 A — B (.ing. a Clang. 1 a
2 1 -H f tang. a
Supposons la force de cohésion nulle, puis croissant progressivement à partir de zéro : il y aura d’abord des valeurs de tang. a qui rendront Q=0. Ces valeurs seront données par l’expression
tang. * =
B±l/B»-4AC
Si n’est pas assez grande pour que ces valeurs soient imaginaires, elles seront toutes deux positives , et toute valeur de tang. a comprise entre les valeurs dont il s’agit donnerait pour Q un résultat négatif. Par conséquent le massif ne peut supporter aucune action horizontale, à moins que les valeurs données par l’expression {n) ne soient imaginaires; ou à moins que, si elles
sont réelles, la plus petite de ces valeurs ne surpasse —, c’est-à-dire n’in-
dique une ligue de rupture située au-dessns de AE. En effet, toute ligne de rupture tracée dans l’angle BAE peut être admise ; mais on ne peut pas supposer que la rupture s’établisse au delà de cette ligne. Si les valeurs
données par l’expression (n) sont réelles, et si la plus petite surpasse — , on il °
fera donc Lang. « =— dans l’expression (ni), et l'on aura dans ce cas la valeur
du pins grand effort horizontal que le massif puisse supporter.
204. Si les deux valeurs données par la formule (n) étaient imaginaires, on
en conclurait qu’il existe une valeur minimum positive de Q , dont il faudrait faire la recherche. La valeur de tang. a qui rend l’expression (m) la moindre possible est
qui donnera pour tang. des valeurs de plus en plus petites, h mesure que v augmentera. Si la valeur de tang. a que l’on en déduit était plus grande B
que — , ce qui indiquerait une direction de la ligne de rupture placée au delà
de AE, il faudrait évidemment faire tang. a= — dans l’expression [m] , et
l’on aurait alors la valeur cherchée pour Q. Mais si la valeur de tang. a don-
née par la formule (o) est < — , il faudra mettre cette valeur dans l’cxpres- «
sion (m).
205. On doit remarquer toutefois que, lorsque v augmente de plus en plus, la valeur de tang. * donnée par la formule (o) diminuant, cette valeur peut être trouvée <f. En effet, si l’on suppose t infiniment grande la formule (o) donne
tang. a = r — OU tang.a=:i<j;
en sorte que la direction de la ligne de rupture partagerait alors en deux parties égales l'angle du frottement. Mais d'après ce qui a été dit n° 202, il ne faudrait pas admettre ce dernier résultat : car si tang. a est </■, il convient de supposer la ligne de rupture le plus haut possible , c’est-à-dire partant du point E : à valeur égale pour a, la formule ( m ) donnera alors une valeur moindre pour Q. On devra par conséquent, si l’expression (o) donne pour tang. a une valeur </“, recourir à d’autres formules, établies dans la supposition que la ligne de rupture part du point E.
200. Admettons donc maintenant que la rupture s’opère suivant la ligne EV partant du point E.
La force qui tend à produire le glissement sera
Q cos. ou- (P-*- -t U a] long, a) sin. a ;
et la force qui s’y oppose
— f 0*in. <*-+/( P-t-j lia2 tang. a) cos. a.
Égalant les expressions de ces deux forces, et tirant la valeur de Q. on trouve
l(2P + IIo1 tang. a) {f— tang. »)+}ts(I+ lang. 2 a)
2 l -i-f tang. i
un
En faisant pour abréger
A=S(/p-t-fa),
B—/Tt a1 — 2 P.
c=n a»— aTn,
('elle formule deviendra
A -t- B lang. a — Clang. 1 a
