OH
Le moment des forces qui s’opposent à ce renversement est, en prenant pour le moment de la résistance à la rupture sur AT, une expression conforme à celle qui est donnée par l’hypothèse de Mariotte (voyez n° 150) ,
P. a II a2 II II as II a1
— H tang. an
2 2 3 3 cos. * a
En égalant ces deux moments, on a
P .a Un5 II Ha5 R a2
O H = H lang. a -t ( 1 ■+- tang. *a ).
212. Si l’on cherche la valeur de tang a qui rend le second membre un minimum , on connaîtra en même temps la direction suivant laquelle la rupture s’opérerait, si la valeur du moment QH surpassait un peu celle qui convient à l’équilibre , et la plus grande valeur qu’il soit possible de donner à ce moment. La valeur de tang. a qui satisfait à cette condition est
taDg. a = — - ;
et en la substituant dans l’équation précédente, on a pour la limite cherchée
P. a lia2 H a2 a* R a2 y 11 = 1 H .
En résolvant cette dernière équation par rapport à a, on connaîtra la moindre épaisseur qu’il soit possible de donner au mur, pour qu’il résiste à l’action de la force Q.
DK LA MÉCANIQUE, I" l’AUTlE.
213. Si la force de cohésion est très-grande, on a sensiblement
P. o II a2 II R a3
tang. a = 0. Q H = 1 1 .
La rupture s’opère alors sur la base AB. Il est supposé que le massif adhère à cette base avec la force exprimée par R.
214. A mesure que R diminue, a augmente, et la ligne de rupture s'écarte de plus en plus de AB. Mais si la valeur de tang. a du n° (212) était plus
grande que — , c'est-à-dire si la ligne de rupture dépassait AE , on ne pour-
rail pas appliquer la formule précédente, parce que l’action de la force Q ne peut pas produire une disjonction dans la partie supérieure CDEF du massif.
215. Lorsque l’expression de tang. a du n” 212 est >— , on en conclut
que la rupture du massif tend à s’opérer suivant une ligne brisée telle que AUE. La résistance à la rupture résulte alors simultanément de la cohésion qui a lieu sur les deux parties de cette ligne. Si la cohésion est supposée nulle, comme on doit le faire le plus souvent dans les applications, on doit supposer la ligne AU presque contiguè à la ligne AF, et par conséquent apprécier la valeur qu’il convient d'attribuer à la force Q d'après l'équation
qui répond à une limite au-dessous de laquelle la résistance du massif ne peut être estimée, du moins tant que l’on regarde les parties de ce massif comme ne pouvant être écrasées.
216. Si le massif n’adhère pas à sa base avec la même force que les parties du massif adhèrent entre elles, en sorte que la valeur de la force de cohésion dans le plan AB ait une valeur R' plus petite que R, on aura, en posant l’équation
une autre limite, que le moment QH ne pourrait dépasser sans causer le renversement du massif.
217. Si le massif est construit en pierres taillées régulièrement, et posées par assises horizontales, les résultats précédents peuvent être appliqués sans modification sensible, en attribuant à R la valeur qui convient à la matière du mortier qui unit les pierres.
Le mode de rupture dont il vient d’être question est celui qui a lieu le plus
fréquemment, la rupture par cassement pouvant être prévenue par divers procédés de construction , et exigeant généralement un effort plus considérable que ne le fait la rupture par renversement.
218. Si les parements du massif étaient inclinés à l’horizon ou formés par des lignes discontinues , et s’il était sollicité simultanément par plusieurs forces appliquées à divers points, il ne conviendrait pas de chercher à en exprimer la résistance par des formules générales dans la vue d’y appliquer les règles des maxima et minima. On devrait alors, en se guidant par les notions précédentes, évaluer la résistance pour diverses lignes hypothétiques de rupture, afin de distinguer le cas le plus désavantageux , et de s’assurer que dans ce cas même le massif présentera la force nécessaire.
lies PRESSIONS EXERCÉES sir les parties du massif, et qui tendent a en causer l'écrasement.
219. Considérons le cas traité dans les n‘“211 et suivants dans lequel la rupture du massif est supposée s’opérer par renversement, et supposons la construction tellement disposée qu’il y ait simplement équilibre entre l’action de la force horizontale Q (Fig. 18) d’une part, et d’autre part l'action des résistances provenant du poids des parties du massif qui tendent à être soulevées et de la cohésion. La direction de la résultante unique de toutes ces forces rencontrerait l'arête A qui est l’axe fixe autour duquel le mouvement de rotation tend à se produire. Mais cette arête serait alors exposée à s’écraser. Pour qu’aucun écrasement ne puisse avoir lieu , il faut que les efforts exercés sur cette partie du massif, qui est le plus exposée, se trouvent répartis sur une surface d’une certaine étendue.
Cette condition exige qu’il y ait excès de résistance de la part du massif; en sorte que la direction de la résultante de la force horizontale Q, et des actions qui résistent à cette force , doit passer en un point b situé en dedans de la base du massif, à une distance finie A b de l’arête A. Supposons que l’on ait ainsi disposé la construction de manière à obtenir un excès de résistance , et que l’on veuille vérifier si la pierre présentera la force nécessaire. On déterminera la direction de la résultante commune des actions qui tendent à rompre le massif et des forces qui résistent à ces actions , et le point b où la direction de cette résultante rencontre la base AB. On considérera ensuite que l’effort supporté par la base du massif doit se trouver réparti sur une portion de cette base plus grande que la portion Ab. Donc si l’on regarde celte portion Ab comme supportant seule un effort égal à la résultante dont il s’agit, on connaîtra ainsi une limite que la pression exercée sur la pierre ne peut dépasser.
UE LA HUI HE 0'|)H M ASSIT «'ÉGALE RESISTANCE A LA RLPTLRE PAR RENVERSEMENT.
220. On cherche la courbe BE (Fig. 19), suivant laquelle le massif doit être terminé en dessous , pour que la résistance à la rupture , suivant une direction quelconque AT tracée dans l’angle BAE, soit partout la môme. On nommera
M le moment de la force Q, moins le moment de la portion ACDE du massif , ces moments étant pris par rapport au point A ;
H la hauteur 6 E du point d’application de la force Q; v la longueur de la ligne AE;
A l’angle BAE; a l’angle BAT ;
? le rayon AT;
Il et R auront les significations indiquées ci-dessus.
Considérant a et p comme des coordonnées auxquelles sont rapportés les points de la courbe BE, et nommant à et a les coordonnées d’un point quelconque T' situé au delà de T , on aura
J- U. d a\ cos. a', p'3
pour le moment du poids d’un élément triangulaire de l’aire ATE. Par conséquent, supposant que la rupture s’effectue en AT, l’équation d’équilibre sera
/ a it
Un'. cos. a'. p'J = — • a ô
Différenciant par rapport à a , on a
d’où
lt il a. cos. n. f3 = 2 li p U p ,
— sin. a = h ainsi. ;
2 II p
ou, |>arce que quand a = A, p —r,
ou
SK.C
2 R -4- Il (sin. A — sin. n) c
i B -4- Il (Il — csin. n)
ce qui est l’équation de la courbe cherchée.
221 . Si l’on suppose la cohésion extrêmement grande, cette équation se réduit à
p=cr
la courbe devient l’arc de cerele E b décrit du point A.
222. Lorsque l'on suppose la cohésion très-petite, la courbe se confond sensiblement avec la droite EA. Si, dans ce dernier cas, on avait donné au massif un profil rectangulaire, la partie EA 6 serait inutile à la solidité.
Les considérations précédentes trouvent principalement leur application dans l’établissement des contre-forts employés dans les édifices du style dit Gothique.
EXPÉRIENCSS SUR LA RÉSISTANCE DES MASSIFS DE MAÇONNERIE A LA RUPTURE PAR RENVERSEMENT.
223. M. Séguin atné ti), et surtout M. Vicat [a] ont fait quelques expériences sur ce genre de résistance. Les dernières se rapportent principalement au cas où l’effort est exercé par une chaîne qui enveloppe un massif, et qui le sollicite suivant une direction inclinée. Les notions qui ont été exposées ci-dessus sont d’accord avec les résultats de ces observations.
ARTICLE IV
DE l’ÉTAULISSEMEST DES MURS DE HEVÊTEMEST qui RESISTENT A EA POUSSÉE DES TERRES ET DES EAUX.
224. Cette question comporte deux parties : 1" la recherche de la pression que les terres exercent contre une paroi plane, par laquelle elles sont revêtues; 2" la recherche des dimensions qu’il convient d’attribuer aux murs qui résistent à ces pressions.
rnioiois exercEe far les terres cuistre lise paroi plaise.
225. AB (Fig. 20) étant une paroi plane pressée par un massif de terre, et maintenue par une force Q perpendiculaire à cette paroi, on demande la
II] Des pouls en fil de fer, 9* édition, page 110.
[>] Influence du mode d'attache des chaînes, sur la résistance des piliers des pouls suspendus. Annales des |>onU et chaussées, tome III.
valeur de la force Q, el le point E de la paroi auquel cette force doit être appliquée.
Supposant que le massif doit se diviser suivant une direction inclinée AT, on nommera
h la hauteur verticale AC du revêtement;
■ l’angle BAC, formé par la paroi avec la verticale ;
6 l’angle BAT, formé par le plan de rupture avec la paroi ; t l'angle CAF, formé avec la verticale par le plan sur lequel les terres se tiendraient en équilibre par l’effet seul du frottement ; en sorte
