SURCHARGÉE
234. Reprenant le calcul du n° 225, en supposant la surface supérieure des terres chargée uniformément par des matières qui doivent se diviser suivant des plans verticaux correspondants aux extrémités supérieures T des lignes de rupture (Fig. 20 et 21 ) , et nommant
P le poids porté par l’unité de surface,
On devra , dans les formules de ce n", écrire ph A* au lieu de j « A*. L’angle du prisme de plus grande poussée demeurera toujours le même. La valeur de la poussée du n” 229 deviendra
sin. r
O = (p h ■+• ^ t /i2) t* cos ■ — k A' — j
cos.
et dans le cas où la paroi est verticale ,
Q = (pA-t- J xh*)fl-ïth.t.
235. En appelant A" la valeur de A pour laquelle Q est nulle, on aura
les expressions dcQ du n° 230, et l’expression trouvée n” 231 pour la distance du point d’application de Q à l’extrémité inférieure de la paroi, conviendront au cas dont il s’agit, en écrivaut A" au lieu de A’.
236. En supposant nulle la cohésion des terres, comme au n” 232, la valeur de la poussée sera
0 = (p A -4- i * AJ) / 1 cos. i ;
et si la paroi est verticale ,
0 = (pA-*- i
La distance du point d’application deQ à l’extrémité inférieure de la paroi sera
3 cos. i ic h -+- 2/> '
et si la paroi est verticale ,
ic h -4- 2/>
237. Lorsque les terres se changent en un fluide, les expressions précédentes de Q s'appliquent à ce cas en supposant t = 90" , ce qui donne t = 1 quand la paroi est verticale. La valeur précédente de la distance du point d’application de la pression convient également aux terres non cohérentes, et aux fluides.
tçtiUBRF. n’rx ai r soctexakt la poissée »es terres.
238. On regarde le mur ABfo (Fig. 22 et 23) comme pouvant sc rompre suivant la direction inclinée «S. La rupture peut avoir lieu , soit parce que la partie supérieure SB5« glisserait sur le plan de rupture, soit parce que cette partie supérieure serait renversée en tournant sur l'arête a. La rupture par glissement, suivant une direction inclinée, tracée dans l'épaisseur du mur, peut être prévenue par divers procédés de construction ; et, abstraction faite de ces procédés , ce genre de rupture n’aura pas lieu , en général , si le mur a l’épaisseur nécessaire pour résister h la rupture par renversement. On considérera seulement ici ce dernier genre de rupture.
Conservant les dénominations des n" 225 et suivants , on nommera
a la largeur A a de la base du mur ;
h la hauteur verticale AC ;
«île rapport de la base à la hauteur, pour le talus de la face extérieure ab du mur;
n le poids de l’unité de volume de la matière du mur ;
R la cohésion de la matière du mur sur l’unité de surface (voyez n” 211 );
F le rapport du frottement à la pression pour les terres glissant sur la face intérieure AB du mur.
• représentera, comme ci-dessus , l’angle que le parement intérieur AB forme avec la verticale ;
z la hauteur indéterminée SD.
En regardant la pression exercée par la terre contre BS comme une force appliquée en E , perpendiculairement au parement du mur. la valeur de cette force, d’après le n° 250, est
f * si2 (s — h') COS. !.
La dislance SE . d'après le n“ 231 , est
S COS. • 3 — h'
d'où il suit que le bras de levier nG «Je la force dont il s’agit, esl
1 qp a sin. i.
cos. « S cos. « % — W
L’expression du moment de la poussée des terres sur BS, pris par rapport à l’aréle a , est donc
ri — s a s — i h' 1
ï s si* (s — A')cos. I -+- — tpasin. J ,
L cos. • 3 cos. i s — A’ J
les signes supérieur et inférieur ayant lieu respectivement pour les cas des figures 22 et 23. La môme expression conviendrait au cas où la surface supérieure des terres serait sur :hargée uniformément, en écrivant h" au lieu de h' conformément au n" 235.
239. Le moment des forces qui s'opposent au renversement , pris par rapport à l’arête a , se compose du moment du poids du rectangle AC ca, qui est
■i nna/i;
moins le moment du poids du triangle abc,
moins ou plus le moment du poids du triangle ACB .
; tang. i (o :p -t h ta»);. •) ;
moins le moment du poids du triangle aRS,
ï II (A — 3) f (A — 3) lang. « }* ;
moins ou plus le moment du poids du triangle ARS.
f D (A — 3 ) 2 long. ■ [o T j (A - 3) tang.
auxquels il faut ajouter le moment de la résistance à la rupture sur «S, qui est î R j ( h — x )* + [o rp (A - 3) tang. .]» J ;
et enfin le moment du frottement et de l’adhérence des terres contre le parement intérieur du mur, qui est
‘ Fs z t2 ( z — h') cos. c. o cos. t.
240. La condition de l’équilibre du mur , pour une valeur donnée de s, •s’exprimera en égalant cette somme de moments au moment de la poussée des
terres sur BS. Si l’on résout ensuite l’équation par rapport à a , et si l’on détermine la valeur de z par la condition de rendre a un maximum, on connaîtra en môme temps la direction suivant laquelle le mur se romprait, si l’épaisseur a était un peu trop petite, et la moindre valeur qu’il soit possible de donner à cette épaisseur.
241. Nous supposerons le parement intérieur du mur vertical', la cohésion des terres et celle de la matière du mur milles, d’où . =r O, K = 0, R — 0. De
plus nous négligerons le frottement exercé par le terrain contre la face intérieure du mur, d’où F = 0. Dans ce cas, s’il n’y a point de surcharge sur la surface supérieure des terres, le moment de la poussée sur BS, pris par rapport au point A , est
et le moment de stabilité du mur ,
v 11 a1 A — ^ Il a* (A — *) — j II m* A5.
En égalant ces deux quantités , et résolvant par rapport à a, on trouve
X3*p(5lt — 2 a ) -V- Il Ml» A5
"nu+Sii
Différenciant et égalant à zéro , on aura , pour déterminer la valeur de z qui rendra» le plus grand possible, l’équation
8 ic t1 il z* — 6 * P. Il h7 z -4- 2 IP m7 h* = 0.
Cette valeur, substituée dans l’expression précédente, fera connaître la moindre largeur qu’il soit possible de donner à la base du mur.
242. Si le parement extérieur du mur est vertical , aussi bien que le parement intérieur, m = 0; l’expression précédente de a se réduit à
n (a +jj)
La valeur de z qui rend cette expression un maximum , est
et la moindre épaisseur qu’il soit possible de donner au mur, est
a = h.ty —
t la -4- 8 y s ) n
Ainsi la hauteur RS est alors le a environ de la hauteur du mur, et la moin-
dre épaisseur est à peu près 0,59. ht
ÉQUILIBRE u'cs SUR SOUTENANT LA POl'SStR DLS TERRES , ES SUPPOSA ST CE NCR lERVIRSÉ EX TOTALITÉ SUR L' ARÊTE EXTÉRIEURE DE SA BASE.
243. On regarde maintenant le mur comme un corps posé sur une base avec laquelle il n’aurait aucune adhérence , en supposant la cohésion de la
matière de ce mur assez grande pour qu’il ne s’y fasse pas de disjonction, dans le cas où la poussée des terres le renverserait en le faisant tourner sur l’aréte extérieure de sa base. En conservant les dénominations du n° 238, qui se rapportent aux figures 22 et 23, l'expression du moment de la poussée des terres sur AB se déduira de celle qui a été trouvée dans ce numéro en supposant z = h, et sera
•j * fl ( ÿ A* (A — y h') -f a h f h — h’) lin. i co«. »].
Le moment des forces qui s’opposent au renversement se déduira également de l’cxprpssion donnée n° 239, en supposant z = h, R = 0 , F = 0 , et sera
-J II A [a1 rpa A Mng. < -4- 7 AJ (tang. 1 • — w1)].
Egalant ces deux expressions, et résolvant l’équation par rapport à a, on trouvera
a—± ; jj
A lang. t fl (A — h’) «in. «ro»
VK A lang. . — j ( A — A*) «in. 1 co». .]
H — fl. h I h — II’) — 7 A* (lang. J « — ttfl)
sn
pour l’expression de la largeur à donner à la base du mur.
Cette expression conviendra au cas où la surface supérieure des terres est surchargée, en écrivant h" au lieu de h, et donnant à h" la valeur indiquée n° 235.
244. Si le parement intérieur du mur est vertical, « = 0; la valeur de n est
— fl II (h- ' /»')-*-! m‘ A»,
formule dans laquelle tang. 7 t, conformément au n" 229.
245. Si le parement extérieur du mur est également vertical, ni = 0, et l’on a
246. Si, la cohésion des terres étant supposée nulle, il existe une sur-
charge sur la face supérieure, on doit (conformément au n" 235) écrire
au lieu de h' dans l'expression générale de a du n" 245 , et dans celles des deux n”* précédents. Mais s’il n’existe point de surcharge, on doit faire K = 0. L’expression du n" 243 devient alors
i = ± ï h flnng. i P «in. i cos, *1
\ / j-T tang. t fl sin. « co«. si H P — j ( lang. J i — ftfl ).
247. Si, la cohésion des terres étant nulle, le parement intérieur du mur est vertical , on a
a = h\ / — — fl nfl.
248. Enfin si, la cohésion des terres étant nulle, les deux parements du mur sont verticaux , on a
en sorte que la moindre épaisseur à donner au mur est à peu près 0.577. ht \ / x , résultat qui ne diffère pas sensiblement de celui du n° 242.
249. Les formules des trois n01 précédents s’appliqueront au cas où les terres se changent en un fluide, en supposant T = 90°, ce qui donne t = 1 quand le parement intérieur du mur est vertical.
EQUILIBRE D’US HCR SOUTES ART LA POUSSÉE DES TERRES, ER SUPPOSAIT Ql'E CE RUR PEUT GLISSER SUR SA FORDATIOR.
250. On peut encore regarder le mur comme un corps posé sur une base horizontale, avec laquelle il aurait une faible adhérence, et sur laquelle la poussée des terres le ferait glisser, sans opérer de disjonction dans ce mur. Conservant les dénominations du n° 238, qui se rapportent aux figures 22 et 23, on nommera
<j> le rapport du frottement à la pression lorsque le mur glisse sur la base A a;
r la force de cohésion existant entre la matière du muret cette base.
La force qui tend à produire le glissement est la composante horizontale de la poussée Q , dont la valeur a été donnée n° 230 , c’est-à-dire
~ v h fl (h — h') cos. * i.
Le poids du mur étant
Il [a h — î Ifl ( m ± tang •)],
DE LA MÉCANIQUE, I" PARTIE, on a pour la force qui s’oppose au glissement
±7 4» ir h t7 [h — h') sin. ■ co». e -+- 4» 11 [a h — \ h7{m ± tang. t)] + rtf.
En égalant ces deux forces, on exprime la condition de l’équilibre du système , et en résolvant l’équation par rapport à a, on trouve
h x C* {h — h') cos. 7 • (1 qp<È> tang. ») -+- 4> Il h (m rt tang. a )
2 <î>Il h + T
pour l’expression de la moindre largeur qu’il soit possible de donner à la base du mur.
Cette expression conviendra au cas où la surface supérieure des terres est surchargée , en écrivant h" au lieu de h’, et donnant à h" la valeur indiquée n° 235.
251. Si le parement intérieur du mur est vertical, ■ = 0 : la valeur de a est
formule dans laquelle t = tang. -, t, conformément au n“ 229.
252. Si le parement extérieur du mur est également vertical , m = 0, et l’on a
253. Si, la cohésion des terres étant supposée nulle, il existe une surcharge
sur la face supérieure, on doit, conformément au n° 235, écrire au'
