UES VOÛTES

31 1 . Dans des expériences sur de petits modèles de voûtes en berceau , qu’il faisait rompre en chargeant par des poids les parties supérieures, M. Danisy [î] a montré que, lors de la rupture, les parties supérieures s’abaissaient en s’appuyant l'une contre l’autre à la clef, et en écartant les parties inférieures, qui se renversaient en tournant sur les arêtes extérieures de leurs bases. 11 a fait remarquer que, dans ces mouvements, les voussoirs ne glissaient point sur les plans de joint, mais s’écartaient les uns des autres en tournant sur les arêtes contiguës. Des expériences semblables ont été faites depuis par MM. Gauthey [a] et Rondelet [*].

512. M. Boistard, ingénieur en chef des ponts et chaussées, a publié d’autres expériences faites plus en grand, et avec plus de précision U). Les voûtes avaient 2", 27 d’ouverture, et étaient construites avec des voussoirs en briques, polis au grès, ayant Om,ll d’épaisseur et de hauteur. On a formé avec ces matériaux des voûtes en plein cintre, en anse de panier surbaissées au tiers et au quart, en arc de cercle dont la flèche était le \ le et le de l’ouverture, et en plate-bande. Chacune de ces voûtes a été soumise à trois épreuves principales. Dans la première, les voûtesétaient extradossées sur 0“,11 d’épaisseur, et celte épaisseur n’étant pas suffisante pour qu’elles pussent se maintenir en équilibre quand on abaissait le cintre, un certain nombre de voussoirs de la partie supérieure s’abaissait en portant sur le sommet du cintre (Fig. 28). Les deux parties inférieures de la voûte formaient des arcs rampants, et se partageaient en deux portions. La rupture tendait à se foire vers le milieu de chacun de ces arcs, où les voussoirs ne touchaient point le cintre, et où les joints s’ouvraient à l’extrados aux extrémités supérieure et inférieure de chaque arc.

513. Dans la seconde épreuve, les voûtes étaient encore extradossées. On

(0 Traité de la coupe des pierres, de Frezier, tome III. Ces expériences ont été faites en 1759, devant l'académie de Montpellier.

[î] Dissertation sur les dégradations du Panthéon français, page 111. Traité de la construction des ponts, tome I, page 941, 9* édition.

[s] Art de bâtir, tome IV. pages 995 et suivantes.

[s] Recueil de divers Mémoires , publié par Lesage , toinc II , page 170; ou Recueil d'expériences et d’observations , faites par Boistard, page 95. Ces expériences ont été faites en 1800.

ISO

embrassait de chaque côté un certain nombre de voussoirs de la partie inférieure par une corde qui s’appuyait sur l'extrados , et qui était tendue par un poids. Si la tension de la corde n’était pas suffisante pour maintenir la voôte en équilibre, cette voôte se rompait en s’ouvrant à l'intrados près de la clef et aux naissances, et à l’extrados dans les reins (Fig. 29). Si la tension de la corde était suffisante pour l’équilibre, les mêmes joints s’ouvraient de la même manière, par l’effet du tassement; mais l’action des poids tendant à les faire resserrer, ils s’ouvraient et se fermaient alternativement par une sorte de mouvement d’oscillation, dans lequel les parties de la voûte tournaient alternativement dans les deux sens, et en s’appuyant tantôt sur les arêtes supérieures et tantôt sur les arêtes inférieures des voussoirs. Enfin, si la tension de la corde était augmentée au delà d’une certaine limite, des effets analogues aux premiers se manifestaient en sens contraire (Fig. 30); c’est-à-dire que les parties inférieures de la voûte tendaient à s’abaisser , et les parties supérieures à être soulevées, les joints s’ouvrant à l’extrados près de la clef et aux naissances, et à l’intrados dans les reins.

314. Dans la troisième épreuve on construisait des culées , et l'On remplissait les reins de la voûleen maçonnerie arasée au niveau du sommet, où l’épaisseur était toujours de 0m, 11. Si l’épaisseur des culées était suffisante la voûte se maintenait en équilibre, lorsqu’on abaissait le cintre. Dans le cas contraire, ou si l’on chargeait davantage le sommet de la voûte, cette voûte se rompait en quatre parties (Fig. 51), les joints s'ouvrant à l’intrados à la clef et aux naissances, et à l'extrados dans les reins.

Il résidtc de ces expériences que, dans les voûtes en demi-cercle, extradossées d’égale épaisseur ou extradossées de niveau, la rupture tend à se faire vers l’angle de 30" environ, à compter de la naissance du demi-cercle. Dans les voûtes en anse de panier décrites avec trois arcs de cercle de 60" chacun, et surbaissées au tiers ou au quart, la rupture tend à se faire vers l'angle de 45“ ou de 55°, à compter de la naissance du petit arc. Dans les voûtés en arc de cercle, le point de rupture est à l’intersection de l’arc et du pied-droit, à moins que la voûte ne soit exlradossée sur une très-petite épaisseur, ou que l'amplitude de l'arc ne surpasse 120" environ [i],

315. Les observations faites par M. Perronet [s] , lors de la construction de plusieurs grands ponts, indiquent également la nature des mouvements

li] On trouve d'autres expériences relatives à l'équilibre des voilles dans l'ouvrage intitulé A dissertation on the construction and properties of arches, par G. Atvvood, 1801 I. 'auteur considérait les voûtes dans l'hypothèse du glissement des voussoirs, et scs expériences, faites avec des voussoirs en cuivre bien polis, se rapportent socialement à celle hypothèse.

(i] Mémoire sur le cintrement et décintremenl des ponts. Voyez aussi le Recueil d'expé-

qui ont lieu dans les voûtes. D’après ces observations, les premiers cours de voussoirs peuvent être posés sans l'appui du cintre, et ne commencent à glisser qu’autant que l’inclinaison des joints sur l’horizon est de 39° à 40” [i]. Au delà de celte inclinaison, le cintre porte une portion du poids des voussoirs; et, quand on emploie un cintre retroussé, il s’abaisse dans les parties inférieures, et se soulèverait au sommet si l’on ne s’opposait à ce mouvement en plaçant sur ce sommet une charge suffisante.

Ces effets ont été observés à l’arche de Saint-Edme à Nogent-sur-Seine, dont la figure est une anse de panier, ayant 29m, 24 d’ouverture, et 8m, 77 de flèche (Fig. 32). L’épaisseur au sommet est de lm, 62. Chaque moitié est composée de 47 cours de voussoirs, non compris la clef. Les vingt premiers cours de voussoirs ayant été posés, les cinq derniers se séparèrent à raison du tassement du cintre; le joint s’ouvrit de 0"*, 02 à l’extrados au-dessus du ÎS” cours, et il se fit une disjonction verticale entre la voûte et les assises horizontales des culées, dont l’effet était sensible jusqu’au 7" cours. En continuant la pose, ces joints se refermèrent : le point de rupture se trouva reporté plus haut, et les joints s’ouvrirent de 0m, 002 à l’extrados, du 20r au SI” cours.

La figure des arches du pont de Neuilly est une anse de panier surbaissée au quart, ayant 59“ d’ouverture. Chaque moitié est composée de 50 cours de voussoirs, non compris la clef. Dans les arches adjacentes aux culées, les joints se sont successivement ouverts à l’extrados, en raison de l’avancement de la pose des voussoirs, depuis (jusqu’à 5 et 7 millimètres, du 11* au 56” cours. Des effets analogues ont été observés dans les autres ponts.

316. D’autres mouvements ont lieu après la pose des clefs : les cintres sont alors chargés sur le sommet, et tendant à se soulever vers les reins. On avait tracé, avant le décintrcment, sur les tètes de l’arche de Nogent (Fig. 32), trois lignes droites, l’une horizontale placée au sommet delà voûte, du dessus d’un 28e cours à l’autre; et les deux autres inclinées, depuis les extrémités delà première jusques aux points où le joint du 7” cours rencontre la tangente verticale aux naissances. La position de ces lignes avait été rapportée à des points fixes. Les derniers joints ouverts à l’extrados, dans la partie supérieure de la voûte, se sont resserrés, et la disjonction verticale qui s’était faite entre les voussoirs et les assises des culées a presque entièrement disparu. La ligne horizontale a pris une courbure indiquant un tassement vertical, qui allait en diminuant uniformément depuis le milieu de cette ligne jusqu’aux extrémités, il s’est formé dans la courbure des deux autres lignes un point d'inflexion, a

ricnces et d'observations, par M. Doislard, et les Éludes relatives à Part des constructions, par M. Bruyère, premier recueil.

[i] Cela suppose que le rapport du frottement h la pression est environ 0,82 . Celle observation a déjà été mentionnée ci-dessus, n” 284.

la rencontre du joint entre le 16e et le 17' cours; ce qui indiquait, outre le tassement vertical et le resserrement des joints dans les cours supérieurs, jusques et compris le 17", un resserrement semblable dans les joints de la partie inférieure, qui se trouvait reportée vers les culées. Le point de rupture se trouvait donc placé entre le 16' et le 17e cours de voussoirs, et on doit remarquer que la maçonnerie des reins était achevée lors du décintrement.

Au pont de Neuilly, après la pose des clefs, les derniers joints qui s’étaient ouverts à l'extrados se sont refermés ; et , de chaque côté , de nouveaux joints se sont ouverts il l'intrados, à partir de la clef. Les joints sont restés ouverts à l’extrados dans les reins ; la plus grande ouverture avait lieu entre le 26' et le 27' cours de voussoirs , ce qui a indiqué la position du point de rupture. La maçonnerie des reins n’était pas construite lors du décintrement.

317. Les résultats précédents se rapportent aux voûtes en berceau: les observations faites sur les dégradations du dôme de Saint-Pierre de Rome peuvent fixer les idées sur les mouvements analogues qui ont lieu dans les voûtes sphériques. 11 résulte de ces observations que cet édifice tendait à s’écrouler de la manière indiquée fig. 53 ; la maçonnerie, qui offrait un grand nombre de lézardes dans la direction des plans méridiens, s’ouvrant à l’extrados en V, à la naissance de la voûte, et à l’intrados en AD, à la base du tambour sur lequel cette voûte est portée. Dans ce mouvement, les contreforts s’étaient séparés du mur du tambour. Ces dégradations ont été arrêtées au moyen de cercles en fer qui s’opposent à l’agrandissement du diamètre de la partie inférieure du dôme [il.

(i) Les dégradations survenues au dôme de Saint-Pierre de Rome sont décrites en détail dans l’ouvrage de Poleni, intitulé Memorie istoriehe délia gran cupola del tempio P'aticano, Padoue, 1748. On y trouve l’extrait de tous les écrits faits jusqu’à celte époque sur la coupole du Vatican, parmi lesquels on doit distinguer le Parère di Ire matcmatici sopra i danni cite si sono trorali nella cupola di San Pielro sut fi ne dell’ anno 1742. Dans cc dernier ouvrage, dit aux PP. Lesucur, Jacquier et Boscowich, la question de l’équilibre des voûtes est traitée avec beaucoup d’exactitude et de sagacité. Les dégradations du dôme y sont présentées comme étant le résultat des mouvements que nous indiquons ici, et qui seraient produits par la poussée des parties supérieures. Poleni n’est pas d’accord sur ce point avec ces savants : il n’admet pas que la poussée du dôme ait écarté les parties inférieures, et attribue uniquement les dégradations à des tassements inégaux produits par des défauts de construction. Cependant il propose d’y remédier au moyen de plusieurs ceintures de fer. qui ont été placées sous sa direction par Vanvilelli, en 1748, et auxquelles on en a depuis ajouté d’autres. Ces armatures ne peuvent avoir d’autre objet que de contribuer à détruire l’action horizontale de la poussée.

Les idées des PP. Lesucur, Jacquier et Boscowich ont été adoptées par IU. Gaulhey, dans sa Dissertation sur les dégradations du Panthéon français, page 117. Elles sont contredites par M. Rondelet, Art de bâtir, tome 11, page 60; tome III, page 222 ; S»» édition. Mais les

318. Le résultat généra! des observations et expériences qui viennent d’être indiquées, est 1“ que, dans les mouvements des voûtes, les parties qui se séparent ne glissent pas les unes sur les autres , mais s'écartent en tournant sur les arêtes supérieures ou inférieures des voussoirs ; 2" qu’une voûte, en se rompant, se sépare ordinairement en quatre parties principales, les deux parties supérieures s'abaissant, pendant que les deux parties inférieures sont renversées en dehors. On ne doit pas en conclure d’ailleurs qu’une voûte ne puisse rompre par l’effet du glissement des voussoirs ; mais seulement que, d’après les proportions qu’on leur donne ordinairement , et les valeurs du frottement et de la cohésion, les voûtes se rompent plus facilement par l’écartement que par le glissement des parties. Il arrive quelquefois que les parties inférieures de la voûte cèdent en glissant sur les joints horizontaux placés au-dessous des naissances , en même temps que les parties supérieures s'abaissent en tournant sur les arêtes des voussoirs.

ARTICLE III

DF. l’ÉTABLISSEMEXT DES VOÛTES.

319. La figure et les dimensions générales d’une voûte sont déterminées par la destination de l'édifice dont cette voûte fait partie. Ainsi l’on regarde ordinairement comme données l'ouverture de la voûte, la courbe d'intrados, la hauteur des pieds-droits, la distribution des poids que la voûte doit supporter. On se donne aussi d'avance, d’après l'exemple des constructions analogues à celle que l'on projette, et regardées comme les plus parfaites, l’épaisseur de la voûte au sommet. Cette épaisseur est conservée la même dans toute l'étendue de la voûte , ou bien on l’augmente progressivement du sommet aux naissances. Quand une voûte est projetée, on doit s’assurer qu’elle demeurera en équilibre lors du décintrement. On établit l’équilibre d’une voûte, soit en chargeant davantage les parties qui tendent à être soulevées, soit en donnant plus d’épaisseur à ces parties. On doit vérifier également

notions admises par cet architecte , qui alors soutenait que les voûtes en dôme n'avaient pas de poussée horizontale, ne sont pas conformes h la vérité.

Il parait que Christophe Wrcn, habile géomètre, qui a construit de 1075 à 1710 la cathédrale de Saint-Paul à Londres, avait adopté, 6ur l'équilibre des voûtes, des notions semblables à celles que nous présentons ici. Voyez Account of the Family /Frcn, pages 350 et suivantes; cité par Itohison, A s)atcm of mechanical philosopliy, tome I. page 042.

ICO

LEÇONS Sli K L'APPLICATION

que les pressions exercées dans les diverses parties de la voûte ne sont pas assez considérables pour causer l’écrasement de la pierre, ou des autres matériaux dont les voussoirs sont forniés. Ces recherches , dans lesquelles consiste proprement l’établissement des voûtes, ne comportent que des applications des notions présentées dans l’article 1".

DE i/ÉQULlRRE DES VOUTES El* EERCEAU.

520. Considérons une voûte en berceau, composée de deux parties égales séparées par un joint vertical. L’action des poids supportés par la voûte produit perpendiculairement à ce joint , entre les deux moitiés, une pression. On pourrait supprimer une des moitiés de la voûte, et la remplacer par une force horizontale égale à la pression dont il s’agit. Si celte force horizontale est assez grande pour opérer une rupture dans la moitié restante, en la repoussant en dehors en totalité ou en partie, ou si elle n’est pas assez grande pour empêcher cette moitié de tomber en dedans, la voûte ne pourra se maintenir en équilibre. Elle s’y maintiendra dans le cas contraire. La recherche des conditions de cet équilibre comporte divers cas qui doivent être distingués et examinés à part.

AB NM (Fig. 31) représentant la moitié d’une voûte en berceau, et mn étant un joint quelconque, dans lequel on suppose que la rupture peut s’effectuer, on nommera

b, b' les distances OM , ON ;

x, y les distances A p, m p ;

x', y les distances Kq , np ;

: la longueur mn du joint ;

a l’angle que ce joint forme avec la verticale ;

G le poids de la portion de voûte «mNM pour une unité de longueur de cette voûte ;

» la distance AD du point A à la verticale passant par le centre de gravité C de cette portion de voûte ;

T la pression normale exercée contre le joint mn, pour l’unité de longueur de la voûte ;

f, y, R auront les significations indiquées n° 290.

521. Supposant d’abord que la rupture de la voûte ne peut s’opérer que par le glissement des voussoirs le long des plans de joint, on voit facilement, d’après le n° 291 , que la force horizontale O appliquée en NM , nécessaire pour empêcher la portion de voûte wwNM de glisser de haut en bas sur nm, a pour expression

G (cos. 8 — ysin. 8) — v s

si n. 0 f cos. 0

DE LA MÉCANIQUE, Irr PARTIE. 101

Les valeurs (A) ayant été calculées pour tous les joints eompris dans la demi-voûte , la plus grande de ces valeurs devra être prise pour la pression que les deux moitiés de la voûte exercent l’une contre l'autre à la clef, pression que l’on désigne ordinairement sous le nom de poussée horizontale de la voûte.

On remarquera ensuite que la force horizontale Q, appliquée en MN . qui serait assez grande pour repousser la portion de voilte mn N'M , en la faisant glisser dans le sens mn, aurait pour expression

G (cos. 0 -e/'sin. >) + 7î

«in. 0 — f cos. 0

Les valeurs (A,) ayant été calculées pour tous les joints compris dans la demi-voûte, on sera assuré que la voûte est en équilibre, si toutes ces valeurs sont plus grandes que la poussée horizontale, déterminée comme on vient de le dire. Dans le cas contraire, l’équilibre ne pourrait subsister.

Ainsi l’équilibre de la voûte exige que le maximum de (A) soit plus petit que le minimum de (A,) .

322. D'après les formes et les proportions que les voûtes offrent le plus communément, le joint de rupture qui donnera la valeur maximum de l’expression (A) sera placé dans les reins de la voûte. Le joint qui donne la valeur minimum de l’expression (A,) est le plus souvent le premier joint horizontal placé au-dessous des naissances. Alors la voûte tend à se rompre delà manière indiquée fig. 35, la partie supérieure s’abaissant, en même temps que les parties inférieures sont, de chaque cûté, repoussées en dehors.

Il peut arriver aussi que le joint qui donne le maximum de l’expression (A) soit placé aux naissances , ou près des naissances de la voûte , tandis que le joint qui donne le minimum de l’expression (A,) est placé près du sommet. Alors la voûte tendrait à rompre de la manière indiquée fig. 36, la partie supérieure s’élevant, en même temps que les parties inférieures glissent en dedans de chaque côté.

323. En admettant présentement que la rupture de la voûte ne peut s’opérer que par l’écartement des voussoirs, tournant sur les arêtes supérieures ou inférieures des joints, on verra, d’après le n° 292, que la force horizontale Q ( Fig. 34 ) , appliquée an point N , nécessaire pour empêcher la portion de voûte m «NM de tourner de haut en bas sur l’arête m , a pour expression

G(«— *)— ; hj1

Les valeurs (B) ayant été calculées pour tous les joints compris dans la demi-voûte, la plus grande de ces valeurs devra être prise pour la poussée horizontale de la voûte.

On remarquera ensuite que la force horizontale Q, appliquée en N, qui serait assez grande pour faire tourner la portion de vortte mn NM de bas en haut sur l’aréte n, aurait pour expression.

Les valeurs (B,) étant calculées pour tous les joints de la demi-voûte, on sera assuré de l’existence de l'équilibre, si toutes ces valeurs sont plus grandes que la poussée horizontale. Dans le cas contraire, l’équilibre n’aurait pas lieu.

L’équilibre de la voûte exige donc que le maximum de ( B ) soit plus petit que le minimum de (B,).

Ce que l’on vient de dire suppose d'ailleurs le maximum de (B) donné par un joint de rupture voisin du sommet, et le minimum de (B,) donné par un joint de rupture voisin des naissances. Alors la voûte tend h se rompre de la manière indiquée fig. 37, les parties supérieures s’abaissant en s’appuyant l’une contre l'autre par l’aréte supérieure du joint placé au sommet, tandis que les parties inférieures, renversées en dehors, tournent sur les arêtes extérieures de leurs bases. Les parties supérieures portent alors contre les parties inférieures par l’aréte du joint de rupture placée à l'intrados.

324. Mais la voûte, comme on l’a vu n°513, peut également se rompre de la manière indiquée fig. 38, les parties inférieures tombant en dedans en tournant sur les arêtes inférieures de leurs bases, tandis que les parties supérieures sont soulevées en portant l'une contre l’autre par l’arête inférieure du joint placé au sommet. Les parties supérieures portent alors contre les parties inférieures par l’arête d’extrados du joint de rupture. Pour vérifier l’équilibre relatif à ce dernier genre de rupture, on doit remarquer que la force Q, appliquée en M (Fig. 54), qui empêcherait la portion de voûte m » NM de tourner de bas en haut sur l'arête m, a pour expression

G (a — x) — 4 Bî!

Le maximum de cette expression doit être pris pour la poussée horizontale de la voûte.

On remarquera ensuite que la valeur nécessaire à la force Q appliquée en M, pour soulever la portion de voûte winNM en la faisant tourner sur l'arête m, est

L’équilibre exige donc ici que le maximum de (b) soit plus petit que le minimum de (6,)

325. On a suppose, dans le n"321, que la rupture de la voûte devait s'opérer seulement par glissement , et dans les n°* 323 et 324 que cette rupture devait s’opérer seulement par écartement. La rupture peut aussi avoir lieu en partieparglissement.et en partie par écartement. Le cas le plus ordinaire est celui où la voûte tend à se rompre de la manière indiquée n” 323, fig. 37; et il arrive aussi quelquefois que les parties supérieures s’abaissant comme le représente cette figure, les parties inférieures sont repoussées de la manière indiquée fig. 35. Il est évident que, pour prévenir ce mouvement, le maximum de l’expression (B) doit être rendu moindre que le minimum de l’expression (Ai). Les autres cas de rupture se présenteront très-rarement, et il est inutile de vérifier l’équilibre qui leur est relatif pour la plupart des voûtes que l’on peut avoir à construire.

On aura d’ailleurs égard à toutes les combinaisons possibles , en remarquant que l'équilibre exige 1° que les expressions (A) et (B) soient, dans toute l’étendue de la voûte, plus petites que ( A,) et (B,); 2° que les expressions (A) et (A) soient, dans toute l’étendue de la voûte, plus petites que (A,) et (5i).

Si l’on veut négliger les résistances provenant du frottement et de la cohésion, on supposera dans les formules précédentes f, f , R égaux à zéro. Dans le cas contraire, on évaluera ces quantités d’après les résultats rapportés n” 25 et suivants, 280 et suivants.

326. Lorsque la voûte est élevée sur des culées ou pieds-droits dont chaque assise est formée d’une seule pierre, tout ce qui vient d’étre dit doit être appliqué, en regardant les culées ou pieds-droits comme faisant partie de la voûte.

327. D’après ce qui précède, le procédé que l’on doit suivre pour vérifier l’existence de l'équilibre dans une voûte, consiste [i], dans la presque totalité des cas qui peuvent se présenter, 1° à chercher la valeur delà poussée horizontale Q appliquée en N (Fig. 34), en supposant diverses positions au joint de rupture vin dans les reins de la voûte, et s’arrêtant à la position pour laquelle l'expression du n" 323 ,

G (a — x) — ‘.Us*

[t] Le procédé que Ton indique ici, fondé sur les notions exposées dans les numéros précédents, est conforme à la théorie donnée par Coulomb, dans les Mémoires des savants étrangers présentés à l'Académie des sciences, 1773. M. Audoy a remarqué, dans le nft 4 du Mémorial de l'officier du génie, que les conditions d'équilibre obtenues par ce procédé ne différaient point de celles que l'on trouve par les méthodes moins simples exposées dans le Recueil d'expériences et d'observations de M. Boistard, et dans le Traité de la construction des ponts de M. Gauthey.

LEÇONS SUR L’APPLICATION ou simplement ( en négligeant l’adhésion des mortiers )

donne la plus grande valeur [1].

2" A examiner si l’action de la poussée horizontale, ainsi déterminée, est assez grande pour renverser en dehors , en la faisant tourner sur l’aréte des voussoirs, une partie de la demi-voûte ABNM, ou la totalité de celte demivoûte. On reconnaîtra généralement, à la seule inspection, que la poussée horizontale renverserait plus facilement la demi-voûte entière qu’une portion de cette demi-voûte. Ainsi on devra faire la vérification dont il s’agit en supposant la rupture dans le premier joint AB ; c’est-à-dire s’assurer que l'expression

ou, en négligeant l’adhésion des mortiers,

calculée pour ce joint, est plus grande que la poussée horizontale.

5° A examiner si la poussée horizontale peut faire glisser sur les plans de joint une partie ou la totalité de la demi-voûte; c’est-à-dire à s’assurer que l'expression

G (eos.8 -i- fn n. 8) -4- t *

sin.8 — feai.i

ou, en négligeant l’adhésion des mortiers,

cos. 8-t-/"sin. 0

lin. 8 — /"cos. 0

[i j Lorsqu’on néglige l'adhésion des mortiers, la recherche du joint de rupture mn

(Fig. 34), c’est-à-dire dujoint auquel répond la valeur maximum de l'expression Q = G ,

peut être facilitée au moyen de la proposition suivante. Admettons que la rupture doit s’opérer, non pas suivant le joint normal m n, mais suivant une ligne verticale passant par le point m, et désignons par ? l'angle qu'une tangente menée à la courl»e d'intrados forme

avec la verticale : on aura au point de rupture m la relation tang. o = . Ainsi la tan-

gentc menée à la courbe d'intrados au point de rupture m, cl la verticale CD passant par le centre de gravité du poids G de la partie supérieure de la voûte, doivent se rencontrer en un joint de l'horizontale menée par le point N. Celle proposition a été donnée par MM. Lamé et Clapeyron. Mémoire sur la stabilité des voûtes. Annales des Miues, tome VIII, 1833.

calculée pour un joint quelconque voisin de la naissance de la voûte, est plus grande que la poussée horizontale. Si ce joint était horizontal , l’expression précédente deviendrait simplement

0 = /Ïi + t s,

ou , en négligeant l’adhésion des mortiers ,

Q=fG.

On pourra s'aider, pour la recherche de la situation du joint de rupture et de la poussée horizontale, des résultats rapportés n" 514 et suivants. Dans les voûtes en arc de cercle et en plate-bande , la position du joint de rupture est connue d'avance, et la valeur de la poussée horizontale peut être calculée immédiatement.

Lorsque le résultat du calcul a fait connaître que la voûte projetée ne serait pas en équilibre, on doit augmenter l’épaisseur au sommet, ou la largeur des pieds-droits, ou les poids dont ils sont chargés. Si le défaut d’équilibre provenait de ce que les parties inférieures sont exposées à glisser sur les plans de joint, on pourrait y remédier sans augmenter le volume de la maçonnerie, soit en interrompant les joints par des pierres posées debout , soit en inclinant en dedans les plans de joint, soit enfin en liant les parties de la maçonnerie par des armatures en fer.

528. Lorsque les parties inférieures de la voûte , ou les culées ou piedsdroits sur lesquels elle est établie , ne sont pas formés avec des pierres qui en occupent toute l’épaisseur, il est nécessaire d’avoir égard à la possibilité d’une rupture dans la maçonnerie de ces pieds-droits , conformément à ce qu'on a vu n" 211 et suivants. Par exemple, dans la voûte dont la fig. 59 représente la moitié, on sait d’avance que la rupture tend à s’opérer suivant mno. On calculera donc la poussée horizontale Q, d'après la condition que cette force, appliquée en N, empêche la partie mnoNM de tourner sur l’arête m. Pour s’assurer ensuite que la poussée Q, ainsi déterminée, ne peut opérer le renversement du pied-droit en le faisant tourner sur l'arête B , on doit regarder ce pied droit comme pouvant se diviser suivant une ligne inclinée Bf, et établir les conditions d’équilibre de la masse ABCNM, soumise à l'action de la force horizontale Q qui tend à la faire tourner sur l’arête B, en se conformant à ce qui a été fait dans les n°* cités.

Si la force de cohésion du mortier, dans la maçonnerie de la culée, était supposée très-petite ou nulle, on devrait admettre immédiatement (conformément aux n0’ 214 et 215) que la rupture du pied-droit aura lieu suivant la direction B pin, et ne tenir aucun compte de la portion de maçonnerie AB/ww .

529. Lorsque la fondation d’une voûte est établie sur un terrain compressible, on doit avoir égard aux considérations exposées n°*257 et suivants.

Ainsi, pour la voûte dont on vient de parler, la largeur aS de la fondation devrait être déterminée par la condition que le moment du poids de la masse de maçonnerie oSCNMw, pris par rapport au milieu de ag, fût égal au moment de la poussée horizontale Q, pris par rapport au même point.

DES PRESSIOSS EXERCÉES COSTRE LES PLAIS DR JOUIT DASS LES VOUTES El» BERCEAU ■

330. Supposant que la valeur de la poussée horizontale Q ait été calculée conformément au n° 327, et conservant les dénominations du n° 320, qui se rapportent à la fig. 34, on aura

T = G sin. 0 + 0 co». 0

pour la valeur de la pression exercée normalement contre un joint quelconque mn. Cette pression, pour un joint horizontal tel que AB, se réduit à

représentant le poids de ABIN'M. Pour le joint vertical MN, elle se réduit, comme cela doit être, à

351. La connaissance de la valeur des pressions exercées perpendiculairement aux plans de joint ne suffit pas pour vérifier que ces pressions ne sont pas assez grandes pour causer l'écrasement de la pierre. Il faudrait connaître de plus la manière dont les pressions peuvent être réparties dans la hauteur mn des plans de joint. Considérons une voûte dans laquelle la rupture tend à s’opérer de la manière indiquée fig. 37, et qui est en équilibre, en sorte (pie si l’on diminuait un peu la largeur des pieds-droits , la rupture aurait lieu ; et regardons les voussoirs comme des corps parfaitement durs appliqués les uns contre les autres. La pression qui s’exerce contre le joint MN (Fig. 34), et qui est la poussée horizontale Q, sera évidemment appliquée contre l’arête supérieure N. Si mn était le joint de rupture, la pression exercée contre ce joint serait aussi évidemment appliquée contre l'arête m. Enfin la pression exercée contre le dernier joint AB le sera évidemment contre l’arête B. Quant aux joints intermédiaires, on doit admettre qu’aux joints voisins de MN et AB, la pression est appliquée contre les arêtes supérieures ; et qu’aux joints voisins du joint de rupture, la pression est appliquée contre les arêtes inférieures. On distinguerait les joints intermédiaires entre ceux oû la pression est appliquée à l’arête supérieure, et ceux où elle est appliquée à l'arête inférieure, parla condition que la résultante des deux forces G et Q, qui produisent cette pression, passe à égale distance des arêtes supérieure et inférieure.

332. Dans la réalité les voussoirs n’étant pas des corps parfaitement durs,

on ne peut admettre que les pressions s’exercent ainsi contre des arêtes. Cela n’empêche pas que l’on ne puisse calculer , avec une exactitude suffisante , l’équilibre des voûtes d’après les règles énoncées précédemment; mais il (tarait nécessaire d’avoir égard à l'élasticité de la matière des voussoirs, pour évaluer les efforts auxquels les parties de la pierre sont exposées. Cette question serait un cas particulier d’une question plus générale, qui consiste à déterminer les effets qui se produisent dans un corps élastique de figure quelconque, soumisà l’action de diverses forces . La solution de ce dernier problème ne pouvant être donnée ici, on cherchera à déterminer les efforts dont il s'agit d'après des suppositions qui paraissent s’éloigner très-peu des effets naturels, et qui sont propres à donner des limites, dont la connaissance est très-utile pour l'établissement des constructions.

Supposons, comme dans le n“ précédent, la voûte en équilibre, et la rupture prête à s'opérer de la manière indiquée fig. 37. Les joints pour lesquels il importe le plus de connaître la valeur de la pression supportée par la pierre sont les joints de rupture, savoir les joints extrêmes MN et AB (Fig. 34), et le joint de rupture placé dans les reins, que nous supposerons être mn.

En considérant d’abord le joint MN, et remarquant que, la voûte étant prête à se rompre, ce joint tend à s’ouvrir en M, nous admettrons 1“ que les deux voussoirs séparés par ce joint ne pressent point l’un contre l’autre par l’arête inférieure M ; 2” que , par l'effet de l'élasticité de la matière dont ils sont formés , ils se sont un peu comprimés en s'appuyant l’un contre l’autre , de manière que la compression, qui est nulle à l’arèle M, augmente uniformément depuis celte arête jusqu’à l’arête supérieure N ; 3° que les éléments de la hauteur du joint résistent avec des forces proportionnelles aux compressions qu’ils subissent, et qui augmentent aussi uniformément, depuis l’arête M où elles sont nulles, jusqu'à l’arête N où elles sont à leur maximum. Cela posé, nommant

K la pression maximum qui s’exerce contre l’arête N, la valeur de cette pression étant rapportée à l'unité de surface; v la distance d’un point quelconque de MN à l’extrémité inférieure M; c la hauteur totale MN de ce joint;

Krt/r

on aura pour la pression qui s'exerce contre l’élément dv de la hauteur

du voussoir place à la distance v de l’arête inférieure. Or les pressions exercées contre tous les éléments doivent être telles que la somme de leurs moments, pris par rapport à l’arête ni , soit égale au moment du poids G de la portion de voûte pris par rapport à la même arête. Celte somme de

moments étant

— / do.t>{b — y •¥■ c), OU j K [3 (6 — f)c -+- 2e*],

Ci / o

LEÇONS SUK L'APPLICATION

on a donc l'équation

don

On pourra calculer, au moyen de cette formule , la valeur de la plus grande pression à laquelle la pierre est exposée à la clef d’une voûte sur l’unité de surface, et vérifier, d’après ce qui a été dit n°* 174 et suivants, si cette pierre a la force nécessaire pour y résister.

555. Nous remarquerons ici que, dans les hypothèses qui viennent d'être établies, on doit prendre pour la poussée horizontale de la voûte la somme des pressions exercées dans la hauteur du joint MN. En désignant cette somme par Q'. on aura

K pc

0' = — / de. t = ï K c ;

Ci/ o

et en mettant pour K. la valeur précédente,

3 (6 — y) + Sc

Le point d’application de la résultante Q' est aux \ de la hauteur du joint, à compter de l’extrémité inférieure M. Cette nouvelle valeur de la poussée horizontale surpasse un peu la valeur désignée ci-dessus par Q, c’est-à-dire

et qui est calculée en supposant cette poussée appliquée en N. Il est plus exact, pour vérifier l’équilibre de la voûte , de prendre la force Q' pour la poussée horizontale; mais les résultats différeront généralement très-peu de ceux que l’on obtiendrait en regardant cette poussée comme représentée par la force Q, conformément au n° 327.

354. En considérant maintenant le joint de rupture mn, on admettra également que la pression est nulle à l’aréte supérieure m, où le joint tend à s’ouvrir, et qu’elle augmente uniformément depuis celte arête jusqu’en n, où cette poussée est à son maximun. z désignant toujours la hauteur mn du joint, K la valeur maximum de la pression, v la distance d’un point quel-

Kvdv

conque dewmà l’extrémité supérieure n, on aura comme ci-dessus pour

la pression supportée par un élément de la hauteur du voussoir. La condition à laquelle les pressions supportées par les divers éléments sont assujetties, est

ici que leur somme soit égale à la pression normale exercée contre le joint par le poids G de la portion de voûte m/tNM, et par la poussée horizontale Q.

Celte somme étant — J vdr, ou j Kz , on a donc l'équation

j- K 5 = G iin. 6 + 0' co« . 6 ;

d’où

2 { G sin. 6 H-0' cos. S)

formule qui fera connaître la valeur de la plus grande pression normale à laquelle la pierre est exposée sur l’unité de surface, dans le joint de rupture. Cette valeur est double de celle qu’on trouverait, en supposant l’effort uniformément réparti dans toute la hauteur du joint.

335. En considérant enfin le joint AB, et admettant les suppositions indiquées dans le n° précédent, on reconnaît que l’expression précédente de K convient également à ce joint. G représente alors le poids total de la demivoûte ABNM; et si le joint dont il s’agit est horizontal, on a simplement

356. A l’égard des joints intermédiaires entre les joints de rupture, les hypothèses précédentes ne peuvent pas s’y appliquer généralement avec exactitude; parce que lors même qu’une voûte est prête à se rompre, comme nous le supposons ici , ces joints ne tendent pas toujours à s’ouvrir , en sorte que l’on ne peut supposer nulle la pression exercée contre l’arête inférieure ou contre l’arête supérieure du joint. Pour les joints dont il s’agit, la pression se répartit d’une manière moins inégale dans toute la hauteur du plan de joint. Par conséquent si, en n’ayant point égard à cette remarque, on calculait pour ces joints la valeur de K par la formule du n° 534, le résultat surpasserait la véritable valeur de la pression normale à laquelle la pierre serait exposée. On conçoit d’ailleurs, à moins que la figure de la voûte ne soit trèsirrégulière , que si la pierre a une résistance suffisante à la clef, au joint de rupture, et aux joints inférieurs des pieds-droits, elle l’aura à plus forte raison dans toutes les autres parties de la voûte.

337. On a supposé n° 332 que la voûte était en équilibre, ou prête à se rompre, et cette supposition était nécessaire pour que l’on pût regarder les joints de rupture comme prêts k s’ouvrir. Dans la réalité les voûtes ont toujours un excès de stabilité, au moyen duquel aucun joint ne s’ouvre, si ce n’est par l’effet de la compression des mortiers , circonstance dont on fait ici abstraction. La valeur de la poussée horizontale doit toujours se calculer d’après

LEÇONS SUIl L'APPLICATION

les règles établies précédemment. Les voussoirs se trouvant partout maintenus en contact sur toute la hauteur des plans de joint, on n'est plus assuré d’être d’accord avec les effets naturels en supposant la pression nulle à l'arête inférieure ou à l’arête supérieure du joint, et l'on doit penser au contraire que la pression s’exerce sur toute la hauteur du joint, quoique moins fortement près de l’arête où le joint s'ouvrirait, si la voûte pouvait se rompre. La valeur totale de la pression exercée contre les plans de joint, ne peut jamais surpasser d’ailleurs celle que l’on calculerait par les formules du n° 530. On conclut de ces remarques que , si l'on appliquait à une voûte où il y a excès de stabilité les formules des n™ 532 et 354 , les valeurs de K ainsi obtenues surpasseraient toujours celles des pressions exercées, et donneraient des limites dont les véritables pressions seraient d'autant plus éloignées que l’excès de stabilité de la voûte serait plus grand. Les moindres valeurs qu’il soit possible d’attribuer h K sont d’ailleurs celles que l'on obtiendrait en supposant les pressions uniformément réparties dans la hauteur des joints.

338. Lorsque les voussoirs ne sont pas posés immédiatement les uns contre les autres, et lorsque l’on décintre une voûte avant que les couches de mortier interposées dans les joints aient acquis une dureté suffisante, il peut y survenir des tassements qui fassent ouvrir un certain nombre de joints près des points de rupture. Dans cette circonstance, la pierre peut être exposée à des efforts plus grands que ceux qui seraient calculés d’après les n“ 332 et 334, parce que la pression doit être regardée comme nulle, non seulement à l’une des extrémités du joint, mais sur une certaine portion de la hauteur de ce joint. Ces effets, que l’on doit tâcher de prévenir, seraient difficilement ramenés h des termes précis, et soumis à un calcul exact.

DE L’USAGE DES Tl HASTS DE FER POUR CONSOLIDER LES VOUTES EN BERCEAU-

339. Lorsque les pieds-droits d’une voûte ont trop peu de largeur pour qu’elle se maintienne en équilibre, cette voûte peut être consolidée au moyen de tirants en fer, placés dans les reins. L'usage de ces tirants est très-commun en Italie, où l’on en voit dans les édifices les plus magnifiques. Supposons que la voûte représentée fig. 40 tend à rompre dans le joint mn , les parties supérieures s'abaissant l’une contre l’autre par l’arête N, et renversant les parties inférieures, contre lesquelles elles portent par les arêtes m, et qu’elles tendent à faire tourner sur les arêtes B. On préviendra la rupture de cette voûte en liant les deux moitiés par un tirant horizontal. Il convient de placer ce tirant immédiatement au-dessous du joint de rupture mn. En effet, quand la voûte commence à se rompre , les points m sont ceux qui parcourent horizontalement le plus grand espace. Or on peut s'op|ioscr à cette rupture au moyen d une force horizontale , dont le moment . c’est-à-dire le produit de la

force et de l’espace parcouru dans le sens de cette force par son point d’application, doit avoir une valeur déterminée, pour rendre nulle la somme des moments des forces qui agissent sur chaque moitié de la voûte. On doit donc appliquer cette force dans la direction mm, puisque l'espace parcouru par le point d’application étant alors le plus grand possible, la force sera la moindre possible.

On connaîtra d’ailleurs la tension qui peut s’établir dans le tirant, en remarquant que le moment de cette tension ajouté au moment du jwids de la demi-voûte ABM N, doit être égal au moment de la poussée horizontale qui s’exerce en N; tous ces moments étant pris par rapport à l’arête B.

340. Lorsque l’épaisseur d’une voûte et de ses pieds-droits est très-petite par rapport à l’ouverture , il est possible qu’un seul tirant ne suffise pas pour en prévenir la rupture. On s’en assurera en considérant à part les portions de voûte AB mn , wmNM, et appliquant à chacune les règles énoncées précédemment. Si ces portions de voûte n’étaient pas en équilibre , on devrait y placer de nouveaux tirants , à la hauteur des joints où la rupture tendrait à s’opérer, en déterminant, d’après ce qui vient d’être dit, les efforts auxquels ces tirants se trouveraient exposés.

341. Lorsque les tirants sont employés de cette manière, il peut arriver que , par suite d’une élévation dans la température , le tirant soit détendu , et cesse d’exercer l’effort nécessaire ; et que par suite d’un abaissement dans la température ce tirant soit tendu trop fortement, et exposé à se rompre. Pour rechercher les moyens de prévenir ces effets , on nommera

® l’aire de la section transversale du tirant ;

T la plus petite valeur de la tension que ce tirant doit supporter pour faire la fonction à laquelle il est destiné ;

t la tension qu’on lui fait supporter quand on le met en place;

R’ la plus grande valeur de la tension, rapportée à l’unité de surface, à laquelle le tirant peut être exposé sans risquer de le faire rompre ;

V la plus haute température à laquelle le tirant sera exposé, exprimée en degrés du thermomètre ;

v la température qui a lieu quand on met le tirant en place ;

V’ la plus basse température à laquelle le tirant sera exposé ;

8 la dilatation linéaire de la substance du tirant pour un degré du thermomètre.

£ aura la signification indiquée n° 77.

Nous rappellerons d’ailleurs que les substances suivantes s’allongent ou s'accourcissent par une variation de température de 100° du thermomètre centigrade, savoir

fer forgé, de 0,00112

fer fondu 0,00111

bois de sapin 0,0008

pierre, environ [î] 0,0005

Lorsqu’on met le tirant en place, et qu’on lui fait supporter la tension —sur

l’unité de surface de sa section transversale, on l’allonge de la fraction — de

sa longueur primitive. La température s’élevant de V — v degrés, ce qui produit rallongements (V — d), il se détend, et l'effort qu’il exerce est réduit à£— S (V — v) Em. Ainsi l’on doitavoir

/- S(V — e). Eu>T.

De même la température s’abaissant de v à V', le tirant subira un accourcissement égal à s(t>— V'), et sa tension deviendra (v~ V'). Eu. On doit donc avoir également

( + S(c-V,)Eu<tt'».