On déduit de ces deux inégalités

d’où

»>T + 8(V-t)E», (<R'u — 5<r — T') Eu;

R'u — S(c — V')Eu>T-*-S(V — r)Eu,

et par conséquent

Lorsque la valeur de u aura été déterminée conformément à celte condition, les deux inégalités précédentes donneront deux limites entre lesquelles t devra être comprise. On voit que l’on ne pourrait satisfaire à la condition que le fer ne fût pas exposé à rompre, si la différence des températures extrêmes était telle que l’on eût

V—\'= ou > .

Les valeurs qui doivent être attribuées à E et R' pour le fer forgé ont été indiquées n>" 102 et 182.

343. On a supposé ci-dessus que la distance des deux points où les exlré-

[i] Notice sur la dilatation de la pierre, par M. Desligny. Journal du génie civil, tome II, page 2Î7.

mités du tirant étaient scellées ne variait point par l'effet des changements de la température. S’il en était autrement, il faudrait mettre dans les formules pour s non pas la dilatation de la substance du tirant, mais la différence des dilatations respectives du tirant et du corps dans lequel il est scellé.

DE L'ÊqULIDRE DES VOUES ES DOUE.

344. L’équilibre des voûtes en dôme diffère principalement de l'équilibre des voûtes en berceau, en ce que dans ces dernières, le renversement comporte seulement les disjonctions dans les joints indiquées dans les n“* précédents. Il n’est pas nécessaire, pour que la voûte se rompe, qu’il se forme aucune autre disjonction, suivant des plans perpendiculaires à la longueur de cette voûte. Une voûte sphérique, au contraire, ne peut être renversée, sans que les joints ne s’ouvrent comme dans les voûtes cylindriques, et en outre sans qu’il ne se forme des lézardes dans la direction des plans méridiens. La formation de ces lézardes exige que la cohésion des mortiers soit détruite. La rupture de la voûte exigerait de plus une sorte de désunion et de déplacement relatif des pierres voisines, tels que, si ces pierres étaient grandes, appareillées avec soin, et posées à joints croisés, elles devraient être en partie cassées pour que cette rupture pût avoir lieu. Il est difficile d’évaluer avec une exactitude suffisante l’effet de la cohésion des mortiers, et surtout l’effet de la résistance des pierres. Mais il parait convenable de n’avoir pas égard à ces deux circonstances lors de l’établissement d’une grande voûte [il. Nous regarderons ici une voûte sphérique comme partagée en un grand nombre de parties séparées par les plans méridiens, et n'ayant entre elles aucune liaison.

345. D’après cela, tout ce qu’on a dit’ ci-dessus sur l’équilibre des voûtes en berceau pourra s’appliquer 'aux voûtes en dôme, avec cette seule différence qu’au lieu de considérer des portions de voûte comprises entre des plans verticaux parallèles, on devra considérer l’assemblage d’un très-grand nombre de portions de voûte, comprises entre des plans verticaux qui for-

(ij 11 résulte des calculs des PP. Lesueur, Jacquier el Bosrowicli, que, abstraction fjite de l'adhésion des mortiers, le moment des forces agissantes pour le renversement de la coupole de Saint-Pierre de Rome, est au moment des forces résistantes, dans le rapport de 3 à 2 environ. ( Parère di tre matematici sopra i danni cite si sono trorati nclla cnpola diS. Pietro al fine deir anno 1742). Cette coupole est presque entièrement construite en brique, avec du mortier du pouzzolane. L’adhésion des matériaux a suffi longtemps pour maintenir l'équilibre. Mais des lézardes, produites par de petits mouvements imprimés par la chute de la foudre et les tremblements de terre, s’étant multipliées el ayant augmenté peu à peu, les progrès de ces dégradations ont dû être arrêtés en entourant les parties inférieures du dùme par des cercles en fer.

17 i LEÇONS SUR L'APPLICATION

ment entre eux un très-petit angle, et se coupent suivant Taxe du dôme. L’équilibre de chacune de ces portions de voûte devra être vérifié, d’après les règles exposées précédemment. Mais il est indifférent de considérer à •part une de ces portions, ou d'établir le calcul en considérant à la fois la totalité du dôme. La fig. 41 représentant le plan d’une voûte sphérique, on peut également vérifier l’équilibre d’une portion BOB' comprise entre deux plans méridiens très-voisins, ou celui de la moitié ôBB'ô' de cette voûte. En adoptant ce dernier parti, on imaginera que la demi-circonférence ôBB’ô' a été développée en SBB'6', et que tous les autres éléments demi-circulaires de la voûte ont été également développés sur les arêtes du cylindre horizontal, qui les toucherait dans la section méridienne projetée en BOB’. Il en résultera une portion de voûte en berceau, comprise entre les plans verticaux eOê', êOs', à laquelle on appliquera les règles exposées dans les n0’ 320 et suivants. On remarquera d’ailleurs, en déterminant le poids et la position du centre de gravité des diverses parties, que cette portion de voûte est contenue entre deux plans verticaux inclinés par rapport à l’axe du cylindre, en sorte que les éléments horizontaux ont d’autant moins de longueur qu’ils sont plus voisins du sommet, où leur longueur est nulle.

Il est évident que s’il existe des portes ou des fenêtres dans les parties inférieures du dôme, on doit supposer des vides correspondants dans la portion de voûte en berceau 6Os', dont les conditions d’équilibre sont les mêmes que celles de ce dôme.

546. Lorsqu'une voûte en dôme est en équilibre, on peut la couper suivant un plan horizontal, et en retrancher la partie supérieure, sans que l'équilibre cesse de subsister. Si, par exemple, on a enlevé la portion wmNM (Fig. 34), et que l’on considère la partie restante AB nm d’une portion du dôme comprise entre deux plans méridiens très-voisins, il peut arriver, ou que cette portion se soutiendrait d’ellc-même, ou qu’il serait nécessaire, pour qu’elle se soutint , que l’on appliquât une force horizontale en «. Dans le dernier cas , il s’établit entre les voussoirs, vers l’extrémité supérieure de la partie restante AB mn, et perpendiculairement aux joints verticaux, des pressions horizontales qui n'existent point lorsque la voûte est entière.

347. Si une voûte en dôme était effectivement formée d’un grand nombre de parties séparées par les plans méridiens, et sans liaison entre elles , on ne pourrait la couper suivant ces plans et en supprimer une partie sans en causer la rupture. Ainsi les grandes niches, ou hémicycles, ne se soutiennent que par l'effet de la liaison des matériaux , on parce que le mur de face offre une stabilité suffisante pour résister h l'action latérale de la demi-voûte.

UE L'USAGE DES CEINTURES ES FEE POUR CONSOLIDER LES vol TES ES DÔRE.

348. L’utilité de ces armatures est prouvée par un grand nombre d’exemples [i]. Les considérations qui ont été présentées n" 339 montrent que les cercles doivent être placés de préférence à la hauteur du joint de rupture. En désignant par t la tension d’un cercle , cette tension produit l’effet d’une force horizontale égale à

2 ic. t,

qui serait distribuée uniformément dans tous les points de la circonférence du cercle, et perpendiculairement à cette circonférence. Par conséquent si, pour calculer l’équilibre d’une voûte en dûme, on la concevait remplacée par une voûte en berceau, de la manière expliquée n° 345, il faudrait concevoir les deux moitiés de cette voûte réunies l’une à l’autre par un ou plusieurs tirants , dont la tension , ou la somme des tensions , serait égale à * t.

La proposition précédente se conclut de ce qui a été dit n" 307. On peut s’en rendre raison directement, en remarquant que, d’après le principe des vitesses virtuelles, l’équilibre des forces appliquées dans le sens des rayons et de la force appliquée dans le sens de la circonférence , exige que les premières soient à la seconde comme une variation très-petite de la circonférence est à une variation correspondante du rayon; c’est-à-dire comme la circonférence est au rayon.

Les considérations exposées n“ 340 , 341 et suivants, s’appliquent également aux cercles employés pour consolider les dûmes.

DE L’tQCILlBRK DES VOUTES ER ARC DE CLOITRE ET DES TOUTES d’aRETE.

549. Les figures 42 et 45 représentent le plan d’une voûte en arc de cloître, élevée sur une base polygonale. On peut supposer cette voûte partagée, par des plans verticaux passant par les angles du polygone, en parties qui ne sont pas liées les unes aux autres ; et considérer à part deux parties opposées, BOB', BOB', comme une portion de voûte en berceau. On appliquera à cette portion de voûte les règles exposées dans les n01 520 et suivants, en ayant toujours égard , dans l’évaluation des volumes et la détermination des centres de gravité , à ce qu’elle est comprise entre des plans inclinés par rap-

[i] Voyez le deuxième livre de» Memorie ialorlche delta gran cupnla del tempio l'aticano, de Poleni, où l’auteur cite plusieurs dûmes réparés et consolidés au moyen de cercles en fer. Le dôme intérieur et le cône qui supporte la lanterne, A Saint-Paul de Londres, sont consolidés de la même manière. On a également employé des cercles en fer pour contenir la voûte intermédiaire du dôme du Panthéon A Paris. Rondelet, Art de bâtir, Ionie IV. page 527, S* édition.

port à l'axe du berceau. Dans la réalité les parties de la voûte sont liées entre elles, soit par l’adhésion des mortiers, soit parce qu’on place ordinairement dans les arêtes des chaînes en pierres plus fortes, qui devraient être désunies et cassées pour que la rupture s’opérât, l’effet de ces liaisons est ici plus sensible qu’il ne l’est dans les dômes, et d’autant plus que la base de la voûte est un polygone d’un moindre nombre de côtés. Mais cet effet n’étant pas de nature à être évalué avec exactitude, il ne parait pas que l’on doive y avoir égard, surtout dans l’établissement d'une grande voûte.

550. L’équilibre d’une voûte d’arête (Fig. 44) peut être considéré de la même manière, en la supposant partagée en parties indépendantes l’une de l’autre par les plans verticaux BOB’, BOB'. Les portions BOB , B'OB' appartiennent à une même voûte en berceau, et tendent à se rompre, en renversant les piliers sur les arêtes Bô,B7>'. On remarquera qu’ici les éléments horizontaux de ces portions de voûte ont plus de longueur à mesure qu’ils sont plus rapprochés du sommet. La poussée horizontale , par celte raison , est plus grande, à épaisseur égale, qu’elle ne l’est dans les voûtes en arc de cloître, où le contraire a lieu. Mais on voit, d’un autre côté, que les piliers sont chargés du poids des deux autres portions de voûte BOB', BOB', et qu’ils ne peuvent être renversés sans entraîner dans leur mouvement ces portions de voûte, dont le moment, pris par rapport aux arêtes B b, 117/ , doit être réuni au moment de stabilité des moitiés des portions BOB, B OB', pris par rapport aux mêmes arêtes. Les voûtes dont il s’agit différent en cela des voûtes en arc de cloître, où, dans le cas d’une rupture, les parties seraient renversées séparément, et ne sont pas consolidées les unes par les autres. Les remarques faites ci-dessus sur l’effet des liaisons des parties de la voûte, trouvent également ici leur application.

ARTICLE IV