DES CALCULS RELATIFS A L* ÉTABLISSEMENT DES V OUTES
351 . Les calculs indiqués dans l’article précédent ont pour objet l’évaluation des volumes des parties des voûtes, et la recherche des situations des centres de gravité de ces parties, ou plutôt des distances horizontales des centres de gravité à un plan donné. Quant il s’agit d’une voûte en berceau comprise entre deux plans verticaux perpendiculaires à l’axe de cette voûte, le calcul est en général établi pour une unité de longueur de la voûte, et l’on a seulement
à considérer les aires des parties de la section transversale. Dans d’autres cas, et spécialement dans les ralculs relatifs à l'établissement des dômes, des voûtes en arc de cloître et des voûtes d'arête, on doit considérer les volumes des parties de la voûte.
La figure de la section transversale d'une voûte étant ordinairement formée par des lignes droites , des arcs de cercle ou d'autres courbes dont on a les équations, on peut effectuer rigoureusement les calculs d'après les régies que la géométrie fournit à cette effet [il. Mais il sera plus simple, comme l'a remarqué Coulomb [2), d’employer des méthodes d’approximation.
La figure dont il s'agit peut toujours être décomposée en parties telles que ABMN (Fig. 45), comprises entre deux lignes verticales et deux lignes courbes ou droites. Si la voûte est terminée par deux plans verticaux perpendiculaires à l'axe, il suffit de considérer l’aire ABNM. Si cette voûte est terminée par deux plans verticaux CQ, C'Q' inclinés sur cet axe, il faudra considérer le volume correspondant à l’aire ABNM. et projeté horizontalement en CC'Q Q. Cela posé, nommons .r l'abscisse A p ; y la longueur mn ; z la longueur qq" ;
X l’abscisse AP ;
et regardons y et r comme des fonctions de æ. Si nous considérons seulement l’aire ABNM, nous aurons
pour la valeur de celle aire : et
J oXdi
pour la distance horizontale de son centre de gravité; à la ligne AB. Si nous considérons le volume projeté en CC'Q’Q , nous aurons
[1] M. Audoy a établi de cette manière les formules relatives aux diverses espèces de voûtes en berceau. Voyez son Mémoire dans le Mémorial du génie, nw 4.
[î] Mémoires des savants étrangers, 1775.
LEÇONS SUR L’*.m.:c\TlUA
pour valeur de ce volume; et
!}■ % il X
pour la distance horizontale de son centre de gravité au plan vertical dont CC' est la trace.
552. On voit , par ce qui précède, que les calculs dont il s’agit se réduisent toujours a l'évaluation d’intégrales définies , exprimées généralement par
(t/.Ff.
Or on a, pour exprimer la valeur de ces intégrales, les formules approchées suivantes. Supposant l'intervalle AP ou X partagé en un certain nombre n de parties, dont la longueur est égale h A.r ; posant F x=u, et désignant par it0.
w,, »/,, ?/„ les valeurs de v qui répondent aux abscisses 0, A.r, 2 A.r.
•Hd.r , on aura
; «, + l(|+fl,-H/î+ 4- Un — I ï Un j
— — A1»»)— (A: «n— A5 II,,) >
+ rnti‘“"-4' u«) ~ ni K < A4 v» — A4 u„) 4- eic. ^
On a également, n étant un nombre pair,
ilr.f il <
/ K0 4- 4 tt,4- 2 Uj-M «4 4-4 Us4~ + 2 Un , + -i Un - , + U»
^ A* W, + +A( Un — g 4- A* Km — j + A^ Un — j)
< 4- ~-o (A5 «„4- A4Uj 4- A4 ut 4- 4- Aa Mn — g 4- A4 Un — g 4- A& Un — jï
-J J — (A6U04-ASU,4 A6 U, 4- 4- Ac Un— 64- A* Un — <4- A6 Un— a)
( 4- ClC.
L’usage de ces formules sera plus sûr si l’on opère de manière qu’d ne se trouve pas dans la courbe dont u est l’ordonnée de point d'inflexion entre les points de division de l’axe des abscisses x. Lorsque la courbe présente des points d’inllcxion ou des changements brusques de courbure cl de direction, il convient de partager l’intégrale en plusieurs parties séparées par les points dont il s'agit, et d’en calculer h part les valeurs.
On peut , dans les opérations relatives à l'établissement des voûtes , mesurer sur des dessins faits avec exactitude les longueurs des lignes représentées par y et s dans le n" précédent, ce qui abrégera beaucoup ces opérations.
