COS. X

On doit avoir y = /quand x = a : donc

d’où

et

L’équation de la courbe est

On doit mettre dans l'expression de nie plus petit des arcs dont le cosinus est

égal à , à moins qu’il n’y ait certains points de la pièce AB maintenus

fixes. La flèche de courbure produite par un poids donné est proportionnelle à la distance MC. Le poids capable de faire prendre à la pièce une flèche de courbure donnée, est réciproque au quarré de la longueur de cette pièce.

407. La question précédente diffère de celles qui ont été traitées dans les n“ 583 et suivants , en ce que l'on obtient ici une relation entre le poids n dont la pièce est chargée, et la flèche de courbure /'produite par l'action de ce poids; ce qui permet de déterminer, conformément à ce qui a été dit n° 587 , la limite des efforts auxquels on peut exposer la pièce dans une construction.

E ayant la signification indiquée n° 77, on aura — pour la compression

des fibres résultant de l’action de n. Désignant de plus, comme au n° 113, par v' la distance à l’axe d'équilibre de la fibre extrême qui subit la plus grande compression , la plus grande compression des fibres résultant de la flexion de la pièce sera exprimée pour un point quelconque , comme on le tPy

voit d’après le n° 77, par v' — - , quantité dont la plus grande valeur , qui a lieu dx J

e'III

au point A, est . Le plus grand accourcissement des fibres est

Par conséquent, si l’on veut que le plus grand effort auquel les fibres sont exposées sur l’unité de surface ne dépasse pas une certaine limite , représentée comme au n° 181 par R', il ne faudra pas que ce plus grand accrois- R'

sèment surpasse la fraction — . La valeur de H ne devra donc point dépasser E

celle qui satisfait à l’équation

i cos. a \ / —

Les valeurs qu’il convient d’attribuer au poids R', pour les divers matériaux, ont été indiquées n”’ 181 et suivants.

408. Si la section transversale de la pièce est un rectangle dont b soit la

bcz C

largeur et e la hauteur, on a «= bc, «=E — , r'= — . L’équation précédente

devient

n / et

R' = — ch zxxzz

6c» / îan

co». a \ / — — —

V Efrc3

La fraction sera ordinairement fort petite, et par conséquent celte

équation différera très-peu de

R’= — ( c •+• 6 /) , d Où n = ,

409. On supposera maintenant que l’extrémité supérieure de la pièce est fixée et encastrée (Fig. 59), et que le poids II fait supporter à cette pièce une tension longitudinale, en même temps qu’il la fait plier. Dans ce cas, en conservant les dénominations du n“ 406 , l’équation d’équilibre sera

tPy

dx*

et supposant pour abréger — = r3, on aura pour l’intégrale

l — f+X = A C r x h- Ee-'l,

e représentant la base des logarithmes hyperboliques, A et B deux constantes arbitraires.

dy

Cette équation devant au point A donner x= 0, y = 0, — = 0 ; et au point M, x — a, y—f, on a

0 = A — B l = Ae'« + Be-f«;

d’où l’on déduit

e co h- e — ra

L’équation de la courbe est

ç r a -f- e — ra

Crx + C- rr — 2

e ra + c — ra

410. On obtient ici, comme dans le cas précédent, une relation entre le poids Ilct la flèche de courbure /'que ce poids fait prendre à la pièce. Le plus grand poids n dont la pièce puisse élrc chargée se déterminera donc également par la condition de ne pas faire supporter aux fibres une tension qui dépasse une limite donnée. En conservant les dénominations du n” 407, n met

on aura — pour l’extension des fibres résultant de l’action de n, et pour

Eu t

la plus grande extension des fibres provenant de la courbure de la pièce, qui a lieu au point M où celle pièce tend à se rompre. Par conséquent, si l’on veut que la plus grande tension ne dépasse pas R', on posera l’équation

d’où l’on déduira la valeur de n.

411. Si la section transversale de la pièce est un rectangle dont b soit la

E fcc5 c

largeur et c la hauteur, on a » = b c, « = , v' -. L’équation précédente

devient

, d’où il = R-