C-4-IW
ARTICLE IV
DF. LA RÉSISTANCE d’une PIÈCE PRISMATIQUE CIHRGKE OBLIQUEMENT.
412. On suppose une pièce AM (Fig. 60) posée obliquement, dont l’extrémité inférieure A est encastrée, et dont l'extrémité supérieure M est chargée d'un poids II. Soit nommé
« l’angle formé par la direction AB de la pièce avec la verticale ; n la distance AB;
» l’aire de la section transversale de la pièce ;
x, y l’abscisse A p et l’ordonnée mp d’un point quelconque m de la courbe affectée parla pièce; f l’ordonnée MB du point extrême ;
P, Q les composantes perpendiculaire et parallèle à AB du poids 11 suspendu au point M, d’où P=n sin. <x, Q=n cos. a;
* ayant la signification indiquée n” 80.
L'équation d'équilibre sera <Pr
et faisant pour abréger jr = — , t/1 = — , on aura pour l'intégrale de rette
équation
f — X — A sin. «/(J--+-B) (a — r),
A et B étant deux constantes arbitraires.
dy
On a au point A , .r = 0, y = 0, — = fl : et au point M , x — a, y —f; ce
qui donne les (rois conditions
On en déduit
f = A sin. q I» ,
0 = 7 A cos. q B H ,
0 = sin. q (a H- B).
sin. q B = sin. q a, cos. q B = — cos. q a , P2
<7* cos . q a
f = — (langea — qa).
D'après les valeurs précédentes, l’équation de la courbe sera
p* /«in. q a — «in. q (a — x) N q 5 ^ cos. qa )
L’expression de /'donnera la valeur de la flèche de courbure en fonction des forces P, Q. Cette flèche devant demeurer très-petite, il est nécessaire que tang. qa — qa soit une très-petite quantité. Donc, 0, t*-i , pi, P«, etc., étant la suite des arcs dont la longueur est respectivement égale à celle de leur tangente, on ne peut attribuera la composante Q que des valeurs qui sur-
Kl1* MJ* Pj1'
passent peu les nombres , , , etc. En adoptant la première de
a1 aJ oJ
ces valeurs, la pièce se courbera de la manière indiquée fig. CO. Les valeurs suivantes répondent à des courbes offrant un nombre de points d’inflexion de plus en plus grand, et dont l'existence supposerait que certains points de ces courbes ont été maintenus fixement dans la ligne AB. Si tous les points sont libres dans l’intervalle AB , les poids n que la pièce pourra supporter
sont donc assujettis à la condition que le nombre
Vt
soit compris entre
0 et (*', et que la valeur précédente de/’ soit fort petite. Celte valeur de /'indiquera le déplacement du point M causé par l’action du poids 11.
413. La limite des poids dont la pièce peut être chargée se détermine ici de la même manière que pour la pièce considérée n" 40fi. <■> et «'ayant ici les
mêmes significations qu’au n° 407, on aura — pour raccourcissement des
fibres résultant de l’action de la force Q dirigée parallèlement à l’axe de la <Py
pièce; et v' — pour l’accourcissement des fibres placées à la face concave
tlx*
produit par la flexion. La plus grande valeur de cette dernière quantité , qui
a lieu an point A, étant ici v’ — (ang. q a, le plus grand accourcissement
total des fibres est
e' P tang
Vt
Eu J/{î
Par conséquent , si l’on ne veut pas que le plus grand effort exercé pour comprimer les fibres, rapporté à l’unité de surface, surpasse R', on posera l’équation
c' P tang,
Vt
c’est-à-dire
r' «in. a. tang
/II cos. a
1/ Il cos. a. i
En déterminant le poids H de manière que cette équation soit satisfaite, on connaîtra la limite cherchée.
414. Si la section transversale de la pièce est un rectangle ayant b pour
4cJ c
largeur et c pour hauteur, •=£ — l’équation obtenue
ci- dessus devient
< c cos. a -*-
/ 12. II cos. ol Osin. a. tang. a \ /
V Eéc*
/t2. n cos. a.
dit
