MI
a qui devient, lorsque la section de la pièce est un rectangle ayant b
c bc9
►té horizontal et c pour côté vertical, d'où » = 6c, t>'=-, t = E — ,
[a ■+- ±a') tang. a E.c
bc (2 a -h a') tang. a
• /ùp(a-*-af) lang.
cos. a % /
On peut obtenir une valeur approchée, mais trop petite, de R', en nt la courbure de la pièce DD' (Fig. 132) assez petite pour que l'on égliger la flèche de cette courbure par rapport à la longueur de la pièce.
on d'équilibre du n° 569 se réduit alors à — = — (a? — a?) et la plus
dx* 2i <py p o2
valeur de — est — . L'équation servant à régler les dimensions de la
dx* 2t
R' p(o + i o') tang. a v'.pà*
E Eu 2 •
ttt, lorsque l'on suppose la section transversale rectangulaire,
p Vf x \ So*1
R' = — [ o H a' 1 tang. a h I.
bc L V 2 / c J
an leçons sua l'application
La râleur de K' déduite de celte équation différera très-peu, 1 ordinaires des applications, de celle qui serait donnée par l'équation dii taéro précédent.
584. Indépendamment de la charge répartie uniformément sur Fin1 BB' (Fig. 132), nn poids H pourrait être placé dans un point détemùvtl cet intervalle. Si ce poids était placé entre les points B et D , il t sur la portion de pièce BD une action que l'on évaluerait facilement, <Tïi les régies exposées dans les articles précédents. Il produirait de plus urina vel effort vertical sur le point D. Par exemple, si le poids H était placti point I) même, la charge supportée par l'extrémité supérieure de la eonk fiche deviendrait n +p (a +;«'), en désignant toujours par/? le poids i parti sur l'unité de longueur dans l'intervalle BB'. La pression exercée É
II-4-p(a-»-ja') le sens de la longueur de cette coutrefiche serait , et la pu
sion exercée dans la direction CD' serait [Q + p («-4-7 a') j tang. a.. Ce dernière quantité devrait être mise à la place de Q dans l'équation du n* S pour régler la force de la pièce DD'. On doit remarquer d'ailleurs que point D' supportant seulement l'effort vertical p [a -t-T a'), et la press exercée dans le sens DD étant seulement p ( a ■+- 7 a') tang. *, la port n tang. « de la pression exercée dans le sens DD' n'est pas détruite au point et par conséquent est transmise à la pièce BD'. Ainsi cette dernière piè appuyée sur ses extrémités, supporte maintenant la pression longitudio D tang. a, en même temps qu'elle est chargée du poids p sur l'unité de U gueur. On doit lui appliquer les formules du n*582, en y faisant Q=E tang. 685. Si le poids U est placé dans l'intervalle DD', l'effort qu'il produit répartît sur les deux points D,D'. Par exemple, si ce poids est placé au mi
U*t B représentant deux constantes arbitraires. On doit an point A avoir
dr Oi V = 0, — = 0; et au point B, œ = a, y =s f; ce qui donne les troia dx
itions
pa1 Va %p f = A sin. «Bh ,
pa P 0= A £ cos. 9 B 1- — ,
0 = A sin. q (a -+- B) ,
Foùl'on déduit
A sin. 4 B = 1 tang»0 a,
Q £ cos. q a Qq
P — p/i A coi. 4 B = —
0^ pa1 Pa
t en substituant dans l'équation précédente,
/ î \ P~pa
( 1 I H tsing. q a;
\ cos. 4a / Qq
P— pa jrs= ■ sin. 4 x
P— pa *\ Px — p{aT— ±x2) tanç.qa 1(1 — cos. q x) -
O4CO6. 4 a Qq
>ù Ton doit mettre pour P et Q les valeurs précédentes.
ft2X
586. La plus grande valeur de — répond à x = 0 ; en sorte que la portion
dx1
de pièce tend à se rompre au milieu : cette valeur est
Qcos
lV:
a /Q P - tang. a % / .
Par conséquent si Ton veut régler, d'après les considérations exposées n° 587, les dimensions de la pièce de manière que la plus grande pression supportée par les fibres sur l'unité de surface ne surpasse pas R', on posera l'équation
— , ,— - , • -7=1 tang. a %/ -,
E Est 0 < /0 > 2|/0» V ■
COS
dans laquelle on mettra pour Q la valeur [f n +p {a \ \ a')} ta Cette équation, lorsque la section transversale de la pièce est on reet avant b pour largeur et c pour hauteur, devient
Ept
587. On peut ici, comme au n° 585, avoir une expression approeb R', en négligeant dans l'équation d'équilibre le terme Q (/' — y). Li
tt3r pa2 Pa grande valeur de — est alors h — , et par conséquent
dx2
if [Va
Lpa2)
ou, en mettant pour P et Q leurs valeurs, B' [Il-V-p(îa-t-a')] tang. a
équation qui devient, lorsque la section transversale de la pièce est sup rectangulaire,
[II + p(2a-t-o')]laiiK. a. Z(Tl-t-pa)a
2 6 fi bc*
588. Le système représenté fig. 152. si l'on suppose que les contre peuvent tourner librement sur les points d'assemblage qui en forme
OK U MLCAMQUE, 1» PARTIE.
n longitudinale exercée dans Fditeralle Dt)' no peut guère être Innv
: doil être supporté*! entièrement par la sous-poutre. D'où
U résulte qu'en appliquant les équations des n" 583 el 583, 588 et 587, on
is le premier terme du deuxième membre, mettre pour « l'aire de h
ransversale de la sous-poulre seule, tandis que l'on peut 4ttrto«r
tiitres termes le moment . dans la supposition que la poutre et In
mil t résistent ensemble à la flexion, d'après les indicatious données
■T 508 et suivants,
590. Lorsque la distance des points d'appui est considérable, on peut employer un système analogue en mettant plusieurs rangs de sous-poutres et eflche9(Fig. 154). Nous supposons toujours, pour plus de simplicité, es des poutres et des sous-poutres disjointes aux poinls D.D,.!),,.... 1-T.i facilement les efforts verticaux qui s'exercent sur les extrémités 1res de chacune des contrefiches, les pressions qui en résultent dans le la longueur de ces pièces, et les pressions qui en résultent égalele sens de la longueur des sous-poutres. On déterminera la résis- [disque partie du système d'après ce qu'on a vu dans les numéros précédents.
Les contrefiches pouvant exiger des pièces très-longues, on formées de plusieurs parties mises les unes au bout des autres, il est nécessaire ici d'en La Hexion, non seulement par le moyen des moises pendantes Moins le plan de la ferme, mais par des pièces horizontales cl Inclinées fermes les unes aux autres. L'usage des moises pendantes est d'ailleurs par le défaut de stabilité de l'équilibre, comme on l'a remarqué 0*588.
l'on supposait, comme cela a été indiqué n" 581, les contrefiches
maintenues par l'effet d'une tension établie des culées aux extrémités l>(lér
de ses pièces, on pourrait disposer un système de sous-poutres el 4e
lies de la manière indiquée fig. 135, La solidité île ee système eatigfl
p irties dont chaque sous-poutre est formée soient attachées les unes
MB autres par des liens de fer, et que les extrémités de ces sous-poutres
ichées aux culées. Comme il est difficile d'attacher solidement ces
: la partie supérieure d'une culée, le système dont il s'agit parait con-
K principalement à un pont composé de plusieurs travées, parce que les moitiés des travées adjacentes à une même pile pourraient se faire ellemeot équilibre.
î. En supposant toujours les joints des parties des poutres et sotts-pou- 6s aux points D,D„D,..., on évaluera facilement, comme ei-deutu, ins exercées dans le sens de la longueur de chaque contrefiche, et triées par les sons-poutres. Pour régler en conséquence la farce de ces dernières pièces il faut connaître les conditions de l'équilibre
d'une pièce qui serait supportée aux deux extrémité», chargée de poidM tribaéa sur sa longueur, et tendue dans le sens de cette longueur.
Chaque moitié de cette pièce peut être assimilée à la pièce AM (Fig. I encastrée horizontalement en A, chargée de poids distribués sur sa long» et sollicitée en H par la forée verticale P agissant de bas en haut, et pi force horizontale Q, dirigée de manière à exercer une tension dans le i AB. Nommant
p le poids porté par ta pièce sur chaque unité de longueur;
x, y tes coordonnées horizontale et verticale kp, mp de la courbe k
a ta distance AB;
f l'ordonnée BM du point extrême ;
4 ayant la signification indiquée n° 80; l'équation d'équilibre sera
ronaiciP=jj«, d*r p
en écrivant, pour abréger, q à la place de - L'intégrale de cette équation est
Féquation de la courbe,
px* tp e**H-e-**— 2 20 Q* e qa— e~qa
La plus grande valeur de — , qui a lieu au point A , est
dx2
2 \ . On aura donc, comme au n° 407, pour l'équation
à régler les dimensions de la section transversale,
E Eu 0
[uelle on doit substituer pour Q la valeur de la tension longitudinale le la pièce est exposée.
Si Ton supposait la courbure de la pièce très-petite, et que Ton it en conséquence le terme Q (f—y) dans l'équation différentielle, le ne différerait pas de celui qui a été donné n° 583. Si Ton veut maintenant, comme on Ta fait n° 585, considérer le cas où s n serait placé sur le milieu de la pièce, on devra conserver à l'équaérentielle la forme générale
— = — p[ aar-4-— 1 + P (a — x) -OC/1— r),
jrale sera
p f a* x* \ P tp = Ae«^-*)-i-B«-«^-«) f a* + - -4--(a — x) .
QV2 2/0 0»
onditions relatives aux points extrêmes donneront
pa* Va tp
f = Ae^a-4-Be~^a H ,
pa P
0 = kqega — hqe~ça -♦- -,
i déduit
•p e~qa v-pa
0* eqa+e-~qa qQ(eqa+e-qa)J
tp eqa P— pa
qi e*«+e-*a qQ(eqa+e-*a) Pa pa* tp f 2 \ P-pa ««« — «-««
sas LEÇONS SUR L'APPLICATION
et en substituant dans l'équation précédente, P*— p(ax~ '-**) ■ ip ««* + «-*»»
V—pa e"a — e-«a — ««<0
596. La plus grande valeur de — , qui répond à x= 0, est tir1
On aura donc, comme ci-dessus, pour l'équation serrant à régler mensioDS de la section transversale,
E Eu y V »«°+r«''/ gQ e*«4-*-fl
dans laquelle on doit substituer à la place de P et Q leurs valeurs, mentent à ce qu'on a vu n" 584 et 585.
597. L'équation du n" 587 peut être appliquée au cas dont il s'agit, l'on suppose la courbure de la pièce très-petite.
598. Dans les derniers systèmes que l'on vient de considérer, les ext des sous-poutres étant attachées à des points fixes, l'équilibre est stabl moïses qui lient les contrefiches les unes aux autres ne sont utiles q prévenir la flexion de ces pièces.
599. La figure 136 indique une autre disposition des contrefiches,
CTIOIf DE8 POIfTS FORMÉS DE POUTRES ET DE CONTREFICHES SUR LES PILES OU CULÉES.
Lorsque les fermes sont formées d'une seule poutre , comme on l'a n° 580 , les extrémités de cette poutre exercent seulement un effort sur leurs points d'appui , effort que Ton évalue facilement d'après les équilibre du levier.
)ans le cas du n° 581, les points d'appui A et A' (Fig. 152) supporcun un effort vertical égal à l'effort vertical exercé sur les extrémités ires D , D' des contrefiches ; et de plus un effort horizontal égal à la longitudinale supportée par la pièce DD'. Les points B,B'supporeffort vertical dû au poids réparti dans les parties BD, B'D'. u'il y a plusieurs contrefiches, l'extrémité inférieure de chacune de ;s exerce toujours contre la culée de semblables efforts verticaux et aux. La somme des efforts horizontaux exercés contre chaque culée ; à la somme des pressions longitudinales supportées par les pièces dans l'intervalle DD' (Fig. 134).
[forts horizontaux tendent à écarter les culées ; les efforts verticaux à les maintenir sur leurs bases. L'action par laquelle les culées pourre renversées est mesurée par la différence des moments des efforts x et horizontaux, pris par rapport à l'axe autour duquel tournerait la e ces culées.
)ans le cas du n° 591 , les extrémités inférieures des contrefiches - toujours contre les culées les mêmes efforts verticaux et horizonît il vient d'être question. Mais de plus, la partie supérieure de ces i laquelle les sous-poutres doivent être attachées , est sollicitée par ?s tensions longitudinales supportées par ces pièces. La somme de ions horizontales est égale à la somme des pressions horizontales . par les extrémités inférieures des contrefiches ; et comme les preorecs agissent pour faire tourner la masse de la culée avec des bras • plus grands que les secondes, la culée est ici sollicitée à se renverser ns.
Dans le cas du n° 599 , l'extrémité inférieure de chaque contrefiche ontre la culée un effort vertical et un effort horizontal , égaux aux intes verticale et horizontale de la pression longitudinale supportée mtrefiche. La somme des efforts verticaux exercés par les contrefil , DA' qui partent d'un même point D est égale à l'effort vertical H D ; et les efforts horizontaux exercés par ces mêmes contrefiches ux entre eux.
)n peut, dans le système du n° 590, supprimer toute action horizonreles points d'appui, au moyen d'un tirant dont la tension résisterait
300 LEÇONS SUR I/ÀPPLICATIOH
à la poussée des contrefiches (Fig. 137). Dans ce cas le tirant, suspendu poutres et aux contrefiches , supporte ordinairement le plancher du pari
»M POTT9 SCPÏOlTtS PAÏ DIS UCS.
605. Nous regarderons d'abord les arcs, qui forment la partie priai des fermes dans les ponts de cette espèce (Fig. 158 et 139), comme un i homogène, auquel on peut appliquer les résultats exposés ci-dessus, articl
Si le poids de la construction et les surcharges placées sur le pua étaient distribués uniformément dans l'intervalle BB', la figure qu'il fil donner a la pièce courbe, pour qu'elle n'eût aucune tendance à fléchi rait, conformément au n" 442, un arc de parabole. Dans la réalité les p situées près des extrémités sont un peu plus chargées que celles qui se tuées au milieu, et on donne ordinairement à ces pièces la figure d'un i cercle. Hais, eu égard à l'épaisseur de la pièce et au peu d'amplitude courbure, on peut la regarder comme n'étant nullement sollicitée à II par l'effet du poids de la construction et d'une surcharge distribuée ui mément sur le plancher, et supportant seulement une pression loogitud dont on calculera la valeur par les formules des n°* 440 et 441. La ? de Q donne la pression horizontale exercée par l'arc contre les points d'à
606. Si, indépendamment d'une charge répartie uniformément sui tervalle BB', un poids était placé au sommet C de la courbe, l'arc ces: d'être eu équilibre. On connaîtrait par les n°* 466 et 467 l'action exercé ce poids pour augmenter la pression horizontale contre les points d'à et la pression longitudinale dans les différentes parties de l'arc. On poi évaluer ensuite, par le n" 480, l'action du poids pour faire fléchir l'arc, < plus grands efforts <|iie lt*s parlh'* <li- rv[ ;iit aiir.wnl à supporter.
rouvera alors dans le même état d'équilibre que si, la pièce étant supportée N par un appui fixe, on avait appliqué aux extrémités M,M' des forces les aux efforts supportés par les points d'appui. Les déplacements des exnités, qui auraient lieu dans ce dernier cas, répondent aux déplacements point N qui ont lieu dans le premier. On peut trouver les conditions de uilibre de chacune des parties de la pièce en appliquant les formules du 148 ; il faut seulement remarquer qu'ici la pièce étant simplement supportée [f sur un appui, la direction de la courbe en ce point n'est pas déterminée once, comme elle l'est pour une pièce courbe encastrée à l'extrémité suieure. On nommera
\, b les distances AM, ÀC;
h distance horizontale CD du point N au sommet de la courbe; ; y les coordonnées horizontale et verticale des points de la courbe ,
comptées du point N.
•a courbe, supposée de figure parabolique, aurait pour équation, en compas*
t les coordonnées du point C, y = — . Les coordonnées étant ici compta
b t du point N, l'équation de la partie NM est y = — (2 a x + a?), d'où
= — (*-*-£?). Substituant ces valeurs dans les formules du n°448, où a2
[ écrira — (a*— a?) à la place de b, et négligeant les puissances supé-
ores de — , il vient pour la partie N M de la courbe
dx
1 ** T ( / 'N / Za\ ** >
' — d jr = dx — I Pjfa— a)ax-h la I x 2 J
— «f/ = -rf#| P J[ a — a Jx j H If a* — a2 Jx — a x2 +m ,
étant une constante introduite par l'intégration, et dont la valeur dépend l'inclinaison que la courbe doit prendre sur l'appui N. On en déduit
I 26r tf \ax2 f Za\x* x* \
Qb // \ax2 f \x* ax4 ** n
*vl(*-*J-r*(*-"'jT-T-ïl]'
ir // \x2 s3» Qàt/ \x2 ax9 j?4 » n
et en faisant x = a — a pour connaître les déplacements A et /"do p
t 36 r /Sa' a'a «*a» a «* a'\
06 /5a' a»a> an* a'\ /
H f a' a H h- I — ffi la-
Les mêmes formules conviendront à la partie N M' de la courbe, en cl» géant le signe de a et celui de m. Par conséquent, désignant par P„ Q, kl forces appliquées au point M', et par A,, /i les déplacements de ce part, on aura
I !lf /Sa* a'a a>aa o a' a'
«-iKf-*"-'*?)
0,6/50* . a'a> oa* a'\ /
