E LA RESISTANCE DES PAROIS DES VASES A LA PRESSION DES FLUIDES

646. La pression des fluides s'exerce perpendiculairement à la surface des is des vases. Dans le cas d'un fluide élastique, la grandeur de celte

peut être supposée constante dans toute l'étendue de la paroi. Dans le (Ton liquide soumis à l'action de la pesanteur, les parties inférieures sont fortement pressées que les autres , et il est souvent nécessaire d'avoir i cette différence.

647. Les parois des vases sont généralement formées par des substances t. Ce sont des corps qui peuvent résister aux changements de figure

tels ils se trouveraient sollicités par l'effet de la pression des fluides,

qui cèdent un peu à cette pression, en raison de l'extensibilité ou de la

ûbilité de leurs parties. Il y a quelquefois un tel rapport entre la

de la paroi et la grandeur des pressions normales exercées dans ses

parties, que cette paroi ne tend pas, à proprement parler, à changer

5, mais est seulement sollicitée à s'étendre ou à se comprimer dans

de la surface. On désignera ce cas en disant que la paroi est tracée

ut la surface d'équilibre. Quand il a lieu la paroi peut être formée

I substance parfaitement flexible, telle que le serait un tissu de fils dont

LBÇOTS SCR L'APPLICATION fipnMr'i de résister à la compression ou à I' ■t pu à b flexion. L'équilibre est stable si toutes r sont étendues, et la seule chose qu'il importe de c w de t> tension qu'elles supportent.

r ici d'une manière complète et générale la recherche

■ni dans une paroi pressée par un fluide, mais

t cm r«a «posera suffiront dans la plupart des applications. On t

a sarcessnetnent une ligne et une surface , sollicitées par des foi

t ttrigte suivant des lignes normales à cette ligue ou à cette surfi

l'en LlClt MLLICirtl PAR DES FORCES PEEPESDICELAIEES A SA DIIICTWI

649. Les conditions de l'équilibre d'une ligne considérée comme un pariutrmrnt flexible, à tous les points duquel sont appliquées des forces dot tuales. peuvent être déduites de ce qu'on a vu dans les n" 306 et 428.pent également les trouver directement comme il suit.

Ootisidêivns d'abord une courbe MM' (Fig. 147) tracée sur un plan, d lequel sont dirigées les forces appliquées normalement à cette courbe. peut la regarder comme un polygone d'un nombre infini de cotés, et supjw kw ftrees appliquées aux sommets du polygone. Nommons

.& b longueur d'un élément vin de l'arc de la courbe, ou d'un coté poltj*ooe ;

■ b longueur du rayon de courbure au point m ;

F b valeur de la force normale appliquée au point M, pour une unité if longueur mesurée sur l'arc de la courbe;

de courbure. Si le fil ne ferme pas une courbe fermée, il faut que les éléments MN, M'N' soient tirés dans le sens de leur longueur avec forées égales à la tension T.

449. Considérons présentement une courbe à double courbure, sur laagissent également des forces normales. On peut la regarder comme polygone dont les côtés sont infiniment petits, et dans lequel trois côtés îutife ne sont pas compris dans un même plan. Les forces , appliquées le sommet du polygone , doivent être dirigées suivant le rayon du oscillateur. Tout ce qui a été dit dans le numéro précédent s'applique système : il faut pour l'équilibre du fil qu'il soit également tendu dans ses parties, et c'est ce qui aura lieu si la force normale appliquée à point est égale à la tension divisée par le rayon de courbure [i]. I. Lorsque des forces sont appliquées perpendiculairement à une verge solide , et qui ne cède à l'action de ces forces que par un changement ilgure très-petit dû à l'élasticité, il n'est pas nécessaire , pour que l'équilisobsiste, que les conditions énoncées ci-dessus soient satisfaites. La tenexercée dans le sens de la longueur de la courbe peut varier d'un it à l'autre. Quant à la manière de connaître la tension longitudinale qui dans un point quelconque , on remarquera qu'une verge sollicitée par forces normales ne peut, en général, demeurer en équilibre, à moins que forces ne se détruisent réciproquement, ou à moins que la verge ne soit ttenue par deux points fixes , si elle forme une courbe plane , ou par trois tts fixes , si elle forme une courbe à double courbure. Les efforts exercés les points fixes seront déterminés par la condition qu'étant composés avec forces appliquées normalement à tous les points de la courbe, il en réun système que Ton puisse réduire à deux forces égales et directement i. La tension des diverses parties de la verge est produite à la fois par tforces normales appliquées à tous les points, et par les forces particulières, à des points déterminés, et nécessaires pour établir l'équilibre. Cela posé, si dans une verge courbe MM' (Fig. 148) sollicitée de la manière

M On Conçoit licitement l'existence de l'équilibre dans un fil formant une courbe à dou- CMrbure, en se rappelant que, d'après un théorème démontré par Lancret (Mémoires à la première classe de l'Institut, tome I, page 420), on peut toujours faire passer courbe quelconque une surface développable telle que, cette surface étant déve- ,1a courbe doonée y tracerait une ligne droite. Cette surface, nommée surface rectiest formée par les intersections successives des plans qui, touchant la courbe, sont licnlaires aux rayons des cercles oscillateurs de cette courbe. Il suit de là qu'il existe une surface, perpendiculaire aux rayons de courbure de la courbe donnée, sur ■die cette courbe est une ligne de plus courte distance. Donc le fil pourra être regardé ■M étant tendu sur la surface d'un corps solide fixe, où il demeure en équilibre, et où en chaque point une pression normale.

teut «w- I

qui vient d'être indiquée, et qui forme une courbe non fermée, on veut' naître la tension longitudinale supportée par l'élément mn, on remarquer» que cette tension résulte de ce que les forces appliquées aux deux parties m M. mW de la courbe se détruisent réciproquement au moyen de la liaison qw l'élément mn établit entre ces deux parties. Par conséquent, si l'on décospose , parallèlement à la tangente de la courir au point m , toutes les force* appliquées à la partie mM, on bien toutes les forces appliquées à la partit m M', la somme des composantes ainsi obtenues sera la tension cherchée.

651. Considérons présentement une combe fermée plane M N (Fjf;. US:, sollicitée par des forces normales dirigées dans le plan de cette courbe, et supposons que l'on demande la tension supportée par l'élément mit. Si l'on décompose toutes les forces appliquées à la courbe parallèlement à la dirwtion de la tangente au point»/, on remarquera que les points m, m- dans Ifsquels la direction de la tangente est la même, pariaient la courbe en deui parties , dans chacune desquelles les forces normales produisent des composantes dirigées dans des sens opposés. Si l'on prend les résultantes des composantes parallèles a mn fournies respectivement par les forces agissiM dans les parties tu M m' et mN«t', on obtiendra deux forces égales entre elles et directement opposées. La destruction de ces forces produit la tei- «.ion des deux éléments mn, ni ri : on connaîtra donc ces deux tensions ta décomposant l'une des résultantes dont on vient de parler en deux fort» dirigées respectivement suivant mn et tn'ri.

652. Admettons que la figure de la verge M N soit à double courbure, et supposons également que toutes les forces appliquées à la courbe aient W décomposées parallèlement à la tangente menée au point m. Si l'on conçoit la courbe proposée enveloppée par un cylindre dont les arêtes soient parti-

M L'ÊQULIBHE D'OlfE Sl'BFACE SOLLICITEE PAB DES rOlCBS QLI SOÏ1T DIB1UEEH S PERPENDICULAIREMENT A CETTE SURFACE-

653. Les conditions de l'équilibre d'une surface supposée parfaitement

* flexible , sollicitée par des forces normales , peuvent être établies au moyen

- des considérations suivantes.

' Soit la ligne MN (Fig. 150) formant le contour d'une surface, et représen- , tons-nousle solide que cette surface recouvre , et que nous supposerons fixe. " Ayant marqué deux points quelconques M , N qui partagent cette ligne en ' deux portions MpN, M^rN, on peut diviser chacune de ces deux portions en

* un même nombre de parties très-petites , égales entre elles dans chacune des ' portions. On peut ensuite du point M au point N , et de chacun des points de <( division p de la première partie à chacun des points de division correspon- *; dants g de la seconde partie, tendre des fils qui s'appliqueront sur le solide

* en suivant la ligne de plus courte distance/? m q tracée sur sa surface entre f leurs extrémités p} q.

- L'ensemble de ces fils , en les supposant infiniment rapproches , formera ' une surface ; et si, aux deux extrémités de chaque fil pmq, on applique dans *'■ la direction des éléments extrêmes des forces égales T, ce fil, en vertu de la . tension T, pressera le corps sur lequel il est appliqué suivant une direction

; normale à la surface. La valeur de la pression exercée au point m sera — , en

désignant par p le rayon de courbure de la courbe du fil au point m. Si l'on

conçoit maintenant le corps supprimé, et que l'on ait appliqué à tous les points

m des forces normales égales à —, l'équilibre subsistera. On remarquera

p qu'il n'est pas nécessaire que les forces T aient des valeurs égales pour tous

les fils ; il suffit que la tension soit constante dans l'étendue de chaque fil.

Si maintenant on place autrement les points M, N sur la courbe, on pourra former de la même manière un second système de lignes de plus courte distance, et tendre de nouveaux fils qui croiseront les premiers. Si un nouveau fil passant par le point m est tendu par la force T' , il produira en ce point

une pression normale égale à — , Pr représentant le rayon de courbure de

la courbe du nouveau fil au point m, et cette pression s'ajoutera à celle qui

est produite par le premier fil. Par conséquent, le corps étant supprimé, on

maintiendra maintenant l'équilibre en appliquant au point m une force nor-

maie égale à — +-— .

p p' En continuant ainsi, on voit que l'on peut tendre sur le corps un nombre

indéfini de fils appartenant à divers systèmes de lignes de plus courte

distance. La seule condilion nécessaire pour l'équilibre est que la lension de chaque fil soit la même dans tous ses points. Si l'on nomme T, T, T", etc.. les tensions respectives des fils qui se croisent au point quelconque m, rt p, p-, p", etc. . les rayons de courbure des courbes de ces fils au point m , V T T' T"

pression normale exercée en ce point sera — t — h i-ctc.Ilest évident «Taii-

p p' ?" leurs qu'à chaque point p du contour de la surface doivent être appliquées, dans la direction des divers fils qui partent de ce point, autant de forces respectivement égales aux tensions de ces fils. Toutes ces forces sont dirigés dans le plan tangent a la surface au point p.

Si la surface proposée n'était pas terminée par un contour, et formait une enveloppe fermée, ce qui précède lui pourrait être appliqué, en considérait que l'équilibre est établi dans des fils tendus sur cette surface, et formant on ou plusieurs systèmes de lignes de plus courte distance. Chaque fil formerait une courbe fermée, la tension serait constante dans toute sa longueur, et la force normale résultant en chaque point du fil de sa tension, serait égale à cette tension divisée par le rayon de courbure de la courbe du fil. La pression normale supportée par le corps en un point quelconque serait la somme des pressions normales produites par les tensions de tons les fils qui se croiseraient en ce point.

654. Il résulte de ce qui précède que, pour qu'une surface flexible sollicitée par des forces normales soit en équilibre , il suffit que l'on puisse décomposer cette surface, au moyen d'un ou de plusieurs systèmes de lignes de plus courte distance, en bandes infiniment étroites regardées comme des fils, et que les forces normales appliquées à chaque point intérieur, aussi bien que les forces tangenliellcs appliquées à chaque point du contour de !i

M C48 OU U.1E SUBFACE SOLLICITE! PA1 DES POICES NORMALES EST EGALEMENT TENDUE DANS