TOUS LES SENS

656. Soit une surface parfaitement flexible et inextensible sollicitée par des forces normales, et supposons l'équilibre établi entre ces forces et les efforts de tension qui ont lieu dans le sens de la surface. Admettons que l'on ait tracé sur la surface une ligne quelconque de plus courte distance , et considérons la portion de la surface formée par une bande dirigée suivant cette ligne, et ayant une largeur constante et très-petite : cette bande sera tendue

i suivant sa longueur avec une certaine force. Gela posé, on dit qu'une surface est également tendue dans tous les sens, 1° si la tension de la bande est * constante dans toutes les parties de sa longueur; 2° si la valeur de cette teni sion est la même , quelle que soit la direction de la ligne de plus courte dif stance suivait laquelle la bande est tracée.

Soit x la largeur de la bande , qui doit être supposée infiniment petite , | et • la valeur de sa tension longitudinale, qui le sera également : le rap-

! port -=T représente la tension des parties de la surface rapportée à l'unité

linéaire. La quantité finie T donne la mesure de la force avec laquelle la surface est tendue.

657. Soit MN (Fig. 151 ) une portion du contour d'une surface également tendue dans tous les sens. Il est nécessaire, pour que l'équilibre soit maintenu, que des forces dirigées dans le plan tangent à la surface soient appliquées à chaque point du contour. On peut regarder ce contour comme étant composé de parties infiniment petites bc, dont la longueur est égale à x, et supposer que les forces distribuées sur l'intervalle bc sont appliquées au milieu a de cet intervalle. On peut également regarder la surface comme étant formée d'une infinité de fils ou bandes infiniment étroites , dirigées suivant les rayons du demi-cercle décrit des points a avec le rayon î x. Les forces tangentielles appliquées à chaque point a devront faire équilibre aux tensions des bandes partant de ce point. Soit mnqp deux des bandes dont il s'agit,

dont les directions forment avec la normale ad des angles ». La largeur pq

de ces bandes sera - ch, leur tension T - d«, et la résultante des tensions des

deux bandes, T x d». cos. ». La somme de toutes les résultantes semblables ,

ou l'intégrale Txy d<*. cos. *, dont la valeur est Tx, est la force qui

doit être appliquée au pointa. Ainsi l'équilibre d'une surface également tendue dans tous les sens avec la force T, exige que des forces égales entres elles soient appliquées perpendiculairement au contour de la surface dans tous

3tti LEÇONS SUR L'APPLICATION

les points de ce contour, et que la valeur de ces forces, pour une unité de

longueur, soit T.

658. Étant donnée la figure d'une surface considérée comme un tissu pufaiteraent flexible et inextensible, il existe toujours un système de fores appliquées normalement à tous les points intérieurs , par l'effet duquel la sur face serait maintenue en équilibre, et également tendue dans tous les sens. Soit M ( Fig. 152 J un des points de la surface, et supposons que l'on ait décrit

de ce point comme centre, et d'un rayon infiniment petit, égala — , un cercle. Considérons une des bandes infiniment étroites mnpq, tracées suivant les directions des lignes de plus courte dislance qui se croisent au point X. Désignons par r le rayon du courbure de la section normale de la surface, faite au point M dans la direction de l'axe de cette bande, et par m l'angle de cette section avec le rayon fixe AM. La largeur mn ou pq de la bande

sera — rf», et la force avec laquelle elle est tendue, T — du. Ainsi regardant

cette bande comme un fil isolé, on la maintiendrait en équilibre en appliquas! au point M, perpendiculairement à la surface, une force dont la valeur, rapportée à l'unité de longueur, serait, d'après les numéros 648 et WS.

xi l \ , x* |

T. — rfu.-; et pour l'intervalle mnqp , T. — tf *>.—.*; on T . — . — d*. Si

l'on considère également une autre bande m' n'p'q" dirigée perpendiculairement à la première , en désignant par r' le rayon de courbure de la section normale faite dans la surface suivant la direction de la nouvelle bande, od

' La surface du cercle décrit du point M avec le rayon - étant d'ailleurs — ,

= on voit donc que l'expression

\ représente la valeur de la force normale qui doit être appliquée au point M < (cette valeur étant rapportée à l'unité de surface)., pour que la surface pro- ■ posée soit également tendue dans tous les sens avec la force T m.

659. Si les deux rayons de courbure étaient égaux et de même signe,

F propriété qui appartient à la sphère, la force dont il s'agit serait — . On

> voit par-là que la même pression normale qui pourrait produire une ten- : sîod T dans le sens des éléments circulaires d'une surface cylindrique, proi duîrait dans tous les sens une tension \ T dans une surface sphérique de 1 même diamètre.

APPLICATIONS A DES VASES DE DIVEESES PIGUEES.

660. Nous considérerons en premier lieu des vases contenant un fluide qui exerce du dedans au dehors une pression, et dont les parois sont planes. Ces parois sont généralement tendues dans la direction de la surface , en même temps qu'elles supportent une pression normale. Le cas le plus simple est celui d'un tuyau rectiligne dont les parois sont formées par des plans parallèles à l'axe de ce tuyau ; par exemple le tuyau rectangulaire AH(Fig. 155), que l'on suppose ouvert par les deux bouts. Les parois ne sont point tendues dans le sens de la longueur du tuyau, mais dans le sens de sa largeur seulement. Considérant une partie mq' de ce tuyau, on peut regarder les portions mnn'm' et pqtfp' des faces inférieure et supérieure, comme étant tendues respectivement, parallèlement aux côtés mm-, pp, par l'effet des pressions opposées qui s'exercent sur les portions m?iqp, Tw'n'^rp' des faces latérales, avec une force égale à la moitié de la pression exercée sur chacune de ces dernières portions. De la même manière, chacune des portions mq> m'q[ sera tendue parallèlement à mp, m'p avec une forée égale à la moitié de la pression exercée dans l'étendue mn' ou pq'. L'une quelconque des portions de paroi dont il s'agit, telle que m?iqp,\}eut donc être regardée comme une pièce qui est à la fois tendue suivant sa longueur, pressée par des forces normales distribuées uniformément sur cette

[t] Il est aisé de voir que Ton parviendrait nu même résultai, en considérant toute autre figure dont le point M serait le centre.

538 LEÇONS SDR L'APPLICATION

longueur, et supportée sur ses deux extrémités. On peut lui appliqnerhV nalyse du n° 532, et régler la force de la paroi d'après l'équation du n* 5e a désignera la moitié de la longueur mp; Q. la moitié de la pression nom exercée sur mn' oupq' ; p, la valeur de la pression normale exercée mnqp pour une unité linéaire mesurée sur la longueur mp.

661. Si le tuyau était fermé par les deux bouts, ou par un bout seulennt, ce qui précède ne pourrait plus être rigoureusement appliqué. Mais en pncédant comme il vient d'être dit, on connaîtrait une limite d'après laquelle « serait assuré de donner à chaque paroi une force plus que suffisante. Considérons, par exemple, un vase quadrangulaire et vertical ABGH (Fig. 154),» vert par la face supérieure, dont le fond repose sur un plan horizontal fin, et qui est rempli d'un fluide pesant. Si le fond du vase n'existait pas, on pourrait appliquer à chaque élément transversal m tf ce qui a été dit dans le r précédent, en faisant attention que la pression du fluide augmentant avec h profondeur, ces éléments ont à supporter des efforts d'autant plus grandi qu'ils sont placés plus loin de la surface supérieure du fluide. Mais si le fini du vase existe, comme ce fond attache les unes aux autres les quatre part» latérales, il empêche qu'il ne s'éfablisse, dans le sens des longueurs mn des éléments, des tensions aussi grandes, et que ces éléments ne se courbent autant en cédant à la pression normale. Le résultat du calcul indiqué ci-dessu donnera donc, pour les parties des parois, des épaisseurs qui surpasseront d'autant plus les épaisseurs réellement nécessaires que ces parties seront plu voisines du fond du vase.

662. Si le vase était entièrement fermé, les parois seraient tendues suroît plusieurs directions. Si, par exemple, le vase rectangulaire AH (Fig. 154] est fermé par les deux bouts, et contient un fluide pressant du dedans ■■

les résultats présentés ci-dessus, article VI, sur la résistance des courbes.

Considérons maintenant un vase dont la paroi est courbe, et en pre-

fieu un tuyau rectiligne ouvert par les deux bouts. Supposons que le

contenu dans ce tuyau exerce sur tous les points d'une .même section

rersale des pressions égales, ou que Ton peut supposer égales sans er-

sensible, comme dans le cas où les gaz ou l'eau coulent dans des tuyaux

petit diamètre. La paroi du tuyau n'est pas tendue dans le sens de sa

', mais seulement dans le sens des sections transversales. Un élément

rersal du tuyau peut être regardé comme une bande ou un fil sollicité

des forces normales dirigées dans son plan. Ces forces étant égales dans

les points, le fil ne peut être en équilibre, à moins que le rayon

courbure n'ait aussi une valeur constante. Ainsi la paroi tendra à

de figure, à moins que la section transversale du tuyau ne soit cir-

section étant supposée circulaire, soit/? la valeur de la pression normale

ite par le fluide sur une unité de surface de la paroi, et considérons

élément transversal du tuyau, dont la longueur, mesurée sur Taxe, soit

a l'unité linéaire ; p représentera également la pression normale exercée

une unité de longueur de la circonférence de cet élément. Par consé-

nommant r le rayon du tuyau, on aura, d'après le n° 648, pr pour la

qui s'établira dans le sens de cette circonférence. Ainsi l'on dira que

surface du tuyau est tendue dans le sens des sections transversales avec la

pr. On voit que la tension résultant d'une même pression normale inlé-

crolt proportionnellement au rayon du tuyau.

Désignant par h l'épaisseur de la paroi, supposée constante et beaucoup

petite que le rayon r; et (comme au n° 181) par R' la plus grande ten-

que l'on veut faire supporter aux fibres sur l'unité de surface : on pourra

l'épaisseur de la paroi en posant l'équation

. Si la section transversale du tuyau n'était pas circulaire, la paroi tendrait à changer de figure, et en changerait effectivement si elle était formée ^v un tissu flexible. Si elle est formée par une substance solide, la figure ne HÉumiia pas totalement, mais sera légèrement modifiée par l'effet de l'élas- Xtfiéde cette substance. La matière de la paroi est alors sollicitée de deux ^tarières : l'par l'effet du changement de courbure, qui étend ou comprime lai libres près des faces extérieures ou intérieures ; 2° par l'effet de la tension i s'établit dans le sens des sections transversales, tension qui varie d'un ht à l'autre de ces sections, et qui étend les fibres dans toute l'épaisseur li paroi. La modification que supportent les parties par l'effet du change-

330 LEÇONS SDR L'APPLICATION

ment de courbure est, dans la plupart des applications, peu tourna elle peut être déterminée au moyen des principes exposés ci-dessus, irtf Quant à l'effet de la tension causée par la pression du fluide, qu'il ù ordinairement le plus de considérer, soit MX (Fig. 155} la section tn sale du tuyau, et supposons que l'on veuille connaître la tension sq par cette section dans le point m. On mènera la tangente mp, et nu tangente nq parallèle à la première. On remarquera ensuite, confbrn au n° 651, que les pressions normales exercées par le fluide sur les p de courbe mMnou mNn, décomposées parallèlement aux lignes ni équivalent aux pressions exercées sur la ligne pq, qui leur est perpt laire ; d'où H suit que l'on aura la Lension exercée en m, en prenant 11 de la pression que le fluide exercerait sur pq. On voit que la tensi diverses parties de la paroi est proportionnelle à la distance des de génies mp, n ç.

666. Si le tuyau rectiligue dont il s'agit était fermé par un bout, stance du rond s'opposerait au changement de figure de la paroi et à sion des sections transversales. Cette paroi serait donc sollicitée mou ment, surtout dans la partie voisine du bout fermé. Il en serait de i plus forte raison, si le tuyau était fermé par les deux bouts. Mais dan nier cas, en vertu de la pression du fluide contre les deux bases du I paroi supporterait une tension dans le sens des arêtes de la surface < que, en même temps qu'elle en supporterait une dans le sens des transversales. Si la section transversale du tuyau est circulaire, on a, servant les dénominations du n° 664, p.r.r1 pour la pression exercé*

p.*r» pr

fonds opposés, et par conséquent , ou — pour la force avec

b te qui détermine la nature de la courbe MÀN. En rapprochant ce qui il d*étre dit des nw 77 et 86, on verra que la figure de cette courbe est celle jrffoeterait un ressort homogène, d'une largeur et d'une épaisseur unijfl«» dont la figure naturelle est rectiligne, et qui serait tenu plié, au Éea d'une corde attachée du point H au point N. La courbe est également pdue dans tous ses points , et on connaîtrait la tension en supposant que du fluide contenu dans le tuyau est appliqué au point 0, et décomsuivant les directions des tangentes MO, NO, menées aux points extré- II est évident que l'équilibre exige que les points M, N soient fixes, ou U courbe y soit tirée par deux forces égales à sa tension, et dirigées le prolongement de ces tangentes.

. Si la section transversale du cylindre horizontal n'a point la figure vient à l'équilibre, et si la paroi est faite d'une matière solide, elle est nt fléchie par l'effet de la pression du fluide. L'état de flexion de paroi, aussi bien que la tension qui peut avoir lieu dans le sens de la transversale, dépendent à la fois de la figure de cette section, et de re dont le vase est supporté : on peut les déterminer par les principes dans l'article VI de la présente section. . Si le même vase cylindrique était fermé aux deux extrémités, les par- £l voisines de ces extrémités seraient sollicitées avec moins de force dans jjgns des sections transversales. La paroi serait de plus tendue parallèle- |pt à Taxe. La valeur totale de cette tension serait évidemment égale à la VBion exercée par le fluide sur chacune des bases du cylindre : mais on |peot connaître exactement la manière dont celte tension est répartie sur ^différentes arêtes de la surface cylindrique, à moins de considérer la paroi ttfce et les deux bases comme un seul corps élastique, et d'en déterminer Mplètement l'état d'équilibre.

870. Lorsqu'un fluide est contenu dans un vase entièrement fermé, et où pression est égale dans toutes les parties, la paroi, si elle est flexible, ne nt se maintenir en équilibre, à moins que sa figure ne soit celle d'une Aère. Dans ce cas, conformément aux n™ 648 et 659, nommant/? la pres- QO intérieure sur une aire égale à l'unité de surface, et r le rayon de la ihère, la paroi est tendue dans tous les sens avec la force ±pr; en sorte », si A est l'épaisseur de cette paroi, on devra, pour s'assurer que cette Mineur est suffisante, vérifier l'équation

D en serait de même si la paroi, formée d'une substance solide homogène, lit naturellement la figure sphérique. En effet la pression du fluide ne tennt point à changer cette figure, la paroi ne peut céder qu'en se dilatant, et e doit être également tendue dans tous les sens.

333 LEÇONS SDR L'APPUCATIOH

671. Lorsque 1b figure du vase n'est point spnérique, la paroi doit sairement être formée d'une substance solide. La pression du fluide en changer la figure, en même temps qu'elle lui fait subir une extemk recherche de l'état d'équilibre de cette paroi, en général très-compl comporte des considérations qui ne peuvent être exposées ici. Hais e sant de côté cette recherche, on peut se proposer, dans les applia de régler l'épaisseur de la paroi de manière que l'on soit assuré qu'elle tera à l'action du fluide. Pour y parvenir, conformément aux principe! ces ci-dessus n°" 653 et suivants, on concevra que l'on a tracé sur la i du vase une ligne de plus courte distance dans une direction quel» et une bande infiniment étroite d'une largeur uniforme dirigée suina ligne. Regardant ensuite cette bande comme une verge élastique soua chaque point à des forces normales dont l'intensité dépendra de b pi du fluide, on pourra déterminer l'état de flexion et de tension de la dont il s'agit, d'après les principes de l'article VI cité ci-dessus, et en convenablement la force. Or il est évident que si une bande quek ainsi séparée de la surface, présente une résistance suffisante, la pai mée de la réunion de toutes les bandes présentera une résistance pi suffisante, puisque leur adhésion mutuelle ne peut que s'opposer à ce < ne cèdent à l'action du fluide.

672. Far exemple, si la figure du vase est une surface de révolut* laquelle les méridiens sont des lignes de plus courte distance, on considérer un de ces méridiens, la bande infiniment étroite dont i l'axe, et régler l'épaisseur de la paroi de manière que cette bande, si isolée, résiste à l'action du fluide. La paroi aura alors une résistance p suffisante. Si la surface de révolution était une sphère, la force de b :i\\m ilrlrnniniv. -Mïn[ mynM'innil double de ce nui serait r.

it entre la résistance de cette matière dans son expérience,

résistance d'un bande de fer-blanc de trois lignes de largeur qui avait

une tension de ISO livres.

D'après une autre expérience du même auteur [1], un vase de plomb

de baril, ayant 18 pouces de longueur, un pied de diamètre au mi-

8 pouces aux deux extrémités, et 2 i lignes d'épaisseur, terminé par des

planes Alites avec le même plomb, a supporté sans rompre la pression

colonne d'eau de 100 pieds de bautcur. Les platines se courbèrent de

de 1 j pouce. Le plomb ayant été limé au milieu de la hauteur du baril,

une étendue de 6 pouces de longueur et 4 de largeur, et l'épaisseur ré-

à on peu moins d'une ligne au milieu de ce qui était limé, le plomb céda

cet endroit, et il s'y fit une fente.

k D'après deux expériences de M. Jardine d'Edinburgh [31, un tuyau de

de 1 f pouce anglais de diamètre , ~ pouce d'épaisseur, a supporté

altération apparente la pression d'une colonne d'eau de 1000 pieds de

ir, et s'est rompu sous celle d'une colonne d'eau de 1200 pieds.

Fn antre tuyau de la même épaisseur et de 2 pouces de diamètre, a sup-

sans altération apparente la pression d'une colonne d'eau de 800 pieds,

[a rompu sous celle d'une colonne d'eau de 1000 pieds.

16. D'après une expérience de l'auteur, un vase sensiblement sphérique,

ftéle de fer de très-bonne qualité, formé de deux demi-sphères assemblées

des rivets et une soudure, et se recouvrant l'une l'autre de 0"%01, ayant

de diamètre extérieur dans le sens du grand cercle suivant lequel la

était faite, 0B,523 dans le sens perpendiculaire à ce grand cercle,

•,0026 d'épaisseur, a été rompu sous la pression de 144 kil. par centi-

qnarré. La rupture s'est manifestée par une petite fente, à 0m,05 de

raoodnre.

D'après une autre expérience, un vase semblable, ayant 0m,285 de diadans le sens du grand cercle suivant lequel la soudure était faite, 0"%279 le sens opposé, et 0m,0024 d'épaisseur, a été rompu sous la pression 163 kil. par centimètre quarré. La rupture s'est également manifestée par petite fente, à 0m,12 de la soudure.

017. Le résultat des expériences de Mariotte ne peut être soumis au calcul, raison de l'incertitude de la première, et de la figure compliquée du vase h seconde. En appliquant aux deux expériences de M. Jardine la forindiquée ci-dessus n° 664, on trouve que le plomb a été rompu par des de lk,57 et lk,58 par millimètre quarré. Ces expériences s'accordent entièrement avec les résultats des expériences directes rapportées n°70.

M Traité du mouvement des eaux ; Œuvres de Mariotte, tome II, page 472. Citée* dans les Annales de chimie et de physique, mars 1820.

Si l'on applique également aux deux expériences de Fauteur sur et sphériques le calcul indiqué ci-dessus n* 670, en adoptant le plu» pi deux diamètres, on trouve que la tôle a été rompue par des efforts i 47 kil. par millimètre quarré. Ce résultat s'accorde également arec le rienees directes rapportées n* 52, qui ont été faites sur de 1» toi moindre qualité.

fi**