SECONDE PARTIE
K^ «ART LKS LEÇONS SUR LE MOUVEMENT ET LA RÉSISTANCE DES tltJlDES, ET SUR LA CONDUITE ET LA DISTRIBUTION DES EAUX.
TITRE PREMIER
fcAPITULATION SUCCINCTE DES NOTIONS PRINCIPALES DE LA DYNAMIQUE.
I* L'objet de la dynamique est la connaissance des mouvements que M un corps ou un système de corps , en vertu des forces à Faction dès- Iles il est soumis.
tRèêe que Ton doit se former d'une force agissant sur un corps , est celle me cause dont l'effet s'exerce sur quelques-unes ou sur la totalité des par-
I du corps, et par suite de laquelle ces parties ont une tendance à acqué- £ dans une certaine direction , une vitesse donnée dans un temps donné. la action peut s'exercer pendant un temps très-court (comme dans le cas jteboe). Elle peut être permanente (comme l'action de la pesanteur). Elle K être constante ou variable avec le temps.
% Quand le corps sur lequel agit une force permanente est retenu immo- I par un obstacle, il se produit contre cet obstacle une pression, qui est friraient d'un poids : ce poids, rapporté à une unité convenue, est la tare de la force.
JQttnd le corps cède librement à l'action de la force , il prend un mouve-
t, et sa vitesse croit dans chaque unité de temps d'une certaine quantité.
luit de cette quantité par la masse du corps est la mesure de la force.
ta masse d'un corps ( nombre proportionnel à son poids ) ; k vitesse que le corps acquiert dans l'unité de temps , en vertu de l'action fane force à laquelle il cède librement (exprimée en unité linéaire); h pression que le corps exercerait contre un obstacle immobile , en
wrtu de l'action de la même force (exprimée en unité de poids) ;
b pression que le corps exercerait en vertu de l'action de la même force ,
ftafo un obstacle qui reculerait en acquérant la vitesse gf dans l'unité
k temps.
336 LBÇOHS SDR L'APPLICATION
Et nous avons les relations :
?=mg; —=g; P, = m{g — g').
3. Quand l'action d'une force sur un corps, après avoir duré quelque vient à cesser , le corps , s'il est libre , continue à se mouvoir suivu rection et avec la vitesse qu'il avait à l'instant où la force a cessé d'agi propriété est ce que l'on nomme l'inertie.
4. Considérant un corps qui se meut, on nomme quantité de i ment de ce corps le produit de sa masse par sa vitesse.
5. On nomme force vive de ce corps le produit de sa masse par : de sa vitesse.
6. Considérant à la fois un corps qui se meut et une force qui lui : nommant m la niasse du corps ; g la vitesse que le corps acquerr l'unité de temps s'il cédait librement à l'action de la force; supposant 1 nommant m un espace que le corps a parcouru, estimé dans le se force: on appelle quantité d'action imprimée au corps la quantité/'; ou /' P. dm, c'est-à-dire l'intégrale des produits de la pression q exercée par le corps en vertu de la force, et de l'espace parcouru sens de cette force.
7. Le mouvement d'un corps, considéré comme un point malérie termine par le moyen d'un seul principe, qui consiste en ce que les vements imprimés simultanément par diverses forces se composenl les mêmes lois que les pressions dans la statique.
8. A l'égard d'un système de corps lies entre eux d'une manière ble ou non, il faut, au principe précédent, enjoindre un autre dû à bert. En vertu de la liaison des corps, aucun ne peut céder libren
Noos aurons pour l'expression analytique du principe de d'Alembert
0=z$ imUdt jSx + m(i>dt J*jr-4-ff»[Crf# JS* J
5 x d* x -f- ly d*y ■+• S z d* s Su =Sm(Ç8j?-+-*&.r-*-C&*).
Cette expression conduit, dans chaque cas particulier, à la connaissance des mouvements du système et des efforts supportés par les liens qui attachent les corps les uns aux autres.
9. En développant les conséquences qui résultent de l'expression précédente, on parvient à la connaissance de divers autres principes ou propriétés générales du mouvement d'un système de corps.
Le premier de ces principes est celui de la conservation des forces vives : D s'exprime analytiquement comme il suit. Considérant le système à deux époques successives de son mouvement , nous nommerons
af , yf , zf les coordonnées du point où le corps dont la masse est m , se trouve situé à une première époque ;
%f la vitesse variable de ce corps à cette première époque ;
v la vitesse variable du corps à une époque subséquente, où ses coordonnées sont x? y, z.
et nous aurons la relation
S #• r2 — S m v'*= 2 S m OU
Sm^-Smc'^SSf / Pc/s-f-/ Qdy+f R d
équations qui signifient également que la somme des forces vives acquises par tous les corps du système, entre deux époques successives de son mouvement, est égale au double de la somtne des quantités d'action imprimées à ces corps entre les mêmes époques.
L'existence de ce théorème suppose les conditions de la liaison des corps indépendantes du temps. On doit en général faire entrer sous les signes S, non seulement les forces appliquées extérieurement au système, mais encore les forces provenant des actions mutuelles des corps. Ces dernières forces donneront des termes nuls dans le second membre des équations précédentes, lorsque les liens des corps seront inflexibles et inextensibles.
10. Lorsqu'à une époque du mouvement d'un système , il se produit un ehoc, soit entre les corps du système , soit contre des obstacles extérieurs ,
fort^l
558 LEÇONS SDH L'APPLICATION
l'effet de ce choc est d'introduire , pendant sa durée . de nouvelles dues à la résistance au changement de figure des corps entre lesquekk choc a lieu. Ces forces influent sur la valeur de la force vive du système. <p en général diffère, après le choc, de ce qu'elle aurait été si le choc n'eût p» eu lieu. Les forces intérieures développées par les chocs étant généralemul inconnues, on ne peut appliquer le principe de d'Alembert à la recherchât mouvement du système pendant la durée du choc. Cependant, si le choc est regardé comme instantané, et si on assimile les forces dont il s'agit à do pressions intérieures supportées par des liens inflexibles et inextensibles pv lesquels les points du système sont unis , ce principe peut être appliqué. U conduit alors a un théorème général, relatif au changement que subit la font vive d'un système à l'instant où un choc s'y produit.
En nommant
m la masse d'un des corps du système;
v la" vitesse avant le choc représentée par MIV (Fig. 1) ;
v' la vitesse après le choc représentée par MN';
v" la vitesse perdue par l'effet du choc représentée par M7J'
on a
t■^ = p'*-^■c", — 2u'r"co8.N'MK",
Smf".c' coi. N'MN". dt = 0.
Il en résulte
pour l'expression analytique du théorème.
Cette équation signifie que la somme des forces vives, après le rhoe, est égale à celle des forces vives avant le choc, moins celle des forces tiib dues aux vitesses perdues par l'effet du choc. Le théorème dont il s'agit ol do à Carnot.
13. Enfin le quatrième principe est celui de la moindre action. Il s'exprime analytiquement par l'équation
maximum Smfvds = { ou
minimum
maximum Smfv*dt=fdtSmv*={ ou
minimum
En nommant
m la masse d'un des corps du système ; ds l'élément de la courbe décrite par ce corps ; v la vitesse de ce corps suivant cette courbe, considérée comme fonction de s dans la première équation, et du temps t dans la seconde ; ce qui donne
d s = vdt.
L'intégrale indiquée par /est prise, non pas entre deux époques quelconques du mouvement du système , mais entre deux époques où le système se trouve dans des situations déterminées par lesquelles il est obligé de passer. Ce principe , comme celui des forces vives, suppose les conditions de la liaison des corps indépendantes du temps.
TITRE II
SOLUTION GÉNÉRALE, DANS L HYPOTHÈSE DU PARALLÉLISME DES TRANCHES, DE LA QUESTION DU MOUVEMENT d'un FLUIDE INCOMPRESSIBLE COULANT DANS UN VASE OU UN TUYAU.
14. Un fluide peut être regardé comme un assemblage de molécules qui peuvent se déplacer les unes par rapport aux autres, sans offrir presque aucune résistance. L'application des lois de la dynamique à un tel corps offrant dans plusieurs questions utiles de trop grandes difficultés, on considère à sa place un système formé par des tranches infiniment minces, comprises entre des plans perpendiculaires à la direction du mouvement. Ces tranches sont regardées comme des corps solides, mais on leur attribue la faculté de se resserrer ou de s'élargir (en conservant leur volume), suivant que l'exigent les variations des sections transversales du vase dans lequel ces tranches se meuvent.
1B. ABCD (Fig. 2), est un vase dont l'axe est vertical et où l'étendue des sections horizontales ne varie que par degrés insensibles. Une portion de fluide abcdy placée dans ce vase, est soumise à l'action delà pesanteur. On
310 LEÇONS SUB J/ÀPPLICATION
suppose que les tranches infiniment minces dans lesquelles le fluide estf» tagé ont toutes le même volume ; et qu'à la fin de chaque élément dn te une tranche occupe dans le vase l'espace qu'occupait la tranche qui la cède au commencement de cet élément. Il s'agit de connaître le i du fluide, mouvement qui sera entièrement déterminé, si Ton connaît i D chaque instant la valeur de la vitesse pour une section donnée du vase. Oi nommera « l'aire d'une section horizontale quelconque ««, faite dans l'espace occupé
par le fluide; a l'aire d'une section déterminée du vase, par exemple , de la section inférieure C D ; 0, 0' les aires variables des sections ab, cd, ou se trouvent les surfaces
supérieure et inférieure ab, cd du fluide ; 5,1a distance m (i de la sectionne à la surface supérieure a b du fluide ; r',Ia distance m n comprise entre les sections extrêmes a b, cd, distance
qui est variable avec la situation du fluide dans le vase ; I, ï' les distances variables m N, « N des tranches extrêmes a b, c d An
fluide à la section fixe CD ; « la vitesse de la tranche placée en «€ au bout du temps t;
V m — la vitesse qui aurait lieu à la section Û, pour qu'il passât dans celle
section le même volume de fluide qui passe en même temps dans la section u avec la vitesse u;
p la pression qui a lieu sur la surface supérieure de la tranche placée en a S, rapportée à l'unité de surface;
P, P' les pressions qui ont lieu contre les sections extrêmes a b, c d dn
Ensuite, d'après le principe de d'Alembert, il fout qu'il y ait équilibre dans b système, en supposant toutes les tranches animées des forces perdues. Il aut donc que la somme des moments de ces forces, plus les moments des orces dues aux pressions exercées sur les surfaces supérieure et inférieure, oit nulle. Ces dernières forces sont respectivement PO et — FO'; et les
ÛVdt ÛVdt
espaces parcourus le temps rflpar les surfaces extrêmes, , . Donc
c principe cité donne l'équation
/*' / d u \ Ig Uvudt. d* = 0;
m, parce que *udt est constante dans toute l'étendue du fluide.,
/»' du — dz=0.
o dt
au du û dV ÛV d<ù d*
Mais u = — , — = . Donc
té dt « dt u2 d2 dt
/*' du S*z' f dV dz d* dz\ ÛV — dz= I [û au : etmettantw = à la o dt J o V dt » »* dt J (o
dz
place de — ,
dt
/%! du fz'f dV dz d»\ dV /*sf dz U2/û2 û2\ dz = I (û Û»U*— =û— / — -*- — [ . o dt J o\ dt v> «3/ dtj o t» 2 \0'2 O2/
Ainsi l'équation précédente devient
dV pz1 dz pU»/û2 U*\
p-p'-4-e<7(C-c)-Pa --/ f — — - =o. ..(t)
dtj o » 2 \<y* O2/
