C-fO— / - — — fi
dtj o « s V
/; <u — , O sont des quantités variables, données en fonction! o ■ d'après la figure du vase.
Ou doit joindre à cette équation l'équation (2) du n° 16
-ottz = avdt
L'objet de la question est de déterminer les valeurs que prennent si sivement la vitesse d'écoulement U, et la hauteur ; du fluide dans le n mesure que le temps t augmente. Éliminant dt entre les équations (1) e et faisant U = V 2 g II, en désignant par H la hauteur due à la vitesse rient
fVdl
l Multipliant par e , e étant la base des logarithmes hyperboliques , et intégrant, on a
i d*où
l H = e~rPdK(con$t. -fdl.Qe'***) (4)
PLi constante se détermine de manière que H = o quand C = Z, la quantité Z E étant la hauteur initiale du fluide dans le vase. H étant connue en fonction F de C, l'équation (2) donnera ensuite
OdK 1 /»OrfÇ
dt = , d'Où t = const — — : / -— .. ... (5)
ÛI/2ÔH ai/Sept/ l/H
La constante se détermine de manière que l'on ait en même temps ç =Z, J =o. On obtiendra donc ainsi les relations cherchées entre les quantités H, c et £.
43. Quant à la valeur de la pression , l'équation (4) du n° 17 devient ici
N / N\ pU*rû' û* / ûnN-i jpssP-CP-P')— ^[s-Ç- 1 1- ,
N' V N'/ a Li* o» V ovif'J où
44. Soit, par exemple (Fig. 14), le cas d'un vase prismatique, sauf dans une hauteur fort petite au-dessus de l'orifice CD, dont l'entrée est évasée. 0
/C dz Ç — = —, en négligeant la partie de cette o » o
intégrale qui répond à cette petite hauteur. Supposant P — P' = o et faisant
o pour abréger — — k} l'équation (3) devient
**ÇrfC -4- C</H-M1 -A2)HtfC = 0.
Multipliant par c , et intégrant comme il a été dit ci-dessus, on a
-£(-er)
t = const. —
35» LEÇONS SOR L'APPUCATIOR
Dans le cas particulier, où 0 = a V 2 et A* = 2, l'équation (S) devient 3ïdC + ï(/H — Bd* = 0.
Multipliant par C~ *, et intégrant, on a
n=aïioe- -
La constante doit être déterminée de manière que *=• quand ;r = l. Oi
t supposé — = ar*.
La formule du n* 43 donne pour la pression i \ z
P = P-*-?gBli
et lorsque A1 = 2.
p = P + PS slog.— .
45. En considérant maintenant, comme dans le n° 20, le cas d'un Bu coulant hors d'un tuyau (Fig. 15), dont les sections transversales sont tri
un instant déterminé, regarder le fluide comme se mouvant dans une infinie de canaux dont les extrémités sont dans la surface supérieure et dans le lan de l'orifice, comme on Ta fait au n° 32. Mais ici, d'une part, ces canaux ne eurent être regardés comme des tuyaux d'une yfigure invariable, ce qui serait écessaire pour appliquer les résultats précédents ; et, d'autre part, la figure
/ds — -, n'est pas connue.
kJnsi, toutes les fois que la figure du vase ne permet pas de supposer que le luide se meut par tranches planes, le mouvement du fluide et la pression ne meuvent être déterminés dans un vase qui se vide. Ce cas diffère essentiellenent à cet égard du cas où le vase est entretenu constamment plein. 47. Si l'orifice d'écoulement Q était très-petit par rapport à toutes les sec-
lions du vase, on pourrait négliger le terme contenant — dans les équa-
dt
tkms des n* 42 et 45, comme étant très-petit du second ordre. Ces équations donneraient alors
et si les pressions aux sections extrêmes sont nulles ou égales eutre elles
La vitesse à l'orifice est due, à chaque instant, à la hauteur de la surface du fluide sur le centre de l'orifice. Ces résultats peuvent être appliqués à un vase de figure quelconque, en déterminant ç conformément aux n" 34 et suivants.
48* L'équation (6) du n° 43 devient ici
p = P(P-P')--4-pflr'
et en mettant pour U la valeur précédente
La pression a la même valeur que si le fluide était stagnant.
49. Si, l'orifice d'écoulement étant très-petit, la figure du vase était prismatique, comme on l'a supposé n° 44, la formule (5) du n° 42 donnerait, en supposant P — F = o ,
pour le temps pendant lequel la surface du fluide s'abaisse de la hauteur Z à la hauteur C; et
o /az
=iV7
338 LEÇONS SUa L'APPLICATION
pour la durée totale de l'écoulement. Si le vase était entretenu contas
plein, le temps nécessaire pour écouler le volume 0 Z serait — \ / — .
le temps nécessaire pour vider le vase est double du temps qui serait néa* saire pour écouler le même volume de fluide, si le vase était entretenu coastamment plein.
50. Le mouvement de la surface du fluide, dans un vase qui se viderai donné par l'équation (5) du n° 42. Si Le vase est prismatique (l'orifice iTéetalement étant regardé comme très-petit), ce mouvement est unirons retardé. On peut déterminer la figure du vase de manière que ce niouvemeat s'opère suivant une loi donnée. Si l'on voulait que la surface du fluide s'abusât constamment de la quantité a dans l'unité de temps , on poserait
o „ - û'.aji
■ = — i/a âf ï, don os= ;
et si toutes les sections du vase sont des cercles dont r est le rayon variable,
Ces notions s'appliquent à l'établissement des clepsydres.
TITRE V
RE L*ÉflOtlLEMENT Uli FLUIDE LORSQUE l'ëNTRÉE DE l'oHIFICE H"' EST PU ÉVASÉE. — DE LA CONTRACTION DE LA VEINE FLUIDE.
^ Les molécules du fluide, en contact avec la paroi , se meuvent nécessaire* ment suivant des directions tracées sur cette paroi. Ainsi les molécules, ^appartenant à la surface de la veine fluide , tendent à sortir du vase suivant
iëes directions tangentes à la paroi. Si ces directions ne sont point parallèles £k l'axe de l'orifice, la veine fluide tend à s'élargir ou à se resserrer au delà } de cet orifice : cet effet est ce qu'on nomme la contraction de la veine. Ce ^phénomène est fort compliqué, d'autant plus que le mouvement du fluide jVaa passage d'un orifice ne dépend pas seulement de la figure de la paroi du ^▼ase : il dépend encore des circonstances du mouvement du fluide dans ?, te partie de la veine qui est hors du vase, puisque la dépense n'est pas -h même lorsque la veine se meut librement dans l'air, ou lorsqu'on pré- ~ sente à cette veine un obstacle qui l'oblige à affecter une figure différente. L'étude de ces effets, et la connaissance de la dépense de fluide, qui a lieu dans divers cas, est jusqu'à présent une recherche purement expérimentale.
OBIFICE OGVEBT DA5S UHE PAROI PLANE.
52. C'est celui que l'on a le plus fréquemment soumis à l'expérience. Bien que Ton sache que l'hypothèse du parallélisme des tranches ne représente pas les effets qui ont lieu au passage de cet orifice, on peut rechercher à quel résultat conduirait ici cette hypothèse.
Soit (Fig. 16) le vase vertical ABCD dont le fond EF est un plan horizontal. Ce vase est entretenu constamment plein au niveau AB, et le fluide sort par l'orifice CD ouvert dans le fond. Ce cas diffère de celui traité n° 25, en ce que la tranche de fluide eEF/i parvenue sur le fond du vase, doit se contracter subitement pour s'adapter à la section CD, en se plaçant dans la position ce' dd> et par conséquent acquérir dans un temps infiniment petit une vitesse finie. Conservant les dénominations précédentes, et appelant 0'
Taire de la section EF, on aura pour la vitesse au passage de cette sec-
nu •
tion, et U pour la variation finie de vitesse que doivent subir les
tranches de fluide.
La force capable de produire cette variation dans le temps infiniment
petit dt, serait capable d'imprimer dans l'unité de temps la vitesse
dt
et la masse de la tranche étant o Ml dt l'action de cette force sur la tranche
nu
qui traverse l'orifice est oiH» dt. . L«' moment de cette action doit
dt
LKÇONS SUR L'APPLICATION
être ajouté, dans l'équation formée n" 15, aux moments de toutes les nh forces qui produisent les variations de vitesse des tranches de fluide, i aura d'ailleurs ce moment en remarquant que l'on doit regarder l'actkmà il s'agit comme s'exerçant sur la masse de la portion de Hnide qui pane la position «EF/'à la position ce' d'd, et que le volume des tranches et avdt
aVdt, onaeE= , c& = \Sdt; en sorte que l'espace parcouru psi
o' centre de cette portion de fluide pendant l'élément du temps dt. et soir.
t i uvdt la longueur de l'axe du vase, est - U dt . Donc le moment ci
0' i / ûuji\ i / OV
oOt)rf( — ivdt , ou -. ottUdf.C»/ 1
dt i \ 0' / a ' v oy
quantité qui doit être ajoutée, avec le signe — , et en y supprimant le fat* QVdt, au premier membre de l'équation (1) du n°25. Cette équation i viendra alors pour le cas d'un mouvement permanent, et en suppoct
En employant le principe de la conservation des forces vives, on remi quera que la tranche qui franchit l'orifice , dont la masse est ? liVdt, snt sant dans sa vitesse , pendant un temps infiniment petit , une variation fi
intité plus petite que la valeur U = % / qui aurait lieu si l'entrée
lie l'orifice était évasée.
\i l'orifice il était très-petit par rapport aux sections 0 et 0', la première
valeur se réduirait à Vv C, et la seconde à V* 9 C . L'effet du défout d'évasé poent de l'orifice serait donc de diminuer la dépense du fluide dans le rapport de |/i à 1. Ce rapport est compris dans les valeurs qui sont indiquées ^par les expériences; et c'est celui qui avait été adopté par Newton, d'après iine expérience dont le résultat ne doit pas toutefois être appliqué à tous .les cas.
53. On peut aussi chercher à apprécier l'effet de la contraction de la veine .de la manière suivante. L'orifice étant supposé horizontal , soit (Fig. 17) iMIV la projection verticale, et n la projection horizontale de Taxe de cet [Orifice. Supposons que l'on fasse passer par cet axe un nombre infini de plans Verticaux : CD représentera en projection verticale l'intersection du plan de Forifice par l'un de ces plans, et c n c', dnd représenteront en projection horizontale la portion du plan de l'orifice, qui sera comprise entre deux de ces plans très-voisins l'un de l'autre. Admettons que l'on ait partagé l'aire cc'ndd en un nombre infini de parties pq, dont les aires soient égales entre elles, et qui seront regardées comme les intersections d'autant de filets de fluide par le plan de l'orifice. Supposons enfin que les directions respectives de ces filets soient telles que, si l'on menait du point N à chacune de ces directions des parallèles, la demi-circonférence verticale, dont le point N est le centre, se trouverait partagée par ces parallèles en parties égales. Appelant Y la vitesse commune des filets aux points où ils coupent le plan de l'orifice; f l'angle formé par la direction OP de l'un de ces filets avec l'axe MN ; on aura Y cos. ? pour la vitesse du filet estimée perpendiculairement au plan de l'orifice. La dépense de fluide sera égale à l'aire de l'orifice multipliée par la valeur moyenne de V cos. ?, qui est
— / c/9 . V cos. 9 = — V. «c/ 0 te
Donc la dépense sera moindre que celle qui aurait lieu si l'entrée de l'orifice étaitévasée, dans le rapport de * à 2 ou de 1 à 0,6366. Ce résultat est indépendant de la figure du contour de l'orifice. L'expérience montre effectivement que la diminution de dépense, provenant de la contraction , demeure sensiblement la même pour des orifices de diverses figures, à moins que le contour ne présente des angles rentrants. D'ailleurs, le résultat que l'on vient d'ob-
tenir tient le milieu entre ceux qui se sont présentés le pins f On doit présumer que les hypothèses précédentes s'écartent peu delà* 54. On désignera ici, pour abréger, par m, le rapport de la dépensai tive à ce qu'on nomme la dépense naturelle, c'est-à-dire à celle qui ■ lieu si l'entrée de l'orifice était évasée ; en sorte que le résultat dot
donnerait m = — — = 0,707; et le résultat du n° 55 donnerait...
D'après les expériences nombreuses qui ont été faites sur les « ouverts dans une paroi plane, on doit distinguer :
1° Ceux dont le diamètre moyen surpasse 0",015 environ ;
2" Ceux dont le diamètre est au-dessous de cette quantité.
Dans le premier cas, la valeur du rapport m peut être supposée = lorsque la charge sur le centre de l'orifice est au moins 100 fois le dit de cet orifice. La charge diminuant, m augmente, et devient = 0,62, la charge est 10 fois le diamètre environ ; puis = 0,66, quand la chat le sommet de l'orifice n'est plus qu'une petite partie du diamètre.
Dans le deuxième cas, la valeur de »t augmente à mesure que le dii de l'orifice diminue, jusqu'à devenir égale à 0,7 au moins, lorsque ce di est d'un millimètre.
Ces résultats conviennent également aux orifices circulaires, carrés (angulaires- Ils laissent peu d'erreur à craindre dans les applications.
55. On augmente la dépense d'un orifice ouvertdans une paroi plane (1 en plaçant en dedans du vase une fausse paroi qui empêche que la a lion ne s'établisse sur toute l'étendue du contour de l'orifice.
'•■'■ ■■■'■ ■ i- i- ■■ -i- '• ■ ii' m- >..i ■ ■ ■* " i ■ • ■■ Il '
est la plus grande, et par conséquent la valeur du rapport m petite qu'il soit possible. On peut déterminer cette valeur comme
(Fig.20) le vase ABFE posé sur un plan horizontal parfaitement i, entretenu constamment plein au niveau AB, et dont le fluide s'écoule l'orifice vertical CD formé par un tuyau pénétrant dans l'intérieur du ,et dont l'aire est très-petite par rapport à la section supérieure AB. On que la veine de fluide, après s'être contractée à la sortie de l'orifice soit contenue dans un tuyau horizontal parfaitement poli. Nommant irs 0 l'aire de l'orifice CD, ; la hauteur de la surface supérieure AB le centre de l'orifice, m le rapport de la dépense effective à la dépense jlle, on remarquera que, par l'effet de l'écoulement du fluide, le vase repoussé en sens contraire avec une force dont la grandeur est déterminée k condition que la quantité de mouvement imprimée au vase, dans un donné, soit égale à la quantité de mouvement du fluide qui est sorti le même temps. La vitesse du fluide, après la contraction, csty/TfK ; de fluide qui sort dans le temps dt est p w û|/5yc. dt, et la quantité nouvement de cette masse ?m ù.Zgz.dt. La force capable de produire quantité de mouvement est donc P ni û. 2</C. Mais d'autre part le vase peut être repoussé en sens contraire du mouvement du fluide, qu'en vertu k différence des pressions supportées par les deux faces opposées A E, ; et comme, à raison de la forme de l'orifice et de sa petitesse, on peut apposer ici que les parois sont pressées partout comme si le fluide était en Ijpos, cette différence est égale à la pression supportée par G H, c'est-à-dire
*.ff C On a donc la relation
0ffia.2<7t = pû.0Ç, d'Où m = — .
; Ge résultat est exactement confirmé par une expérience de Borda, à qui fa doit k démonstration précédente. On en conclut que, dans tous les cas
pénibles , le rapport m est compris entre - et 1 .
^ OlIFICE £71 PA1TIB ÉVASÉ.
57. On peut, à défaut de données fournies directement par l'expérience. •ppUquerici les notions exposées n° 53. Nommant (Fig. 21) ?' l'angle formé Taxe MN de l'orifice par les tangentes menées à la courbe AC ou BD h paroi dans les points extrêmes G ou D , la vitesse moyenne de l'écoulcserait
V 8in. y' 8in. y'
d ? . V Cos. <p = , d'Où m =
SOI LEÇONS SUa L'APWJCATION
On pourrait ensuite modifier ee résultat d'après la grandeur abaosH l'orifice et la grandeur de la charge, comme on a tu d* 54 que le rendu n" 55 devait être modifié.
IltFLOKKCt DIS OBSTACLES IIHCOTTllS FAB LA VBIKI SGI LA DtnHBB BIS «IflCft
58. Lorsqu'on présente un plan quelconque à la rencontre d'une u fluide , la dépense de l'orifice est diminuée si le plan est fort près de Toril D'après une expérience de M. Hachette sur un orifice de 0",02 de ditail ouvert dans une paroi plane , la diminution de dépense devient sens quand la distance du plan est double du diamètre de l'orifice. La distance
plan étant le - du diamètre . la dépense est diminuée dans le rapport i
a à 2 environ.
riGOBE DIS TUNIS D'EAD JAILLISSANT UAK9 L'aIH BOBS BfS OSIUtM.
59. Soit en premier lieu (Fig. 22) une veine jaillissant de haut en tus t orifice circulaire horizontal CD , dont l'entrée est évasée. Le mouvencat tranches de fluide , au delà de l'orifice, s'accélère par l'effet de l'action J pesanteur, et l'aire des sections diminue en conséquence. On a donc conservant l'hypothèse du parallélisme des tranches,
av
Eu nommant
S l'aire de l'orifice CD;
U la vitesse du fluide à cet orifice , calculée d'après les articles précéd
0 l'aire d'une section quelconque cd de la veine ;
KiOrsquc la veine de fluide jaillit dans une direction horizontale d'un orie dont le plan est vertical, Taxe de cette veine tend à s'infléchir suivant une urbe parabolique dont le paramètre est le quadruple de la hauteur due à la «sse U; l'amplitude de cette courbe est un peu diminuée par la résistance
l'air. On peut appliquer à ce dernier cas les notions précédentes, en renrquant que a peut être supposé nul, et que x représentera la distance rticale d'un point quelconque de l'axe de la veine à l'axe horizontal de vifice.
"Tout ce qui précède est d'accord avec l'expérience. On a reconnu généraient, soit par la comparaison de la dépense avec la grandeur du diamètre a veines, soit par l'observation de l'amplitude des courbes paraboliques que & veines tracent dans l'air, que la vitesse de la section C D' était égale à la tasse qui serait donnée par les formules des articles précédents si l'on reirdait cette section comme un orifice dont l'entrée est évasée.
€0. Les notions précédentes conviennent également aux cas où la veine de lide jaillit d'un orifice dont la figure n'est pas circulaire. Mais on observe lus ce cas un phénomène remarquable, connu sous le nom d'inversion de * figure de la veine, et qui consiste en général en ce que la figure de la action transversale de la veine, à mesure qu'on s'éloigne de l'orifice, se moifie de manière que les lignes diamétrales les plus longues dans l'orifice eviennent les plus courtes; en sorte que la veine présente des côtes sailintes dans les directions correspondantes aux milieux des côtes de l'orifice, t réciproquement.
D'après une expérience de Venturi sur un orifice rectangulaire À (Fig. 24). rrondi aux extrémités, ayant 18 lignes de longueur et moins de 6 lignes de auteur, la section de la veine, au delà de l'orifice est d'abord représentée par \; a 4 pouces et demi de distance, par C; puis par D.
D'après plusieurs expériences par diverses personnes, un orifice carré e 0",30 de côté, étant représenté en M (Fig. 25), la section de la veine,
0",105 de la paroi intérieure du vase est N; à 0m,417 elle est P; à 0m,5 Ile est Q; à 0m, 582 elle est R. Les ailes ou côtes horizontales et verticales 5 dilatent de plus en plus. Une veine sortant d'un orifice triangulaire a (Fig. 26) ait par prendre la figure b; les côtes ou ailes se dilatent de plus en plus en éloignant de l'orifice.
61. Lorsque par l'effet d'une fausse paroi [voyez n° 55), ou parce que l'oiïce est contigu à l'une des faces du vase la contraction ne s'opère pas sur rate l'étendue du contour de l'orifice, la direction de l'axe de la veine n'est lus perpendiculaire au plan de l'orifice. La veine se dilate davantage du côté b il n'y a pas de contraction.
TITRE VI
DE l'ÉCOBLEBEST PAK US DEVER80I*.
62. Un déversoir est un orifice rectangulaire dont le coté snpéri plus élevé que le niveau de la surface du fluide dans le vase. Cette i s'infléchit alors au-devant de l'orifice, et ce cas diffère des précédents que la hauteur de la veine n'est pas déterminée à l'avance. On supposle déversoir (Fig. 27 ), par lequel le fluide s'écoule hors d'un vase en! constamment plein au niveau AB. est évasé par le fond et les cotés, et < que l'aire de cet orifice est fort petite par rapport à la section supérfc vase. Si l'on connaissait la hauteur CD de la veine, on pourrait en dépense d'après les n" 34 et suivants. Pour déterminer cette haut supposera que le mouvement du fluide est assujetti à la condition somme des forces vives qui ont été acquises par les molécules , lors sont parvenues à la section CD , soit la plus grande possible. A cause < sèment de l'orifice on peut admettre que tous les filets de fluide cou section C D suivant des directions perpendiculaires à cette section. La des forces vives des parties du fluide qui franchissent la section C D sci proportionnelle à la fonction
et le volume de fluide dépensé dans l'unité de temps ,
— i/Ig |1 — (0,2753)T 1 b C " = 2,5201 . b C \
le mètre étant l'unité linéaire, et la seconde sexagésimale l'unité de temps. ,• 64. On n'a pas d'expériences sur des réservoirs dans le cas où la paroi est itvasée. D'après une suite d'expériences faites sur des orifices de ce genre tmverts dans une paroi plane, le docteur Robison a trouvé que la hauteur B D
(Rg. 28) était presque les - = 0,2857 de la hauteur BC; ce qui s'accorde
Sensiblement avec le résultat précédent. Dans ce dernier cas, la contraction
pur te fond et sur les côtés de l'orifice diminue la dépense. D'après diverses Expériences de Smeaton, de Dubuat et de M. Bidone, on voit que la diminution est d'autant plus grande, que la largeur du déversoir est plus petite par rapport à la hauteur BC. Nommant toujours m le rapport de la dépense effective à la dépense qui aurait lieu si l'orifice était évasé , et qui serait donnée par le résultat du numéro précédent, on peut prendre ra = 0,65, si la larjjeur du déversoir ne surpasse pas la hauteur BC. La valeur de m augmentera ensuite quand cette largeur sera plus grande, jusqu'à devenir m =0,75 lorsque la largeur sera égale à cinq fois environ la hauteur B C, et m = 0,8 lorsque la largeur sera égale à dix fois environ la même hauteur.
D'après des expériences récentes de M. Poncelet sur un orifice en mince paroi, la hauteur de la veine n'est pas dans un rapport constant avec la charge sur le fond de l'orifice. La largeur de l'orifice étant 0m,2 et la charge suite fond variant de 0m,029 à 0m,131, le rapport de la hauteur de la veine à cette charge a varié de 0,78 à 0,9. Ces expériences s'accordent d'ailleurs à peu près avec les règles que l'on indique ici pour le calcul de la dépense.
65. Si le vase se vide par le déversoir, la surface supérieure AB du fluide dans le vase s'abaisse, C varie, on a la relation
j i /»c OdC
2,5261. &C'.rft= — OrfC; d'où t= / — — ,
2,52C1 . b J 0 cf
pour l'expression du temps que la surface du fluide emploie à s'abaisser de toute la hauteur première C.
66. Lorsque le vase est cylindrique ou prismatique , 0 est constante, et l'on a
ainsi le fluide ne peut descendre dans le vase jusques au niveau du fond du déversoir qu'après un temps infini.
TITRK VII.
Dit MOUVEMENT 1V1TX FIAI IDE DAKS Vt VASE , LORSQUE LA SECTION Cil 1? » d'(W POINT A TIN AFTRE D'USE Ol'ANTITK FINIE.
67. Considérons (Fis;. 29). le vase ABCD. dont l'axe MX est vertical. qui est entretenu constamment plein au niveau A B., et dont le fluide s'écoule; l'orifice CD, après avoir traversé l'orifice intérieur G H ouvert dans ledaphragme EF. Supposons la paroi évasée aux sections G H et CD.
Nommons
a l'aire de la section C D ;
m l'aire d'une section quelconque ■ 6 on f > faile dans le vase au-des! au-dessous du diaphragme;
0 l'aire de la section supérieure A B ;
il' l'aire de la section G H ;
O' l'aire de la section IK que les tranches du fluide occupent immèdûl* ment après la section GH;
2 la distance M|* ou M* de la section » à la surface supérieure du fluide
[ la distance H N de la section C D à la même surface ;
D la vitesse du fluide dans la section C D ;
}> la pression dans ta section ».
tweupent successivement ces deux sections , on aura , pour le moment de la tranche supposée animée de la force dont il s'agit,
1 /ûu ûu\ /îûurf/ \avdt\ u>/û ûv
, fttIM*. — [ . =pûUrf*.-[ .
rf/VÛ' O'/ \2 U' 2 0' J 2 Vu' 07
Ajoutant ce moment, avec le signe — , au second membre de l'équation (1)
in n° 25, supprimant le facteur ùlldt, supposant P— P'=o, et faisant
«TU = o, cette équation deviendra t
a L 02 Vii' 07 J
En employant le principe de la conservation des forces vives, on remarque que l'état du fluide étant supposé permanent, la force vive acquise par le système dans l'élément du temps dt n'est autre chose que l'excès de la force fcftre de la tranche qui sort en G D sur la force vive de la tranche qui entre en
ÀB; excès dont la valeur est p ttU dt. Ua ( 1 1. De plus la tranche qui
passe de la section G H à la section IK perdant instantanément la vitesse
ûv ou
r , il en résulte dans le système , conformément au théorème de Car-
ar (y
un
/û û\ not, une perte de force vive exprimée par p ûUdtf.U2 [ j. D'
autre côté, on trouvera, comme dans le n° 19, qu'en faisant P — P'=o, la quantité d'action imprimée au système pendant l'élément du temps dt, est t g£. ûVdt. Égalant le double de cette quantité d'action à la somme des forces rites acquises et perdues, on retrouvera l'équation précédente. Gomme il ne peut rester de doute sur l'accord de ces deux méthodes, on se contentera par la suite d'employer le principe de la conservation des forces vives. Cette équation donne
.../ — îîi —
V ,» ^-ÎY
Vu' 07
L'effet de la présence des diaphragmes EF est de rendre plus petite la vitesse d'écoulement; et en diminuant l'orifice intérieur û, on peut rendre cette vitesse aussi petite qu'on le voudra.
68. La valeur de la pression, pour une section quelconque a 6 placée audessus de IK, est donnée par la formule trouvée n° 29,
** (fi)'
p=zP+9gZ —
A l'égard des sections t s placées au-dessous de I K, en fa quation d'équilibre du n° 171e terme relatif à la force nécessaire poartf le changement brusque de la vitesse que subit le fluide en passant de la G H à la section JK, on trouvera
Pu* r-Q> 3 L«>
En considérant d'ailleurs l'équilibre de la portion de fluide comprise i les sections i S et CD, on trouverait également pour la pression quii dans la section t S
p=p-?ff(t- - ■ '
Ces deux expressions deviennent identiques quand on y met pour U Un trouvée n' 67. L'effet de la présence du diaphragme est de diminuer U ] sion dans la partie inférieure du vase.
69. Les résultats précédents conviennent également à un tuyau de S quelconque , dont les sections transversales sont très-petites. On peu appliquer à un vase de figure quelconque, quelle que soit la situation l'orifice d'écoulement, avec les restrictions indiquées n" 33.
70. L'orifice d'écoulement CD étant supposé fort petit par rapport sections AB et IK, les formules précédentes se réduisent à
/ 8gC
~vze:
£* û\û",û'" étant les aires des sections G H, NO, TU : J" 0\ 0", 0"' les aires des sections IK, PQ, VX, le valeur de la pression deviendrait
pz=P + ogs— [
|ràtre les sections AB ef G H,
f" ou'rû* a2 /a ûVn
f 2 L«2 o2 Vu' 07 J
$ntre les sections IK et NO,
PC2rtt»
a2 a* /a a v / û a y-i «2 o2 \ a# 07 vu" o'v J
3 L feutre les sections PQ et TU,
a- etc
72. L'orifice d'écoulement a étant supposé très-petit par rapport aux sections jft, 0\ 0". 0'\ les formules précédentes se réduisent respectivement à
+- 1 h etc.
Pu*a2
p = P+pj/3-
«ntre les sections A B et G H,
puva* a2 a'2,
*ntre les sections I K et N 0,
ou2 /a2
entre les sections PQ et TU,
etc
73. Si le vase n'est pas entretenu constamment plein , et se vide par l'orifice CD, les conditions du mouvement pourront être déduites de l'équation (1) du n* 42. en ajoutant au premier membre autant de termes , tels que
Pu2 / a a y
f ) , qu'il y aura de diaphragmes entre la surface supérieure du
9 \a' ov
fiuide et l'orifice. Il faut remarquer d'ailleurs que, si l'orifice d'écoulement a est supposé très-petit . il peut ici ne pas être permis de négliger dans cette
équation le terme affecté de — , comme on l'a fait aussi n°47, parce que l'exi-
dt
stcnce des orifices intérieurs û',0", .... peut rendre Irea-grinde rUf|
. L'expression de U du n" 72, ne pourrait être regardée nanti
nant à chaque instant la vitesse d'écoulement , qu'autant que u serait l Mi-petit par rapport à û', 0"
74. Les résultats précédents s'accordent sensiblement avec les eM turels. On en déduit l'explication de divers phénomènes remarquante,! autres d'un bit observé par Mariotte, et qui consiste en ce que, le vase Al (Fig. 32} se vidant par l'orifice CD, le jet de fluide qui jaillit de cet a s'élève à une petite hauteur telle que T. tant que la surface aida S dans le vase est au-dessus du diaphragme IK; tandis que ce jet s'élève s tement en U , presque au niveau de ce diaphragme , aussitôt que U ta du fluide est descendue au-dessous de l'orifice intérieur GU. En effet, i
ï le premier cas, le jet tend à s'élever à la hauteur -, û,etlri
les aires des sections CD et GU, supposées très-petites par rapport m très sections du vase; et, dans le second cas, le jet tend à s'élever 1 11 teur ï , en désignant toujours par : la hauteur de la surface du fluide s plan de l'orifice.
(COULEUR Vil un AJUTAGE CTLIHMIO.de ( rie. 33).
75. En conservant ici les dénominations du n" 67, il faut supposer ff=v et comme la paroi n'est pas évasée avant la section GH, on doit écrire au lieu de &'. Il ne peut y avoir de contraction au delà de C D.
La formule du n" 67 devient
fat sections ABetgh, (dans l'intervalle GHIK on doit mettre pour * mettons de la veine G H.hg),
les sections IK et CD.
pression diminue de CD en IK; et elle est dans cet intervalle moindre h pression extérieure P.
I. Si la section du tuyau est très-petite par rapport à la section supérieure !, on a
pû*0*
Ire les sections ÀB et ghj
f p = p — p sr (C — «)
|re les sections IK et CD.
p dernières formules peuvent être employées , quelle que soit la figure du
77. Si Tajutage cylindrique est horizontal (Fig.34), les résultats précé-
kMts pourront également être appliqués, ç représentant la hauteur NP de
Surface supérieure du fluide sur l'axe du tuyau , à moins que la surface
ire A B du fluide ne soit très-peu élevée au-dessus de HD, auquel
il faudrait calculer une vitesse moyenne d'après les valeurs de C qui con-
tt aux divers points de la section du tuyau , comme on a fait n°* 34 et
its. D'après cela on voit qu'en adaptant à un petit orifice un ajutage
gladrique horizontal , on augmente la dépense dans le rapport de m à
, et on diminue la vitesse du fluide dans le rapport de 1 à
vMH
. Le fluide sort en plus grande quantité, mais l'amplitude
m h courbe décrite par la veine est moindre. Dans la portion I KDC du Jtyaii, la pression intérieure est égale à la pression extérieure P. ï. 7t. Quand on adapte un ajutage cylindrique à un orifice ouvert dans une proi plane, l'écoulement n'est nullement modifié tant que la longueur du m ne surpasse pas son diamètre . parce que la veine du fluide , par l'effet I contraction, jaillit sans toucher à la paroi du tuyau. Si la longueur du
J74 LEÇONS SLR L'APPLICATION
tuyau surpasse une fois et demie son diamètre, on peut ordinaii la manière dont on débouche l'orifice, faire couler le fluide à plein tuy l'on observe alors l'augmentation de dépense indiquée par les résultats cédenU. Il y a cependant des cas où il n'est pas possible de produire ce moè d'écoulement ; en effet, la première expression de p du n" 76 donne pour h pression dans la section gh, en faisant a=^mO,a=z. et mettant pour
expression qui deviendra négative si £ est suffisamment grand, ce qui indiqnr que la veine doit se détacher de la paroi, et que le fluide ne peut coulai plein tuyau. Cette expression est toujours négative quand P =o; el l'on observe effectivement que l'augmentation de dépense, causée par un ajutigt cylindrique, n'a pas lieu dans le vide de la machine pneumatique. Ces rite» peuvent, d'ailleurs, être un peu modifiés par l'adhérence du fluide aux parob qu'il mouille.
L'augmentation de dépense due à un ajutage cylindrique est la plus grande possible quand la longueur du tuyau esl égale à deux fois et demie son dnmètre environ. Au delà de cette longueur, la dépense est diminuée parl'rf- :'i'i du frottement du fluide sur la paroi. On nommera ;i le rapport de la dépense qui a lieu par un ajutage cylindrique à la dépense qui aurait lieu si b vitesse du fluide était duc à la charge. Il résulte des nombreuses expérience* qui ont été faites sur ce mode d'écoulement, que, dans les même:
convergents ou divergents peuvent également être déduites des formules des H*" 67 et 68. Mais on ue parvient à des résultats aussi précis que dans le cas précédent. Il existe plusieurs observations sur les circonstances de l'écoulement, et particulièrement sur les valeurs qu'affecte la pression dans les ajutages, qui s'accordent généralement avec la théorie.
Venturi, et divers autres physiciens , ont fait un objet de recherches de la figure de l'ajutage, qui, étant adapté à un orifice en mince paroi , augmenterait dans la plus grande proportion possible la dépense de cet orifice. On a formé en général cet ajutage par une portion de tuyau cylindrique prolongé par un cône divergent. L'effet d'une semblable disposition est de composer un autre vase dans lequel l'orifice d'écoulement est plus grand que l'orifice donné. On peut ainsi augmenter la dépense jusqu'à une certaine limite, qui a lieu lorsque la veine de fluide cesse de remplir la section extrême de l'ajutage, limite qui répond dans les formules au cas où la pression p devient négative.
TITRE VIII
DU MOUVEMENT d'l'N FLUIDE DANS UN VASE EN PAHTIE PL1»GÉ DANS
