IIE

PY=nB(H-*) + {VTgh-V)\ -p-.

Pour le cas du maximum d'effet,

PYsmflH P-V,

PV=rIlE( H ]-p-V.

Pour avoir égard aux pertes d'eau qui ont lieu autour des aubes, il faudra ■apposer une dépense d'eau un peu plus grande que la valeur de E inlro- [$êHa dans ces formules.

Les augets doivent avoir une figure particulière, qui les rende propres à admettre l'eau facilement, et à la conserver longtemps. (Voyez les notes du tome I" de V Architecture hydraulique de Bélidor, page 415.) Quand la nue se meut dans un coursier, les aubes doivent le remplir exactement, être un peu inclinées en avant, sur le rayon, saillir au delà des jantes de la TOue (afin que ces dernières ne plongent point dans l'eau ), ou au delà d'un tambour» On diminue l'effet des pertes d'eau , en laissant prendre à la roue mie plus grande vitesse.

BODIS T11T1CALE3 DANS LESQUELLES L' ACTION DE L'iAU 8'SXEftCE SAftS CHOC. ( F1G. 40. )

ISO. Ces roues ont été proposées et mises en usage par M. Poncelet. Elles tout formées par des aubes courbes entre lesquelles l'eau pénètre sans choc, en jaillissant d'un orifice placé au bas de la chute. L'eau s'élève le long de Ftube, perd en s'élevant sa vitesse, retombe , et quitte la roue en se mouvant

sens contraire du mouvement de l'aube. En conservant les dénominations

•Sti ' LEÇONS SUR L'APPLICATION

précédentes, la vitesse de l'eau en entrant dans la roue , est j/iïgH; i vitesse relative, quand elle est emportée par la roue, est siopta |/2o;H— V. Elle s'élève le long de l'aube à une hauteur duc à celte tù puis retombe, et acquiert, en retombant, une vitesse relative égale, i sens contraire. L'eau en quittant la roue, est donc animée de la ri absolue \/tgh — 2 V.

La somme des quantités d'action imprimées dans l'unité de temps ■ toujours uig H — V V, et la force acquise par le système m ( V 2«/H - ! l'équation du mouvement de la roue est

3»»ff.H-aPV=m(|/ïffH — 9V)», d'Où PV=9m Y(T-|/s7

121. On rendra celte quantité la plus grande possible en faisant

V =; \ZTgtt ; d'Où Pï = wjH.

La plus grande quantité d'action possible est obtenue, quand la viles aubes est la moitié de celle de la veine d'eau ; et cette quantité d'aclio théoriquement égale à celle qui est représentée par la chute.

122. La hauteur de la courbe des aubes doit être la hauteur doc vitesse V, c'est-à-dire le quart de la hauteur de la chute, lorsque V est i de manière à obtenir le maximum d'effet.

L'inclinaison du premier élément des aubes doit être parallèle à »;>(Fig en supposant que mn représente la vitesse de l'eau, et mp, la rite» cet clément à l'instant où l'eau entre dans l'aube-

D'après les expériences de M. Poncelet, ta quantité d'action réelle obtenue est les -" ou les f de celle qui est représentée par la chute; vitesse qui donne le maximum est la moitié de celle de l'eau ; comme l'irai

t!jt P l'effort exercé tangentiellement à la circonférence passant parle point C,

tpi* par suite de l'action du courant;

bf9&*9 ^1 n? 9 y ayant les mêmes significations que ci-dessus ; nous aurons :

M Vitesse de la palette estimée perpendiculairement à sa surface V sin. a.

^ .Vitesse perdue par Peau par l'effet du choc

l/¥gH . cos. x — V sin. a.

a Vitesse conservée par Peau, après le choc, et quand elle cesse d'agir sur la

1/2 g H. sin. 2 x -f- V» sin.*7.

d'où:

force vive acquise par le système dans Punilé de temps

m (2? H . sin.» x — V»sin.* a),

force vive perdue par l'effet du choc

■' m(l/T^H.cos. * — Vsin. a)2.

La quantité d'action imprimée dans l'unité de temps est m g. H — P V. Égalant la somme des forces vives acquises et perdues au double des quand'action imprimées, il vient

PV = m(|/9^H.cos. * — Vsin. <x)Vsin.a

pour l'équation du mouvement de la roue.

- 124. La roue doit être disposée de manière à rendre cette expression de PV un maximum. On voit d'abord que l'on doit avoir x = o, c'est-à-dire que la veine d'eau doit choquer perpendiculairement les palettes; d'où

P V = m(|/2flrH- Vsin. a) V sin. a.

On devra faire ensuite

% sin. a

d'où

P\ = ±mgU, OU PV = ^IIE.H.

Le mouvement de la roue doit être réglé de manière que la vitesse ait la valeur ci-dessus. La quantité d'action transmise est alors théoriquement la moitié de celle qui est due à la chute de l'eau. On voit que, la vitesse de l'eau demeurant la même, on peut faire varier la vitesse de la roue sans cesser d'obtenir le maximum d'effet, en variant l'inclinaison des palettes.

125. On n'a pas, sur les roues de cette espèce, d'expériences spéciales qui fessent connaître avec certitude la quantité d'action qu'elles transmettent. On peut présumer qu'elle est à peu près la même que pour les roues verticales considérées n° 115, et qu'il y aurait aussi de l'avantage à donner à la roue une vitesse un peu moindre que celle que la théorie indique.

Ml LEÇONS SIR L'APPLICATION

126. Roue» horizontales muet par te choc et par ta pression àslm (Fig. 49). On considère une roue dont la circonférence est garnie de pé* courbes. La veine d'eau BC, qui arrive suivant une direction inclinée, Aass perpendiculairement le haut de ces palettes, coule entre elles, et sort et roue à leur extrémité inférieure D. La veine d'eau est supposée, peaàa son mouvement dans la roue, demeurer toujours à la même distancedefa Nommons

H la hauteur totale de la chute ;

h la portion À C de la chute parcourue par l'eau avant qu'elle n'entredi la roue ;

V la vitesse circulaire horizontale de la roue à l'endroit où l'eau rencoal les palettes courbes ;

i l'angle ACB formé par la direction de la veine d'eau avec la vertiol

P l'effort exercé , par suite de l'action du courant, tangentielieroent i circonférence passant par le point où l'eau rencontre les palettes:

m, E, II, g, auront les mêmes significations que ci-dessus.

La vitesse que perd l'eau, par l'effet du choc à son entrée dans la roue, t comme ci-dessus, Vlgh — Vsin.*.

Après ce choc, l'eau n'a plus aucune vitesse relative dans la roue ; mais, y parcourant la hauteur H — h, elle acquiert la vitesse relative |/2j(H— Celte dernière se décompose en une vitesse verticale = cos. v %/2g(R— et une vitesse horizontale = sin. ?V$g(H. — h). Quand l'eau quitte la roi la vitesse verticale n'est point altérée ; mais la vitesse horizontale effective l'eau se trouve plus petite que sa vitesse horizontale relative, de la q La vitesse effective de l'eau est donc alors

f l'eau, en quittant la roue, doit avoir une direction horizontale. L'exprèsm précédente devient alors ,

P V = m [ sin. 0 {/* g h + y^gW-^h) - î V ( 1 -4- sin.» 8 )] V.

i valeur de e qui rendra celte expression la plus grande possible, est donnée r la relation

> M9 Vick

V sin. 8 = ]/ïgh, d'où tin. 6 = .

i en conclut qu'il ne doit pas y avoir de choc à l'entrée de l'eau dans la roue, «pression de P V devient

PV=fn[0* + V|/*flr(H-n)--ïV»],

aéra la plus grande possible si l'on a

rt-à-dire si l'eau sort de la roue avec une vitesse nulle. La valeur corresndantedePVest

PV=wyH,

la quantité d'action représentée par la chute de l'eau. Ainsi la roue dont l'agit est susceptible de donner le maximum d'effet. Mais cela suppose qu'il > ait pas de choc quand l'eau entre dans la roue.

128. Roues horizontales mues par la pression de Peau. En conservant ites les dénominations du numéro précédent, on supposera les aubes telleïnt formées, que la veine d'eau entrant dans la roue ne les choque point, lis s'introduise entre elles tangentiellement à leur courbure. On admettra îjours que cette veine d'eau demeure à la même distance de l'axe de la ne. Comme ici, il n'y a point de choc, il s'agit seulement de chercher l'exession de la force vive possédée par l'eau à l'instant où elle quitte la roue.

La vitesse de l'eau, quand elle entre dans la roue, est i/îgh, équivalente

a vitesse verticale cos.e VTgh, et à la vitesse horizontale sin. e V îgh. îau commence donc à couler le long de l'aube avec la vitesse relative

*an descendant dans la roue de la quantité H— h, sa vitesse relative, and elle arrive à l'extrémité de l'aube, est due à la hauteur

— [cos.'e.2<f A-f-(wn.6l/2flrn — V)»]-4-H-A, *9

st-à-dire que cette vitesse est ... . \/ 2 g H — 2 V sin. e V^LgH -*- V*. e équivaut à la vitesse verticale cos. ? \/ 2 </ H — 2 V sin. e Vlgh + V*, t la vitesse horizontale .... sin. * V 2 g H - 2 V sin. • V*gh + V*.

'.m LEÇONS SUR L'APPLICATION 1

Quand l'eau quitte la roue , sa vitesse horizontale effective ut plu pttfe ft la vitesse relative de la quantité V , et par conséquent la vitesse eflttfiwÉ l'eau est alors

La force vive possédée par l'eau est égale à m multipliée par le quanti celte vitesse.

La somme des quantités d'action imprimées étant toujours wj.H-PV, on a donc pour l'équation du mouvement de la roue

P V =M (8in. 9 |/ï g h — V + tin. f^igH— 2 V sm.8 \Zî,j A-+-V») V.

129. Il faut déterminer?, e, V et A de manière à rendre cette exprès île PV un maximum. On voit d'abord, comme dans le cas précédent, qi doit supposer

«in. ?= l.

ou que l'eau sorte de la roue suivant une direction horizontale. On aura i

P V = m ( «in. «l/ïjHi'-ï+VSjH- aVsin. B l/ïjA-i-V*) V;

et en faisant varier V, on trouve pour la valeur correspondant*

maximum :

?" V= 7="« OOù PV=wiffH.

■in. t yig h

Cette valeur de V est celle qui rend nulle la vitesse effective de Yen sortir de la roue.

Des trois quantités V, ». h, il y en a deux arbitraires. La troisième « réglée conformément au résultat précédent, la plus grande quantité d'aï

ion doit être horizontale, est indifférente. On pourrait même se dispende mettre des aubes dans la roue; il suffirait qu'il y eût au fond des palflcea dont l'eau sortit suivant une direction horizontale , et en sens conztatare du mouvement de rotation.

rô'IM. En considérant toujours la roue dans l'hypothèse du n° 128, c'est-à-

ten supposant que l'eau ne choque point les aubes, on examinera ce qui it lieu si l'eau, en descendant dans la roue, s'approchait ou s'éloignait de fcxe de rotation. Conservant toutes les dénominations précédentes, on nom- ' aéra de plus

9 la vitesse angulaire ;

r la distance à l'axe d'un point quelconque de la roue; 7f. f la distance à l'axe du point où l'eau entre dans la roue ; ' r" la distance à Taxe du point où l'eau sort de la roue :

jpp verra comme ci-dessus que la vitesse relative avec laquelle l'eau commence Ji couler le long de l'aube étant

y cw.* 6 . 3 g h -Htin. e l/ïgh — v r')»,

la force vive que.l'eau possède à cet instant (en ne considérant que son mou- '*' tement relatif dans la roue), est

*" m [c<w.* 6 . 9 g h -*- (sin. 6 {/ÏJh- v f)»].

Pendant que l'eau est contenue dans la roue , la force vive doit augmenter d'âne quantité égale au double des quantités d'action qui lui sont imprimées ftr la gravité et par la force centrifuge. La quantité d'action imprimée par h gravité est mg (H— h). Celle qui est imprimée par la force centrifuge est

/wtîfdr=i«»rî(f"î-f'î),

Par conséquent la force vive de l'eau doit devenir on*

m (2 g H - 2 c fsin. *l/ÎTgh + rJ r"*).

La vitesse effective , à l'instant où l'eau quitte la roue, est donc, en supposant sa direction horizontale ,

La force vive que l'eau possède alors est égale à m multipliée par le quarré de cette vitesse. Égalant cette force vive à 2m g. H — 2 P. vr, on a

p . r r'anfï r* tin. a {/ïpi - t* r"»-f- vt" l/igH — 2r r'tin. ei/Ï^Â+cV'*!

138. Cette valeur de la quantité d'action transmise à la roue sera la plus grande possible et égale à la quantité d'action m g. H fournie par la chute de

!i8 LEÇONS SUR L'APPLICATION

l'eau . si la vitesse effective de l'eau au sortir de la roue est nulle, ou nitai |

y/ 2yll-2 rr'va. Sl/SjÂ+t^r"»— e»"=o, d'où vr* =-

ilii.l|/lfl

valeur identique à celle qui a été trouvée pour V, dans le n* 129. Ait

quand l'eau, eu se mouvant dans la roue, s'approche ou s'éloigne de ta.

cette circonstance n'a aucune influence sur les conditions de l'étahlisanat

de la machine . Il faut toujours donner la même vitesse de rotation au pool

de la roue où l'eau entre.

135. La théorie des diverses roues horizontales connues, ou qui ouvraient être proposées, est comprise dans les résultats des numéros pirtfdents: le n" 128 a rapport aux roues semblables à celles des moulina di Rnsnele. décrites par Bélidor. Le n" 132 montre que les roues construites* le même principe que la Danaïde de M. Manoury Dectot , c'esl-a-dir* ta roues où l'eau entre à la circonférence, et sort près de l'axe, ont les mena propriétés, et doivent être établies d'après les mêmes conditions que te précédentes. Ces conditions conviennent aussi aux roues où l'eau entre prit de l'axe et sort à la circonférence, disposition qui appartient aux roue* ■ réaction proprement dites. Dans ces dernières, la roue a souvent toute h hauteur de la chute, et l'eau y entre avec une vitesse sensiblement nulle : « a alors (/ 2 g h = o d'où V = ce. Ainsi le maximum d'effet a lieu quand a vitesse de la roue est infinie.

154. Le même résultat peut être obtenu par un autre procédé, qui s'applique plus directement aux roues îi réaction où l'eau entre par-dessous. J Supposons une roue (Fi;;. 51), tournant dans l'air, ou plongée dans l'eau Ai | réservoir inférieur, dans l'intérieur de laquelle l'eau arrive parle centre. H ■ ii la circonférence de laquelle sont des orifices disposés de manière que l'en ,

I Si la roue était immobile , la pression contre les orifices étant due à la hauteur H, l'eau en sortirait avec la vitesse V 2</H. La roue étant en mouvement, la force centrifuge cause à l'endroit où les orifices sont placés, une ion qui s'ajoute à celle qui résulte de l'action de la gravité , et qui est à l'action de la force centrifuge sur une colonne horizontale de fluide la longueur comptée à partir de l'axe est R. Cette pression exprimée par