V. 2 / cos a
Si Ton égale ces deux expressions , on aura
P-hliah tang. a ](tang.a — /,)=fa(l-*-tang.2a),
d'où l'on déduit
Ilfl2 l-t-Ling.'fll
P -f- II a h= tang. a+ifd.-
2 lang. a — f
195. En faisant varier a, et déterminant la valeur minimum de V+TLah, on connaîtra en même temps la direction suivant laquelle le massif se romprait, si la charge surpassait un peu la valeur qui convient à l'équilibre , et la plus grande hauteur qu'il soit possible de donner à ce massif, ou le plus grand poids dont on puisse le charger.
La valeur de tang. a qui répond au minimum du second membre de l'équation précédente est
y Ha-f-2-r
et en la substituant dans ce second membre, on trouve
/lia* \
pour l'expression de la plus grande valeur qu'il soit possible de donner à P+TLah, sans causer la rupture du massif.
196. Si l'on fait abstraction du poids de la partie supérieure ACDT du massif, ces formules deviennent
tang. a = f+\/\-hf*, P = 2-ra(/'-i-l/T+7ri).
197. Si de plus on suppose /'=0, ou que la résistance au glissement sort indépendante de la pression , et proportionnelle à la surface de rupture, on a
lang.a=1, P = 3fo,
résultats donnés par Coulomb [il, La rupture tend alors à s'opérer suivant un plan incliné d'un demi-ani;le droit; la valeur de P est proportionnelle) l'épaisseur a du massif. Ces formules peuvent donner les lois de l'écrasemcn! d'un prisme de pierre, par un effort exercé sur la face supérieure.
198. Les résultats précédents supposent la composition du massif homogène, comme le serait celle d'une masse de terre, de bélon, ou de pelits moellons posés irrégulièrement et unis avec du mortier. Dans ce dernier cas, on doit mettre dans les formules, pour /'et -f, les valeurs qui conviennent ù la matière du mortier. Mais si le massif est formé en pierres un pen grandes, taillées régulièrement, et posées par assises horizontales, la lézarde inclinée qui a lieu lors de la rupture devra se former dans les pierres même»; et par conséquent les valeurs de /"et i devront être celles qui conviennent à la matière de ces pierres. On rend raison de cette manière de la plus grande solidité que l'on obtient en employant le mode de construction dont il s'agit-
ARTICLE III
HE I, EQIIURRE D TN MASSIF EXPOSE A l'Ti EFFORT EXERCE CONTRE UNE OES FACES LATÉRALES.
puisse être attribuée à la force horizontale appliquée en E , avec la condii d'opérer cette rupture. On nommera i l'épaisseur AB du massif;
1 la hauteur AF ou BE du point d'application de la force horizontale ;
? le poids de la partie supérieure CDEF pour une unité de longueur du massif;
2 la valeur de la force horizontale appliquée en £ pour une unité de longueur du massif;
t l'angle de la ligne de rupture EF avec l'horizon ; •
ï la distance SF ;
I le poids de l'unité de volume de la matière du massif;
r la force, rapportée à l'unité de surface, nécessaire pour séparer deux
portions du massif, en les faisant glisser l'une sur l'autre; r le rapport du frottement à la pression pour deux portions du massif
glissant l'une sur l'autre ; r l'angle dont la tangente est /*.
La force qui tend à produire le glissement sur ST est
Qcos. a-f-(P-i-lTa /t — ilIaMang. a) sin. a.
La force qui s'y oppose est
— /,Q8in.a-t-/'(P-t-IIa/i — £ II a2 tang. a) cos. a -4-7 .
oos. a
En égalant ces deux expressions et tirant la valeur de Q , il vient
1 (2P-*-9IIa/i — TLà1 tang. a) (f— tang. a) -4- 2 *r a (1 -4- tang. 2 a)
2 1 -h f tang. a
Celte expression représente la valeur qu'il faudrait attribuer à la force Q wr qu'il y eût équilibre entre les actions qui tendent à faire rompre le issif, et les résistances qui s'opposent à la rupture. Les quantités h et a sont léterminées : on ne peut exposer le massif à une action horizontale surpasnt la plus petite des valeurs que prendra Q dans l'équation (/), quand on y ra varier dans le second membre h et a.
201. Si l'on avait t=0, il suffirait de prendre tang. a=/*pour rendre nulle valeur de Q. Ainsi lorsque la cohésion est nulle le massif ne peut supporter cune action horizontale.
802. Nous remarquerons d'ailleurs que le terme qui contient h dans l'exession (/) sera positif ou négatif suivant que tang. a sera < ou > f. Par conquent si l'inclinaison de la Ugne de rupture ST sur l'horizon devait être sup- Mie moindre que l'inclinaison du plan sur lequel les parties du massif se
tiendraient on équilibre par l'effet du frottement seul (inclinaison désignef paro et <|iie l'on nomme ordinairement Xmujle du frottement) , il faudrait prendre // le plus petite possible. Au contraire si l'inclinaison de la ligne de rupture sur l'horizon devait être supposée plus grande que l'angle du frottement, il faudrait prendre // le plus grande possible. On peut done être oblige d'admettre que la ligne de rupture part du point £, ou bien du point A: ces deux cas doivent être considérés séparément. Quant à l'inclinaison qui doit être attribuée à cette ligne de rupture, on verra tout à l'heure comment elle doit être déterminée.
203. Admettons d'abord que la rupture s'opère suivant la ligne AU parlant du point A. On fera /i = H dans l'équation (/). et posant pour abréfifr
A = î(/P+/naH + -[«).
elle deviendra
1 A — D lang. n -4- C lanj;. 1 a
Supposons la force de cohésion nulle, puis croissant progressivement partir de zéro : il y aura d'abord des valeurs de tang. a qui rendront O=0. Ces valeurs seront données par l'expression
Si t n'est pas assez grande pour que ces valeurs soient imaginaires, elle.» seront toutes deux positives, et toute valeur de lang. j comprise entre les
DE LA MÉCANIQUE , I- PARTIE. 1 1 ti
Cl cODctarait qu'il existe une valeur minimum positive de Q , dont il faudrait Aire ta recherche. La valeur de tang. a qui rend l'expression (m) la moindre ponAkest
f fV C
pn donnera pour tang. a des valeurs de plus en plus petites, à mesure pt t augmentera. Si la valeur de tang. a que Ton en déduit était plus grande
|»— , ce qui indiquerait une direction de la ligne de rupture placée au delà
fc ÀE, il faudrait évidemment faire tang. a=— dans l'expression (m), et
Foo aurait alors la valeur cherchée pour Q. Mais si la valeur de tang. a don-
aéepar la formule (o) est <— , il faudra mettre cette valeur dans Fexpres-
âoa(w).
905. On doit remarquer toutefois que, lorsque t augmente de plus en plus, b valeur de tang. * donnée par la formule (o) diminuant, cette valeur peut fa trouvée </". En effet, si Ton suppose t infiniment grande la formule (o) fane
tang. a = w- '- OU tang. a = -' o ;
co sorte que la direction de la ligne de rupture partagerait alors en deux parties égales l'angle du frottement. Mais d après ce qui a été dit n° 202, il ne faudrait pas admettre ce dernier résultat : car si tang. a est </*, il convient le mpposer la ligne de rupture le plus haut possible , c'est-à-dire partant du ptint E : à valeur égale pour a, la formule [m) donnera alors une valeur ■oindre pour Q. On devra par conséquent , si l'expression (o) donne pour tng. * une valeur </*, recourir à d'autres formules , établies dans la supposition que la ligne de rupture part du point E.
106. Admettons donc maintenant que la rupture s'opère suivant ta ligne EV priant du point E.
La force qui tend à produire le glissement sera
O co*. a -4- (P-f- \ 11 a2 tang. a) «in. a ;
et ta force qui s'y oppose
— f Qsin. a -\-f( IM- £■ II à2 tang. a) cos. a.
■plant les expressions de ces deux forces , et tirant ta fafcnr àc Q . on Ironie
1(2P + 11 a' tang. a) f/1— tang.a)-4-2*r«{l + f«* '«' 9 l-t-ftang. a
En faisant pour abréger
celte formule deviendra
A = 9(/-P+Tfl>.
B=/Ho>-SP.
A +B tang- a — C tang. » n
\-*-flMK.a
207. Si l'on suppose d'abord T nulle ou très-petite, il y aura une valeur df tang. a. qui rendra Q nulle. Cette valeur de tang. a est représentée par l'expression
B-l-l/B*+4AC , .
tanu- «= t , (î)
qui donnera pour tang. <x la valeur /"quand -, sera — 0, et des valeurs déplut en plus grandes à mesure que 7 augmentera. Si cette valeur donnée par h
H formule (q) est <; — , c'est-à-dire indique une ligne de rupture comprise
a dans l'angle BEF, on en conclura évidemment que le massif ne peut suppor-
H ter aucune action horizontale. Mais si l'expression (ç)est>— , ouestimt-
a Binaire, ce massif pourra résister à nne semblable action. Ainsi, pour que le massif puisse supporter une action horizontale , il faut et il suffit que la valeur donnée par l'expression [q), et ia plus petite des valeurs don-
nées par l'expression («), surpassent toutes deux le rapport—. Mais comme ici l'on considère des valeurs de tang. a qui sont nécessairement >/", l'ex
faudra faire tang. a=— dans l'expression (p) qui donnera la valeur chercher;
pour Q. Mais si la valeur (r) est <— , ce qui indique une direction de la
ligne de rupture EV comprise dans l'angle AEF, il faudra substituer cette
valeur dans l'expression (p).
Il faut remarquer néanmoins que l'expression (r) qui , si ? était infinie ,
donnerait comme l'expression (o) tang. « = tan g. \ n , peut donner des valeurs
de tang. a qui seraient à la fois <-— , et >/*. Si cela arrivait, on ne devrait
a plus, conformément à ce qui a été dit ci-dessus, employer l'expression (7;) : il faudrait recourir à l'expression (/), où Ton substituerait pour tang. a la valeur donnée par la] formule (0) , et qui donnerait alors pour Q la plus petite valeur possible, qui doit être admise dans les applications.
209. En résumé, lorsque l'on considère la rupture par glissement d'un massif, et que Ton veut déterminer le plus grand effort horizontal Q auquel ce massif peut résister, il faut examiner les valeurs de tang. a exprimées par
la formule (m) 1° Si ces valeurs sont réelles et plus petites que--, le massif
ne pourra supporter aucun effort. 2° Si ces valeurs sont réelles et plus grandes
u II
que — , on fera tang. a= — dans la formule (m), qui donnera pour Q la
valeur cherchée. 5° Si ces mêmes valeurs sont imaginaires, on calculera la valeur de tang. a par la formule (0) , et on la substituera dans la formule (m) : on calculera également la valeur de tang. a par la formule (r) et on la substituera dans la formule (p) : on adoptera ensuite la moindre des deux valeurs de Q obtenues de cette manière.
210. Les résultats précédents supposent la composition du massif homogène. On peut les appliquer aux massifs construits en terre, en béton, ou en petits moellons posés irrégulièrement, en attribuant aux constantes /et t les valeurs qui conviennent au mortier qui unit les matériaux.
A l'égard des massifs construits en grandes pierres taillées régulièrement et posées par assises réglées, il y a quelquefois certaines directions suivant lesquelles le massif peut se rompre plus facilement que suivant toute autre. Par exemple, si le massif est construit par assises horizontales, il doit se rompre dans le joint placé immédiatement au-dessous du point d'application E de la force Q. Dans ce cas l'équilibre exige que
Q=/-p-«-«ra
en mettant pour t la valeur qui convient au mortier.
118 LEÇONS SDR L'APPLICATION
Si les pierres étaient disposées de manière qu'il n'y eût pas de joints continus dans les directions suivant lesquelles le glissement peut s'opérer, il faudrait examiner l'étendue de la surface des pierres qui doivent être rompues pour que le glissement ait lieu, et évaluer en conséquence ta résistance due à la cohésion.
CAS OU LA RCPTIIE nil XAHIF B'OPIRE FAR RIXVEigEHlIT.
311. Supposons maintenant que le massif s'étant rompu suivant une direction inclinée AT (Fig. 18), la partie supérieure ACDT se renverse en tournant m l'arête A. Conservant les dénominations du na 200, et désignant de pins par R la cohésion absolue de la .matière du massif sur l'unité de surface, on b force nécessaire pour séparer deux portions du massif, en tirant perpendiculairement au plan de rupture ; on aura pour le moment de la force qui tend à faire renverser la partie npérieure ,
