DES VOL' TES

\ 311. Dans des expériences sur de pelits modèles de voûtes en berceau, qu'il faisait rompre en chargeant par des poids les parties supérieures, M. Danisy [1] a montré que , lors de la rupture , les parties supérieures s'abaissaient en s'appuyant Tune contre l'autre à la clef, et en écartant les parties inférieures, qui se renversaient en tournant sur les arêtes extérieures de leurs bases. II a fait remarquer que, dans ces mouvements, les voussoirs ne glissaient point sur les plans de joint, mais s'écartaient les uns des autres en tournant sur les arêtes continués. Des expériences semblables ont été faites depuis par MM. Gauthey [2] et Rondelet [3].

312. M. Boistard, ingénieur en chef des ponts et chaussées, a publié d'autres expériences faites plus en grand, et avec plus de précision [4]. Les voûtes traient 2",27 d'ouverture, et étaient construites avec des voussoirs en briques, polis au grès, ayant Om,ll d'épaisseur et de hauteur. On a formé avec ces matériaux des voûtes en plein cintre, en anse de panier surbaissées au tiers et au quart, en arc de cercle dont la flèche était le £ le ~, et le ,'7 de l'ouverture, et en plate-bande. Chacune de ces voûtes a été soumise à trois épreuves principales. Dans la première, les voûtes étaient extradossées sur Om,ll d'épaisseur, et cette épaisseur n'étant pas suffisante pour qu'elles pussent se maintenir en équilibre quand on abaissait le cintre, un certain nombre de voussoirs de la partie supérieure s'abaissaiten portant sur le sommet du cintre (Fig.28). Les deux parties inférieures de la voûte formaient des arcs rampants, et se partageaient en deux portions. La rupture tendait à se faire vers le milieu de chacun de ces arcs, où les voussoirs ne touchaient point le cintre, et où les joints s'ouvraient à l'extrados aux extrémités supérieure et inférieure de chaque arc. 313. Dans la seconde épreuve, les voûtes étaient encore extradossées. On

[i] Traité de la coupe des pierres, de Frezier, lorac III. Ces expériences ont été faites en 1739, devant l'académie de Montpellier.

[2] Dissertation sur les dégradations du Panthéon français, page 111. Traité delà construction des ponte, tome I, page 241, 2* édition.

[3] Art de bâtir, tome IV. pages 225 et suivantes.

[4] Recueil de divers Mémoires , publié par Lesage . tome II . page 170; ou Recueil d'expériences et d'observations . faites par Boistard. page 95. Ces expériences ont été faites *n 1800.

156 LEÇONS SUn L'APPLICATION

embrassait de chaque côté un certain nombre de voussoirs de la partie n rieure par une corde qui s'appuyait sur l'extrados, et qui était tendue un poids. Si la tension de la corde n'était pas suffisante pour maintenir h voûte en équilibre, cette voûte se rompait en s'ouvrant à l'intrados près la clef et aux naissances, et à l'extrados dans les reins (Fig. 29). Si la tenstoi de la corde était suffisante pour l'équilibre, les mêmes joints s'ouvraient deli même manière, par l'effet du tassement; mais l'action des poids tendant à l« faire resserrer, ils s'ouvraient et se fermaient alternativement par une sorte de mouvement d'oscillation, dans lequel les parties de la voûte tournaient alternativement dans les deux sens, et en s'appuyant tantôt sur les arêtes supérieures et tantôt sur les arêtes inférieures des voussoirs. Enfin , si la tension de la corde était augmentée au delà d'une certaine limite, des effets analogues aux premiers se manifestaient en sens contraire (Fig. 50); c'est-à-dire que les parties inférieures de la voûte tendaient à s'abaisser, et les parties supérieures à être soulevées, les joints s'ouvrant à l'extrados près de la clef et naissances , et à l'intrados dans les reins.

31 4. Dans la troisième épreuve on construisait des culées , et l'on remplissait les reins de la voûte en maçonnerie arasée au niveau du sommet , où l'épaisseur était toujours de 0™, 11. Si l'épaisseur des culées était suffisante U voûte se maintenait en équilibre, lorsqu'on abaissait le cintre. Dans le contraire, ou si l'on chargeait davantage le sommet de la voûte, cette voûtes* rompait en quatre parties (Fig. 31) , les joints s'ouvrant à l'intrados à la ciel et aux naissances, et à l'extrados dans les reins.

Il résulte de ces expériences que, dans les voûtes en demi-cercle, extradossées d'égale épaisseur ou extradossées de niveau, la rupture tend à se faire vers l'angle de 30° environ, à compter de la naissance du demi-cercle. Dan*

Spi ont lieu dans les voûtes. D'après ces observations, les premiers cours de poussoirs peuvent être posés sans l'appui du cintre, et ne commencent à glisier qu'autant que l'inclinaison des joints sur l'horizon est de 39° à 40° LU. Au delà de cette inclinaison, le cintre porte une portion du poids des voussoirs; et, quand on emploie un cintre retroussé, il s'abaisse dans les parties inférieures, et se soulèverait au sommet si Ton ne s'opposait à ce mouvement en plaçant sur ce sommet une charge suffisante.

Ces effets ont été observés à l'arche de Saint-Edmc à Nogent-sur-Seinc . dont la figure est une anse de panier, ayant 29m, 24 d'ouverture, et 8m, 77 de flèche (Fig. 52). L'épaisseur au sommet est de lra, 62. Chaque moitié est composée de 47 cours de voussoirs, non compris la clef. Les vingt premiers cours de voussoirs ayant été posés, les cinq derniers se séparèrent à raison du tassement du cintre; le joint s'ouvrit de 0m, 02 à l'extrados au-dessus du 15e cours, et il se fit une disjonction verticale entre la voûte et les assises horizontales des culées, dont l'effet était sensible jusqu'au 7" cours. En continuant la pose, ces joints se refermèrent : le point de rupture se trouva reporté plus haut, et les joints s'ouvrirent de 0m, 002 à l'extrados, du 26e au 51° cours.

La figure des arches du pont de Neuilly est une anse de panier surbaissée au quart, ayant S9m d'ouverture. Chaque moitié est composée de 50 cours de voussoirs, non compris la clef. Dans les arches adjacentes aux culées, les joints se sont successivement ouverts à l'extrados, en raison de l'avancement de la pose des voussoirs, depuis î jusqu'à 5 et 7 millimètres, du 11e au 56° cours. Des effets analogues ont été observés dans les autres ponts.

316. D'autres mouvements ont lieu après la pose des clefs : les cintres sont alors chargés sur le sommet, et tendant à se soulever vers les reins. On avait tracé, avant le décintrement, sur les têtes de l'arche de Nogent (Fig. 52), trois lignes droites, l'une horizontale placée au sommet delà voûte, du dessus d'un 28" cours à l'autre; et les deux autres inclinées, depuis les extrémités delà première jusques aux points où le joint du 7° cours rencontre la tangente verticale aux naissances. La position de ces lignes avait été rapportée à des points fixes. Les derniers joints ouverts à l'extrados, dans la partie supérieure de la voûte, se sont resserrés, et la disjonction verticale qui s'était faite entre les voussoirs et les assises des culées a presque entièrement disparu. La ligne horizontale a pris une courbure indiquant un tassement vertical, qui allait en diminuant uniformément depuis le milieu de cette ligne jusqu'aux extrémités, il s'est formé dans la courbure des deux autres lignes un point d'inflexion, a

riences et d'observations, par M. Bois tard, et les Élude* relatives à Part des constructions. par M. Bruyère, premier recueil.

[i] Cela suppose que le rapport du frottement à la pression est environ 0,82 . Celte observation a déjà été mentionnée ci-dessus, n<> 284.

I3S LEÇONS SDR L'APPLICATION

la rencontre du joint entre le 16" et le 17e cours; ce qui indiquait, outre lt tassement vertical et le resserrement des joints dans les cours supérieun,, jusques et compris le 17', un resserrement semblable dans les joints de k partie inférieure, qui se trouvait reportée vers les culées. Le point de roplure se trouvait donc placé entre le 10* et le 17e cours de voussoirs, et doit remarquer que la maçonnerie des reins était achevée lors du décintrement.

Au pont de Ncuilly, après la pose des clefs, les derniers joints qui s'étaient ouverts à l'extrados se sont refermés; et, de chaque côté, de joints se sont ouverts à l'intrados, à partir de la clef. Les joints sont ouverts à l'extrados dans les reins ; la plus grande ouverture avait lieu entre le 20" et le 27" cours de voussoirs, ce qui a indiqué la position du pointée rupture. La maçonnerie des reins n'était pas construite lors du décintremeot.

517. Les résultats précédents se rapportent aux voûtes en berceau: la observations faites sur les dégradations du dôme de Saint-Pierre de Rome peuvent fixer les idées sur les mouvements analogues qui ont lieu dans les voûtes sphériques. Il résulte de ces observations que cet édifice tendait i s'écrouler de la manière indiquée fig. 35; la maçonnerie, qui offrait un Grand nombre de lézardes dans la direction des plans méridiens, s'ouvrant à l'extrados en V, à la naissance de la voûte . et ù l'intrados en AD, à la base du tambour sur lequel cette voûte est portée. Dans ce mouvement, les contre* Forts s'étaient séparés du mur du tambour. Ces dégradations ont été arrêtées an moyen de cercles en fer qui s'opposent a l'agrandissement du diamètre de la partie inférieure du dôme [i].

Home sont ili'crUe» en deuôl

<e résultat général des observations et expériences qui viennent d'être s 9 est 1° que, dans les mouvements des voûtes, les parties qui se ne glissent pas les unes sur les autres, mais s'écartent en tournant rétes supérieures ou inférieures des voussoirs ; 2° qu'une \oûte, en int, se sépare ordinairement en quatre parties principales , les deux upérieures s'abaissant, pendant que les deux parties inférieures sont es en dehors. On ne doit pas en conclure d'ailleurs qu'une voûte ne unpre par l'effet du glissement des voussoirs ; mais seulement que, es proportions qu'on leur donne ordinairement , et les valeurs du nt et de la cohésion, les voûtes se rompent plus facilement par lent que par le glissement des parties. Il arrive quelquefois que les nftrieures de la voûte cèdent en glissant sur les joints horizontaux [-dessous des naissances , en même temps que les parties supérieures nt en tournant sur les arêtes des voussoirs.

ARTICLE 111

de l'établissement des voûtes.

.a figure et les dimensions générales d'une voûte sont déterminées stination de l'édifice dont cette voûte fait partie. Ainsi l'on regarde raient comme données l'ouverture de la voûte , la courbe d'intrados, ir des pieds-droits, la distribution des poids que la voûte doit suppore donne aussi d'avance, d'après l'exemple des constructions analogues ne l'on projette, et regardées comme les plus parfaites, l'épaisseur Me au sommet. Cette épaisseur est conservée la même dans toute : de la voûte , ou bien on l'augmente progressivement du sommet Minces. Quand une voûte est projetée, on doit s'assurer qu'elle ra en équilibre lors du décintrement. On établit l'équilibre d'une )it en chargeant davantage les parties qui tendent à être soulevées, lonnant plus d'épaisseur à ces parties. On doit vérifier également

par cet architecte , qui alors soutenait que les voûtes en dôme n'avaient issée horizontale, ne sont pas conformes à la vérité.

que Christophe Wren, habile géomètre, qui a construit de 1675 à 1710 la cathé- Ïaint-Paul a Londres, avait adopté, sur l'équilibre des voûtes, des notions semsdles que nous présentons ici. Voyez Account ofthe Family fFren9 pages 55G s; cité par Robison, A *y$tem of mechanical philosophy, tome I, page 042.

que les pressions exercées dans les diverses parties de la voûte ne u assez considérables pour causer l'écrasement de la pierre, ou des matériaux dont les voussoirs sont formés. Ces recherches , dans lest consiste proprement l'établissement des voûtes, ne comportent qi applications des notions présentées dans l'article 1".

DI L'tQUILIBU DU VOOTtS » BEKM.tr.

320. Considérons une voûte en berceau, composée de deux parties séparées par un joint vertical. L'action des poids supportés par la voût duit perpendiculairement à ce joint, entre les deux moitiés, une pn On pourrait supprimer une des moitiés de la voûte, et ia remplacer pi force horizontale égale à la pression dont il s'agit. Si cette force horiz est assez grande pour opérer une rupture dans la moitié restante, repoussant en dehors en totalité ou en partie , ou si elle n'est pu grande pour empêcher cette moitié de tomber en dedans, la voûte ne { se maintenir en équilibre. Elle s'y maintiendra dans le cas contrai recherche des conditions de cet équilibre comporte divers cas qui d être distingués et examinés à part.

ABNM (Fig. 34) représentant la moitié d'une voûte en berceau, < étant un joint quelconque, dans lequel on suppose que la rupture pent s tuer, on nommera

b,b' les distances OM, ON;

x, y les distances Ap, mp;

a?, y" les distances Kq , np ;

Les valeurs ( A ) ayant été calculées pour tous les joints compris dans la mi-voûte, la plus grande de ces valeurs devra être prise pour la pression M les deux moitiés de la voûte exercent Tune contre l'autre à la clef, prèson que Ton désigne ordinairement sous le nom de poussée horizontale t la voûte.

On remarquera ensuite que la force horizontale Q , appliquée en MN , qui mit assez grande pour repousser la portion de voûte mnNM, en la faisant liner dans le sens mn, aurait pour expression

G(co8. l~*-fs\n. 8) -4-7*

sin. 0 — fcùt. 6

M valeurs (AJ ayant été calculées pour tous les joints compris dans la temi-voûte, on sera assuré que la voûte est en équilibre, si toutes ces valeurs ont pliis grandes que la poussée horizontale , déterminée comme on vient le k dire. Dans le cas contraire , l'équilibre ne pourrait subsister.

Ainsi l'équilibre de la voûte exige que le maximum de (A) soit plus petit pie le minimum de (A,) .

322. D'après les formes et les proportions que les voûtes offrent le plus wnmranément, le joint de rupture qui donnera la valeur maximum de l'exffession (A) sera placé dans les reins de la voûte. Le joint qui donne la vfoir minimum de l'expression ( At ) est le plus souvent le premier joint horizontal placé au-dessous des naissances. Alors la voûte tend à se rompre k h manière indiquée fig. 35, la partie supérieure s'abaissant, en même temps que les parties inférieures sont, de chaque côté, repoussées en dehors.

H peut arriver aussi que le joint qui donne le maximum de l'expression (A) soit placé aux naissances , ou près des naissances de la voûte , tandis que le joint qui donne le minimum de l'expression ( At) est placé près du sommet. Alors la voûte tendrait à rompre de la manière indiquée fig. 36, la partie supérieure s'élevant, en même temps que les parties inférieures glissent en dedans de chaque côté.

3Î3. En admettant présentement que la rupture de la voûte ne peut s'opérer que par l'écartement des voussoirs , tournant sur les arêtes supérieures oo inférieures des joints, on verra , d'après le n° 292, que la force horizon- ^Q (Fig. 34), appliquée au point N, nécessaire pour empêcher la portion dcioûte ranNM de tourner de haut en bas sur l'arête m, a pour expression

G (a -*)--•- Rs* 0= ' (B)

I*s valeurs (B) ayant été calculées pour tous les joints compris dans la demi-voûte, la plus grande de ces valeurs devra être prise pour la poussée horizontale de la voûte.

163 LEÇONS SDR L'APPLICATION

On remarquera ensuite que la Force horizontale Q, appliquée en H, serait assez grande pour faire tourner la portion de voûte m«NM de h haut sur l'arête », aurait pour expression.

Les valeurs ( B, J étant calculées pour tous les joints de la demi-voûte, on assuré de l'existence de l'équilibre , si toutes ces valeurs sont plus gît que la poussée horizontale. Dans le cas contraire, l'équilibre n'aurait pu

L'équilibre delà voûte exige donc que le maximum de (B) soit pins; que le minimum de (B,).

Ce que l'on vient de dire suppose d'ailleurs le maximum de (B) donnl un joint de rupture voisin du sommet, et le minimum de ( B, ) donné pi joint de rupture voisin des naissances. Alors la voûte tend à se rompr la manière indiquée fig. 37, les parties supérieures s'abaissant en s'appu l'une contre l'autre par l'arête supérieure du joint placé au sommet, a que les parties inférieures, renversées en dehors, tournent sur les ai extérieures de leurs hases. Les parties supérieures portent alors conti parties inférieures par l'arête du joint de rupture placée à l'intrados.

324. Mais la voûte, comme on l'a vu nQ513, peut également se rompt la manière indiquée fig. 38, les parties inférieures tombant en dedai tournant sur les arêtes inférieures de leurs bases, tandis que les parties i rieures sont soulevées en portant l'une contre l'autre par l'arête inféri du joint placé au sommet. Les parties supérieures portent alors contn parties inférieures par l'arête d'extrados du joint de rupture. Pour vét l'équilibre relatif à ce dernier genre de rupture, on doit remarquer qi

B5.0n a supposé, dans le n°321, que la rupture de la voûte devait s'opé- * seulement par glissement , et dans les n°* 523 et 324 que cette rupture rait s'opérer seulement par écartement. La rupture peut aussi avoir lieu partie par glissement, et en partie par écartement. Le cas le plus ordinaire celui où la voûte tend à se rompre de la manière indiquée n° 323, fig. 37; 3 arrive aussi quelquefois que les parties supérieures s'abaissant comme représente cette figure, les parties inférieures sont repoussées de la maire indiquée fig. 35. II est évident que, pour prévenir ce mouvement, le ufmum de l'expression (B) doit être rendu moindre que le minimum de [pression (Ai). Les autres cas de rupture se présenteront très-rarement, et est inutile de vérifier l'équilibre qui leur est relatif pour la plupart des voûi que l'on peut avoir à construire.

On aura d'ailleurs égard à toutes les combinaisons possibles , en remarant que l'équilibre exige 1° que les expressions (A) et (B) soient, dans ite l'étendue de la voûte, plus petites que (At) et (B,); 2° que les exprèsos (A) et (b) soient, dans toute l'étendue de la voûte , plus petites que ( AJ

EH l'on veut négliger les résistances provenant du frottement et de la co-

lion, on supposera dans les formules précédentes f} ?, R égaux à zéro.

as le cas contraire, on évaluera ces quantités d'après les résultats rapportés

15 et suivants , 280 et suivants.

826. Lorsque la voûte est élevée sur des culées ou pieds-droits dont chae assise est formée d'une seule pierre , tout ce qui vient d'être dît doit ■e appliqué , en regardant les culées ou pièds-droits comme faisant partie la voûte.

827. D'après ce qui précède , le procédé que l'on doit suivre pour vérifier ustence de l'équilibre dans une voûte, consiste [î], dans la presque totalité s cas qui peuvent se présenter, l°à chercher la valeur de la poussée horizonle Q appliquée en N (Fig. 34), en supposant diverses positions au joint de pture mn dans les reins de la voûte, et s'arrétant à la position pour la- «He l'expression du n° 323,

G (a — x) — -'. Us* 0= -J ,

[i] Le procédé que Ton indique ici, fondé sur les notions exposées dans les numéros précé- Bts, est conforme à la théorie donnée par Coulomb, dans les Mémoires des savants étranrs présentés à r Académie des sciences, 1773. M. Audoy a remarqué, dans le n° 4 du iaorial de Pofficier du génie, que les conditions d'équilibre obtenues par ce procédé ne liraient point de celles que Ton trouve par les méthodes moins simples exposées dans le swil d'expériences et d'observations de M. Boistard, et dans le Traité de la construction i pools de M. Gauthey.

ou simplement (en négligeant l'adhésion des mortiers )

donne la plus grande valeur m.

2° A examiner si l'action de la poussée horizontale , ainsi déterminée assez grande pour renverser en dehors , en la faisant tourner sur l'arft voussoirs , une partie de la demi-voûte ABNM , ou la totalité de cette i voûte. On reconnaîtra généralement, à la seule inspection, que b pot horizontale renverserait plus facilement la demi-voûte entière qu'une po de cette demi-voûte. Ainsi on devra faire la vérification dont il s'agit en posant la rupture dans le premier joint AB ; c'est-à-dire s'assurer que pression

G(a — x')-i-!Rs»

ou, en négligeant l'adhésion des mortiers,

calculée pour ce joint , est plus grande que la poussée horizontale.

3* A examiner si la poussée horizontale peut faire glisser sur les plu joint une partie ou la totalité de la demi-voûte; c'est-à-dire à s'assurer l'expression

G (coi.8 -H/»in. o) -ht *

ou , en négligeant l'adhésion des mortiers ,

un joint quelconque voisin de la naissance de la voûte , est plus jfcafe que la poussée horizontale. Si ce joint était horizontal , l'expression lie deviendrait simplement

l'adhésion des mortiers ,

pourra s'aider , pour la recherche de la situation du joint de rupture

fcla poussée horizontale, des résultats rapportés nM 514 et suivants. Dans

voûtes en arc de cercle et en plate-bande , la position du joint de rupture

connue d'avance , et la valeur de la poussée horizontale peut être calculée

tement.

lorsque le résultat du calcul a fait connaître que la voûte projetée ne sepas en équilibre, on doit augmenter l'épaisseur au sommet, ou la lardes pieds-droits, ou les poids dont ils sont chargés. Si le défaut d'équiprovenait de ce que les parties inférieures sont exposées à glisser sur plans de joint, on pourrait y remédier sans augmenter le volume de la erie, soit en interrompant les joints par des pierres posées debout, en inclinant en dedans les plans de joint, soit enfin en liant les parties h maçonnerie par des armatures en fer.

B8. Lorsque les parties inférieures de la voûte , ou les culées ou pieds- Alits sur lesquels elle est établie , ne sont pas formés avec des pierres qui en tttnpent toute l'épaisseur, il est nécessaire d'avoir égard à la possibilité d'une nptore dans la maçonnerie de ces pieds-droits , conformément à ce qu'on a va nr 211 et suivants. Par exemple, dans la voûte dont la fig. 39 représente h moitié, on sait d'avance que la rupture tend à s'opérer suivant mno. On (flktdera donc la poussée horizontale Q, d'après la condition que cette force, qppKquée en N, empêche la partie mnoNM de tourner sur l'arête m. Pour ftfesurer ensuite que la poussée Q, ainsi déterminée, ne peut opérer le renf mement du pied-droit en le faisant tourner sur l'arête B , on doit regarder •lied-droit comme pouvant se diviser suivant une ligne inclinée Bl, et éta- Hr tes conditions d'équilibre de la masse ABCNM , soumise à l'action de la km horizontale Q qui tend à la foire tourner sur l'arête B , en se conforà ce qui a été fait dans les not cités. SU force de cohésion du mortier, dans la maçonnerie de la culée, était très-petite ou nulle, on devrait admettre immédiatement (conférant n™ 214 et 215) que la rupture du pied-droit aura lieu suivant Érection Bpm, et ne tenir aucun compte de la portion de maçonnerie AB/wi . f tt. Lorsque la fondation d'une voûte est établie sur un terrain compresk1 on doit avoir égard aux considérations exposées n" 257 et suivants.

1» LEÇONS SDR L'APPLICATION

Ainsi , pour In voûte dont on vient de parler, la largeur „e de la fondaliwi devrait être déterminée par la condition que le moment du poids de la de maçonnerie aëCNM/», pris par rapport au milieu de aê, fût éyal au moment de la poussée horizontale Q, pris par rapport au même point.

DES HUMOOKI lïK3CtSS COSTRE LKS PHN9 BK WHt DÀS9 LU VOUTEE ï« DERCE11

330. Supposant que la valeur de la poussée horizontale Q ait été calcul» conformément au n° 327, et conservant les dénominations du n° 320, qui » rapportent à la fi(j. 34, on aura

pour la valeur de la pression exercée normalement contre un joint quelconque mil. Celte pression, pour un joint horizontal tel que AB, « réduit à

représentant le poids de ABNM. Pour le joint vertical MN, elle ; comme cela doit être, à

331. La connaissance de la valeur des pressions exercées perpendiculairement aux plans de joint ne suffit pas pour vérifier que ces pressions ne soat pas assez grandes pour causer l'écrasement de la pierre. Il faudrait connaître de plus la manière dont les pressions peuvent être réparties dans la hauteur mn des plans de joint. Considérons une voûte dans laquelle la rupture tend à s'opérer de la manière indiquée firj. 57, et qui est en équilibre, en sort que si l'on diminuait un peu la largeur des pieds-droits, la rupture aurait . ri t. . ir.|..n- \r* 1.UI.Q..IH i- il. . ,..M | ,. i.i .|,i,. ,|

DE LA MÉCANIQUE, l™ PARTIE. 167

on ne peut admettre que les pressions s'exercent ainsi contre des arêtes. Cela ■'empêche pas que Ton ne puisse calculer , avec une exactitude suffisante , réquilibre des voûtes d'après les règles énoncées précédemment ; mais il parait nécessaire d'avoir égard à l'élasticité de la matière des voussoirs, pour évaluer les efforts auxquels les parties de la pierre sont exposées. Cette question serait un cas particulier d'une question plus générale, qui consiste à déterminer les effets qui se produisent dans un corps élastique de figure quelconque, soumis à l'action de diverses forces. La solution de ce dernier problème ne pouvant être donnée ici , on cherchera à déterminer les efforts dont il s'agit d'après des suppositions qui paraissent s'éloigner très-peu des effets naturels, et qui sont propres à donner des limites, dont la connaissance est très-utile pour l'établissement des constructions.

Supposons, comme dans le n° précédent, la voûte en équilibre, et la rupture prête à s'opérer de la manière indiquée fig. 37. Les joints pour lesquels il importe le plus de connaître la valeur de la pression supportée parla pierre sont les joints de rupture, savoir les joints extrêmes MN et AB (Fig. 34), et le joint de rupture placé dans les reins , que nous supposerons être mn.

En considérant d'abord le joint MN, et remarquant que, la voûte étant prête à se rompre, ce joint tend à s'ouvrir en M, nous admettrons 1° que les deux voussoirs séparés par ce joint ne pressent point l'un contre l'autre par rareté inférieure M ; 2° que , par l'effet de l'élasticité de la matière dont ils sont fermés, ils se sont un peu comprimés en s'appuyant l'un contre l'autre , de manière que la compression, qui est nulle à l'arête M, augmente uniformément depuis cette arête jusqu'à l'arête supérieure N ; 3° que les éléments de la hauteur du joint résistent avec des forces proportionnelles aux compressions qu'ils subissent, et qui augmentent aussi uniformément, depuis l'arête M où elles sont nulles, jusqu'à l'arête N où elles sont à leur maximum. Cela posé, nommant

K la pression maximum qui s'exerce contre l'arête N , la valeur de cette pression étant rapportée à l'unité de surface;

v la distance d'un point quelconque de MN à l'extrémité inférieure M;

c la hauteur totale MN de ce joint ;

Kr</r

on aura pour la pression qui s'exerce contre l'élément dv de la hauteur

du voussoir placé à la distance v de l'arête inférieure. Or les pressions exercées contre tous les éléments doivent être telles que la somme de leurs moments, pris par rapport à l'arête m, soit égale au moment du poids G de la portion de voûte mwNM, pris par rapport à la même arête. Cette somme de moments étant

on a donc l'équation

On pourra calculer, au moyeu de cette formule , La valeur de la (te grande pression à laquelle la pierre est exposée à la clef d'une voûte nr l'unité de surface, et vérifier, d'après ce qui a été dit n°* 174 et suivants. cette pierre a la force nécessaire pour y résister.

553. Nous remarquerons ici que, dans les hypothèses qui viennent «Fétn établies, on doit prendre pour la poussée horizontale de la voûte la s des pressions exercées dans la hauteur du joint MN. En désignant cette somme par Q', on aura

et en mettant pour K la valeur précédente,

Le point d'application de la résultante Q' est aux \ de la hauteur du joint, à compter de l'extrémité inférieure M. Cette nouvelle valeur de la poussée i horizontale surpasse un peu la valeur désignée ci-dessus par Q, c'est-à-dire :

!£:.i.VM7L ?" ?i.l" :.

I que lenr scula. sot: f-où* i a :r*^» »i i«rn;iit- nAr— • -MT-r'

t le poids G de il j*:coj<i àMiur.* /> ?^*L f 7.ît ji >»ii->~ :•-#-«:

qui fera consacre il n>i.- if -i :•--* rnzô-f z^-ssrc z<r^Lr i la pierre est **{•>?<* scr Jiz-> if si->^- iins L* . :• *; :-? r.::«r r* valeur est dont*? de «G* n":c zr:*zi+n-m- *i >l:o >lt .Vf.-r. z__*:c- 1 réparti dans îocte a hjnr"^ î. .«.»—".-

. En considérant ennn >r \\i: AB- *: *:--~iz: -> stt:«> i»m» .ildans le n* prccrdenL on rwir.*/: zzr '-.vz^i.z. ; r^-of-'.f i-: K ient également à ce joint. G r^-rrveo *I:-r* > >:».îs :. :il d<e 1-» i-rci.~ AB>M: et si le joint dont il s"* :.: est L:rj.i:î".. .:=. i s=:: '^ i:

336. A regard des joints intermédiaires entre les joints de rupture . les

èscs précédentes ne peuvent pas s'y appliquer jmeraletnent aw eucti-

parce que lors même qu'une voûte e>t préîe ii se rompre, comme

le supposons ici. ces joints ne tendent pas toujours à s*ou\rir. en sorte

Ton ne peut supposer nulle la pression exercée rontre l'arête inférieure

contre l'arête supérieure du joint. Pour les joints dont il s'agit, la pression

répartît d'une manière moins inégale dans toute la hauteur du plan de

. Par conséquent si. en n'ayant point égard à cette remarque, on eal-

ît pour ces joints la valeur de R par la formule du n% 33J. le résultat sur-

rait la véritable valeur de la pression normale à laquelle la pierre serait

. On conçoit d ailleurs, à moins que la figure de la voûte ne soit très-

re, que si la pierre a une résistance suffisante à la clef, au joint de

tare, et aux joints inférieurs des pieds-droits, elle l'aura à plus forte raison

tontes les autres parties de la voûte.

S57. On a supposé n° 532 que la voûte était en équilibre, ou prête à se rom-

', et cette supposition était nécessaire pour que Ton pût regarder les joints

rupture comme prêts à s'ouvrir. Dans la réalité les voûtes ont toujours un

de stabilité, au moyen duquel aucun joint ne s'ouvre, si ce n'est par

feflfet de la compression des mortiers , circonstance dont on fait ici abslr.ic-

La valeur de la poussée horizontale doit toujours se calculer d'après

les règles établies précédemment. Les voussoirs se trouvant parte* tenus en contact sur toute la hauteur des plans de joint, on n'est plo| d'être d'accord avec les effets naturels en supposant la pression nulle inférieure ou à l'arête supérieure du joint, et l'on doit penser auo que la pression s'exerce sur toute la hauteur du joint, quoique moii ment prés de l'arête où le joint s'ouvrirait , si la voûte pouvait se roa valeur totale de la pression exercée contre les plans de joint, ne peut surpasser d'ailleurs celle que l'on calculerait par les formules du n* 8 conclut de ces remarques que , si l'on appliquait à une voûte où il y de stabilité les formules des n°* 532 et 334, les valeurs de K ainsi ol surpasseraient toujours celles des pressions exercées, et donneraient mites dontles véritables pressions seraient d'autant plus éloignées q de stabilité de la voûte serait plus grand. Les moindres valeurs qu'il ble d'attribuer à K sont d'ailleurs celles que l'on obtiendrait en : les pressions uniformément réparties dans la hauteur des joints.

338. Lorsque les voussoirs ne sont pas posés immédiatement les i les autres, et lorsque l'on décinlrc une voûte avant que les couches de; tier interposées dans les joints aient acquis une dureté suffisante, B survenir des tassements qui fassent ouvrir un certain nombre de j des points de rupture. Dans cette circonstance, la pierre peut être des efforts plus grands que ceux qui seraient calculés d'après les n° parce que la pression doit être regardée comme nulle, non seulement af des extrémités du joint , mais sur une certaine portion de la hauteur d joint. Ces- effets, que l'on doit tacher de prévenir, seraient difficile!

ree et de l'espace parcouru dans le sens de cette force par son point d'apteatkra,doit avoir une valeur déterminée, pour rendre nulle la somme des ftnents des forces qui agissent sur chaque moitié de la voûte. On doit donc pliquer cette force dans la direction mm, puisque l'espace parcouru par point d'application étant alors le plus grand possible, la force sera la moine possible.

On connaîtra d'ailleurs la tension qui peut s'établir dans le tirant, en reirquant que le moment de cette tension ajouté au moment du poids de la mi-voûte ABMN, doit être égal au moment de la poussée horizontale qui berce en N; tous ces moments étant pris par rapport à l'arête B.

540. Lorsque l'épaisseur d'une voûte et de ses pieds-droits est très-petite r rapport à l'ouverture , il est possible qu'un seul tirant ne suffise pas or en prévenir la rupture. On s'en assurera en considérant à part les portos de voûte ABmn, mnNM, et appliquant à chacune les règles énoncées écédemment. Si ces portions de voûte n'étaient pas en équilibre , on devrait riaeer de nouveaux tirants , à la hauteur des joints où la rupture tendrait 'opérer, en déterminant, d'après ce qui vient d'être dit, les efforts auxquels i tirants se trouveraient exposés.

541. Lorsque les tirants sont employés de cette manière, il peut arriver e; par suite d'une élévation dans la température , le tirant soit détendu , et ne d'exercer l'effort nécessaire ; et que par suite d'un abaissement dans la npérature ce tirant soit tendu trop fortement, et exposé à se rompre. Pour shercher les moyens de prévenir ces effets , on nommera

m l'aire de la section transversale du tirant ;

T la plus petite valeur de la tension que ce tirant doit supporter pour faire la fonction à laquelle il est destiné ;

i la tension qu'on lui fait supporter quand on le met en place ;

R' la plus grande valeur de la tension , rapportée à l'unité de surface , à laquelle le tirant peut être exposé sans risquer de le faire rompre ;

V h plus haute température à laquelle le tirant sera exposé, exprimée en degrés du thermomètre ;

v la température qui a lieu quand on met le tirant en place ;

Via plus basse température à laquelle le tirant sera exposé;

* la dilatation linéaire de la substance du tirant pour un degré du thermomètre.

E aura la signification indiquée n° 77.

Vous rappellerons d'ailleurs que les substances suivantes s'allongent ou tfovrcissent par une variation de température de 100° du thermomètre Aigraàe, savoir

fer forgé, de 0,001» ;

fer fondu 0,00111

bois de sapin 0,0008 j

pierre, environ ti] 0,0005 ■:

Lorsqu'on met le tirant en place, et qu'on lui fait supporter la tension— I

l'unité de surface de sa section transversale, on l'allonge de la fraction-d

sa longueur primitive. La température s'élevant de V — «degrés, eeqm|M duit l'allongement s (V — »), il se détend, et l'effort qu'il exerce est tbU kt— ï(V— »)E». Ainsi l'on doit avoir

De même la température s'abaissant de v à V, le tirant subira un mm cissement égal à «(»— V), et sa tension deviendra (-*-> (» — V). 8*C doit donc avoir également