DE L'ÉQUILIBRE ET DE L'ÉTABLISSEMENT DES CONSTRUCTIONS EN CHARPENTE
353. Les constructions en charpente consistent généralement dans un système de pièces assujetties les Unes aux autres, aux extrémités seulement, ou dans divers points de leur longueur. Ces constructions offrent des propriétés différentes, suivant qu'elles sont supportées par-dessous, ou suspendues à des points fixes plus élevés que la construction. Il est toujours nécessaire qne Féquilibre du système soit stable ; mais , dans le premier cas , cette condition exige que la figure de ce système soit invariable ; dans le second cas , l'équilibre sera toujours stable, lors même que la construction serait parfaitement flexible.
Le principe le plus général dont on puisse faire dépendre la disposition d'an système de charpente, consiste en ce que les pièces principales doivent être placées suivant des lignes droites tracées des points où s'exercent les efforts aux points d'appui. Dans une construction ainsi disposée , les efforts qu'elle supporte ne tendent point à en changer la figure en faisant tourner les pièces sur les assemblages placés à leurs extrémités. Ce principe est principalement applicable aux constructions soutenues par-dessous.
354. Chaque pièce d'une construction en charpente doit offrir une résistance proportionnée aux efforts quelle peut avoir à supporter.
On se formera une idée précise du degré de résistance qu'une pièce doit présenter si l'on remarque que l'effet d'un changement de figure quelconque subi par une pièce , en vertu des actions auxquelles elle est exposée, est toujours d'allonger ou d'accourcir dans une certaine proportion les fibres de cette pièce. Si l'allongement ou raccourcissement étaient trop considérables, la pièce romprait, bu par une disjonction, ou par un écrasement. Les allongements ou accourcissements dont il s'agit doivent toujours être beaucoup moindres que ceux qui amèneraient la rupture; mais on doit, dans tous les cas, les regarder comme donnant la mesure de la fatigue à laquelle la pièce est exposée. D'après cela, dans chaque cas particulier, la question se réduit ;i examiner, étant donné une pièce et les efforts qu'elle doit •supporter , dans quelle proportion les fibres sont le plus allongées ou le plus accourcies. Si cet allongement ou cet accourcisscment répond à une tension ou à une coin
pression qui ne dépassent point les limites indiquées dans l'article VU de )> première section (u™ 173 et suivants), on est assuré que la pièce aura la fora demandée.
ARTICLE PREMIER
DE I.A HE5TSTA>'CE !> l'MC PIECE l'IUS.M ATTOFE POSEE HORIZONTALEMENT. CHARGÉE ET SUPPORTÉE DE DIVERSES H A MÈRES.
555. Les résultais présentés dans les rr" 86 et suivants font connaître te conditionsde l'équilibre pour une pièce prismatique, dans lés cas le plus simples. Cette pièce étant encastrée à une extrémité (Fig. 5 et 7), chargé* ) l'autre extrémité d'un poids P, et sur chaque unité de la longueur d'un poids p, on a (ir 86 et 89)
pour l'abaissement BM de l'extrémité libre : a étant la longueur ÀM, et » le '
moment de résistance à la flexion dont l'expression générale est donnée n" 80.
356. Lorsqu'une pièce est posée librement sur deux appuis (Fig. 6 et 8),
chargée au milieu du poids 1 P . et sur chaque unité de longueur d'un poids
Mffftaufant la longueur du solide dans le premier cas, ou la moitié de Findès appuis dans le second. p est le moment de résistance à la rupture, Fexpression générale est donnée n" 113 et 114. L Lorsque la figure que prend un solide prismatique par Y effet de la est connue , on en déduit immédiatement les conditions de l'équilibre res an cas de la rupture. Le solide tend à se rompre dans le point où la est le plus grande; et quand il est prêt à se rompre le moment de [résistance à la flexion, en ce point, est égal au moment de la résistance à la ). Ainsi les conditions d'équilibre dont il s'agit s'obtiennent en égalant p
h valeur maximum de • ; x et y étant l'abscisse et l'ordonnée de la
dx*
du solide, • ayant la signification indiquée n° 80, et ? la signification n° 113.
Jt€UIBBt B'UIIB PIECE POSÉE SDE DEUX APPUI8, ET CHARGEE EU UN POINT QUELCONQUE
DE L'iNTEBVALLE DES APPUIS.
589. On suppose qu'un solide MM' (Fig. 46), posé sur deux appuis placés
D'une même ligne horizontale, est chargé d'un poids 2P suspendu au
B, qui n'est pas placé au milieu de l'intervalle des appuis. Il s'agit de
[muttre les conditions d'équilibre du solide par rapport à la flexion et par
injport à la rupture. On nommera
oh moitié CM de l'intervalle des appuis; i la distance CD;
* l'abscisse Bp;
y l'ordonnée tnp; /"rabaissement BD du point fi;
• l'angle que la tangente à la courbe du solide forme au point fi avec l'horizon.
1 aura la signification indiquée n° 80 ; P aura la signification indiquée n° 113.
Us composantes du poids 2 P , représentant les efforts exercés sur les ap- N* M et M' , sont respectivement
- et p -
(chaque partie BM, BM' du solide est fléchie de la même manière que si, **t encastrées en B, elles étaient sollicitées aux extrémités M et M' par ces
composantes. Ou aura donc ici , comme au a" 86 , pour la partie BM
dx*
df V a-t-s
dj- P o-t-s r ï'-i
-- = -. \{a — s)r -t-Iaiig.u,
dx % a L aJ
On aura également pour la partie BM'
iPr P « — s
Uy P a — s r **-!
— = -. (*-»-*) x — tane- «,
dx . a L *J
P a— * r x» j«-i / = -. («-va) — jrlang-w,
/et tang. » devant avoir les mêmes valeurs dans ces équations, on t* vera par l'élimination
360. Les équations des parties BM et BM' de la courbe sont respectives
Dtyrts cette dernière remarque, et conformément au n° 358, les de l'équilibre relatif à la rupture seront exprimées par l'équation
le voit aussi en remarquant que p doit être égal au moment de l'une ou de des forces agissant en M, M', pris par rapport au point de rupture B.
B'UHB PIECE POSEE SUE DEUX ÀPPUI8, ET CHAEGEE SUE UNE POETION DE SA
LONGUEUR
S. Le solide MM' (Fig. 47), posé sur deux appuis placés sur une même horizontale, étant chargé, dans l'intervalle NN' seulement, d'un poids \mr l'unité de longueur, on demande les conditions de l'équilibre. Suppoque le point B est au milieu de l'intervalle NN', on nommera
la distance CD;
la moitié CM de la distance des appuis 5 0* la moitié DE de l'intervalle dans lequel est placée la charge ; m# l'abscisse Bp et l'ordonnée mp; f rabaissement BD ou MP du point B ;
im l'angle que la tangente à la courbe au point B forme avec l'horizon ; « et p auront les significations indiquées n° 359.
Les composantes de la charge 2pa représentant les efforts exercés sur les M et M' sont respectivement
pa'.
z a — z — et p a\
ie partie BM, BM' du solide est fléchie de la même manière que si , étant en B, elle était sollicitée dans un sens par les poids placés en BN, lr, et dans l'autre sens par les forces précédentes agissant en M , M'. Par lent on aura d'abord, pour tous les points compris entre B et N (voyez ur 87, 89 et 90),
&y pm' a-*- z
dy pa' a -4- z
ix • a
p fa'1 x2
r x%~\ p ( oP x a' x* x*\
pa' a + z r x2 x*~i p fa'2!2 a' x* x*\
Ung. *>.
irtang.»;
et les deux dernières équations donneront , pour les valeurs qui oonk
au point IV, en y faisante — a',
dy pa' a-t-s r a1*-) p a**
— = — \{a~s)a' I — . — Hang. «•,
dx • * L »J . ft
pa! a + * r a1* a"*-| p a'«
y = — . <<»-*) --- + a'Uns. -.
On aura ensuite pour tous les points compris entre H et M , en détera
dy
les constantes de manière que pour x — a' les valeurs de— et y soient!
dx aux précédentes,
«V pa' a-*-»
dx' t a
dy pa' a + * r x*~i p a'1
— = — . 1 (û — *) * — -. — + lang. •».
dx , a L 3J . 0
pa' a-t-s r x3 z3 -i p / a's x a'*\ y= — . (a- s) f l-t-iUug.»
La dernière équation, en supposant x — a — z, donnera
par (a-t-M) (a — *)* pro"(o — a) o"-|
/■ = — . -- +(a-«)la«.'
• Sa • L 0 n J
En répétant les mêmes opérations pour la portion BM' du sotid trouvera
par (a- a) (n-*-*>" p ra"(n + t) a1*-)
p ra'»(a + s) a1*"!
' ~~. L ii âïJ
Le point B est celui dans lequel la courbure est le plus grande , et où if solide tend à se rompre. La condition de l'équilibre relatif à la rupture est , conformément au n° 358, par l'équation
P=pa'
865. Les exemples précédents suffisent pour indiquer comment on trouve conditions d'équilibre d'une pièce posée horizontalement sur deux appuis, chargée d'une manière quelconque. Le point où elle tend à se rompre, et Ton doit regarder comme le point d'encastrement, est toujours situé la verticale contenant le centre de gravité des poids dont cette pièce est rtkargée. Le point de rupture ayant été déterminé , aussi bien que les efforts sur chaque point d'appui, on doit former autant d'équations différentielles du second ordre qu'il y a , de chaque côté du point de rupture , de pour lesquelles les conditions de la flexion ne peuvent s'exprimer par [Ji même formule. Les constantes introduites par l'intégration se déterminent manière que l'ordonnée et l'inclinaison de la tangente aient les mêmes wleurs dans le point commun à deux parties consécutives.
L'équation exprimant les conditions de l'équilibre à l'instant où la pièce est |rtte à se rompre, s'obtient en égalant le moment de rupture p à la valeur
le • — qui appartient au point de rupture ; c'est-à-dire au moment pris par
.rapport à ce point des forces agissant sur la pièce dans l'une ou l'autre des pitiés que ce point sépare.
■MOLIIRE D'UHI PIÈCE CHARGÉE D'Oïl POIDS, DONT L'UlfE DBS EXTRÉMITÉS EST ENCASTREE ET
