ÉQUILIBRE D'UNE PIÈCE INCLINEE CHARGÉE ENTRE LES EXTRÉMITÉS
418. Le cas le plus simple est celui d'une pièce inclinée ÂB (Fig. 62), chargée en C du poids H, et supportée aux extrémités par des portions de plans horizontaux. Cette pièce ne tend pas à glisser, parce que le glissement ne produirait pas- l'abaissement du poids n* En désignant par a, a' les Ion-
Sueurs AC, BC, on aura n et n pour les efforts verticaux exer-
ces en À et en B. Chaque portion AC, BC de la pièce peut être regardée comme encastrée en C, et sollicitée à l'extrémité À ou B par ces efforts. Par conséquent la partie AC , qui est comprimée dans le sens de sa longueur , est dans le même cas que la pièce considérée n° 412, la force désignée par n
dans ce numéro étant ici n ; et la partie BC, qui est étendue dans le
a-ha'
sens de sa longueur, est dans le même cas que la pièce considérée n° 415,
la force désignée par n dans ce numéro étant ici n
419. La pièce AB (Fig. 63), supportée dans une direction inclinée par le point d'appui C sur lequel elle ne peut glisser, et chargée aux extrémités de poids qui se font mutuellement équilibre, est sollicitée de la même manière que la pièce précédente. La partie BC , qui est comprimée, est dans le même cas que la pièce considérée n° 412; et la partie AC, qui est étendue, est dans le même cas que la pièce considérée n° 415.
420. La pièce inclinée AB (Fig. 64) , chargée en C du poids n, est souvent supportée d'une manière différente de celle que Ton a supposée dans le n* 418. L'extrémité supérieure B est appuyée contre un plan vertical, et l'extrémité inférieure A sur un plan horizontal : mais comme cette dernière extrémité tend alors à glisser, elle doit butter contre un appui, ou être retenue par un tirant. Le poids n est ici entièrement supporté par l'appui A. La pièce exerce en B une pression horizontale, déterminée par la condition
de faire équilibre autour du point A, avec le bras de levier AE, ao poûkl agissant avec le bras de levier AD; et cette même pression horizontale» reporte contre l'appui placé en A. Nommant a, a' les longueurs AC,BC, at ■ l'angle ACD , on aura donc
a (âne- a
pour la pression horizontale dont il s'agit. Chaque partie AC et BC de 11 pièce est dans le même cas que si elle était encastrée en G, et sollicitée à l'autre extrémité par les forces qui viennent d'être indiquées. Par quent : Ie la partie AC, qui est comprimée, doit être assimilée % la piété considérée n° 412, les forces désignées par P, Q, n dans ce numéro était
ici respectivement égales à II sin. a. [ 1 — ) , n cos, s [ J ■+•
. 2° La partie BC , qui est également comprimée , doit
être assimilée à la même pièce, les forces désignées par P, Q, n dans le '
a sin. a a tin. alang. a alang. a
n* 412 étant ici respectivement n , n ■ , n .
ARTICLE V
DE LA RÉSISTANCE d'une PIÈCE PRISMATIQUE FLÉCHIE, POSÉE HORIZONTA- LEMENT KNTUE DEUX APPUIS , ET CHARGÉE AD MILIEU.
DE LA MÉCANIQUE, I'* PARTIE. 21iS
ition d'équilibre sera
« — . = -V(a-x) + Q(f-r)r dx*
ou, faisant pour abréger /*= — , q1 = — ,
— =-Pa(«— *)-+-?2(/-,r)..
L'intégrale de cette équation est
f — x=z Afin, q (j?h-B)h (a — #),
À et B étant deux constantes arbitraires.
dy 492. On a, au point A, ar=0, y = 07 — =0; et au point M, œ=a,y=:f;
dx
ce qui donne les trois conditions
/ = A sin. g B H a ,
P2 0 = 4 A cot. ^ B ,
0 = sin.?(a-t-B, d*OÙ y (a-*-B) = i *,
* étant le rapport de la circonférence au diamètre , et i un nombre entier
quelconque. On en déduit
q* cos. q a
et il reste l'équation de condition
tang. qa=qa OU fr=. — (q a — tang. qa).
P2 qz
Ainsi la valeur de la force Q est déterminée par la condition que la tangente
de Parc a 1/ — soit moindre que cet arc de la quantité f—\/ — ; quantité qui doit être fort petite, parce que la courbure de la pièce est supposée très-petite.
423. D'après les valeurs précédentes , l'équation de la courbe devient
p* f sin. q a — sin. q (a — x)
q* \ cos. q a
et l'on en déduit , à fort peu près ,
p*a ( 3 tang. qa \
* = «-+-- (3 h lang.2 q a l,
4q*\ qa J
p*az fZp* /^a2\ 4q* \.4q* 2 J
Représentant par 0, ^,u,,^s1 etc. , la suite des an» dont la est égale à celle de leur tangente, on satisfera à la condition précédente m donnant successivement à la force Q des valeurs un peu plus petite*
, , , etc. Il résultera de ces suppositions des courbes près»
tant un nombre de points d'inflexion de plus en plus grand.
En admettant la première de ces valeurs , la question proposée se trouvai résolue : les dernières équations des n" 422 et 433 feront connaître Q df lorsqu'on se sera donné a, s et P. La forme de la courbe est représentée fig. 65.
424. Si l'on suppose /"=(), l'équation de condition trouvée n1
\m$.qtt = qa, d'où Q= = (4,4954)»
on a
p*as
iq*
d'où
Q = — . , et 2.p = —
pour l'expression du poids 2P qui , étant suspendu au milieu de la pièce, peut faire abaisser ce point au niveau des appuis. Ce poids doit être regardé comme le plus grand que la pièce puisse supporter. Si l'on supposait , en effet , le point A placé nu-dessous du point C (Fig. 66), l'équation d'équilibre drrnrif être écrite, en supposant les y positives comptées de bas en haut,
DE LA MÉCANIQUE , 1" PARTIE. fil 7
coup moindres que celles qu'ils avaient lorsque le milieu de la pièce était audessus de la ligne passant par les extrémités. La courbe , qui n'offre plus de point d'inflexion , est représentée par la fig. 66.
Les résultats précédents expliquent l'excès de résistance que peut présenter une pièce lorsque, ayant été courbée, ses extrémités sont placées entre des obstacles fixes. On voit que cette résistance a une limite que l'on ne peut dépasser sans obliger la pièce à changer aussitôt de figure. Après ce changement la pièce ne supporte qu'un poids beaucoup plus petit , et plus petit même que celui qu'elle supporterait, à courbure égale, si les extrémités étaient simplement posées sur des appuis.
ARTICUE VI.
DE LA RÉSISTANCE DES PIÈCES PRISMATIQUES DONT i/AXE EST COURBE.
425. On s'est occupé dans l'article précédent d'une pièce dont la figure naturelle est rectiligne, et que l'on maintient courbée pour en augmenter la résistance. Il s'agit ici des pièces dont la figure naturelle est courbe, tels que les arcs en bois ou en fer employés à la construction des ponts.
Dans les pièces de ce genre , il peut exister entre la distribution de la charge et la figure de la courbe une telle relation, que la pièce se trouve simplement comprimée ou étendue, et ne tende point à changer de figure : on dit alors que la pièce est tracée suivant la courbe d'équilibre. Dans d'autres cas, la pièce tend à fléchir par l'action des poids dont elle est chargée.
