DE LA FLEXION DES PIÈCES COCHBES
446. On considérera une pièce courbe AwM (Fig. 72) encastrée horizonta- ;ment à l'extrémité A, et l'on supposera que deux forces verticale et horizonîle P et Q, ayant été appliquées à l'extrémité M de cette pièce, elle ait té fléchie suivant la courbe Am'M'. Il s'agit, la figure de la courbe AM étant onnée, ainsi que le moment de résistance à la flexion de la pièce et les forces ' et Q, de connaître la figure de la courbe AM'. On nommera
li] On peut aussi voir l'ouvrage intitulé : Rapport et Mémoire sur les ponts suspendu*.
S3Ï LEÇONS SUR LMl'PMCATION
x, y les coordonnées horizontale et verticale Ap, pm d'un point quelconque de la courbe AM ; s la longueur de l'arc A/»;
afrff les coordonnées du point m' de la courbe AM' dans lequel se tramporte le point m; a, b les cordonnées AB, MB du point extrême M ; a', b' les coordonnées AB', M'B' du point M', dans lequel se transporte le
point M ; ? l'angle que la normale de la courbe AM menée au point m forme aree
la verticale; ?' l'angle que la normale de la courbe AM' menue au point m' forme avec
la verticale ; i le moment de résistance à la flexion de la pièce courbe AM , dont l'expression générale est donnée n" 80.
Reprenons les considérations exposées n° 77, en désignant, comme dans ce numéro, par v la distance d'un point quelconque de la section transversale de la pièce à l'axe d'équilibre. Avant la flexion, la longueur d'une portion infiniment petite d'une fibre placée à la distancer de cet axe est dx-t- vd?, parce que l'angle de deux normales consécutives est d?. Après la flexion, et en faisant abstraction du changement qui peut être survenu dans la longueur de l'élément dt, la longueur de la même portion de fibre sera devenue ds+rtfy. La proportion suivant laquelle celte portion de fibre s'est allongée est donc
(d<p" — df)o . df' — itf , ou simplement e,
dê + vd<t dt
en négligeant vd? à l'égard de ds , ce que l'on peut faire dans les cas ordt-
f doivent différer très-peu l'un de l'autre. Le second membre peut donc être regardé comme un angle très-petit , qui ne diffère pas de son sinus , et dont k cosinus est égal à l'unité. Ainsi l'équation précédente donnera
1 r J fdr\*
coi. 9' — cos. y = sin. <p / d x % / 1 -f- ( ) [P(a — ir)-*-Q(& — /•)],
•in. ç'— tin. y=r -cos.? / d x \/ 1 "*~ ( ) [P(« — *) -*-Q (*—/")]•
rfj? <//• dx1 df
Hais on a cos. ?=--, sin. ?= — ; cos. ç' = —, sin. 9 = — ; en supposant
</s tf« </« ds
oujours que les parties de la pièce ne changent pas de longueur quand elle léchit. Donc
daf — d* = — dy fd*\/i ■+■ (— ) [P(«- *)-*-<>(*— r)L
df-dr= - dx J dx\/ 1 -f- [ — J [P(a-jr)-+-0(6-r)],
équations qui , étant intégrées , feront connaître les déplacements de chacun les points de la pièce courbe , quand la figure de cette pièce sera donnée.
448. En développant le radical en série , les expressions précédentes détiendront
dx' — dx = — - dy f dx\\ + - ( J — etc. 1 [P(a - x) + Q(b-x)]*
df — dy = - dx f dx 1 + - ( j — etc. J [P (a - x) + Q (b — y)].
On pourra presque toujours dans les applications , à raison du peu d'amplitude de la courbe des pièces, se borner au deuxième terme de la série. On ne commettrait même dans beaucoup de cas que de très-faibles erreurs en négligeant ce terme.
449. Dans une pièce courbe sollicitée de la manière indiquée n° 446 , les parties sont tendues dans le sens de la longueur de la pièce par Faction de la force P , et comprimées par l'action de la force Q. La tension ou compression produite par chacune de ces forces , en un point quelconque de la courbe, est égale à la force décomposée parallèlement à la direction de la courbe en ce point. Ainsi T désignant comme ci-dessus une pression, on l ici
dx d x
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LEÇONS SDH L'APPLICATION
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<50. On a dans ce cas y = —, — = ; et en substituant dans les I
a* dx a»
mules du n" 468 ,
"-"=-';•" I v0(""" - r) + 8 ('- ~tï)]
d'où l'on tire en intégrant
'---! iï['Ct-Ï)-Ct-S)]
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lai, et chargée au milieu A du poids 2 II. La pièce cédera à l'action de ce poids , et le sommet s'abaissera en même temps que les extrémités s'écarteront Tune de l'autre. La moitié AM de la pièce est dans le même état d'équilibre que si, étant encastrée horizontalement en A, elle se trouvait sollicitée à l'extrémité M par une seule force verticale H agissant de bas en haut. Par conséquent, faisant P=— nctQ=0 dans les équations précédentes, et se bornant aux deux premiers termes des séries, les valeurs
exprimeront respectivement la quantité dont chaque point M ou M' se déplace horizontalement, et l'abaissement du sommet A de la pièce. Cet abaissement est un peu plus grand qu'il ne le serait pour une pièce rfcctilignc, à distance égale des points d'appui.
452. La formule du n° 449 donnera à fort peu près , pour la pression exercée dans le sens de la courbe au point dont l'abscisse est x,
flbx 4&*jt*\
Comme on suppose ici b petit par rapport à a, la plus grande valeur de cette pression aura lieu aux points extrêmes M ou M', dans lesquels x = a.
453. Considérons maintenant la même pièce courbe MAM (Fig. 74), chargée de la même manière, mais en supposant que les appuis ne permettent pas aux extrémités M et M' de s'écarter l'une de l'autre. Chaque moitié de la pièce est dans le même état d'équilibre que si cette moitié , encastrée horizontalement en À, se trouvait sollicitée à l'extrémité M ou M' par une force verticale n agissant de bas en haut, et par une certaine force horizontale Q. Cette force horizontale doit être déterminée par la condition que les points M on M' ne se déplacent pas horizontalement. Il suit de là qu'en mettant— n à la place de P dans les deux dernières équations du n° 450 ; et faisant A =0. les valeurs qui s'en déduisent , et qui sont , en se bornant aux deux premiers fermes des séries ,
