DE LA PIÈCE COURBE EST UN ARC DE CERCLE
468. En supposant la charge distribuée uniformément sur la longueur de la courbe , et nommant p la valeur du poids placé au point quelconque m (Fig. 75), cette valeur étant rapportée à l'unité de longueur mesurée sur l'arc de la courbe, nous aurons, au lieu de l'équation du n° 460,
0*9/ (sin. 9, — sin. <p), ?
OU
• ( d <p' — d 9 ) =r p A5 d <p [ cos. ? — cos. $ — (4> — y ) sin. ? J ;
et en intégrant,
• (?'— ?) = />A5[2sin.9 —9 (cos. 4 -hcos.ç) — *(1 —cos. ?)].
351 LEÇONS SCIt L'APPLICATION
On déduit de cette équation , comme dans le n° cité ,
t{ds' — dx) = — ph*dt.%\tt.9 [2*ln. ? — ^(co». * -+- cm. <?} — * (1 — M.fK ' t ( d jr" — dy) = pl'd t. coi. 9 [9 un. ? — y (cm. * ■+■ cm. ? ) — * ( 1 — ne f ffi
cl l'on trouve en Intégrant , la charge p étant supposée constante ,
I — ; f «In. * 9 + ♦ ( 7 lin. * 9 ■*■ &>*■ f — 1 ) ' * f tin. '? — f? lin. ?;co«. ç — f ?* I
— cot.4(t>Bin.? + coi.v — !)-*-♦(£ ?-»-ï «In- f cm-?— ria.fM
expressions qni donnent les déplacements d'un point quelconque de la courte. En faisant ?=+, on aura pour les déplacements du point extrême
| lin. * <
/= 1 co*. ♦ — co». **-t-J *' — *(»in. <P + sin. + co». ♦)-!-} tlo. *4|.
469. La tension longitudinale exercée en un point quelconque de la courbe est
T=j>A(* — f)sin.if.
470. Si l'on considère un arc d'une petite amplitude , les formules di nD 468 donneront, en ne conservant comme ci-dessus que la cinquième plaisance de f ,
M* 3** pa* Sa
distribué uniformément sur sa longueur, et sollicitée en mémo temps j les deux forces verticale et horizontale P , Q , appliquées au point ex- Ëme, il faudrait ajouter les expressions de h et /des nM 455 et 468 pour cir les déplacements horizontal et vertical de ce point. D'après cela, si nous «sidérons une pièce courbée suivant un quart de circonférence, nous, aitus
pk* * PA* 1 QA* r
pK* w*~8ic-4-20 PA5 3* — 8 QA5 1 /*= H , .
si nous supposons qu'une pièce formant une demi-circonférence , chargée
5 la manière qui vient d'être indiquée, est posée sur deux appuis qui ne per-
* ettent pas aux extrémités de s'écarter, il faudra faire P=— pA — (puis-
ie celte quantité représente le poids dont chaque appui est chargé), et A=0, t qui donnera
pA
p h* 5 ** — 8 tf — 24
insi la poussée horizontale d'une pièce courbée en demi-cercle , posée sur »ux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s'écarter, est égale au >ids dont chaque moitié de la pièce est chargée , multiplié par la fraction
- ; c'est-à-dire un peu moins du tiers de ce poids : cette poussée est la moitié
! celle qui aurait lieu si le poids total du demi-cercle était suspendu au somet. La valeur précédente de f représente la quantité, dont s'abaisse le mmet du demi-cercle. Cette quantité est moindre que celle qui aurait lieu si poids total du demi-cercle était suspendu au sommet dans le rapport de t* — 8* — 24 à 61c2— 16* — 8.
473. La compression longitudinale en un point quelconque de la pièce ra représentée par
T= — pA ($ — 9) sin.qp — Pain.y h~ Qcos. 9;
îtte formule, en supposant *=--.> mettant pour P sa valeur — p A — et
>ur Q la valeur — . donne
co«. 9
T =p A [ 9 sin. 9 -\
USAGE DES RE9DLT1TS PRËCKHEUTS DÀIIS LES AFfLlCHTIOM.
474. Les résultats précédents donnent les moyens de déterminer la lirait* des poids dont on peut charger une pièce courbe dans les divers cas d'équilibre que l'on a considérés.
Lorsque la figure de la pièce est celle qui convient à l'équilibre des poid» dont elle est chargée , celte pièce est simplement pressée dans le sens de si longueur; et les dimensions de la section transversale étant ordinairement fort petites par rapport à la longueur, on peut supposer cette pression répartir également sur toute l'étendue de la section transversale- Par conséquent, ayant calculé la plus grande valeur de la pression, représentée par T dans les n™ 426 et suivants , désignant par u l'aire de la section Iransversale de I» pièce. ct(comme dans les n°" 181 et siiivants)par R' le plusgrand effort que l'on veut faire supporter aux fibres sur une étendue égale à l'unité de face , on posera l'équation
d'après laquelle on pourra établir le rapport convenable entre la charge qui produit la pression et les dimensions de la pièce.
475. Lorsque la figure de la pièce n'étant point celle qui convient à l'équilibre, cette pièce fléchit par l'action des poids dont elle est chargée, on peut déterminer la limite de ces poids conformément à ce qui a été exposé dans le n* 587. Représentons par <o la section transversale de la pièce, et par tf 11 distance à l'axe d'équilibre des fibres qui subissent la plus grande compression. En vertu de la pression T, dont les valeurs ont été données dans les n"' 449 et suivants, les fibres sont d'abord comprimées, dans toute l'étendue
flexion aura augmenté ou diminué l'angle formé par la normale de la courbe ec l'axe verticale des y. Mais on ne doit pas avoir égard ici au signe de cette
lantité, et on doit en ajouter la valeur absolue à la valeur absolue de — .
Et*
se rappellera d'ailleurs que T a été supposé positif quand il représente pression ; et par conséquent, lorsque sa valeur se trouvera négative, cela tiquera que la pièce est étendue , et non comprimée. Si la section transie de cette pièce ne peut être partagée en deux parties symétriques par axe perpendiculaire au plan de la flexion , v' doit représenter la distance | Taxe d'équilibre (déterminé conformément au n° 78) de la fibre qui est le plus comprimée, si T est positif ; et de la fibre qui est le plus étendue, si T est
négatif. Enfin la somme des valeurs absolues des quantités — et v
Eu de
lera donnée en fonction de l'abscisse x ; et il est évident que Ton doit attribuer à x dans cette fonction la valeur qui la rendra le plus grande possible dans toute l'étendue delà courbe.
476. Considérons, par exemple, le cas du n° 475, où une pièce courbe de Bgnre parabolique , posée verticalement sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s'écarter l'une de l'autre, est chargée du poids 2 n suspendu au sommet. On a, par le n° 454,
T H /25a b Sbx VSbx*
tù E»\Z2b 28a
Eu E» V326 28a a2 16a3
le n° 447 donne
</?' — </<p P 0 / bx2
ds « s \ a7
où l'on doit remplacer P par — n, et Q par la valeur donnée n° 455 : on aura donc
* = + jr- M* •
ds • ( 32 28 a \ùîa 28 a3/ )
La valeur de T est positive dans toute l'étendue de la courbe, en sorte que la pièce est partout comprimée dans le sens de sa longueur. La valeur de
df ' — d ?
tf — — est d'abord négative, devient ensuite positive, et se réduit à zéro
quand x = a. Sans avoir égard au signe de cette quantité, on en ajoutera la
valeur à celle de — ; et réglant les valeurs de v et de • conformément à ce
Et*
qui a été dit n° 475, on déterminera n de manière que, pour toutes les va-
2» LSJ*V- èf.% LUinKlIKi
kwr* et x <— ffûifj mît» • *t *- !a sirom* 4» wfc
ér — wr «iim paiat — .
477. Le a» 4m «■ ÙCi. *■ nt jw* owfc senifaMec ipmT réparti ar b iwfw *■ «Hé pûece <èr b «wi est mi 4» at ■*"■«■ Tic r ■*■£»»&** e" (7 (.
478. En tÊÊsèi ■ ■! -l— i. «ra* t? s' «Si mr pàeer cerdr. eae**4rre barireatalrMeal a t'-iu^im Ht «p^xrtn trr i lin m"Ii par te* ferres vertrfaîe et bxuoo^îe- P ci
et «Taprè le n* tii.
éy-é* ri ,
479. S Xoa suppose, comme dan* k n' &?- qaH •'>,.■. pose sur deux appuis qui ne permettent pa* im erlrwnit «le l'antre, et dont le sommet est charge da poi'li i n. or
- . cr qui donnera
DE LA MÉCAN1QCE, I« PARTIE. 259
fagit, comme dans le n° 472, d'une pièce courbée en arc de ceri horizontalement à l'extrémité supérieure, chargée uniformément sur l'unité de longueur, et sollicitée à l'extrémité opposée par trticale et horizontale P, Q. la valeur de T sera la somme des nées dans les n" 456. et 469. en sorte qu'on aura pour la proant laquelle un élément quelconque de la courbe est contracté
— = \ — p A (♦ — 9 ) sin. 9 — P sin. 9 -4- Q cot. 9 J .
En Et» < '
ion de sera également la somme des expressions don-
ds
s n°* 455 et 468, et sorte que Ton a 9 ïpk*
= j co*. 9 — cas. ♦ — ( $ — 9 ) sîn. 9 |
h J P sin. $ — sin. 9) -4- 0 (cos. 9 — cos. ♦) J .
considérant donc, comme dans le n° 462, un demi-cercle posé >uis qui ne permettent pas aux extrémités de s'écarter, et portant 1 distribué uniformément sur la longueur de ce demi-cercle, on
, P = , Q = — , ce qui donne
— = ( 9 sin. 9-*-^ cos. 9 j,
E ci> Eu
d-J-d? rfpk*[ *\
[ 9 sin. 9 -f- 1 cos. 9 ).
ssions doivent être employées conformément à ce qui a été dit
S PRESSIONS OD DES TENSIONS EXERCÉES DANS LE SENS DE LA LONGCEL'R DES BES, POUR LES ACCOCRCIR OC LES ALLONGER, ET DES CHANGEMENTS DE FIGCEK LLTETT.
1 indiqué, dans les divers cas d'équilibre considérés ci-dessus, les pressions exercées dans le sens de la longueur des éléments des >es. Ces pressions causent une diminution dans la longueur de ces ngueur supposée invariable dans le n° 446 et dans les numéros suitte diminution de longueur concourt avec la flexibilité de la pièce r la figure. Comme il ne s'agit ici que de changements très-petits, considérer successivement, calculer à part l'effet de chaque chanprendre la somme des résultats que l'on aura obtenus.
SW LEÇONS SL'It L'APPLICATION
En conservant les dénominations du n" 446. et nommant s' la longi l'arc \m' (Fig. 73], que l'on suppose maintenant différente de la I de l'arc Ai», on aura ds — ds' pour raccourcissement de l'élément p
point m, résultant de l'effort exercé dans le sens de cet élément; et
pour la fraction exprimant la proportion de cet accourcissement. Par quenl, « désignant l'aire de la section transversale de la pièce , ci T représentant, comme ci-dessus, la pression exercée dans le sens de la Inngurw de cette pièce au point m, on a
d-oà
hf^v^m-
équation qui fera connaître les changements de longueur des parties deli pièce courbe. La figure de cette pièce demeurant d'ailleurs à fort peu prrt la même, il sera facile d'en conclure les déplacements des points qui résultent de ces changements.
484. Considérons, par exemple, le cas du n° 453 ; où une pièce courbe ie figure parabolique, posée verticalement sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s'écarter l'une de l'autre, est chargée du poids 2
<iy ibx suspendu au sommet. En remplaçant — par , T par sa valeur du n° 45i
et se bornant aux termes de l'ordre
Fétat d'équilibre considéré b° 442, on doit remplacer T par du n* 441. L'équation du n° 483 devient alors
Ton lire
P a* [ AV*s*\
r raccourcissement total de cbaque moitié de la pièce. Mi. Supposant enfin, comme dans le n° 466, la même pièce chargée à la du poids ipa réparti sur sa longueur, et du poids 2 n suspendu au som- ! raccourcissement sera la somme de ceux qui viennent d'être calculés, tara donc
p a* [ ÂPx*} II /25a* bx bx*\
« — * = (JTH H ( 1 ,
p a» / 46*\ II 25a5/ 2I06*\
Wt. L'abaissement du sommet de la courbe résultant des accourcissements, •feulera de la manière suivante. Considérant toujours une pièce de figure itolique, on a [î]
V a / La i0\ a J 175V « / J
it de la seconde équation
db Zar 2.9 c — a 3.54 de
Zar 2.9 c — a 3.54 /c — a\2 t
= 1 -H — . ( J H- etc. ;
Il suit que c—c' étant une petite variation de la longueur o de la moitié
fc courbe , et 6— b' la variation correspondante de la flèche b , on a. à
!peo près, en se bornant toujours aux termes de l'ordre du quarré de —,
[iMtaoire «r les pont» suspendus, page 73.
Ut LEÇONS SUR L'APPLICATION
488. Pour une pièce dont la figure naturelle est un are de cercle, réqotlion du n" 485 doit s'écrire
où l'on subslituera l'expression de T en fonction de l'angle ?, conformému!) a ce qui a clé. exposé précédemment
489. Pour calculer ensuite l'abaissement du sommet correspondant à accourcissement donné de la longueur de la courbe, on remarquera que
'HFS
d'où l'on déduit en différenciant par rapport a A seul, puis remettant poursa valeur sin. $,
llb 1 - COS. *
de sin.* — *cos.*
et par conséquent.
i. * — * cns.*
Cette formule s'accorde avec celle du n° 487, lorsque l'angle * est Irès-petil.
poids étant ôtés , le sommet de la courbe est resté de Om,024 plus bas qu'il n'était avant l'expérience. La pièce a fléchi sous un poids de 270 kiL qui n'avait pas été mis tout à fait au milieu.
La même pièce était prête à fléchir sous deux poids de 280 et 285 kil., placés de chaque côté au £ de la longueur à compter des extrémités.
La même pièce ayant été chargée successivement au { de la longueur , à partir de l'une des extrémités, d'un poids de 20 et de 100 kil., et la flèche primitive étant de 0m,696, le point chargé s'est abaissé de 8 et de 45 millimètres. Le sommet de la courbe s'est d'abord un peu soulevé, puis s'est abaissé quand la charge a atteint 150 kil. La pièce a fléchi sous un poids de 177 kil.
491. Dans les cintres en charpente qui supportent le toit du manège de la caserne de Libourne, exécutés d'après les projets de M. le colonel Emy , la pièce principale de chaque ferme est un arc en demi-cercle de 10m,6 de rayon. Ces arcs supportent un poids de 9333 kil. LU. 91s sont formés de cinq cours de madriers en sapin, courbés et maintenus à plat les uns sur les autres, ayant chacun 0n,135 de largeur sur 0n,054 d'épaisseur , et présentant ensemble une section transversale de 36450 millimètres quarrés. Ainsi près des naissances du cintre, où la pression est la plus forte, chaque millimètre quarré
de la section transversale supporte un effort de = 0k. 12.
ARTICLE VIL
DES PIÈCES DE DIVERSES FIGURES EMPLOYÉES DANS LES COKSTRl CTIONS. DES PIÈCES FORMÉES DE PLUSIEURS PARTIES ASSUJETTIES E3TRE ELLES.
492. On a supposé jusqu'ici la figure des pièces prismatique. La plupart des pièces employées dans les constructions en bois ont effectivement cette figure; mais dans les constructions en fer, et surtout lorsqu'on emploie du fer fondu , on adopte des figures appropriées à la nature des efforts que les pièces supportent. On obtient de cette manière une résistance égale avec un moindre volume de matière, et par conséquent avec une moindre dépense.
f i] Mémorial du génie, n° 10, page 43. Voyez aussi l'ouvrage de M. Emy, intitulé : Description d'un nouveau système d'arcs pour les grandes charpentes. L'auteur parait attribuer au système de charpente dont il s'agit la propriété de ne donner lieu à aucune poussée horizontale. Mais celte opinion ne pourrait être admise, bien que, dans certaines circonstances, la poussée étant très-faible, elle n'ait pas produit d'effet sensible.
tti LEÇONS SUR L'APPLICATION
C'est principalement d'après la considération de la résistance à la rupum que la figure d'une pièce doit être déterminée. En effet il convient de régler la force des pièces de manière que les extensions et compressions anxqnefla les parties sont exposées ne puissent dépasser nne limite donnée. Les formules relatives à la résistance à la rupture s'appliquent à cette déterminatioa: il suffit de fixer convenablement, conformément à ce qu'on a vu dans l'article VII de la I" section, la valeur de la constante qui représente le plus grand effort que les fibres doivent supporter sur l'unité de surface.
Le prisme rectangulaire est la figure la plus simple que l'on puisse donner à une pièce. Cette figure peut être modifiée, soit en changeant la sectiot transversale sans que la pièce cesse d'être prismatique, soit en donnant ab section des dimensions différentes dans les divers points de la longnenr de la pièce.
■■ Là riGCU DE LA SÏCTIOS TSAMTK19ALÏ.
493. Considérons d'abord une pièce soumise à des efforts qui s'exercent perpendiculairement à sa longueur, de manière que le sens dans lequel celte pièce tend à fléchir soit déterminé : par exemple, une pièce posée horizontalement, et supportant des poids. En donnant à la section transversale la figure d'un rectangle dont les cotés sont horizontaux et verticaux ; nommant
b la largeur,
c la hauteur de la section,
E et R ayant les significations indiquées n°' 77 et 113, le moment de résistance à la flexion sera, d'après le n° 81,
. eVla largeur intérieure DE (Fig. 77), ou la somme des largeurs DE, de (Fig.78); c la hauteur extérieure ÀG ; c la hauteur intérieure DF ;
le moment de la résistance à la flexion sera
bc*-b'c'*
et le moment de la résistance à la rupture,
bcP-b'c'*
Pour qu'une section rectangulaire offrit, à surface égale, la même résistance à la rupture, la largeur et la hauteur devraient être respectivement
(6c— b'c')*b bc*-l/&*
et
bci — l/c'* (bc-b'c')b
Les sections représentées fig. 77 et 78 paraissent être, dans le cas dont il s'agit, les plus convenables qu'il soit possible d'adopter. La première semble devoir offrir plus de solidité que la seconde ; mais, lorsque les pièces sont faites en fer fondu, il est difficile d'obtenir sans défauts les tuyaux rectangulaires ou circulaires [i].
495. Lorsqu'une pièce placée horizontalement et supportant des poids doit présenter successivement ses différentes faces a l'action de la charge, ce qui a lieu, par exemple, pour les axes horizontaux dans les machines de rotation, il est convenable que la figure de la section transversale soit telle que la résistance de la pièce à la flexion soit la même dans tous lès sens. Un cylindre plein et un tuyau circulaire offrent évidemment cette propriété. D'après le n° 83 un prisme plein à base quarrée, et un tuyau l'offrent également [2]
[1] Dans des pièces semblables en fer fondu, il faut donner des dimensions peu différentes aux diverses parties, afin que, refroidissant en môme temps, elles ne tendent pas à se désunir par l'effet de la contraction de la fonte.
M Il est question de la figure la plus convenable des axes de rotation dans les Practical êMêtyrs on tnill work, par Buchanan, avec notes de M. T. Tredgold, 1823, tome I, page 36* ; et dans le P radical essay on the strength ofeast iron, 1824, page 59. M. Tredgold parait penser que le cercle est la seule figure qui donne aux axes la propriété d'offrir dans tons les sens la même résistance à la flexion. L'erreur de cet ingénieur provient de ce qu'il regarde la résistance £ la flexion comme étant mesurée par l'expression qui mesure la résistance à la rupture. On avait déjà remarqué qu'une section quarrée donnait la même résistance à la flexion dans le sens des côtés et dans£1e sens des diagonales. Mais de plus cette sëcUon'. donne une résistance égale dans tous les sens, et il en est de même d'un grand nombre de figures, que Ton peut former en combinant d'une manière symétrique le cercle et
216 LEÇONS SDK L'APPLICATION
Il en est de même des sections représentées figures 79 et 80. En appelât dans la première, b la dimension extérieure AB ou CD ,
6 (l'épaisseur ka, Ce de chacun des rectangles qui se croisent à angtn droits, le moment de résistance à la flexion est, dans toutes les directions, **6-»-&6*-6«
Le moment de rupture , si la pièce fléchissait dans le sens des cotés des rectangles, serait
et si la pièce fléchissait dans le sens de la diagonale duquarrédans lequel die est inscrite,
496. Eu^appelant dans la fig. 80 b la dimension extérieure AB ou CD; b' la dimension A'B' ou À'C;
6 l'épaisseur A«, Ce des rectangles placés en saillie sur le quarré; le moment de résistance a la flexion est, dans toutes les directions , V*+(b*— b'^S+ib-W
DE Là MÉCANIQUE , I» PARTIE. 247
"Vient de donner à la section transversale la figure d'un tuyau rond ou quatre, ou bien l'une des figures symétriques indiquées n9 495. Gela suppose toute- . fois que l'on soit assuré que l'effort s'exercera toujours exactement dans la direction de Taxe de la pièce. Il arrive quelquefois , par exemple pour les pièces inclinées servant d'arcs-boutants , que l'effort tend à s'exercer sur une des faces de la pièce, et non pas dans la direction de l'axe. Dans ce cas on peut adopter l'une des sections représentées fig. 81 et 82 , dont la première a été fréquemment employée.
Nommons
b la largeur AB du rectangle dans lequel la figure est inscrite;
c la hauteur CD de ce rectangle ;
6 l'épaisseur GF de la côte ;
T l'épaisseur AE de la face ;
z la distance DM à la face AB de l'axe d'équilibre contenant les fibres dont la longueur ne varie pas lors de la flexion. Pour connaître la valeur du moment de résistance à la flexion de la section dont il s'agit, il fout d'abord déterminer la situation de l'axe d'équilibre, conformément aux nM 78 et 80. La condition énoncée dans le n° 78 donnera ici
b z*— {b - 6) (jb - t)* =6 (c — s)2,
d'où
L'expression du moment de résistance à la flexion, d'après la formule du n° 80, sera
formule où l'on devra substituer pour z la valeur précédente.
D'après le n° 113, et en remarquant que la distance désignée par v dans ce n° est ici GM ou c — z, on aura pour l'expression du moment de rupture
